精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 12月月考高一数学试卷 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. ，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而可得解. 【详解】解不等式可得或， ， 故， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，定义域为关于原点不对称，故错误， 对于B，定义域为关于原点不对称，故错误， 对于C，定义域为，且，偶函数，正确， 对于D，定义域为，且，奇函数，错误， 故选：C 3. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性结合零点存在定理法计算各区间端点值即可判断得解. 【详解】因为与均为上单调递增且连续的函数， 所以在上单调递增且连续. 又，，， 且当时，，所以. 故选：B. 4. 若角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角函数的定义得到，再代入计算即可. 【详解】由三角函数的性质可得， 故选：D. 5. 已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍（精确度为0.01）. A. 0.67 B. 0.92 C. 1.09 D. 1.26 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定信息，求出，再列式求解作答. 【详解】依题意，，即，则歼20战机所受的大气压强， 歼16D战机所受的大气压强，， 所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍. 故选：C 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的单调性可得答案. 【详解】因在单调递增，在上单调递减， 在R上单调递减. 则. 即. 故选：D 7. 关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到，讨论，，三种情况，计算得到答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，恰有2个整数，故； 当时，无解； 当时，不等式解集为，恰有2个整数，故； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】本题考查了根据解集的整数个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力. 8. 已知函数，实数满足：则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增．不等式转化为到直线的距离大于到直线的距离，由此计算可求得答案. 【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增． 又，所以到直线的距离大于到直线的距离， 所以，即， 所以，，解得， 故选：D． 二、多选题（本题3小题，每小题6分，漏选得部分分数，错选不得分.） 9. 已知 ，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项. 【详解】对于A：因为所以 即，所以A正确; 对于B、C：因为，且， 所以，即，所以所以B错误，C正确; 对于D：联立，解得所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知图象连续不断的函数，对任意实数恒有，当时，，且，则以下说法正确的是（ ） A. 是上的偶函数 B. C. 在上的最大值是6 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性与单调性的定义，逐一判断各选项即可得解. 【详解】对于B，因为函数对任意实数恒有， 令，可得，故B正确； 对于A，易知的定义域为， 令，可得，所以， 所以是奇函数；故A错误； 对于C，令，则， 因为当时，，所以，即，即， 所以在上单调递减， 因为，， 令，可得，则，； 所以， 故在上的最大值是6，故C正确； 对于D，由不等式， 可得，即， 又，所以，则， 所以，解得：或，故D错误. 故选：BC． 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数且的图象过定点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】易知在定义域上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以解得，且，解得， 综上可知，a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意作图，由图像结合方程有4个不同解，可得，且，，再根据对数的运算计算范围即可． 【详解】根据题意作图如下： 方程有4个不同解，，，， 所以，且，， ， ， 即的取值范围为． 故答案为：；． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式 （1） （2） 【答案】（1）89 （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数运算性质，即可解出； （2）利用对数运算性质和分数指数幂及分母有理化的运算，即可解出． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知 (a>0)是定义在R上的偶函数， （1）求实数a的值； （2）判断并证明函数在的单调性； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）函数在上是单调递增的；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由函数为偶函数，得，代入函数表达式，化简求得，由，得；（2）用定义证明函数在上单调递增的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）将不等式转化为在上恒成立，即，只需求得函数的最小值，代入不等式即可求得m的范围. 试题解析：解析：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x) 即＝ ∴ex－e－x＝0， ∴ (ex－e－x)＝0， ∴a－＝0，即a＝±1. 而a＞0，∴，∴f(x)＝ex＋e－x. （2）函数在上是单调递增的. 证明：任取且x1＜x2， ∴f(x)在上是增函数． （3）由题意，在上恒成立， 则只需 ∵f(x)为偶函数，且f(x)在上是增函数∴f(x)在(－∞，0)上是减函数， ∴f(x)的最小值为 则有 ，因此. 考点：函数的单调性、最值；函数的奇偶性和周期性. 17. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】（1） （2）时，面积最大 （3）cm2. 【解析】 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 【小问1详解】 由，则扇形的弧长(cm). 【小问2详解】 由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. 【小问3详解】 设弓形面积为，由，得， 所以. 18. 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品（百台），其总成本为万元，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述条件，完成下列问题： 写出总利润函数的解析式利润销售收入总成本； 要使工厂有盈利，求产量的范围； 工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 【答案】(1)(2) 当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利 (3) 当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元． 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售收入﹣总成本，且总成本为42+15x即可求得利润函数y=f（x）的解析式． （2）使分段函数y=f（x）中各段均大于0，再将两结果取并集． （3）分段函数y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求． 【详解】解：（1）由题意得G（x）=42+15x． ∴f（x）=R（x）﹣G（x）=． （2）①当0≤x≤5时，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7． 所以：1＜x≤5． ②当x＞5时，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2． 综上得当1＜x＜8.2时有y＞0． 所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利． （3）当x＞5时，∵函数f（x）递减， ∴f（x）＜f（5）=48（万元）． 当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣6（x﹣4）2+54， 当x=4时，f（x）有最大值为54（万元）． 所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元． 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 【答案】（1）不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“， （2）实数的取值范围为； （3）整数的取值集合为 【解析】 【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解； （2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围； （3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围. 【小问1详解】 由题可知，则， 则，因为恒成立， 不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”； ，， 若，则， 故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以， 故，所以， 则，所以，因为且， 所以在上有非零实数解，则且， 令，且，令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且，， 故， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由定义可得，，则， 所以在上存在非零实数解， 令，，故， 即方程在开区间上存在非零实数解， 令，，对称轴为， 当时，，满足题意； 当时，则， 所以，故； 当时，则， 即，即. 综上，，则满足整数的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 12月月考高一数学试卷 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. ，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. ， B. C. D. 3. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍（精确度为0.01）. A. 0.67 B. 0.92 C. 1.09 D. 1.26 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，实数满足：则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题3小题，每小题6分，漏选得部分分数，错选不得分.） 9. 已知 ，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 11. 已知图象连续不断的函数，对任意实数恒有，当时，，且，则以下说法正确的是（ ） A. 是上的偶函数 B. C. 在上的最大值是6 D. 不等式的解集为 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数且的图象过定点，则___________． 13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为______ 14. 已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式 （1） （2） 16. 已知 (a>0)是定义在R上的偶函数， （1）求实数a的值； （2）判断并证明函数在的单调性； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 17. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 18. 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品（百台），其总成本为万元，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述条件，完成下列问题： 写出总利润函数的解析式利润销售收入总成本； 要使工厂有盈利，求产量的范围； 工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $