期中真题重组卷（四川成都专用，新教材北师大版九上第1～6章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~6章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图所示的几何体，其左视图为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其内角是否均为直角 D．测量对角线是否垂直 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（    ） A．3 B．12 C．18 D．27 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，那么的值是 _____． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）二次函数的图象的顶点坐标是______ ． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 12．（25-26九年级上·四川成都·期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）解方程： (1) (2) 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． (1)求线段和灯杆的高度； (2)求长． 16．（2026·四川成都·三模）2026年世界运动会将在成都举办，某校为了解九年级学生对世运会知识的了解程度，组织了一次“世运知识知多少”测试．测试结果分为四个等级：A级（优秀）、B级（良好）、C级（合格）、D级（待加强）．学校随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； (2)该校九年级有学生2400名，请你根据抽查结果估计成绩为良好的人数； (3)若某班想要从对世运会知识测试达到“优秀”程度的2名男生和1名女生中随机抽取2人参加世运会知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 17．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 18．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值为_________． 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 21．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向以的速度移动．若，同时分别从，出发，经过______s，与相似． 22．（25-26九年级上·四川成都·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为______． 23．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，则_____________（用含a、b、m的代数式表示）． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（25-26九年级上·四川成都·期中）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 25．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图在中，为上一点，连接，为上一点，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求的值． 26．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，过点作平行于轴的直线交对称轴于点为顶点． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)为抛物线上一点，连接，若，求直线的表达式； (3)过作直线，交抛物线于点，，连接，，直线，分别交轴于点，，在抛物线的对称轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 8 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9.2 10.（-2,0) 11.（-2,0)12.k<113.2-5 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上) 14.【详解】(1)解：…4(x+2°=9 (c+29-9 4 x+2=t3 , 解得52专=7 1 2;6分 (2)解：2x2-5x+1=0 .a=2,b=-5,c=1, :△=b2-4ac=(-5}2-4×2x1=17>0 1/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :x=生-ae5t 2a 4。, 解得5行 4 5=5-而 4.12分 15.【详解】(1)解：.AB=1.5m,BC=1.2m,CD=0.3m, .'AB BD=1.5m. ∴.∠ADB=∠BAD=45° 根据反射可得：∠ADB=∠PDN=45°， .∠DPN=∠PDN=45°， .NP=DN =10m. .FM⊥MN .∠M=90° .∠MPF=∠DPN=45° .∠MPF=∠MFP=45°， .'PM FM=3m. .MN=PN+PM =13(m) .4分 (2)解：如图，过E作EG⊥BN于G,则四边形EGNP是矩形， BCD GN ∴.EG=PN=10m,EP=GN, .∠ABC=∠EGC=90°，∠ACB=∠ECG, .△ABCAEGC, EG CG ·ABBC, 10_CG …1.51.2 解得CG=8, 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GN=DN+CD-CG=10+0.3-8=2.3(m) .'EP =GN =2.3m, 答：路灯EP的长约为2.3m.8分 16.【详解】(1)解：总人数为12÷30%=40人， A级有6人，占比为4 6=15%,故圆心角∠a=360°×15%=54， C级人数为40×35%=14人， 个人数 14 14 12 10 6 2 0 A级B级C级D级等级 图2 (2)解：估计2400名学生中良好人数为：2400×30%=720人； (3)解：设2名男生分别记为男1、男2,1名女生记为女，列表得所有等可能结果： 男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 共有6种等可能的结果，其中给好一男一女的结果有4种，因此概率为：P-。号 63..8分 17.【详解】(1)解：∠B=105°，AD川BC, .∠BAD=180°-∠B=75°， .DA=DE, ∠AED=∠BAD=75°， 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ADE=30°， 由菱形对角相等可得∠ADC=∠B=105°， ∠CDE=105°-30°=75°：2分 (2)解：EF∥BC, AE AF=2 ∴.BEFC :AC=15, 六-号C=10 EF∥BC, .△AEFn△ABC, EF AE 2 ∴.BCAB3, .·BC=AD EF EF2 .BC AD 3, :EFI‖AD .∴△GEF∽△GDA, EFGF2 .AD AG 3, 放GF=:4 51 ;.5分 (3)证明：由菱形性质知∠DAC=∠BAC,ADIIBC ..EF I AD ∴.∠DAC=∠AFE. .∠BAC=∠AFE, .AE=EF :DC∥AB ∴.△AGE∽ACGD GC DC ADAD .GA AEAE EF, 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG AD 由(2)中知GFEF, AG GC .GF GA, ∴.GA=GF.GC .10分 18。【详解】(1)解：根据已知条件可设抛物线的解析式为'=a(x-x-5列 4 把点A(0,4)代入上式，得a=5 y=x-(-列--3- 5 抛物线的对称轴是直线x=3;.2分 (2)解：，抛物线的对称轴与x轴相交于点M, M3,0) ·40,4),B1,0) .BM=2,OA=4, BM.0A=)×2x4=4;4分 1 8 (3)解：点P的坐标为 5 理由如下： A(0,4) ,点 抛物线的对称轴是直线x=3, (6,4) ∴点A关于对称轴的对称点1的坐标为 如图，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小， 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B.'M C 5 设直线BA的解析式为 y=c+b(k≠0) 把(6,4，B0)代入， 4=6k+b 得0=k+b, 解得 4 b=- 5 ,点P的横坐标为3， y=4x3-48 4 555 ..10分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） m2b2 +a'm2-a2 19.4920.4 、12.32 21.5或1 22.17 23.amm2-1 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24.【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 6/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 依题意得：150(1+x)2=216, .x=0.2=20%x2=-2.2 (不合题意，舍去)， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；3分 (2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个， (0y-300)60-y-400 2x1 6032 ∴.乃=416y2=404 尽可能让顾客得到实惠， ∴.y=404 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个404元.8分 25.【详解】(1) 证明：，∠MCD=∠CMD=∠CAB=60°， ∴.∠CDM=60° .∠CAM+∠ACM=∠CMD=60° 又.∠CAM+∠DAB=∠CAB=60° ∴，∠ACM=∠DAB ,∠AMC=180°-∠CMD=120° ∠ADB=180°-∠CDM=120° .∠AMC=∠ADB 在△ACM和△BAD中， ∠ACM=∠DAB ∠AMC=∠ADB △ACM∽△BAD 3分 (2) 证明：过点C作CH⊥MD于H. 设∠CAB=a,∠B=90°-x 则∠MCD=∠CMD=a, .'∠CDM=180°-2x 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、∠ADB=180°-(180°-2a）=2 .∠B=90°-a. ∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-2a-(90°-a)=90°-a .∠B=∠DAB .AD BD :∠MCD=∠CMD=∠CAB ..MD=CD >B S.co-2MD-CH,S.m=1AD.CH 2 2 S.CMD.MD _CD S.CAD AD AD S.ABDBD 同理可证SCAD CD S.ABD =S.ABD.S.CAD=BD.AD BD2 BD S.cA S.CAD S.CMD CDCD CD2 CD 6分 (3)过点C作CE⊥AD的延长线于点E, E A D M A 过点B作BF⊥AD于点F 设FD=x,FB=y ,∠FDB=∠CDE,∠BFD=∠CEA=90° ACDESABDF 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FD BD FB DE CD CE ,BD=1,CD=3 .'CE=3y,DE=3x :∠ADB是公共角，∠DFB=∠DBA=90° ∴.△DFB∽△DBA FD FB ·DBAB 右， AB=上 x .'∠MCD=∠CMD .'MD=CD=3 ..ME=MD+DE=3+3x .∠CME=∠CAB,∠CBA=∠CEA=90° ∴.ACAB∽ACME AC CB AB CM CE ME 4 x 3y3+3x 即3y3x+3x7 3y=12x+12x@ 又，在Rt△FDB中 FD2+FB2 =DB2 r2+y2=1 将严=1- 代入①式得 31-x2）=12x+12x2 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5x2+4x-1=0 (5x-1)(x+1)=0 小x1给)或写 将x=5代入2+y2=1得 少26 AC CB 44 56 CM CE 3y 269 3× 5 10分 26.【详解】(1)解：“抛物线'=+x过点4(3,3列， ∴.b=-2, 一抛物线的表达式为 y=x2-2x ∴抛物线的对称轴为直线x=1, AB‖x 轴， 点印3) 2分 (2)解：如解图O,“点C在抛物线'=-2x C 上， B 设点 图① Cx,x2-2x） 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点4B3列，点B,3列 ∴.AB=2, S.AnC=5 ∴Sx=4Bx以-=x2x民-2-=5， x-2x。-3=5 ￡-2无-3=5，即天-2戏-8=0.解5=4或=-2 或-2-3=-5，即￡-2x+2=0, ,得该方程无解， G(48)或9(-28)， 由(1)知抛物线的对称轴为直线x=1, “点P收) 设直线CP的表达式为”=+n(m≠0)，将点C(48别，P-)代入， 得4m+n=g解得m=3 m+n=-1 n=-4, CP y=3x-4 直线的表达式为 同理，由点G(28),P-)得直线CP的表达式为=-3x+2, 综上所述，直线CP的表达式为y=3x-4或y=-3x+2.6分 (3)解：存在定点F, 如解图②，设点D(,号-2x）,点E(号-2)，假设点D在点E右侧， 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 点 在直线 上， G 图② B(1,3) DE 故根据点B坐标可设直线DE的表达式， 六设直线DE的表达式为”=(-)+3=-k+3 :D,E为直线与抛物线的交点， ∴联立直线DE与抛物线，得x2-2x=-k+3, 得-k+2x+k-3=0 得=k-30+x6=k+2 设直线PD的表达式为'=x+么（么≠0） 将点P-小D6-2,)代入，得 k+b=-1 k=xp-1 kxp+b=x场-2xD,解得=-xD, 直线PD的表达式为y=(,-)x-. 同理，得直线PE的表达式为y=(-x-x 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点FL0,因为∠MN=0 设 ∴.FM⊥FN, w产高 限器陶定，有w-(之小r-r,N--(j FM2+FN2=MN2 x+x异-2(xn+x)+2+2[xg-(xo+x)+1]_x号+x层-2xoxE [Xp*E-(xp+xg)+1] [nx-(xn+xs)+1]了， 则有2(+)+2+2r[o-(,+x)+°=-2xn. 代入韦达定理结果，得 -2(k+2)+2+2r[k-3-(k+2)+1]=-2×(k-3), -2k-4+2+(-4)2×22=-2k+6 2s1 4 2, 13/13 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~6章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图所示的几何体，其左视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握相关知识是正确解答的关键．根据几何体的左视图画法得出答案． 【详解】 解：这个几何体的左视图为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其内角是否均为直角 D．测量对角线是否垂直 【答案】C 【分析】根据矩形的判定：（1）四个角均为直角；（2）对边互相平行且相等；（3）对角线相等且平分，据此即可判断结果． 【详解】解：A、根据矩形的对角线相等且平分，故错误； B、对边分别相等只能判定四边形是平行四边形，故错误； C、矩形的四个角都是直角，故正确； D、矩形的对角线互相相等且平分，所以垂直与否与矩形的判定无关，故错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（    ） A．3 B．12 C．18 D．27 【答案】C 【分析】设黑球个数为，根据概率公式可知白球个数除以总球数等于摸到白球的概率，建立方程求解即可. 【详解】设黑球个数为，由题意得 解得： 故选C. 【点睛】本题考查根据概率求数量，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键. 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，得到根据相似三角形的性质求出，因为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，且和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ∴ ∵ ， ， ∵， ， 故答案为：B． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断A；根据抛物线与轴的交点情况可判断B；由对称轴的位置即可判断C；根据时的函数值的符号即可判断D． 【详解】解：抛物线的对称轴在轴的左侧， ， 抛物线开口向下，， ，故A正确，不合题意； 抛物线与轴有两个交点， ，故B正确，不合题意； ，， ， ，故C错误，符合题意； 由图象知，当时，，故D正确，不合题意． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，那么的值是 _____． 【答案】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）二次函数的图象的顶点坐标是______ ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接应用此公式求解． 【详解】解：函数顶点坐标为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，再根据题意可得平分，从而得到，证明，得到，再利用三角形的外角性质可得，进而得到，根据即可求出答案． 【详解】解：，， ， 由题意得：平分， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍） 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图——基本作图，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·四川成都·期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 13．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为_____． 【答案】 【分析】根据题意可判断△ABC与△GEC相似，且面积比为2:1，根据相似三角形的性质可知BC与EC的比，已知BC=2，可算出EC，最终算出BE的长，即得到△ABC平移的距离． 【详解】 解：∵根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， ∴AB∥EG，故△ABC∽△GEC， 又∵ △ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半， ∴,故BC∶EC=， ∵BC=2， ∴EC=， ∴△ABC平移的距离为BE=BC－EC=2－， 故答案为2－． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相似三角形的判定和性质、平移的性质是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得，． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． (1)求线段和灯杆的高度； (2)求长． 【答案】(1)，； (2)路灯的长约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到，； （）过作于，则，，证明，求得，进而求得即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 根据反射可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：路灯的长约为． 16．（2026·四川成都·三模）2026年世界运动会将在成都举办，某校为了解九年级学生对世运会知识的了解程度，组织了一次“世运知识知多少”测试．测试结果分为四个等级：A级（优秀）、B级（良好）、C级（合格）、D级（待加强）．学校随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； (2)该校九年级有学生2400名，请你根据抽查结果估计成绩为良好的人数； (3)若某班想要从对世运会知识测试达到“优秀”程度的2名男生和1名女生中随机抽取2人参加世运会知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)； (2)720 (3) 【分析】 （1）根据B级有12人，占比，计算出抽取的总学生数，再根据A级有6人，求出占比，即可求出所对圆心角度数；求出C级人数，补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可； （3）根据列表法求概率即可； 【详解】（1）解：总人数为人， A级有6人，占比为，故圆心角， C级人数为人， 补全条形图略； （2）解：估计2400名学生中良好人数为：人； （3）解：设2名男生分别记为男1、男2，1名女生记为女，列表得所有等可能结果： 男1​ 男2​ 女 男1​ 男1​男2​ 男1​女 男2​ 男2​男1​ 男2​女 女 女男1​ 女男2​ 共有6种等可能的结果，其中恰好一男一女的结果有4种，因此概率为：． 17．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3) 证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）略 18．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值为_________． 【答案】49 【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：49． 【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向以的速度移动．若，同时分别从，出发，经过______s，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，由题意得，，则，利用勾股定理求出，再分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，即， 解得； 综上所述，经过秒或秒时与相似， 故答案为：或． 22．（25-26九年级上·四川成都·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为______． 【答案】17 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及a的取值范围，可得a的所有值，再将其相加即可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得且． 化为整式方程得：， 解得， ∵分式方程有正整数解， ∴a可以取1，6，11， ∵， ∴，即， ∴满足条件的a的值为6，11， ∴满足条件的所有整数a的和为． 故答案为：17． 23．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，则_____________（用含a、b、m的代数式表示）． 【答案】 【分析】作的平分线，交于点F，利用角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，，利用相似三角形的判定与性质求得，；利用相似三角形的判定与性质求得，利用求得，则，最后利用解答即可得出结论． 【详解】解：作的平分线，交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（25-26九年级上·四川成都·期中）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； 设该品牌头盔的实际售价为每个元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得：， ，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价为元/个， ，， 尽可能让顾客得到实惠， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个元． 25．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图在中，为上一点，连接，为上一点，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ (2) 证明：过点作于． 设， 则， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ 同理可证 ∴ (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积比的计算、勾股定理的应用以及比例关系的转化；解题的关键是利用角度关系推导出三角形相似，从而得到对应边成比例；灵活运用面积公式（尤其是同高或同底的三角形面积比与对应边比例的关系）；结合已知线段长度，通过构造方程或比例关系求解未知边长 （1）由，可得等边三角形，再结合三角形内角和、外角性质，证明 ，，从而得； （2）根据角度关系求得，推出，根据同高或同底的三角形面积比与对应边比例的关系，，化简求得； （3）通过构建三对三角形相似，，，建立方程，解出未知数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作的延长线于点， 过点作于点 设， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵是公共角， ∴ ∴ 即， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 即 ① 又∵在中 ∴ 将代入①式得 ∴（舍）或 将代入得 ∴ 26．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，过点作平行于轴的直线交对称轴于点为顶点． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)为抛物线上一点，连接，若，求直线的表达式； (3)过作直线，交抛物线于点，，连接，，直线，分别交轴于点，，在抛物线的对称轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）抛物线过点，可将点坐标代入解析式求出；再根据抛物线对称轴公式，结合平行于轴的性质，求出点的坐标． （2）设点的横坐标为，利用三角形面积公式，以为底，点到直线的距离为高，求出的值，再代入抛物线解析式求出的坐标，最后结合顶点的坐标求直线的表达式． （3）设直线的解析式，与抛物线联立，利用韦达定理得到、的横坐标关系；再分别写出直线、的解析式，求出与轴交点、的坐标和，利用勾股定理和韦达定理进一步求解即可. 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 轴， 点． （2）解：如解图①，点在抛物线上， 设点， 点，点， ， ， ， ， ，即．解得或； 或，即，得该方程无解， 或， 由（1）知抛物线的对称轴为直线， 点， 设直线的表达式为，将点代入， 得， 直线的表达式为； 同理，由点得直线的表达式为， 综上所述，直线的表达式为或． （3）解：存在定点， 如解图②，设点，点），假设点在点右侧， 点在直线上， 故根据点坐标可设直线的表达式， 设直线的表达式为， 为直线与抛物线的交点， 联立直线与抛物线，得， 得， 得， 设直线的表达式为， 将点代入，得 ，解得， 直线的表达式为， 点； 同理，得直线的表达式为， 点， 设点，因为， ， , 根据勾股定理，有，， ， 即， ， 则有， 代入韦达定理结果，得 , ， ， ， 点的坐标为或． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $