精品解析：河南周口市部分校2026-2027学年高三上学期10月阶段性检测数学试卷B

高三10月阶段性检测 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，则“的最小值为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的图象大致为（） A. B. C. D. 6. 已知函数与具有相同的单调递减区间，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 10. 如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若区间内包含了的零点与极值点，则 D. 若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 11. 已知函数的图象与直线的交点分别为，，且，点，设直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是__________． 13. 已知均为第一象限角，且，则___________． 14. 已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）若，，求实数的最小值． 16. 在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式，且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同． （1）求的解析式； （2）将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”； （3）为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）解不等式； （3）若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的最大值； （2）若是的极值点，证明：． 19. 已知函数． （1）若，求的单调性； （2）若，证明：仅有和两个零点； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月阶段性检测 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】“”的否定是“”. 2. 已知集合．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，又，所以， 故的取值范围为. 3. 已知是定义在上的函数，则“的最小值为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若“的最小值为”，即对于任意，都有，且存在使得， 即可推出“”，故充分性成立； 若“”，即对于任意，都有恒成立， 取，此时对于任意，都有恒成立，但的最小值为， 即不能推出“的最小值为”，故必要性不成立． 所以“的最小值为”是“”的充分不必要条件． 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出指数函数和一次函数的大致图象，再根据不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围，进而数形结合即可得到答案． 【详解】由是上单调递增的指数函数，且，， 又是上单调递增的一次函数，且，， 所以与的大致图象如下： 则不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围， 数形结合，不等式的解集为． 5. 函数在区间上的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与时的符号即可判断出正确选项. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A、B， 当时，，，，所以， 即当趋向于的右侧时，函数图象应在轴下方，故排除选项C，选项D符合题意. 6. 已知函数与具有相同的单调递减区间，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数法求出 的单调递减区间和 的单调递减区间，利用这两个函数具有相同的单调递减区间得到的等式，求出的值. 【详解】函数的定义域为 ， ， 令，即 ，，， 所以的单调递减区间是， 函数的定义域为， 因为恒成立，所以等价于， 已知与有相同的单调递减区间， 则当时，在恒成立，不符合题意，故， 此时，， 即的单调递减区间为 ， 因为两个函数的单调递减区间相同，所以，解得. 7. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据零点的定义及余弦函数图象的对称性可得，再根据二倍角公式及同角三角函数平方和为1的关系，即可求出的值. 【详解】令，则，又，为的两个零点，则，， 所以，根据余弦函数图象的对称性可得，与关于对称， 又，则，所以，即， 所以， 又，，则， 所以. 8. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，先求得，以及且，再令，得到，进而求得的值，得出的周期性，结合周期性，即可求解. 【详解】由函数满足，且 令，可得， 可得，所以； 令，可得， 可得，所以； 令，可得， 可得，所以； 令，可得， 可得，所以； 令，可得， 可得，所以， 设，其中，则， 令，可得， 即， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 因为， 把换成，可得， 把换成，可得， 两式相加，可得， 因为，所以， 可得， 把换成，可得， 把换成，可得， 两式相减，可得， 即，所以， 则， 所以是以为周期的周期函数，且， 又由共有项，且 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设公共值换元简化计算，结合指数与对数的互化、对数运算性质、基本不等式判断选项即可. 【详解】设，由是正实数得， 指数对数互化可得：，，， 选项A：由对数换底公式可得：，，，因为， 且，分母越小分数值越大，因此，A选项正确； 选项B：代入换底结果：，B选项正确； 选项C：左边， 显然，因此等式不成立，C选项错误； 选项D：由，得，要证，即证， 等价于，即， 由A知，故恒成立，因此，D选项正确. 10. 如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若区间内包含了的零点与极值点，则 D. 若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线与正弦型函数图象的相邻交点间距求出，再结合零点及图象走势确定；随后利用正弦型函数的零点、极值点和对称轴逐项判断． 【详解】对于A，令． 方程的相邻两个解相差，因此 解得．又在图象上，所以即． 结合，得或．由图象知，故，从而 于是． 由上面的计算，，故A正确． 对于B，由上面的计算，，故B错误． 对于C，函数的零点满足 函数的极值点满足 相邻的一个零点和极值点之间的距离为 取充分小的，区间同时包含这两个点，且长度小于，故C错误． 对于D，的图象的对称轴为极值点所在的直线，即 其中离轴最近的对称轴为． 将图象沿轴平移个单位，使该对称轴与轴重合，所得函数为偶函数； 小于该距离的平移不能使任何对称轴与轴重合，故的最小值为，故D正确． 11. 已知函数的图象与直线的交点分别为，，且，点，设直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A通过求导判断函数的单调性及最小值可得；对B只需证明，再令（），通过求导判断函数单调性判断可得；对C由斜率公式，再令，用导数和极限思想判断函数的值域可得；对D通过极限思想分别判断当和时的值可得. 【详解】由函数，所以函数的定义域为， ​. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的极小值（也是最小值）为，当和时，. 选项A ：因为函数与有两个不同交点， 等价于，即，A正确； 选项B：要证只需证. 因为，且，所以，得. 又因为函数在上单调递增， 所以只需证明，且，因此只需证明. 令（）， 则， 所以， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，因为，所以， 即，B正确； 选项C：直线的斜率，其中； 令，， 令，， 所以函数在上单调递增，且，所以. 所以，函数在上单调递增， 由洛必达法则：当时，， 当时，. 所以，即，C正确； 选项D：因为直线，的倾斜角分别为，，且, 所以，因此. 当时，，无限靠近点，,， 所以，因此可以无限接近. 当时，， 由C选项分析知，，所以当时，， 因此当时，，. 综上所述，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：函数中， 令， 解得， 所以的定义域是，． 故答案为：，． 13. 已知均为第一象限角，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的变换及三角恒等变换求解. 【详解】因为均为第一象限角，， 所以，， 所以 ， 所以. 14. 已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法将无理方程转化为整式方程，利用因式分解和已知不等式约去公因式，得到与的等量关系，再通过构造一元二次方程，利用判别式和韦达定理求出的范围，进而得到目标函数的取值范围. 【详解】令，，因为为正数，所以，， 由，得，即， 已知方程，代入得 ， 整理得， 因为，令，，则，且， 即， 因为，两边同除以，得， 目标函数， 设，则， 由，得，即， 因为，所以，即， 因为，所以解得， 又因为，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， 其判别式，解得， 综上所述，的取值范围为，所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）若，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，，导数运算求解即可； （2）利用导数求函数在内的最值，分析可知，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：，， 因为切线过点，斜率， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 且，， 所以函数在内的最大值，最小值， 若，， 则，可得， 即，所以实数的最小值为4. 16. 在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式，且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同． （1）求的解析式； （2）将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”； （3）为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 【答案】（1）（）； （2）个； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用的周期和对称性求参数，结合最值点建立方程组求解解析式； （2）将实际条件转化为三角函数不等式，结合变量取值范围求解； （3）利用函数图象的对称性，结合临界值确定恰好满足条件的参数范围. 【小问1详解】 由题意可知，周期，故， 因为，所以是函数的一条对称轴，此时函数取得最大值， 故； 又与相差半个周期，所以时取得最小值， ； 联立解得，. 此时，得， 所以，即， 因为，得， 故（）； 【小问2详解】 由题意令，即， 化简得， 所以， 解得， 因为， 当时，，即，共个月， 所以一年内共有个“用电高峰月”. 【小问3详解】 要使恰有个整数解，结合函数对称性，这个解必为， 计算得： ， ， ， 因此需满足且， 即， 所以的取值范围是. 17. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）解不等式； （3）若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出函数的值域； （2）先通过换元法，将关于 的一元二次不等式转化为关于 的不等式，解出的范围；再结合 的值域，舍去无意义的解；最后解三角不等式，得到的解集； （3）先求解方程，得到的表达式，再根据的取值范围确定根的个数，最后计算的值. 【小问1详解】 ， 令，因为，所以， 由正弦函数的性质可知，，， 故在上的值域为． 【小问2详解】 令 ，则：， 因式分解：，解得：或， 因为，且，所以无解，则， 所以：，即：， 所以 ， 解得： ， 所以原不等式的解集为：. 【小问3详解】 作出的图象和直线，如图所示， 因为，所以，即， 所以，或， 解得：或， 由图可知，的图象与直线在内有5个交点， 则所有根从小到大依次为：， 由正弦函数图象的对称性，可知的图象关于或对称， 因此：，，，， 所以 . 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的最大值； （2）若是的极值点，证明：． 【答案】（1）1 （2）证明：， 因为是的极值点，所以， 即：，则， 令，又在单调递增， 且， 有唯一的零点，且零点在区间上， ，， ， 设，， ， 又，则， 的解为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，且，， 时，，即 又，因此，得证； 【解析】 【分析】（1）代入得，再利用导数求函数的最值即可； （2）由题可得，设，利用函数单调性结合零点存在定理可得，又，设，，再利用导数证明即可求解． 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ， 故的最大值为； 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求的单调性； （2）若，证明：仅有和两个零点； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）当时，， ， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 又，， 则有2个零点，设为， 则 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 时，，时，， 故仅有和两个零点； （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得，再利用导数确定函数单调性即可； （2）代入得，求导并令，求导，然后根据函数单调性推导即可证明； （3）分、、三种情况，结合（2）的结论讨论求解． 【小问1详解】 当时，，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，，，又，则， 当时，，故不符合题意； ②当时，， 令，，， 则的解为， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又，， 时，， 此时， 则， 故时，不符合题意； ③当时， 由②可知， 由（2）知，时，函数 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则时，恒成立， 即时，， 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $