2026--2027学年湘教版数学九年级上册期中仿真模拟题（一）[范围：第1-2章]

湘教版数学九年级上册期中仿真模拟题（一）[范围：第1-2章] 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求. 1．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为（　　） A． B． C．2 D． 2．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线a∥b∥c，AB=3，BC=2，则EF的长为（　　） A．6 B． C．4 D． 4． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AB=5， BC=4， 则tanB的值是 （　　) A． B． C． D． 5． 如图所示，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点 F， 则DF：BF=（　　). A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 6．如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点， DE∥BC且 的周长2，则△ABC的周长为(　　) A．4 B．6 C．8 D．18 7． 如图， 有一块锐角三角形材料， 边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为（　　） A．60mm B．48mm C．36mm D．24mm 8．如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，则sin∠OAB的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则∠D=　 　． 12．如图，在△ABC中，AC>AB，点D为边AB上一点，AD=2，BD=1.以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE.若DE∥BC，则AE=　 　. 13．已知实数 满足 ，则 的值为　 　． 14．计算：　 　． 15．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为　 　． 16． 如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为　 　海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 17． 如图，AD 与BC 相交于点O，∠A=∠B， AC=6，则 BD 的长为　 　. 18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E为AD上一点，AE=3，连接BE，作∠EBC的平分线交CD于点F，连接AF交BE于点G.当AB=BG时，GF的长为　 　. 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）.以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'. （1）在图中画出△A'B'C'； （2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是　 　. 20．如图， D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是． （1） 若 DE=4cm， 求BC的长． （2） 若AE=7cm， 求EC的长． 21．如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 22．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 23．如图， AD是△ABC的边BC的中线， E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点 F， BF交AC于 G，连接CF. （1）若四边形ADCF是菱形，求证：△ABC是直角三角形： （2）若CG=6，求AG长. 24．如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． （1）在点C处测得，求的长； （2）在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 25．如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE. （1）求证： （2）若求CF的长. 26．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究.如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n>1)，点D在AC边上，延长ED交AB 于点 F. （1）【初步感知】求证： （2）【深入探究】如图1，当n=2，AD=1时，求BF的长； （3）【拓展延伸】如图2，将△EAD 绕点 E 按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F，A'，D'三点共线，且点A的对应点A'满足A'A⊥A'B，求n的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】勾股定理；求正弦值 【解析】【解答】解：如图 ，过点A作AD⊥BC于点D ∵ ∴ 故答案为：B 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义即可求出答案. 2．【答案】D 【知识点】余弦的概念；正切的概念 【解析】【解答】解：因为 P是第一象限内的点，其坐标是， 所以cos=， 设x=3a，则：OP=5a 所以m=4a， 所以= 故答案为：D。 【分析】首先根据的余弦值是， 可x=3a，则：OP=5a，进而根据正切定义，即可得出答案。 3．【答案】B 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：∵直线， ∴，即， ∴． 故选：B． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的长． 4．【答案】A 【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值 【解析】【解答】解：∵直角△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， ∴BC=． ∴tanB=． 故答案为：A. 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据正切的定义解答即可． 5．【答案】A 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ABCD， ∴。 面积比等于相似比的平方： 故选 A。 【分析】本题以平行四边形与相似三角形为背景，考查了相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质。由 ABCD 得，通过面积比直接求对应边 DF 与 BF 的比。 6．【答案】B 【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ∵AD+DE+AE=2 ∴AB+BC+AC=6. 故选：B. 【分析】由DE//BC，证出△ADE∽△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果. 7．【答案】B 【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵正方形EFGH的边FG在BC上，AD为△ABC的高 ∴EH∥BC，EH=GH=KD ∴△AEH∽△ABC ∴ 设EH=x，则KD=GH=x，AK=80-x ∴ 解得：x=48 ∴这个正方形零件的边长为48mm 故答案为：B 【分析】根据正方形性质可得EH∥BC，EH=GH=KD，根据相似三角形判定定理可得△AEH∽△ABC，则，设EH=x，则KD=GH=x，AK=80-x，代入等式，解方程即可求出答案. 8．【答案】A 【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质 【解析】【解答】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为， 与的位似比为， B点坐标为， 点的对应点的坐标为即． 故答案为：A. 【分析】利用已知的一对对应点A和C的坐标，确定位似比，进而求出点B的对应点D的坐标. 9．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值 【解析】【解答】解：当x=0时，y=， ∴点B的坐标为(0，-3)， ∴OB=3； 当y=0时，， 解得：x=4， ∴点A的坐标为(4，0)， ∴OA=4， ∴AB=， ∴． 故答案为：B. 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，可得OA，OB的长，根据勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义求出B的值解答即可. 10．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵D为AB中点， ∴． 设BD=AD=x，则AB=AC=2x． ∵由旋转得CD=CB=6， ∴∠B=∠CDB． ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠CDB=∠ACB． 又∠B=∠B， ∴△BCD∽△BAC． ∴， 代入BC=6，AB=2x，BD=x， ， ，，， ∴． 由旋转得CE=AC， ∴． 故答案为：C． 【分析】先根据中点定义设BD=AD=x，表示出AB=AC=2x，再由旋转性质得CD=CB，结合等腰三角形底角相等证出△BCD∽△BAC，列出对应边的比例式求出，算出，最后利用旋转对应边相等CE=AC得到． 11．【答案】81° 【知识点】相似多边形；多边形的内角和公式 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似， 故答案为：81°. 【分析】根据相似多边形的对应角相等得到∠A=∠E=118°，然后根据四边形的内角和解答即可. 12．【答案】4 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，CE是以C为圆心、AD长为半径的线段，因此 。 ∵ 根据平行线分线段成比例定理，可得： 将 ，， 代入比例式： 解得： 故答案为：4 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，核心是先根据作图确定CE的长度。由尺规作图的半径相等得到CE与AD的等量关系，再结合DE平行于BC的条件，利用平行线分线段成比例的比例式，代入已知线段长度即可求出AE的长。 13．【答案】 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解： 设 故答案为： 【分析】设 代入所求的式子化简即可. 14．【答案】2 【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：原式 ． 故答案为：2. 【分析】根据0次幂的计算公式：a0=1，和特殊三角函数值，可求出各项的值，再利用实数的混合运算法则即可得解. 15．【答案】145 【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：设， ∵迎水坡的坡比为， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ， 解得或（负值舍去）， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∵背水坡的坡比为， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】 设，先依据坡度的定义，用含的式子表示出，再借助勾股定理计算出的值，之后再次利用坡度的定义求出的长度，最后通过计算就能得到最终结果. 16．【答案】28.2 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的垂线段CD，设CD＝x. 中， 中， 故答案为：28.2. 【分析】过点C作AB的垂线段CD可构造直角三角形CDA和CDB，设CD＝x，则解直角三角形CBD可得BD＝CD＝x，，则由线段的和差关系可得AD＝x+30x，再解直角三角形CDA可得关于x的一元一次方程并求解即可. 17．【答案】2 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解： 故正确答案为：2. 【分析】由对顶角相等结合已知可判定，再由相似比可得即可. 18．【答案】​​​​​​​ 【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：延长BF交AD的延长线于点M，延长AF交BC的延长线于点N， 在 中，，，由勾股定理得： ∵ ∴ ∵，即 ∴（两角分别相等的两个三角形相似） 相似比为 ∴ 则 ， 在 中，由勾股定理得： ∴ ∵BF平分 ， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∴ ∴（等角对等边） 则 ∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ 即 因此 故答案为： 【分析】本题综合考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义与勾股定理，核心是通过延长线段构造相似三角形。先利用勾股定理求出BE的长度，结合AB=BG得到GE的长度，通过两组平行线分别构造两对相似三角形，利用相似比依次求出AG与AF的长度，最后通过线段差得到GF的长度。 19．【答案】（1）解：如图所示： （2）（2a，2b） 【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征 【解析】【解答】内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 【分析】(1)根据位似的性质作出顶点A，B，C点，然后依次连接得到 △A'B'C' 即可； (2)根据关于原点位似比为k的点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可． 20．【答案】（1）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求出AC长，然后根据线段的和差解答即可. 21．【答案】解：连接，∵，，， 根据勾股定理可知，， ∵，， ∴， ， 则． 【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 【解析】【分析】本题采用分割转化的解题思路，通过添加对角线AC，将不规则的四边形拆分为两个三角形；先在已知直角的△ABC中应用勾股定理，求出对角线AC的长度；再通过勾股定理的逆定理，验证△ACD的三边满足直角三角形的条件，确定其为直角三角形；最后将两个直角三角形的面积相加，得到四边形的总面积，将不规则图形的面积问题转化为规则直角三角形的面积计算问题. 22．【答案】（1）解：∵，，，∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设，∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】（1） "点C的正北方有一小区A"， 说明是直角三角形，根据勾股定理求解即可； （2） 利用 “” 这个条件，设未知数后再用勾股定理列方程求解即可。 （1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 23．【答案】（1）证明： ∵四边形ADCF是菱形， AD是△ABC的中线， ∴AD=DC， BD=CD， ∴AD=BD=CD， 即 是直角三角形 （2）解：取BG中点M，连结MD，如图所示： ∵AD是 ABC的边BC的中线，则D是BC的中点， ∴DM是△BCG的中位线， ∵E是AD的中点， 在△AGE和△DME中， ∴△AGE≌△DME(ASA)， ∴AG=MD=3. 【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】 (1)由菱形性质得AD=DC，结合中线BD=DC推出AD=BD=CD，利用等边对等角拆分内角，再结合三角形内角和证出∠BAC=90°，从而判定△ABC为直角三角形； (2)取BC中点M，利用三角形中位线定理得到DM平行且等于CG，再通过对顶角、中点条件证明△AGE与△DMD全等，等量代换求出AG长度。 24．【答案】（1）解：在中，， 依题意， ， 即：的长为100m； （2）解：在中，，， ， ， ， ． 即A、B两岛的距离约为． 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【分析】本题以测量两岛距离为背景，考查了等腰直角三角形的性质及解直角三角形的实际应用。 (1) 在Rt△ACD中，由∠ACD＝45°得△ACD为等腰直角三角形，从而CD＝AD。 (2) 在Rt△BCD中，利用正切函数求出BD，再通过AB＝BD－AD计算两岛距离。 （1）解：在中，， 依题意， ， 即：的长为100m； （2）解：在中，，， ， ， ， ． 即A、B两岛的距离约为． 25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，∴由对称性可得∠DAE=∠DCE. ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∴∠DCE=∠F，∵∠FEC=∠CEG，∴△FEC∽△CEG， ​​​​​​​ （2）解：由（1）可知△FEC∽△CEG， 解得x=4，经检验，x=4是分式方程的解，∴CF=3x=12. 【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质的综合应用。 （1）先利用菱形的四条边相等、对角线平分一组对角的性质，结合公共边DE，用SAS证明 ，得到对应角相等；再结合菱形对边平行的性质，通过等量代换得到 ，加上公共角 ，用两角分别相等证明 ，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，变形后即可得到待证结论。 （2）由（1）中的相似三角形可得对应边的比例均为3，设 ，表示出CF的长度；再由菱形对边平行证明 ，根据相似比例出关于x的分式方程，解方程求出x的值，进而得到CF的长度。 26．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 即的长为； （3）解：如图，连接， 设， 由（2）中的结论可得， 由旋转的性质得，，， ∴， 设， ∵F，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴n的值为． 【知识点】旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，即可得到，结合可以得到，根据相似三角形的对应边成比例证明即可； （2）根据全等可得，，根据相似三角形的对应边成比例得到可得，，然后根据DE长求出AF，再根据线段的和差解答即可； （3）连接，设，即可得到，根据旋转可得，设，进而可得，推理得到，根据等角对等边得到，利用三线合一得到，即可得哦大，然后根据可得，，再利用线段的和差求出n的值解答即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $