第07讲 函数的性质（讲义）-2027届高考数学一轮复习

第07讲 函数的性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考函数性质的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 函数性质知识结构图、三组易混辨析与转化思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 函数单调性的判断与证明 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 利用单调性比较大小 全国乙卷 T7（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 天津卷 T5（5 分） 奇偶性的判断与应用 天津卷 T4（5 分） 北京卷 T5（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 对称性与周期性 新课标Ⅱ卷 T8（5 分） 上海卷 T8（5 分） 新课标Ⅰ卷 T7（5 分） 抽象函数综合 上海卷 T12（5 分） 浙江卷 T9（5 分） 全国乙卷 T12（5 分） 单调性与奇偶性是函数题的通用工具，很少单独成题，但每一道函数大题都要用到。 判断单调性优先用定义或导数；抽象函数靠赋值，令 、令 是最常用的两招。 对称性与周期性是近年的热点：两个对称中心、或一轴一心，都能推出周期，结论要会推，不要只背。 抽象函数证明题要盯住“定义域内任取”，赋值后也不能默认函数连续，这两处是阅卷时最常见的扣分点。 备考建议：判断性质先看定义域，定义域不关于原点对称就直接排除奇偶性；证明单调性坚持“取值—作差—变形—定号—结论”五步；解抽象不等式时把 转化为自变量的不等式，并同时列出定义域条件，两者取交集。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一条主线、四个性质、三种转化、一个前提”。先看整体脉络： 图 1　函数性质知识结构图 学习时抓住两条主线：性质之间的转化（对称性推周期、奇偶性配单调性）与定义域优先（判断奇偶、解不等式、写单调区间都要先看定义域）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 单调区间 单调性必须相对区间而言；多个单调区间之间用“和”或逗号连接，不能写成并集 奇偶与中心对称 奇函数图象关于原点中心对称；但关于点 中心对称的函数，只有 时才是奇函数 对称与周期 两条对称轴（或两个对称中心）可推 ，一轴一中心可推 ；只有一个对称性推不出周期 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　单调性的定义与判定 一、定义 设函数 的定义域为 ，区间 ．如果 ，，当 时，都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称 在 上单调递减． 等价形式：当 时， 等价于 在 上单调递增； 等价于单调递减．这一形式把“自变量之差”与“函数值之差”的符号统一起来，判断抽象函数、分段函数时尤其好用． 二、判定方法 1．定义法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论，五步缺一不可． 2．复合函数法： 的单调性遵循“同增异减”——内外层单调性相同则复合后递增，相反则递减，但必须先保证 落在 的定义域内；3．图象法：图象从左到右上升则递增，下降则递减，分段函数要逐段判断并检查衔接点． 注意： 1．单调性必须“区间 + 方向”成对书写，如“在 上单调递增”，不能只说“是增函数”． 2．单调区间不能用并集符号连接，如 在 和 上分别递减，但不能写成在 上递减． 3．复合函数求单调区间，第一步永远是求定义域，最后要把区间与定义域取交集． 【自主检测】用定义证明 在 上单调递增． ▶ 知识点2　单调性的应用 一、比较大小 把待比较的两个量化为同一个单调区间内的两个函数值，再由单调性把“函数值的大小”翻译成“自变量的大小”．若自变量不在同一单调区间，先用奇偶性、周期性或对称性平移过去． 二、解不等式 若 在 上单调递增，则 ，但前提是 ，．所以抽象不等式的完整解法是：先列定义域，再用单调性脱去函数符号，最后取交集． 三、求最值与参数 闭区间上的单调函数，最值在端点取得；含参的恒成立问题常分离参数，转化为 的最大值或 的最小值，再用单调性求 的最值． 注意： 1．“在 上单调”与“在某个区间上单调”是两回事，由局部单调不能推出整体单调． 2．分段函数在 上单调，除每段单调外，还必须满足衔接点处的左值不大于（递增）或不小于（递减）右值． 3．脱去 时不等号方向由单调性决定：增函数不改变方向，减函数必须改变方向． 【自主检测】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减．若 ，求实数 的取值范围． ▶ 知识点3　奇偶性 一、定义与前提 若对定义域内任意 ，都有 ，则 为偶函数；若都有 ，则 为奇函数．定义域关于原点对称是前提，定义域不对称时既不是奇函数也不是偶函数． 二、图象特征 偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点中心对称．反之，若图象关于 轴对称，则函数为偶函数；若图象关于原点对称，则函数为奇函数． 三、常用结论 1．奇函数若在 处有定义，则 ；但 推不出奇函数，如 ． 2．偶函数满足 ，比较大小、解不等式时把自变量收到 上；3．在公共定义域上：奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶，偶 偶 偶，奇 偶 奇． 注意： 1． 只在“ 属于定义域”时才有意义，如 是奇函数但 不存在． 2．判断奇偶性必须先求定义域，定义域不关于原点对称就直接下结论“非奇非偶”． 3．分段函数判断奇偶性，要验证每一段上的 与 的关系，不能只验一个特殊值． 【自主检测】若 是奇函数，求实数 的值． ▶ 知识点4　对称性与周期性 一、轴对称 若对定义域内任意 ，都有 ，则 的图象关于直线 对称；更一般地， 的图象关于直线 对称． 二、中心对称 若对定义域内任意 ，都有 ，则 的图象关于点 中心对称．特别地，奇函数关于点 对称． 三、周期性的常见模型 1．；2．；3．． 4．两条对称轴 ，（）；两个对称中心；一条对称轴加一个对称中心 ． 注意： 1．对称性与周期性是两件事：对称描述图象的“镜像”，周期描述图象的“重复”，不可混用． 2．由 推周期时，要把 换成 再迭代一次，得到 ． 3．周期必须是非零常数；求大自变量的函数值，先用周期去掉整数个 ，再用奇偶性化到已知区间． 【自主检测】已知 是 上的奇函数，且 ，当 时 ，求 ． ▶ 知识点5　抽象函数与综合应用 一、赋值法 和型关系式 ，常令 求 ，令 探奇偶；积型关系式 ，常令 求 ． 二、模型识别 对应正比例函数模型； 对应指数函数模型； 对应对数函数模型．识别模型有助于预判单调性与奇偶性，但不能用具体函数代替证明． 三、解题链条 赋值求特殊值 → 判断奇偶性 → 证明单调性 → 脱去 解不等式（同时列出定义域），四步环环相扣，每一步都要写出依据． 注意： 1．赋值要写清“令 ”，不能直接写 ，否则过程分全丢． 2．由 求 时， 与 都可能出现，需用 排除零函数． 3．抽象函数不等式的最后一步必须回到定义域，尤其是分式、对数型关系式． 【自主检测】已知 对任意实数 ， 都有 ，且当 时 ，．解不等式 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“判断证明—比较与解不等式—奇偶性—周期对称—抽象函数”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 单调性的判断与证明 例1-1（2026·湖北武汉·一模）已知函数 ．（1）判断 的奇偶性；（2）用定义证明 在 上单调递减，在 上单调递增． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）函数 的单调递减区间是________． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）函数 的单调递增区间是________． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． ▶ 题型2 利用单调性比较大小与解不等式 例2-1（2024·天津卷·T5 改编）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）已知 是 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是________． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． ▶ 题型3 奇偶性的判断与应用 例3-1（2023·新课标Ⅱ卷·T4 改编）已知函数 ，则 （　　） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·一模）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【变式训练3-2】（2026·四川成都·二模）若 为偶函数，则 ________． 【变式训练3-3】（2025·广西南宁·二模）已知 （， 为常数），，则 ________． ▶ 题型4 周期性与对称性 例4-1（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2026·湖南长沙·三模）已知 满足 ，且 ，则 ________． 【变式训练4-2】（2026·辽宁大连·二模）已知 的图象关于直线 对称，又关于点 中心对称，则 的一个周期为________． 【变式训练4-3】（2025·江西南昌·一模）已知 满足 ，且 ，则 ________． ▶ 题型5 抽象函数综合 例5-1（2025·浙江杭州·二模）已知 是定义在 上的函数，对任意 ， 都有 ，且当 时 ，．（1）求 ；（2）判断并证明 在 上的单调性；（3）解不等式 ． 【变式训练5-1】（2026·山东济南·二模）已知 对任意实数 ， 满足 ，且 ，则 ________． 【变式训练5-2】（2026·陕西西安·三模）已知 是 上的函数，，当 时 ，，则不等式 的解集是________． 【变式训练5-3】（2025·重庆·二模）已知 对任意实数 ， 满足 ，当 时 ，，则 在 上的最大值与最小值之和为________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·T5 改编）下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·天津卷·T4 改编）已知 是 上的偶函数，且在 上单调递减，则（　　） A． B． C． D． 3．（2022·全国乙卷·T12 改编）已知 满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2021·全国甲卷·T12 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6 改编）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 ________． 6．（2022·全国甲卷·T13 改编）已知 满足 ，当 时 ，则 ________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P79 练习 改编）下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P85 习题 3.2 改编）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P87 习题 3.2 改编）用定义证明 在 上单调递增． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考函数性质的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 函数性质知识结构图、三组易混辨析与转化思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 函数单调性的判断与证明 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 利用单调性比较大小 全国乙卷 T7（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 天津卷 T5（5 分） 奇偶性的判断与应用 天津卷 T4（5 分） 北京卷 T5（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 对称性与周期性 新课标Ⅱ卷 T8（5 分） 上海卷 T8（5 分） 新课标Ⅰ卷 T7（5 分） 抽象函数综合 上海卷 T12（5 分） 浙江卷 T9（5 分） 全国乙卷 T12（5 分） 单调性与奇偶性是函数题的通用工具，很少单独成题，但每一道函数大题都要用到。 判断单调性优先用定义或导数；抽象函数靠赋值，令 、令 是最常用的两招。 对称性与周期性是近年的热点：两个对称中心、或一轴一心，都能推出周期，结论要会推，不要只背。 抽象函数证明题要盯住“定义域内任取”，赋值后也不能默认函数连续，这两处是阅卷时最常见的扣分点。 备考建议：判断性质先看定义域，定义域不关于原点对称就直接排除奇偶性；证明单调性坚持“取值—作差—变形—定号—结论”五步；解抽象不等式时把 转化为自变量的不等式，并同时列出定义域条件，两者取交集。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一条主线、四个性质、三种转化、一个前提”。先看整体脉络： 图 1　函数性质知识结构图 学习时抓住两条主线：性质之间的转化（对称性推周期、奇偶性配单调性）与定义域优先（判断奇偶、解不等式、写单调区间都要先看定义域）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 单调区间 单调性必须相对区间而言；多个单调区间之间用“和”或逗号连接，不能写成并集 奇偶与中心对称 奇函数图象关于原点中心对称；但关于点 中心对称的函数，只有 时才是奇函数 对称与周期 两条对称轴（或两个对称中心）可推 ，一轴一中心可推 ；只有一个对称性推不出周期 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　单调性的定义与判定 一、定义 设函数 的定义域为 ，区间 ．如果 ，，当 时，都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称 在 上单调递减． 等价形式：当 时， 等价于 在 上单调递增； 等价于单调递减．这一形式把“自变量之差”与“函数值之差”的符号统一起来，判断抽象函数、分段函数时尤其好用． 二、判定方法 1．定义法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论，五步缺一不可． 2．复合函数法： 的单调性遵循“同增异减”——内外层单调性相同则复合后递增，相反则递减，但必须先保证 落在 的定义域内；3．图象法：图象从左到右上升则递增，下降则递减，分段函数要逐段判断并检查衔接点． 注意： 1．单调性必须“区间 + 方向”成对书写，如“在 上单调递增”，不能只说“是增函数”． 2．单调区间不能用并集符号连接，如 在 和 上分别递减，但不能写成在 上递减． 3．复合函数求单调区间，第一步永远是求定义域，最后要把区间与定义域取交集． 【自主检测】用定义证明 在 上单调递增． 【答案】见详解 【分析】作差后分解为 ，再说明第二个因式恒正． 【详解】任取 ，则 　　　． 　　　因为 ，所以 ； 　　　又 ，且等号只在 时成立，与 矛盾，故该式恒正． 　　　所以 ，即 ， 在 上单调递增． ▶ 知识点2　单调性的应用 一、比较大小 把待比较的两个量化为同一个单调区间内的两个函数值，再由单调性把“函数值的大小”翻译成“自变量的大小”．若自变量不在同一单调区间，先用奇偶性、周期性或对称性平移过去． 二、解不等式 若 在 上单调递增，则 ，但前提是 ，．所以抽象不等式的完整解法是：先列定义域，再用单调性脱去函数符号，最后取交集． 三、求最值与参数 闭区间上的单调函数，最值在端点取得；含参的恒成立问题常分离参数，转化为 的最大值或 的最小值，再用单调性求 的最值． 注意： 1．“在 上单调”与“在某个区间上单调”是两回事，由局部单调不能推出整体单调． 2．分段函数在 上单调，除每段单调外，还必须满足衔接点处的左值不大于（递增）或不小于（递减）右值． 3．脱去 时不等号方向由单调性决定：增函数不改变方向，减函数必须改变方向． 【自主检测】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减．若 ，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】先用奇性把不等式化为 ，再由递减“脱去 ”，最后与定义域取交集． 【详解】由 为奇函数得 ， 　　　原不等式化为 ． 　　　因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，解得 ． 　　　又需 ，得 ；且 ，得 且 ． 　　　三者取交集得 ，故 的取值范围是 ． ▶ 知识点3　奇偶性 一、定义与前提 若对定义域内任意 ，都有 ，则 为偶函数；若都有 ，则 为奇函数．定义域关于原点对称是前提，定义域不对称时既不是奇函数也不是偶函数． 二、图象特征 偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点中心对称．反之，若图象关于 轴对称，则函数为偶函数；若图象关于原点对称，则函数为奇函数． 三、常用结论 1．奇函数若在 处有定义，则 ；但 推不出奇函数，如 ． 2．偶函数满足 ，比较大小、解不等式时把自变量收到 上；3．在公共定义域上：奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶，偶 偶 偶，奇 偶 奇． 注意： 1． 只在“ 属于定义域”时才有意义，如 是奇函数但 不存在． 2．判断奇偶性必须先求定义域，定义域不关于原点对称就直接下结论“非奇非偶”． 3．分段函数判断奇偶性，要验证每一段上的 与 的关系，不能只验一个特殊值． 【自主检测】若 是奇函数，求实数 的值． 【答案】 【分析】由 恒成立，通分后比较分子系数． 【详解】定义域为 ，关于原点对称． 　　　，． 　　　由 得 对任意 成立， 　　　即 恒成立，故 ． ▶ 知识点4　对称性与周期性 一、轴对称 若对定义域内任意 ，都有 ，则 的图象关于直线 对称；更一般地， 的图象关于直线 对称． 二、中心对称 若对定义域内任意 ，都有 ，则 的图象关于点 中心对称．特别地，奇函数关于点 对称． 三、周期性的常见模型 1．；2．；3．． 4．两条对称轴 ，（）；两个对称中心；一条对称轴加一个对称中心 ． 注意： 1．对称性与周期性是两件事：对称描述图象的“镜像”，周期描述图象的“重复”，不可混用． 2．由 推周期时，要把 换成 再迭代一次，得到 ． 3．周期必须是非零常数；求大自变量的函数值，先用周期去掉整数个 ，再用奇偶性化到已知区间． 【自主检测】已知 是 上的奇函数，且 ，当 时 ，求 ． 【答案】 【分析】先由 推出周期 ，再用奇性把 化为 ． 【详解】由 得 ，故 的周期 ． 　　　所以 ． 　　　又 为奇函数，故 ． ▶ 知识点5　抽象函数与综合应用 一、赋值法 和型关系式 ，常令 求 ，令 探奇偶；积型关系式 ，常令 求 ． 二、模型识别 对应正比例函数模型； 对应指数函数模型； 对应对数函数模型．识别模型有助于预判单调性与奇偶性，但不能用具体函数代替证明． 三、解题链条 赋值求特殊值 → 判断奇偶性 → 证明单调性 → 脱去 解不等式（同时列出定义域），四步环环相扣，每一步都要写出依据． 注意： 1．赋值要写清“令 ”，不能直接写 ，否则过程分全丢． 2．由 求 时， 与 都可能出现，需用 排除零函数． 3．抽象函数不等式的最后一步必须回到定义域，尤其是分式、对数型关系式． 【自主检测】已知 对任意实数 ， 都有 ，且当 时 ，．解不等式 ． 【答案】 【分析】先由赋值得 、，再证单调性，最后脱去 ． 【详解】令 得 ；令 得 ，故 为奇函数． 　　　令 得 ，所以 ，． 　　　任取 ，则 ，故 在 上单调递增． 　　　原不等式化为 ，由单调性得 ，即 ， 　　　故解集为 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“判断证明—比较与解不等式—奇偶性—周期对称—抽象函数”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 单调性的判断与证明 例1-1（2026·湖北武汉·一模）已知函数 ．（1）判断 的奇偶性；（2）用定义证明 在 上单调递减，在 上单调递增． 【答案】（1）奇函数；（2）见详解 【分析】定义域为 ，关于原点对称；作差后提取 ，再判断 的符号． 【详解】（1）定义域 关于原点对称，且 ，故 为奇函数． 　　　（2）任取 ，则 　　　． 　　　因为 ，，所以 ，， 　　　故 ，即 ，所以 在 上单调递减． 　　　任取 ，同理 ，， 　　　故 ，即 在 上单调递增． 【方法技巧】 1．证明单调性必须“取值—作差—变形—定号—结论”五步齐全，取值时要写“任取 ”． 2．作差后向“积”变形，把 提出来，剩下的因式整体定号，不要拆开讨论． 3．含分式的函数，通分后分母恒正，只需判断分子的符号． 【易错分析】 1．取值时不限定大小关系，导致作差后符号无法判断． 2．忘记说明 的符号，定号不完整． 3．把“在 上递减”写成“在 上递减”，端点取舍不清． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）函数 的单调递减区间是________． 【答案】 【分析】去绝对值化为分段函数，再逐段判断． 【详解】当 时，，单调递增；当 时，，单调递减． 　　　所以单调递减区间为 ． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）函数 的单调递增区间是________． 【答案】 和 【分析】先去绝对值化为分段函数，再结合偶函数的对称性． 【详解】当 时，，在 上单调递增； 　　　当 时，，在 上单调递增． 　　　所以单调递增区间为 和 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求定义域，再用“同增异减”判断． 【详解】由 得 或 ． 　　　内层 在 上递减，在 上递增； 　　　外层 递减，由“同增异减”知 在 上递增．故选 A． ▶ 题型2 利用单调性比较大小与解不等式 例2-1（2024·天津卷·T5 改编）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】偶函数在 上递增，则在 上递减；把 化为 ． 【详解】因为 为偶函数且在 上单调递增，所以 在 上单调递减，且 ． 　　　当 时， 得 ；再由偶性知 等价于 ． 　　　所以 ，解得 或 ．故选 B． 【方法技巧】 1．偶函数比较大小、解不等式，先化为 ，把自变量收到 上再比较． 2．“在 上递增”要翻译成“在 上递减”，方向不能照抄． 3．解完回到端点验证：本题 时 ，端点取不到，故为开区间． 【易错分析】 1．把“在 上递增”直接当成“在 上递增”，方向判断错误． 2．解 时写成 ，把“大于”当成“小于”． 3．只用 ，忽略偶函数给出的 ，导致漏解． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先与 、 比较分出大小层，再用指数函数的单调性比较 、． 【详解】；，． 　　　由 在 上递增得 ； 　　　由 递减得 ，故 ． 　　　所以 ，选 B． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）已知 是 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】偶函数在 上递增，故 等价于 ． 【详解】由题意， 等价于 ． 　　　所以 ，即 ， 　　　解得 ． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按 、、 三种情况讨论，负半轴用奇性转化． 【详解】当 时，，由递增得 ； 　　　当 时，，即 ，由递增得 ，即 ； 　　　当 时 ，不满足 ． 　　　所以解集为 ，选 B． ▶ 题型3 奇偶性的判断与应用 例3-1（2023·新课标Ⅱ卷·T4 改编）已知函数 ，则 （　　） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】定义域关于原点对称；把 化为 ，通分后相加看是否为 ． 【详解】定义域为 ，关于原点对称． 　　　． 　　　所以 ，即 ， 　　　故 为奇函数，选 A． 【方法技巧】 1．判断奇偶性三步：求定义域 → 验证定义域关于原点对称 → 计算 并与 比较． 2．分式型函数常用“通分后相加看是否为 ”，比直接比较 与 更省力． 3．指数型函数先把 化为 ，再分子分母同乘 化简． 【易错分析】 1．不验证定义域就代入 ，把定义域不对称的函数误判为奇函数． 2．化简 时符号出错，尤其是 的变形． 3．误认为“ 就是奇函数”，忽略反例 ． 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·一模）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】利用 与 互为倒数，相加后取对数得 ． 【详解】定义域为 ，关于原点对称，且 ． 　　　， 　　　故 ， 为奇函数，选 A． 【变式训练3-2】（2026·四川成都·二模）若 为偶函数，则 ________． 【答案】 【分析】展开后令一次项系数为 ． 【详解】． 　　　因为 为偶函数，所以一次项系数 ，即 ． 【变式训练3-3】（2025·广西南宁·二模）已知 （， 为常数），，则 ________． 【答案】 【分析】把常数项剥离，剩下的 是奇函数． 【详解】令 ，则 为奇函数，且 ． 　　　由 得 ，所以 ， 　　　故 ． ▶ 题型4 周期性与对称性 例4-1（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 迭代一次得周期 ，再用 化到已知区间． 【详解】由 得 ，故 的周期 ． 　　　因为 ，所以 ．故选 C． 【方法技巧】 1．由 推周期：把 换成 得 ，故 ． 2．求大自变量的函数值，先用周期去掉整数个 ，余数化到已知区间． 3．若余数落在负半轴，再用奇偶性把自变量转正． 【易错分析】 1．把 的周期误判为 ，导致余数用错． 2． 除以 的余数算错（应为 ）． 3．忽略奇函数在 处有定义时 ，给出的解析式与奇性矛盾却不检验． 【变式训练4-1】（2026·湖南长沙·三模）已知 满足 ，且 ，则 ________． 【答案】 【分析】周期 ，再用 ． 【详解】由 得 ，故 ． 　　　因为 ，所以 ． 【变式训练4-2】（2026·辽宁大连·二模）已知 的图象关于直线 对称，又关于点 中心对称，则 的一个周期为________． 【答案】 【分析】把两种对称分别写成等式，消去 得 ． 【详解】由关于直线 对称得 ； 　　　由关于点 对称得 ，即 ． 　　　在第二式中把 换成 ，得 ， 　　　所以 ，即一个周期为 ． 【变式训练4-3】（2025·江西南昌·一模）已知 满足 ，且 ，则 ________． 【答案】 【分析】迭代一次得 ，周期为 ． 【详解】由 得 ，故 ． 　　　因为 为偶数，所以 ． ▶ 题型5 抽象函数综合 例5-1（2025·浙江杭州·二模）已知 是定义在 上的函数，对任意 ， 都有 ，且当 时 ，．（1）求 ；（2）判断并证明 在 上的单调性；（3）解不等式 ． 【答案】（1）；（2）单调递增，证明见详解；（3） 【分析】赋值求 ；用“作商”把 写成 ，再由 定号． 【详解】（1）令 ，得 ，所以 ． 　　　（2）任取 ，则 ，故 ． 　　　由 ， 　　　得 ，所以 在 上单调递增． 　　　（3）由 ，原不等式化为 ． 　　　由单调性得 ，即 ，解得 ． 　　　又 且 ，即 ，故解集为 ． 【方法技巧】 1．抽象函数先赋值求特殊值：和型关系式令 ，积型关系式令 ． 2．证单调性用“作商”：把 写成 ，用已知区间上的符号定号． 3．脱去 后不要忘记定义域，本题必须同时满足 与 ． 【易错分析】 1．求 时令 ，赋值对象错误， 根本不在定义域内． 2．只写“ 递增”而不证明，或证明中默认 具有可加性． 3．解出 就作答，漏掉 的限制． 【变式训练5-1】（2026·山东济南·二模）已知 对任意实数 ， 满足 ，且 ，则 ________． 【答案】 【分析】先由赋值确定 ，再用 求 ． 【详解】令 得 ，若 ，则 ，与 矛盾，故 ． 　　　． 　　　又 ，所以 ， 　　　故 ． 【变式训练5-2】（2026·陕西西安·三模）已知 是 上的函数，，当 时 ，，则不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】先证 为奇函数且单调递减，再化为 ． 【详解】令 得 ；令 得 ，故 为奇函数． 　　　任取 ，则 ，故 在 上单调递减． 　　　，原不等式化为 ， 　　　由递减得 ，即 ，故解集为 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·二模）已知 对任意实数 ， 满足 ，当 时 ，，则 在 上的最大值与最小值之和为________． 【答案】 【分析】先判断奇偶性与单调性，再求端点值． 【详解】令 得 ，又 ，故 为奇函数． 　　　同 5-2 可证 在 上单调递减，故在 上递减． 　　　最大值为 ，最小值为 ， 　　　所以最大值与最小值之和为 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·T5 改编）下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系，最后看单调性． 【详解】A 中 为偶函数，排除； 　　　B 中 ，为奇函数，且 与 在 上均递增，故 递增，符合； 　　　C 中 为奇函数，但在 上递减，排除； 　　　D 中 的定义域为 ，不关于原点对称，非奇非偶，排除．故选 B． 2．（2023·天津卷·T4 改编）已知 是 上的偶函数，且在 上单调递减，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】偶函数把 化为 ，再在 上比较 、、． 【详解】由偶性得 ． 　　　因为 在 上单调递减，且 ， 　　　所以 ，即 ．故选 D． 3．（2022·全国乙卷·T12 改编）已知 满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】周期 ，，再用 ． 【详解】由 得 ，故 ． 　　　因为 ，所以 ．故选 B． 4．（2021·全国甲卷·T12 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一条对称轴加一个对称中心推出周期 ，再用 ． 【详解】由 知图象关于直线 对称；又 为奇函数，图象关于点 对称， 　　　故 的周期 ． 　　　因为 ，所以 ．故选 D． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6 改编）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 ________． 【答案】 【分析】先求 ，再用奇性取相反数． 【详解】， 　　　由奇性得 ． 6．（2022·全国甲卷·T13 改编）已知 满足 ，当 时 ，则 ________． 【答案】 【分析】由 得周期 ． 【详解】由 得 ，故 ． 　　　因为 为奇数，所以 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P79 练习 改编）下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个判断基本初等函数在 上的单调性． 【详解】A 中 在 上递增；B 中 在 上递减； 　　　C 中 在 上递增；D 中 在 上递增．故选 B． 2．（人教A版必修第一册 P85 习题 3.2 改编）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 ，再由奇性取相反数． 【详解】，由奇性得 ．故选 A． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P87 习题 3.2 改编）用定义证明 在 上单调递增． 【答案】见详解 【分析】作差后分子有理化，把差化成 ． 【详解】任取 ，则 　　　． 　　　因为 ，且 ， 　　　所以 ，即 ， 　　　故 在 上单调递增． / 学科网（北京）股份有限公司 $