精品解析：贵州贵阳市观山湖区第一高级中学2026-2027学年高一第一学期10月月考数学试卷

贵阳市观山湖区第一高级中学2026—2027学年度第一学期 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学． A. 45 B. 48 C. 53 D. 43 4. 集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 关于的不等式的解集中有且只有两个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，，若，则__________ 13. 不等式的解集为____________． 14. 若集合中至多有一个元素，则实数的范围为 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； 16. 已知，，均为正数，且，求证： （1）； （2）． 17. 观山湖区第一中学为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季．图中，区域的形状、大小完全相同．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2026—2027学年度第一学期 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】，的否定是，. 2. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出方程组的解，然后用集合表示. 【详解】因为，将代入得，得. ，解得.代入得. 所以方程组的解集. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题. 3. 今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学． A. 45 B. 48 C. 53 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 4. 集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列举集合中元素，再根据真子集定义求解. 【详解】根据题意知，故真子集个数为， 故选：C. 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知的与的线性组合，结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【详解】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的概念，逐项验证即可求解. 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 8. 关于的不等式的解集中有且只有两个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 【详解】不等式化为， 时，不等式无解， 时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以  ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C: 因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；取可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以. 因为，利用同向不等式相加，则有，故A正确； 对于B：因为时显然不成立，故B错误； 对于C：因为，，则，即，故C正确； 对于D：取，，，，满足，，， 但是，所以不成立，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据基本不等式直接求解；对于B，由得，再利用常数替换法进行求解；对于C，：，再根据基本不等式求解；对于D，由，再根据基本不等式求解. 【详解】选项A：由基本不等式，， 当且仅当，即（均为正数）时等号成立，故最大值为，A正确； 选项B：由得，则， 但等号成立条件为，联立解得，不符合为正数的要求，故最小值取不到3，B错误； 选项C：，由基本不等式得， 等号成立条件为即，不符合正数要求，故最大值取不到，C错误； 选项D：，由选项A知，故， 等号成立条件为即，符合正数要求，故最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，进而求得. 【详解】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得或（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 13. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若集合中至多有一个元素，则实数的范围为 _______． 【答案】或． 【解析】 【分析】由题意得，至多一个解，结合方程解的存在条件对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】若集合中至多有一个元素， 则至多一个解， 当时，只有一个解，符合题意； 当时，，解得， 故的范围为或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知 ， 是真命题，则，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 16. 已知，，均为正数，且，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可. 【详解】证明：（1）因为，，均为正数，， 所以，，， 三式相乘，得， 当且仅当时，等号成立． （2）因为，，均为正数，， 所以，，， 三式相加，得， 即， 当且仅当时，等号成立． 17. 观山湖区第一中学为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季．图中，区域的形状、大小完全相同．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【解析】 【分析】（1）利用总面积表示出矩形另一条边长，然后再表示出种植总面积，并根据题意求出的范围； （2）结合基本不等式直接求解最值即可. 【小问1详解】 由题得，矩形花园的另一条边长为， 即图中，所以， 所以总面积， 又，所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，， 因为， 当且仅当，即时取等， 所以，当时取等. 18. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或（舍），即， 时，实数的取值范围为或． 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，(不同时取等号)，解得， 综上，实数的取值范围为． 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $