第12讲 函数性质的综合应用 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第12讲 函数性质的综合应用 第12讲 函数性质的综合应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握由 、 判定对称轴与对称中心的方法； 2．理解周期性的判定，能由 或两条对称轴（两个对称中心）求周期； 3．会用零点存在定理判定零点所在区间，会用图象交点法数零点个数； 4．能分离参数处理"零点个数与参数范围"问题，体会数形结合与转化化归的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 由对称性求函数值 选择题、填空题 第 5~8 题 中档 看自变量之和：关于某数对称则函数值相等 由周期性求函数值 选择题、填空题 第 6~8 题、第 13 题 中档 加减若干个周期，落到已知区间再代入 对称性与周期性的综合判定 选择题、多选题 第 8 题、第 11 题 中偏难 两轴（两心）、一轴一心 零点所在区间的判定 选择题、填空题 第 7~8 题、第 14 题 中档 算端点函数值，异号即存在零点 零点个数与参数范围 选择题、填空题、解答题 第 8 题、第 14 题、第 20~24 题 中偏难 化为图象交点，或分离参数后看水平线 命题规律分析 函数的对称性、周期性与零点是高一函数部分的"综合枢纽"，也是新高考的热门交汇点。对称与周期常以选择第 8 题、多选第 11 题的形式出现，考查"由性质式子推周期、求函数值"；零点问题则偏爱第 14 题与解答题的中后段，考查"零点所在区间""零点个数"与"含参零点范围"。这些题的共同特点是：结论记得住、套路跑得熟就能拿分——对称看自变量之和，周期看两条对称要素的距离，零点则"存在用定理、个数用图象、参数用分离"。本讲把这三条主线讲透，并配足 24 道分层训练，帮你在第 8／11／14 题的档位上稳稳拿分。 考点1 函数的对称性与周期性 知识点1 对称性的判定与转化 若 （即 ），则 的图象关于直线 对称；若 ，则对称轴为 。 若 （即 ），则 的图象关于点 对称。 【易错清单】 1． 的对称轴是 （两自变量之和为 ），不是 ； 2．"关于直线对称"的式子是 ，"关于点对称"的式子是 ，两者别记混； 3．由 求对称轴，要取两自变量之和的一半 。 知识点2 周期性的判定与求值 若 （），则 是 的周期；若 ，则 ，周期为 。 图象关于两条直线 、（）都对称，或关于两个点 、 都对称，则周期为 ；关于直线 与点 都对称，则周期为 。 【易错清单】 1． 的周期是 而不是 ； 2．"一轴一心"对应周期 ，"两轴"或"两心"对应周期 （ 为两者距离），不要一律记成 ； 3．已知区间上的表达式与周期配合时，先把自变量加减若干个周期落到已知区间再代入。 考点2 函数的零点 知识点3 零点存在定理与零点所在区间 零点存在定理：若 在 上的图象连续不断，且 ，则存在 使 。 判定零点所在区间只需算区间端点的函数值符号：两端异号（且函数连续）则区间内必有零点。 【易错清单】 1．存在定理只能判定"有零点"，不能判定"零点唯一"；要判个数还需补上单调性； 2．定理要求函数在区间上连续，分段函数在间断点附近不能乱用； 3．端点函数值恰好为 时，零点是端点而不是区间内部的点。 知识点4 零点个数与参数范围 零点个数问题常用"图象交点法"：把 变形为 ，两图象的交点个数就是方程根的个数。 含参的零点问题优先"分离参数"：把方程整理成 ，再研究直线 与曲线 的交点个数。 【易错清单】 1．画图时要画出最值、单调性与渐近线等关键特征，只凭想象的草图容易数错交点； 2．分离参数后要判断直线 能否取到曲线的最值，临界位置常对应"两个零点"与"一个零点"的分界； 3．"有两个零点"对应 （二次函数），"有零点"才对应 ，两者不要混。 【题型1 利用对称性求值】 【例1】已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把自变量换成关于 对称的那个数，落到已知区间再代入。 【解答过程】由 知 。因为 ，代入已知表达式得 。所以 。故选A。 【多解·巧解】对称式 的含义是"两自变量之和为 时函数值相等"（即对称轴为 ）：只要把 换成 就落到了已知区间，比先求对称轴再平移更直接；也可从" 与 关于 对称"出发，直接写 。 【易错提醒】误把对称轴当成 ，写成 （ 仍落在未知区间，无从下手）；正确理解是"两自变量之和为 "，不是"自变量等于 "。 【变式1-1】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】关于 轴对称时自变量互为相反数函数值相等。 【解答过程】由 得 。 【变式1-2】已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】关于 对称时， 与 的函数值相等。 【解答过程】因为图象关于直线 对称，而 与 关于 对称，所以 。 【变式1-3】已知函数 满足 ，则 的图象关于直线（　　）对称。 A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 求对称轴，取两自变量之和的一半。 【解答过程】对称轴为 。故选B。 【题型2 利用周期性求值】 【例2】已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把自变量减去若干个周期，落到已知区间再代入。 【解答过程】由 知周期为 ，所以 。故选A。 【多解·巧解】周期性求值的核心是"把自变量搬回已知区间"：，减几个周期直到自变量落进 即可。若题目给的是 ，先用两次负号得到周期 再搬，本质不变。 【易错提醒】把周期当成" 的周期 "；周期定义是 ，本题直接给出了周期 ， 才是正确落点。 【变式2-1】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】 减去若干个周期 ，落到 。 【解答过程】由周期为 得 。 【变式2-2】已知函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用两次负号得到周期。 【解答过程】由 得 ，所以 是 的一个周期。故选B。 【变式2-3】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用两次关系式绕回 。 【解答过程】，。 【题型3 对称性与周期性的综合判定】 【例3】已知定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，也关于直线 对称，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】两条对称轴之间的距离为 ，则周期为 。 【解答过程】两条对称轴的距离 。由对称性： 且 ，于是 ，所以 是 的一个周期。故选B。 【多解·巧解】记结论："两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离 对应周期 "，本题 ，故周期为 ；也可按解答中的方式用定义推导，把两个对称式"接力"使用一次即可得到 。 【易错提醒】把周期记成 ——两条对称轴只能推出周期 而不是 ；这是把"轴间距"与"周期"混为一谈的典型错误。 【变式3-1】已知函数 的图象关于点 与点 都对称，则 的一个周期是____________。 【答案】 【解题思路】两个对称中心之间距离为 ，则周期为 。 【解答过程】两个对称中心的距离 ，故周期为 。 【变式3-2】已知函数 的图象关于直线 对称，又关于点 对称，则 的一个周期是____________。 【答案】 【解题思路】一轴一心之间的距离为 ，则周期为 。 【解答过程】轴与心的距离 ，故周期为 。 【变式3-3】已知函数 满足 ，则 的图象关于（　　）对称。 A．直线 　B．点 　C．直线 　D．点 【答案】A 【解题思路】 就是关于 的轴对称式。 【解答过程】 表明自变量关于 对称时函数值相等，故图象关于直线 对称。故选A。 【题型4 零点所在区间的判定】 【例4】函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】算区间端点的函数值，异号则区间内有零点。 【解答过程】 在 上连续。，，因为 ，所以 。由 知零点在 内。故选A。 【多解·巧解】判定零点所在区间的标准动作是"端点异号"：逐个计算区间两端函数值的符号，一正一负（且函数连续）则区间内必有零点，不必求出具体零点；本题只需算 与 ，抓住 就能定出符号。 【易错提醒】算错 的符号：因为 ，故 ；若误判为负，会把零点区间选到右边去。 【变式4-1】函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】算端点函数值的符号。 【解答过程】，，由 知零点在 内。故选B。 【变式4-2】函数 的零点所在的区间是____________。 【答案】 【解题思路】算端点函数值的符号。 【解答过程】，，因为 ，所以 。故零点在 内。 【变式4-3】函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】算端点函数值的符号。 【解答过程】，，由 知零点在 内。故选A。 【题型5 零点个数问题】 【例5】函数 的零点个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】构造函数后看单调性与端点符号，判断交点个数。 【解答过程】令 （定义域为 ）。 与 在 上都单调递增，所以 在 上单调递增，零点至多一个。又 ，，故在 内恰有一个零点，所以零点个数为 。故选B。 【多解·巧解】零点个数 = 两函数图象交点个数：把 看成 与 的交点，前者递增、后者递减且恒正，交点至多一个；更"能打"的写法是构造函数 ，用"单调 端点异号"三段论，既给出存在性又给出唯一性。 【易错提醒】随口断言"增函数与减函数一定只有一个交点"是有前提的（要在同一区间上单调性相反且都有定义）；要严密判定个数，最好用"构造函数 单调性 端点异号"说清楚。 【变式5-1】函数 的零点个数为____________。 【答案】 【解题思路】因式分解求方程的根。 【解答过程】由 得 或 ，故零点个数为 。 【变式5-2】方程 的实数根的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】构造 ，用端点符号与"先减后增"判断个数。 【解答过程】令 。，故 是一个根；，，故在 内还有一个根。又 只有一个零点， 先减后增、只有一个极小值点，因此两个根之外不会再有根，实数根的个数为 。故选C。 【变式5-3】函数 的零点个数为____________。 【答案】 【解题思路】解 。 【解答过程】由 得 或 ，即 或 ，故零点个数为 。 【题型6 零点与参数范围】 【例6】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数，"两个零点"即直线 与 有两个交点。 【解答过程】令 。函数 在 处取得最小值 ，且当 或 时图象向两侧升高。直线 要与它有两个交点，必须 （ 时只有一个交点 ）。故选A。 【多解·巧解】分离参数——把 看成"水平直线 与函数 的图象交点个数"：曲线在 处取最小值 ，只要 ，直线就落在图象"凹口"之上、左右各有一个交点；这种"水平线扫过图象"的视角能把含参零点问题一眼看穿。 【易错提醒】忘记 时图象与水平线只在 处有一个交点，把答案错写成 ；"两个零点"必须是两个不同的根，临界位置要单独检验。 【变式6-1】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】二次函数有两个零点即判别式大于零。 【解答过程】由 得 。 【变式6-2】若关于 的方程 有实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】方程有根即 落在函数的值域内。 【解答过程】因为 的值域为 ，所以方程有实数根等价于 。故选A。 【变式6-3】若方程 在区间 内有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】两根都在开区间内，需判别式大于零、两端点函数值为正、对称轴落在区间内。 【解答过程】设 ，其对称轴为 。要两根都在 内且不相等，需：，得 ；；，得 。取交集得 。 一、单选题 1．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】 与 关于 对称，函数值相等。 【解答过程】由 得 。故选B。 2．（★★）已知函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接由周期定义读取。 【解答过程】由 知 是 的一个周期。故选B。 3．（★★）已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 与 关于 对称。 【解答过程】因为图象关于 对称，而 与 关于 对称，所以 。故选C。 4．（★★）函数 的零点个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】判别式大于零即有两个零点。 【解答过程】，故函数有两个零点。故选C。 5．（★★）函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】算端点函数值的符号。 【解答过程】，，由 知零点在 内。故选B。 6．（★★★）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用 求 ，再用奇偶性把 转成 ； 则由周期直接落到已知点。 【解答过程】由 得 ，故 是周期。先算 ，再由奇函数得 ；又 。所以 。故选A。 7．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且其图象关于直线 对称。若当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用周期把 降到 ， 已超出已知区间，再用对称轴 把 折回 。 【解答过程】由周期 得 ；因图象关于直线 对称， 与 关于 对称，故 。而 ，所以 ，即 。故选A。 8．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递增。若 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】奇函数在对称区间上单调性相同，先在 上定位，再用奇偶性把 的情形"翻"过来。 【解答过程】因 为奇函数，；在 上递增且 ，故 时 、 时 。当 时，， 等价于 ，即 ，解得 。所以解集为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于函数图象对称性的说法中，正确的是（　　） A．若 ，则 的图象关于直线 对称　B．若 ，则 的图象关于点 对称　C．若 为偶函数，则其图象关于 轴对称　D．若 ，则 的图象关于直线 对称 【答案】ABC 【解题思路】把每个条件翻译成对称轴或对称中心。 【解答过程】A 中自变量关于 对称时函数值相等，对称轴为 ，正确；B 中 表示关于点 对称，正确；C 中偶函数的图象关于 轴对称，正确；D 中 说明 是周期，与轴对称无关，错误。故选ABC。 10．（★★）下列关于函数周期性的说法中，正确的是（　　） A．若 ，则 是 的周期　B．若 ，则 是 的周期　C．若 的图象关于直线 与 对称，则 是它的周期　D．若 ，则 是 的周期 【答案】ACD 【解题思路】对照周期定义与"两轴出周期"的结论逐项判断。 【解答过程】A 中由周期定义知 是周期，正确；B 中 推出 ，周期是 而不是 ，错误；C 中两轴距离 、周期为 ，正确；D 中令 ，则 ，故 是周期，正确。故选ACD。 11．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．若 又是奇函数，则 是 的一个周期　C．若 又是奇函数，则 　D．若 又是奇函数，则 是 的一个周期 【答案】ABC 【解题思路】 表示图象关于直线 对称；再加上奇函数，可推出 进而得到周期 。 【解答过程】条件 说明图象关于直线 对称。A 中 与 关于 对称，故 ，正确；B 中当 为奇函数时，，于是 ，故 是周期，正确；C 中奇函数在 处有定义，故 ，正确；D 中由 知 是"反周期"，会改变函数值的符号， 不是周期，错误。故选ABC。 12．（★★★）已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 或 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】偶函数把任意自变量"折"回 ：，于是函数值的大小比较就变成 的大小比较。 【解答过程】因 为偶函数，，而 ，在 上 递增，故函数值的大小与 的大小同向。A 中 即 ，由单调性得 ，所以 或 ，正确；B 中 即 ，由递增得 ，即 ，正确；C 中 即 ，得 ，即 ，正确；D 中偶函数的图象关于 轴对称，在 上递增，则在 上递减，错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】 与 关于 对称。 【解答过程】由 得 。 14．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】 减去若干个周期 ，落到 。 【解答过程】由周期为 得 。 15．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由 得周期 ，再把 搬到 并注意符号的变化。 【解答过程】由 得 ，故 是周期。于是 ；而 ，又 ，故 ，所以 ，即 。 16．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且满足 。若当 时 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先用周期 把 搬到 附近，再用奇函数处理落在负半轴的自变量。 【解答过程】由周期 得 ，继续减周期得 。由奇函数 ，而 ，故 ，所以 。 四、解答题 17．（★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】把自变量换成关于 对称的数，落到已知区间再代入。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 【多解·巧解】对称式 的用法是"把偏大的自变量换成 落到已知区间"：求 时换成 ，注意 而不是 ；这类题只要保证换出来的自变量落在 的范围内就可以直接代入。 【易错提醒】把 换成 后代入 时要注意符号：，别写成 。 18．（★★）已知函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用周期把自变量搬回 再代入。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 【多解·巧解】周期性求值就是把自变量"加减周期"落到已知区间：对负自变量加一个周期即可，，不必另行推导 时的表达式。 【易错提醒】 落在已知区间 之外，直接代入会出错；正确做法是加周期 得 ，此时 才能代入。 19．（★★）已知函数 。 (1) 判断 在区间 内是否存在零点，并说明理由； (2) 判断 的零点个数，并说明理由。 【答案】(1) 存在； (2) 恰有 个。 【解题思路】(1) 用零点存在定理；(2) 补上单调性说明"至多一个"。 【解答过程】(1) 在 上连续，，，由 知存在 使 ，即区间内存在零点。 (2) 与 在 上都单调递增，所以 在 上单调递增，零点至多一个；结合 (1) 的存在性， 的零点个数为 。 【多解·巧解】零点存在定理只保证"存在"，要判"个数"必须补单调性： 由两个增函数相加，故在 上递增，零点至多一个；与 (1) 的存在性合起来就是"恰有一个"。 【易错提醒】只用存在定理就说"只有一个零点"是不严谨的；缺了单调性，无法排除区间内还有第二个零点。 20．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 与 ； (2) 求 在 上的值域。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】用周期 把自变量搬回 求值；第 (2) 问把 按周期拆成两段分别求值域再合并。 【解答过程】由周期为 ，任意 都有 。 (1) ；，而 ，故 。 (2) 当 时 ，故 ，其值域为 （当 取到 、 取到 ）；当 时 ，故 ，值域也为 。合并两段得 在 上的值域为 。 【多解·巧解】周期性求值的关键是"加减若干个周期把自变量落到已知区间"： 减一个周期得 直接代入；求值域时把区间 按周期切成 与 两段，每段平移回已知区间后合并，是周期函数求值域的标准做法。 【易错提醒】把 直接代入 会出错—— 不在已知区间内，必须先加两个周期落到 或 再算；求值域时别只算一段 就下结论， 同样落在一个完整周期里。 21．（★★★）已知函数 的图象关于直线 对称，且关于点 对称，当 时 。 (1) 求 的一个周期； (2) 求 与 ； (3) 求 。 【答案】(1) 周期为 ； (2) ，； (3) 。 【解题思路】(1) "一轴一心"对应周期 ；(2) 用对称中心求落在右侧的点、用周期求落在同余类的点；(3) 把 化到已知区间。 【解答过程】(1) 对称轴 与对称中心 的距离 ，由"一轴一心"的结论，周期为 。（验证：由对称得 与 ，两式接力，，而 ，故 。） (2) 由对称中心 得 ，而 ，故 ；由周期 得 。(3) 由 ，故 。 【多解·巧解】"一轴一心"的周期是 （ 为轴与心的距离），本题 ，故周期为 ；(2) 求 用对称中心 一步到位，(3) 求大自变量的值就是"用周期取余"， 除以 余 即得。 【易错提醒】把"一轴一心"的周期写成 ；正确结论是轴心距离为 时周期为 ，两轴或两心之间的距离为 时才是 ；另外用对称中心时别忘了多出来的负号。 22．（★★★）已知函数 。 (1) 若 有零点，求实数 的取值范围； (2) 若 有两个不相等的零点，且都大于 ，求实数 的取值范围； (3) 若 的最小值为 ，求实数 的值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 。 【解题思路】(1) 有零点即判别式不小于零；(2) "两根都大于 "要从判别式、对称轴、端点值三方面同时约束；(3) 用顶点处的函数值列方程。 【解答过程】(1) 有零点即 ，整理得 ，即 ，解得 或 。(2) 设两根为 ，，都在大于 的范围，需同时满足：判别式 ，即 或 ；对称轴 ；端点值 ，即 。三式取交得 。(3) 因为 ，最小值是 。由 得 ，解得 。 【多解·巧解】(2) "两根都大于 "的三件套：判别式大于零保证两实根，对称轴大于 保证两根中点偏右，端点值 保证两根都在 的右侧——三者缺一不可；(3) 含参二次函数最小值在顶点取到，写出顶点纵坐标即可列方程。 【易错提醒】(2) 只写"判别式大于零"就认为两根都大于 ，会漏掉对称轴与端点值的约束，把答案错扩成 ；(3) 由 解出两个根都要保留，别只写一个。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 当 时，求 的零点； (2) 若 恰有 个零点，求 的值； (3) 若 有 个零点，求 的取值范围。 【答案】(1) 与 ； (2) ； (3) 。 【解题思路】把零点问题转化为"水平线 与曲线 的交点个数"，借助图象确定参数。 【解答过程】(1) 由 得 或 。前者化为 ，解得 或 ；后者 ，无解。故零点为 与 。(2)(3) 设 ，其图象由抛物线 在 轴下方的一段翻折上来而得： 在 与 处为零，在 处取局部最大值 ，且当 趋向正负无穷时 无限增大。于是水平线 与 的交点个数为： 时 个， 时 个， 时 个， 时 个， 时 个。所以恰有 个零点时 ；有 个零点时 。 【多解·巧解】含绝对值的二次函数零点问题，画图最快： 的图象呈""形，最低处的零点是 与 ，中间的"峰"高为 ；水平线 上下平移时交点个数随之变化，峰高 是关键临界值。 【易错提醒】(2) 与 (3) 的临界值都是 ，要分清： 时是 个零点（相切于峰顶）， 才是 个；另外 时只有 个零点（ 与 ），不要算成 个。 24．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 与 ； (2) 求 在 上的值域； (3) 若对任意 都有 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) 。 【解题思路】由 得周期 ；(2) 把 分成已知段 与其翻折段 分别求值域；(3) 周期函数在 上的最大值等于一个周期内的最大值。 【解答过程】由 得 ，故 是周期。 (1) ；，而 ，故 。 (2) 当 时，，值域为 ；当 时，，，而 ，故 。合并两段得 在 上的值域为 。(3) 由周期 ， 在 上的最大值等于它在 上的最大值，由 (2) 知该最大值为 。要使 对一切 恒成立，只需 。 【多解·巧解】 是"反周期"，两次叠加才得到周期 ；求 上的值域用 把自变量平移回已知段，再取相反数；（3）恒成立问题的最大值取自一个周期即可。 【易错提醒】把周期误当成 ，会导致 、 全部算错；(3) 中" 恒成立"求的是 不小于函数的最大值，即 ，别写成 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第12讲 函数性质的综合应用 第12讲 函数性质的综合应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握由 、 判定对称轴与对称中心的方法； 2．理解周期性的判定，能由 或两条对称轴（两个对称中心）求周期； 3．会用零点存在定理判定零点所在区间，会用图象交点法数零点个数； 4．能分离参数处理"零点个数与参数范围"问题，体会数形结合与转化化归的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 由对称性求函数值 选择题、填空题 第 5~8 题 中档 看自变量之和：关于某数对称则函数值相等 由周期性求函数值 选择题、填空题 第 6~8 题、第 13 题 中档 加减若干个周期，落到已知区间再代入 对称性与周期性的综合判定 选择题、多选题 第 8 题、第 11 题 中偏难 两轴（两心）、一轴一心 零点所在区间的判定 选择题、填空题 第 7~8 题、第 14 题 中档 算端点函数值，异号即存在零点 零点个数与参数范围 选择题、填空题、解答题 第 8 题、第 14 题、第 20~24 题 中偏难 化为图象交点，或分离参数后看水平线 命题规律分析 函数的对称性、周期性与零点是高一函数部分的"综合枢纽"，也是新高考的热门交汇点。对称与周期常以选择第 8 题、多选第 11 题的形式出现，考查"由性质式子推周期、求函数值"；零点问题则偏爱第 14 题与解答题的中后段，考查"零点所在区间""零点个数"与"含参零点范围"。这些题的共同特点是：结论记得住、套路跑得熟就能拿分——对称看自变量之和，周期看两条对称要素的距离，零点则"存在用定理、个数用图象、参数用分离"。本讲把这三条主线讲透，并配足 24 道分层训练，帮你在第 8／11／14 题的档位上稳稳拿分。 考点1 函数的对称性与周期性 知识点1 对称性的判定与转化 若 （即 ），则 的图象关于直线 对称；若 ，则对称轴为 。 若 （即 ），则 的图象关于点 对称。 【易错清单】 1． 的对称轴是 （两自变量之和为 ），不是 ； 2．"关于直线对称"的式子是 ，"关于点对称"的式子是 ，两者别记混； 3．由 求对称轴，要取两自变量之和的一半 。 知识点2 周期性的判定与求值 若 （），则 是 的周期；若 ，则 ，周期为 。 图象关于两条直线 、（）都对称，或关于两个点 、 都对称，则周期为 ；关于直线 与点 都对称，则周期为 。 【易错清单】 1． 的周期是 而不是 ； 2．"一轴一心"对应周期 ，"两轴"或"两心"对应周期 （ 为两者距离），不要一律记成 ； 3．已知区间上的表达式与周期配合时，先把自变量加减若干个周期落到已知区间再代入。 考点2 函数的零点 知识点3 零点存在定理与零点所在区间 零点存在定理：若 在 上的图象连续不断，且 ，则存在 使 。 判定零点所在区间只需算区间端点的函数值符号：两端异号（且函数连续）则区间内必有零点。 【易错清单】 1．存在定理只能判定"有零点"，不能判定"零点唯一"；要判个数还需补上单调性； 2．定理要求函数在区间上连续，分段函数在间断点附近不能乱用； 3．端点函数值恰好为 时，零点是端点而不是区间内部的点。 知识点4 零点个数与参数范围 零点个数问题常用"图象交点法"：把 变形为 ，两图象的交点个数就是方程根的个数。 含参的零点问题优先"分离参数"：把方程整理成 ，再研究直线 与曲线 的交点个数。 【易错清单】 1．画图时要画出最值、单调性与渐近线等关键特征，只凭想象的草图容易数错交点； 2．分离参数后要判断直线 能否取到曲线的最值，临界位置常对应"两个零点"与"一个零点"的分界； 3．"有两个零点"对应 （二次函数），"有零点"才对应 ，两者不要混。 【题型1 利用对称性求值】 【例1】已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【变式1-2】已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 ____________。 【变式1-3】已知函数 满足 ，则 的图象关于直线（　　）对称。 A．　B．　C．　D． 【题型2 利用周期性求值】 【例2】已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【变式2-2】已知函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【题型3 对称性与周期性的综合判定】 【例3】已知定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，也关于直线 对称，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知函数 的图象关于点 与点 都对称，则 的一个周期是____________。 【变式3-2】已知函数 的图象关于直线 对称，又关于点 对称，则 的一个周期是____________。 【变式3-3】已知函数 满足 ，则 的图象关于（　　）对称。 A．直线 　B．点 　C．直线 　D．点 【题型4 零点所在区间的判定】 【例4】函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】函数 的零点所在的区间是____________。 【变式4-3】函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 零点个数问题】 【例5】函数 的零点个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 的零点个数为____________。 【变式5-2】方程 的实数根的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】函数 的零点个数为____________。 【题型6 零点与参数范围】 【例6】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是____________。 【变式6-2】若关于 的方程 有实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】若方程 在区间 内有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是____________。 一、单选题 1．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知函数 满足 ，则 的一个周期为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）函数 的零点个数为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）函数 的零点所在的区间是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且其图象关于直线 对称。若当 时 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递增。若 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于函数图象对称性的说法中，正确的是（　　） A．若 ，则 的图象关于直线 对称　B．若 ，则 的图象关于点 对称　C．若 为偶函数，则其图象关于 轴对称　D．若 ，则 的图象关于直线 对称 10．（★★）下列关于函数周期性的说法中，正确的是（　　） A．若 ，则 是 的周期　B．若 ，则 是 的周期　C．若 的图象关于直线 与 对称，则 是它的周期　D．若 ，则 是 的周期 11．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．若 又是奇函数，则 是 的一个周期　C．若 又是奇函数，则 　D．若 又是奇函数，则 是 的一个周期 12．（★★★）已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 或 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D． 在 上单调递增 三、填空题 13．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 14．（★★）已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 15．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 ____________。 16．（★★★）已知 是定义在 上的奇函数，且满足 。若当 时 ，则 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 ； (2) 求 。 18．（★★）已知函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 ； (2) 求 。 19．（★★）已知函数 。 (1) 判断 在区间 内是否存在零点，并说明理由； (2) 判断 的零点个数，并说明理由。 20．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 与 ； (2) 求 在 上的值域。 21．（★★★）已知函数 的图象关于直线 对称，且关于点 对称，当 时 。 (1) 求 的一个周期； (2) 求 与 ； (3) 求 。 22．（★★★）已知函数 。 (1) 若 有零点，求实数 的取值范围； (2) 若 有两个不相等的零点，且都大于 ，求实数 的取值范围； (3) 若 的最小值为 ，求实数 的值。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 当 时，求 的零点； (2) 若 恰有 个零点，求 的值； (3) 若 有 个零点，求 的取值范围。 24．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 。 (1) 求 与 ； (2) 求 在 上的值域； (3) 若对任意 都有 ，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $