2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷

2026—2027学年第一学期期中模拟练习 九年级数学试题卷 （满分120分　考试时间120分钟） 考查范围：浙教版数学九年级上册第1章《二次函数》、第2章《简单事件的概率》 考生须知 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间为120分钟。 2．请将姓名、班级、学号填写在答题卷的指定位置上。 3．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷上无效。 4．考试期间不得使用计算器，作图可使用铅笔，确认后须用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑。 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意） 1．（3分）下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A．y=2x-1 B．y=x³+1 C．y=(x-1)²-x² D．y=-3x²+2 2．（3分）抛物线 y=2(x-3)²+1 的顶点坐标是（　　） A．(3, 1) B．(-3, 1) C．(3, -1) D．(-3, -1) 3．（3分）将抛物线 y=x² 先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则所得抛物线是（　　） A．y=(x+2)²-3 B．y=(x-2)²-3 C．y=(x-2)²+3 D．y=(x+2)²+3 4．（3分）已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图所示，则（　　） A．a>0，b>0，c>0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b<0，c>0 D．a<0，b>0，c<0 5．（3分）已知二次函数 y=x²-2x+m 的图象与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是（　　） A．m<1 B．m>1 C．m≤1 D．m<1 且 m≠0 6．（3分）已知点 A(-1, y1)，B(2, y2)，C(4, y3) 都在抛物线 y=-(x-1)²+3 上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（　　） A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y3>y2>y1 D．y2>y3>y1 7．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．从只装有红球的袋中摸出一个球，是白球 D．太阳从东方升起 8．（3分）一个不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，除颜色外都相同。从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）某小组做“用频率估计概率”的试验，统计发现某一结果出现的频率稳定在 0.6 左右。若再进行 1000 次试验，估计该结果出现的次数约为（　　） A．400 B．500 C．600 D．800 10．（3分）如图，二次函数 y=ax²+bx+c 的图象经过点(-1, 0)和(3, 0)，且开口向上。下列说法中错误的是（　　） A．该抛物线的对称轴是直线 x=1 B．abc>0 C．当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小 D．方程 ax²+bx+c=0 的两根之和为 4 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知二次函数 y=ax² 的图象经过点 (2, -8)，则 a=______；当 x=-1 时，y=______。 12．（3分）抛物线 y=x²-4x+5 的顶点坐标是______，当 x______时，y 随 x 的增大而增大。 13．（3分）若二次函数 y=x²+2x+k 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 k=______。 14．（3分）从 -2，-1，1，2 四个数中随机抽取一个数作为 a 的值，则使二次函数 y=ax² 的图象开口向下的概率是______。 15．（3分）某林业部门考察一种树苗的成活情况，结果如下表： 移植棵数 n 100 500 1000 2000 5000 成活棵数 m 89 448 901 1798 4502 由此估计这种树苗成活的概率约为______（精确到 0.01）；若移植 8000 棵，估计能成活______棵。 16．（3分）已知二次函数 y=x²-2mx+3，当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是______。 三、解答题（本大题有8小题，共72分。解答需写出必要的推理、计算过程） 17．（8分）已知二次函数 y=x²-2x-3。 （1）用配方法把它化为 y=a(x-h)²+k 的形式，并写出图象的顶点坐标和对称轴。（4分） （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并根据图象直接写出当 y<0 时 x 的取值范围。（4分） 18．（8分）一个不透明的盒子中装有 3 张卡片，分别标有数字 1、2、3，除数字外完全相同。 （1）从中随机抽取一张卡片，抽到数字 2 的概率是______。（3分） （2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，搅匀后再抽一张。用列表或画树状图的方法，求两次抽到的数字之和为偶数的概率。（5分） 19．（8分）已知二次函数 y=x²+bx+c 的图象经过点 A(1, 0) 和点 B(0, -3)。 （1）求 b，c 的值。（4分） （2）判断点 C(3, 0) 是否在该函数的图象上，并说明理由。（4分） 20．（8分）某商店销售一种文具，进价为每件 20 元。当售价为每件 30 元时，每天可售出 60 件；售价每上涨 1 元，每天少售出 2 件。设售价为每件 x 元（x≥30）。 （1）求每天销售这种文具的利润 w（元）关于 x 的函数表达式。（4分） （2）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（4分） 21．（8分）一个不透明的袋中装有若干个红球和 2 个白球，除颜色外都相同。每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在 0.6 左右。 （1）估计袋中红球的个数。（4分） （2）若从袋中一次摸出两个球（不放回），求摸出的两个球颜色相同的概率。（4分） 22．（10分）已知二次函数 y=x²-2mx+m²-1（m 为常数）。 （1）求证：不论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点。（4分） （2）若该函数的图象经过点 (0, 3)，求 m 的值。（3分） （3）若该函数图象的顶点在直线 y=x-2 上，求 m 的值。（3分） 23．（10分）某公园有一座抛物线形的拱桥，桥拱的跨度 AB=8 m，拱顶 C 离水面 4 m。以水面所在直线为 x 轴、AB 的中点为原点 O 建立平面直角坐标系（如图）。 （1）求桥拱所在抛物线的函数表达式。（4分） （2）若水面上升 1 m，则此时水面的宽度是多少米？（3分） （3）在原水位时，一艘宽 3 m、高出水面 2.5 m 的小船能否从桥下通过？请通过计算说明。（3分） 24．（12分）如图，抛物线 y=-x²+2x+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A，B，C 的坐标及抛物线顶点 D 的坐标。（4分） （2）求 △ABC 的面积。（3分） （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 △PBC 是以 BC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。（5分） 2026—2027学年第一学期期中模拟练习 九年级数学参考答案及评分标准 （满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．D A 是一次函数；B 中 x 的次数为 3；C 化简得 y=-2x+1，也是一次函数；D 符合二次函数的定义。 2．A 顶点式 y=a(x-h)²+k 的顶点为 (h, k)，故顶点坐标是 (3, 1)。 3．B “左加右减、上加下减”，平移后得 y=(x-2)²-3。 4．B 图象开口向下，得 a<0；对称轴 x=-=1>0，而 a<0，故 b>0；图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，得 c>0。 5．A 图象与 x 轴有两个不同的交点，即方程 x²-2x+m=0 有两个不相等的实数根，Δ=4-4m>0，解得 m<1。 6．B 抛物线开口向下，对称轴为直线 x=1。三点到对称轴的距离分别为 2、1、3，距离越小函数值越大，故 y2>y1>y3。 7．A B、D 是必然事件，C 是不可能事件，只有 A 是随机事件。 8．A 袋中共有 5 个球，其中红球 3 个，故 P(摸到红球)=。 9．C 由频率稳定在 0.6 估计概率为 0.6，1000×0.6=600。 10．D 对称轴为直线 x==1，A 正确；设 y=a(x+1)(x-3)=ax²-2ax-3a（a>0），则 b=-2a<0，c=-3a<0，abc=6a³>0，B 正确；开口向上，当 x<1 时 y 随 x 的增大而减小，C 正确；方程的两根为 -1 和 3，两根之和为 2，D 错误。 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．a=-2；y=-2 把 (2, -8) 代入得 4a=-8，a=-2；当 x=-1 时，y=-2×(-1)²=-2。 12．(2, 1)；x>2 y=x²-4x+5=(x-2)²+1，顶点为 (2, 1)，对称轴为直线 x=2，开口向上，故当 x>2 时 y 随 x 的增大而增大。 13．k=1 图象与 x 轴只有一个公共点，Δ=2²-4k=0，解得 k=1。 14． 四个数中使 a<0 的有 -2、-1 两个，故所求概率为 =。 15．0.90；7200 由表中数据，成活频率在 0.90 附近波动，故估计成活概率为 0.90；8000×0.90=7200（棵）。 16．m≤1 抛物线开口向上，对称轴为直线 x=m。要使 x>1 时 y 随 x 的增大而增大，需对称轴在直线 x=1 的左侧或与其重合，即 m≤1。 三、解答题（共72分） 17．（8分） （1）y=x²-2x-3=(x²-2x+1)-1-3=(x-1)²-4。 所以图象的顶点坐标为 (1, -4)，对称轴为直线 x=1。 （2）列表：x=-1, 0, 1, 2, 3 时，y=0, -3, -4, -3, 0；描点、连线，得开口向上的抛物线（图略）。 由图象可知，当 y<0 时，-1<x<3。 评分标准：配方正确得 2 分，顶点与对称轴各 1 分；图象正确得 3 分，x 的取值范围正确得 1 分。 18．（8分） （1）。 （2）列表如下： 第一次＼第二次 1 2 3 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中两次数字之和为偶数的有 (1, 1)、(1, 3)、(2, 2)、(3, 1)、(3, 3) 共 5 种， 所以 P(两次数字之和为偶数)=。 评分标准：（1）3 分；（2）列表或树状图正确得 3 分，结果正确得 2 分。 19．（8分） （1）把 A(1, 0)，B(0, -3) 分别代入 y=x²+bx+c，得 1+b+c=0，c=-3，解得 b=2，c=-3。 （2）由（1）得 y=x²+2x-3。当 x=3 时，y=9+6-3=12≠0， 所以点 C(3, 0) 不在该函数的图象上。 评分标准：（1）每个值 2 分；（2）代入求值得 2 分，结论 2 分。 20．（8分） （1）售价为 x 元时，每件利润为 (x-20) 元，每天销售量为 60-2(x-30)=120-2x（件）， 所以 w=(x-20)(120-2x)=-2x²+160x-2400（30≤x≤60）。 （2）w=-2(x²-80x)-2400=-2(x-40)²+800。 因为 -2<0，所以当 x=40 时，w 取得最大值 800。 答：售价定为每件 40 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 800 元。 评分标准：（1）函数表达式 4 分（未写取值范围不扣分）；（2）配方 2 分，结论 2 分。 21．（8分） （1）设袋中红球有 x 个，则 =0.6，解得 x=3。经检验，x=3 符合题意。 答：估计袋中红球有 3 个。 （2）袋中共有 5 个球（3 红 2 白）。一次摸出两个球，所有等可能的结果有 10 种（两红 3 种、一红一白 6 种、两白 1 种）， 其中颜色相同的有 3+1=4 种，所以 P(两个球颜色相同)==。 评分标准：（1）方程正确 2 分，结果 2 分；（2）结果正确 4 分（用树状图或枚举说明均可）。 22．（10分） （1）因为 y=x²-2mx+m²-1=(x-m)²-1， 所以 Δ=(-2m)²-4(m²-1)=4>0， 即方程 x²-2mx+m²-1=0 有两个不相等的实数根，故不论 m 取何值，图象与 x 轴总有两个不同的交点。 （2）把 (0, 3) 代入，得 m²-1=3，m²=4，所以 m=2 或 m=-2。 （3）图象的顶点为 (m, -1)。因为顶点在直线 y=x-2 上，所以 -1=m-2，解得 m=1。 评分标准：（1）配方或判别式 3 分，结论 1 分；（2）答对一个得 1 分，两个都答对得 3 分；（3）3 分。 23．（10分） （1）由题意，顶点为 C(0, 4)，设抛物线的表达式为 y=ax²+4。 把 B(4, 0) 代入，得 16a+4=0，a=-，所以 y=-+4（-4≤x≤4）。 （2）当水面上升 1 m 时，y=1，则 -+4=1，x²=12，x=±2√3。 此时水面宽度为 2√3-(-2√3)=4√3≈6.9（m）。 （3）小船宽 3 m，从桥中央通过时，船两侧对应的横坐标为 x=±1.5。 当 x=1.5 时，y=-+4=4-0.5625=3.4375（m）。 因为 3.4375>2.5，所以小船能从桥下通过。 评分标准：（1）4 分；（2）4√3 得 3 分（近似值 6.9 亦可）；（3）求出对应高度 2 分，结论 1 分。 24．（12分） （1）令 y=0，得 -x²+2x+3=0，解得 x1=-1，x2=3，所以 A(-1, 0)，B(3, 0)。 令 x=0，得 y=3，所以 C(0, 3)。 又 y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，所以顶点 D(1, 4)。 （2）AB=3-(-1)=4，OC=3，所以 S△ABC=×4×3=6。 （3）存在。抛物线的对称轴为直线 x=1，设 P(1, t)。 因为 △PBC 是以 BC 为底边的等腰三角形，所以 PB=PC，即 PB²=PC²。 由 PB²=(1-3)²+t²=4+t²，PC²=(1-0)²+(t-3)²=t²-6t+10， 得 4+t²=t²-6t+10，解得 t=1。 所以存在点 P(1, 1)，使 △PBC 是以 BC 为底边的等腰三角形。 评分标准：（1）A、B 共 2 分，C 1 分，D 1 分；（2）3 分；（3）设点 1 分，等量关系 2 分，求解 2 分。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $