四川省西昌天立学校2026-2027学年数学九年级上册期中数学模拟卷（人教版）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 西昌天立学校 九年级 (上) 期中数学模拟卷 （测试范围第13-第15章） 总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ） A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. B. C. D. 3.已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 4.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（       ） A. B. C. D. 5.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（        ） A. B.8 C. D.9 6.直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（       ） A. B. C. D. 8.对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（        ） A. B. C. D. 9.如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（        ） A.6 B.4 C.12 D.8 10.如图，抛物线与x轴交于，交y轴负半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论∶①；②；③（m为任意实数）；④若点是第三象限内抛物线上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 12.将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 13.已知实数，，满足，，则的值为________． 14.已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 15.如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则________． 16.在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（6分）解方程： (1)； (2) 18.(6分) 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 19.(6分) 已知． （1）当为何值时，它是关于的一次函数； （2）当为何值时，它是关于的二次函数． 20.(7分) 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21.(7分) 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 22.(8分) 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 23.(10分) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式和点A的坐标； （2）连接，在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 24.(10分) 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 25.(12分) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于点和点，过点作轴，交抛物线于点．分别以，长为邻边向上构造矩形．如图2，将矩形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到矩形，点的对应点落在抛物线上． （1）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点的坐标（用含的代数式表示）； （3）直线交抛物线于点，交抛物线于点．当为线段的中点时，求的值； 学科网（北京）股份有限公司 $ 西昌天立学校 九年级 (上) 期中数学模拟卷 （测试范围第13-第15章） 总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案. 【解答】 解：∵ 一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限， ∴ a<0,b>0， ∴ ->0， ∴ 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵ 反比例函数y=（c≠0）的图象经过第二、四象限， ∴ c<0， ∴ 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于负半轴， ∴ 四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意. 故选：． 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 把代入方程，得出，然后解关于的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值． 【解答】 解：把代入方程 得，解得，， 而， 所以． 故选：． 3.已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先求出二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴两交点关于对称轴对称的关系，结合的取值范围推导的范围， 【解答】 解：二次函数的对称轴为直线， 点，是函数图象与x轴的交点， 这两点关于对称轴对称，即， ， ， 故选：． 4.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用一元二次方程的解的意义求得 ，利用根与系数的关系求得 ，最后将原式变形后代入数值计算即可。 【解答】 解： 它的两根分别为 ， ， ， ， . 故选：． 5.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（        ） A. B.8 C. D.9 【答案】 C 【解析】 先求出抛物线的解析式，再求出它与t轴的正半轴的交点的横坐标即可. 【解答】 解：设抛物线的解析式为 又它与h轴的交点坐标为(0,1), 所以 解得： 所以抛物线的解析式为 当 时， 解得： 所以铅球落地点到出手点的时间为 秒. 故选：． 6.直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据题意可以写出点 、 、 、 、 的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标. 【详解】解：如图， 点 的坐标为(1,-1)， 点 的横坐标为1， 点 的坐标为(1,1), 点 的纵坐标为1, 点 的坐标为(-1,1), 点 的横坐标为-1, 点 的坐标为(-1,-1), 同理，点 的坐标为(1,-1) ...1 四个点一个循环， 点 的坐标与点 的坐标相同，即（-1，-1） 故选：． 7.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键.根据“打印区域的面积占纸张总面积的 70% ”列出方程即可. 【解答】 解：设应设置的页边距为 ，则打印区域的长为（16-2x）cm，宽为（10-2x）cm， 打印区域的面积为（16-2x）（10-2x）， 打印区域的面积占纸张总面积的 70%， . 故选D. 8.对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 通过表格中代数式 的符号变化，确定方程正数解的范围. 【解答】 解：当 时， ， 当 时， ， 故方程的一个正数解 的大致范围是 ． 故选：． 9.如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（        ） A.6 B.4 C.12 D.8 【答案】 C 【解析】 连接 OD，根据等底同高三角形面积相等得出 ，从而求出 ，设C点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出 和 的面积，建立方程求解. 【解答】 解：连接 OD， 设C点坐标为(m,n)，则 mn=k， 为OA中点， 点坐标为(2m，2n), 轴, 点坐标为(2m，0），D点横坐标为2m， 在双曲线 上， 点纵坐标为 故选：． 10.如图，抛物线与x轴交于，交y轴负半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论∶①；②；③（m为任意实数）；④若点是第三象限内抛物线上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 根据二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴、开口方向、与坐标轴的交点，即可判断 ，根据当 x=-1时，取得最小值，即可判断 ③ ，先求得AC所在的直线方程为 ，过Q作x轴的垂线，交AC于点P，则P点的坐标为（m， ，进而根据三角形的面积公式得出 的面积，根据二次函数的性质，即可判断 即可求解. 【解答】 解：结论 ① ： 抛物线与x轴交于 A(-4,0), B(2,0)， 对称轴为直线 又 对称轴公式为 故 ，因此 ①正确. 结论 ②：由于抛物线开口向上，故 抛物线与y轴交于负半轴，故 ②错误. 结论 ③：当 时，得最小值 对于m为任意实数，都有 ，即 ，故 ③正确. 结论④：设抛物线解析式为 ，则 . 所在的直线方程为 点Q(m,n)在抛物线上，故 过Q作x轴的垂线，交AC于点P， 则P点的坐标为（m，-2am-8a）. 当m=-2时， 取得最大值。故 ④正确. 综上， 正确，共3个. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是___且 _____． 【答案】 且 【解析】 根据方程的根的判别式 且 ，计算即可. 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键. 【解答】 一元二次方程 有实根， 且 解得 且 故答案为： 且 ． 12.将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 【答案】 （或 【解析】 利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解，先将原抛物线配方为顶点式简化计算. 【解答】 解：先将原抛物线配方得： ， 抛物线向左平移2个单位长度，根据平移规律“左加右减”，给x加2得： 再向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，给整体加3得： ，展开整理得： 即得到的抛物线为： （或 13.已知实数，，满足，，则的值为___-5_____． 【答案】 -5 【解析】 由a+b=10+2c，ab=2c²+50知，a，b为方程的x²-(10+2c)x+(2c²+50)=0两实根，然后通过根的判别式即可求解. 【解答】 解：∵ a+b=10+2c，ab=2c²+50， ∴ a，b为方程的x²-(10+2c)x+(2c²+50)=0的两实根， ∴ Δ=[-(10+2c)]²-4(2c²+50)=-4(c-5)²≥0， ∴ c=5，a+b=20，ab=100， ∴ a(20-a)=100，即a²-20a+100=0，解得：a₁=a₂=10， ∴ a=b=10， ∴ a-b-c=10-10-5=-5. 14.已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较 的大小. 【解答】 解：在反比例函数 中，比例系数 . 反比例函数的图象位于第二、四象限， 点A与点B在第四象限，点C在第二象限， 又 反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大， 综上， 15.如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则____3____． 【答案】 3 【解析】 设 ，过A作AD y轴于D，证明 是等腰直角三角形，得到BD=AD=a，OB=b-a，利用已知条件和勾股定理求得ab=3，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可. 【解答】 解：设 ，过A作AD y轴于D，则 ， ， 是等腰直角三角形， ，则OB=OD-BD=b-a， 即 解得ab=3， 反比例函数 的图像经过点A， 16.在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为___4_____． 【答案】 4 【解析】 作 EH y轴于点H，利用 可得EH ，则PE+ 转化为PE+EH，求出点A，C的坐标，进而求出直线AC的解析式，用含m的式子表示出PE+EH，转化为顶点式，即可求出最值. 【解答】 解：如图，作 轴于点H， 令 解得 当 时， 设直线AC的解析式为 将 A（-3，0）和 C(0,-3)代入，得： 解得 直线AC的解析式为 y=-x-3； 点P的横坐标为m， 点P的坐标为(m,m^{2}+2m-3），点E的坐标为(m- 的最大值为4. 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ，） 17.（6分）解方程： (1)； (2) 【答案】 【解析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. (1) 利用公式法解方程即可； (2) 先整理，再利用因式分解法解方程即可. 【解答】 解： (2) 解： 整理得： 解得： ， 18.(6分) 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 【答案】 是 【解析】 （1）把点 代入已知函数解析式，通过解方程即可求得k的值； （2）只要把点 的横坐标代入函数解析式，判断y的值是否为-2，若是，即该点在函数图象上. 【解答】 （1）解：把 代入 得： 解得： 所以，反比例函数解析式为 （2）解：当x=4时， 所以，点 在该函数图象上. 19.(6分) 已知． （1）当为何值时，它是关于的一次函数； （2）当为何值时，它是关于的二次函数． 【答案】 ； 或或或或 【解析】 （1）根据形如是一次函数，可得答案； （2）根据形如是二次函数，可得答案． 【解答】 （1）由是关于的一次函数，得解得． 所以当时，它是关于的一次函数． （2）由是关于的二次函数，得①，解得； ②，解得； ③解得； ④，解得或． 综上所述，当的值为或或或或时，它是关于的二次函数． 20.(7分) 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】 且 或 【解析】 （1）由 是二次函数解析式可得 ，再由二次函数的图像与 轴有两个交点可得 ，即可求出 的取值范围； （2）设二次函数图像与 轴的两个交点的横坐标为 ，由 和根与系数的关系即可求解. 【解答】 （1）解： 是二次函数， 二次函数的图像与 轴有两个交点， ，解得： 综上： 且 （2）解：设二次函数图像与 轴的两个交点的横坐标为 ， 为 的两个根， 二次函数图像与 轴的两个交点之间的距离为1， ，即 或 ， 或 21.(7分) 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】 b=-1 (2，-3) x<-1或x>2 【解析】 （1）利用二次函数求出点 坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （3）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键. 【解答】 （1）解：把 y=0代入二次函数 ，得 解得 把A(-1，0)代入一次函数 ，得0=1+b （2）解： 一次函数 由 ，解得 或 点C的坐标为（2，-3）； （3）解：由函数图象可知，当 时x的取值范围为 或 22.(8分) 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 【答案】 每千克应涨价5元 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多 【解析】 （1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利 元，每天可售出 千克，根据利润 每千克盈利 日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元； （2）设涨价 元时总利润为 ，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可. 【解答】 （1）解：设每千克应涨价 元， 解得 或 因为要顾客得到实惠， 所以 答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； （2）解：设涨价 元时总利润为 有最大值， 当 时，y取得最大值，最大值为6125. 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多. 23.(10分) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式和点A的坐标； （2）连接，在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 , 存在，或 【解析】 （1）先求出a的值，待定系数法求出反比例函数的解析式，联立解析式求出点A的坐标； （2）利用三角形的面积公式以及面积之间的关系求出P点的纵坐标，进而求出点P的坐标即可. 【解答】 （1）解：把(1,a)代入，得， ， 把代入，得， ， 联立 ，解得 或 ， ； （2）解：存在； ， 当时，；当时，， ， ， ， ，即， 点P在反比例函数上， 当时，；当时，， 故或. 24.(10分) 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则__-10______； 【探究问题】 （3）已知，则___-1_____； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】 -10 -1 ，理由见详解 【解析】 （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为25即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可. 【解答】 （1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到 ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方 ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）先对配方， 得到 ， 要让为完美数，可令， 即， 又是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为10．（答案不唯一） 25.(12分) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于点和点，过点作轴，交抛物线于点．分别以，长为邻边向上构造矩形．如图2，将矩形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到矩形，点的对应点落在抛物线上． （1）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点的坐标（用含的代数式表示）； （3）直线交抛物线于点，交抛物线于点．当为线段的中点时，求的值； 【答案】 【解析】 （1）把点 代入 可得结论； （2）由 求出 , 得出 ，求得 ，从而可得 ； （3）求出 ，可得 ，由 得 ，解方程，根据 可求得 。 【解答】 （1）解： 抛物线 经过点 ， , ; （2）解：, , , , , ; （3）解：由 (2) 得点 的横坐标为 ， 点 在 上，点 在 上， ， ， ， 为线段 的中点， ， ， 解得，， ， 。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 西昌天立学校 九年级 (上) 期中数学模拟卷 （测试范围第13-第15章） 总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ） A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. B. C. D. 3.已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 4.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（       ） A. B. C. D. 5.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（        ） A. B.8 C. D.9 6.直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（       ） A. B. C. D. 8.对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（        ） A. B. C. D. 9.如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（        ） A.6 B.4 C.12 D.8 10.如图，抛物线与x轴交于，交y轴负半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论∶①；②；③（m为任意实数）；④若点是第三象限内抛物线上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 12.将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 13.已知实数，，满足，，则的值为________． 14.已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 15.如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则________． 16.在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（6分）解方程： (1)； (2) 18.(6分) 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 19.(6分) 已知． （1）当为何值时，它是关于的一次函数； （2）当为何值时，它是关于的二次函数． 20.(7分) 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21.(7分) 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 22.(8分) 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 23.(10分) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式和点A的坐标； （2）连接，在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 24.(10分) 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 25.(12分) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于点和点，过点作轴，交抛物线于点．分别以，长为邻边向上构造矩形．如图2，将矩形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到矩形，点的对应点落在抛物线上． （1）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点的坐标（用含的代数式表示）； （3）直线交抛物线于点，交抛物线于点．当为线段的中点时，求的值； 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $