精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院（甬江校区）2026-2027学年九年级上学期学科素养大比拼数学试卷

蛟川书院（甬江校区）2026学年第一学期学科素养大比拼 初三数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. ∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：∵∠A为锐角，cosA=， ∴∠A＝60°． 故选B． 【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 2. 已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2x=5y， ∴． 故选B． 3. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ） A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大 C. 不可能是黑球 D. 摸出红球的可能性最小 【答案】B 【解析】 【分析】计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误. 【详解】解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个， ∴摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小， A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误； B、摸出红球的可能性最大，故B正确； C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误； D、 摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误. 4. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9． 5. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案． 【详解】∵为⊙的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形内接于⊙， ∴， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键． 6. 如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得四边形是平行四边形，，然后根据平行四边形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点M，作于点N，取上的球心O，连接，设，则，，然后利用勾股定理运算即可． 【详解】取的中点M，作于点N，取上的球心O，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， 故选：B． 8. 如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　） A. 2sinα B. 2cosα C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 9. 如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得. 10. 如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴， ∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∵点沿着圆周转动，即旋转， ∴旋转，即旋转， ∴点C转过的圆心角为， ∴点C经过的路径长为． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 在直角三角形中，根据正切值设两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求解角B的正弦值即可． 【详解】解：在中，，， 设， 则， ∴． 故答案为：． 12. 有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两人同坐2号车的概率为_______． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出舟舟和嘉嘉同坐2号车的情况数，即可求出所求的概率： 列表如下： 1 2 1 （1，1） （2，1） 2 （1，2） （2，2） ∵所有等可能的情况有4种，其中舟舟和嘉嘉同坐2号车的情况有1种， ∴两人同坐3号车的概率P=． 考点：1．列表法或树状图法；2．概率． 13. 扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：扇形的面积= 故答案为：． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握公式是解决问题的关键． 14. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，则山高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坡比，仰俯角解直角三角形的运用，掌握勾股定理，解直角三角形的计算方法是解题的关键． 根据坡比设米，米，可得米，米，由题意可知，四边形为矩形，运用特殊角的三角函数可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵斜坡的坡度为，设米， ∴米， 由勾股定理得：， 解得：， ∴米，米，由题意可知，四边形为矩形， ∴米，， 在中，，则， 在中，，且，， ∴， 解得：， ∴山高（米）． 15. 在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、，若，则的度数为________． 【答案】##123度 【解析】 【分析】连接，由同圆中等弧对等弦可知，进而根据等弦对等弦心距可知点到三角形三边的距离相等，从而判定点为的内心，利用角平分线性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：连接，如图 在中，， 弦， 圆心到弦的距离相等，即点到的距离相等， 点是的内心 平分，平分， ， ， ， ， ． 16. 在正方形中，为对角线，点为的中点，点在边上，连接交于点．在上取一点，使得，连接、．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，证明，推出，进而得到，根据和线段中点的定义推出，则可得到，进而可证明；过点E作于点T，连接，证明C、D、H、E四点共圆，得到，；求出的长，进而求出的长，证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图所示，过点E作于点T，连接 由正方形的性质可得， ∵， ∴， ∴C、D、H、E四点共圆， ∴，； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共3小题） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． （1）若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． （2）老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 【答案】（1）抽中“云粉蝶”的概率为． （2）两人抽到同种蝴蝶的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D，然后根据题意画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽到同种蝴蝶的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：若随机抽取一张卡片，有4种结果，抽中“云粉蝶”的情况只有一种，抽中“云粉蝶”的概率为． 【小问2详解】 解：设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两人抽到同种蝴蝶的结果有4种， 所以两人抽到同种蝴蝶的概率为． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） （1）在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． （2）在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）结合网格格点特性，利用三角形的面积公式，通过确定的底和高，定位符合要求的格点； （2）结合网格格点特性，利用勾股定理构造等腰直角三角形来实现，找到符合要求的格点． 【小问1详解】 解：观察线段的位置，可以取竖直方向长度为的线段作为三角形的底， 如取点在点正下方格的格点位置，此时的长为， 而点到线段所在竖直线的水平距离为，为三角形的高， 代入面积公式正好可以得到，满足面积要求． 如取点在线段的中点正下方格的格点位置， 那么可以将分为两个同底等高的小三角形，公共的底为，相等的高为， 也可以得到，满足面积要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． 【小问2详解】 解：先计算线段的长度， 横向跨度为，纵向跨度为， ． 在上方或下方选取合适的点，使得，， 可满足，即是等腰直角三角形，直角顶点为点， 此时，，符合题目要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． 20. 如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】（1）首先证明，，即可证明； （2）首先利用勾股定理解得，结合是的中点易得，由相似三角形的性质可得，然后代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 21. “锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． （1）若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） （2）给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【小问1详解】 解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ． 在中，，，． ， ． ． 【小问2详解】 解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由题可知． 在中，，， ， ． 琴码垫高的高度为． 22. 如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后结合，可证明，进而证明结论； （2）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，结合易得；设，则，，在中由勾股定理解得的值，可确定的长度，然后在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴在中，． 23. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分，求t的值； （2）当时，求点E的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【小问1详解】 解：当平分时，， ∴是等腰直角三角形， 【小问2详解】 ∵， 又 ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 【小问3详解】 存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下： 当点在点上方时，如图1， 若时， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：(不合题意舍去)， ∴； ∴点； 当点在点下方时，如图2， ①若时， 又∵， 则， 解得：(不合题意舍去)， ②若，则， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 24. 如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点． （1）若圆的半径为，，求的长． （2）如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点． （3）如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若， ①求证：； ②若，求的半径长． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，连接，延长交于点， ∵， ∴， 由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴为半圆弧的中点． （3）①证明：如图所示，连接、、、、、、， 由（2）可得：，， 在中，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）连接，利用是直径得出，再由，即可求出； （2）连接，延长交于点，由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线，得出，进而得出，利用圆周角定理可得，从而证明为半圆弧的中点； （3）①连接、、、、、、，先证明得出，再证明得出，最后证明得出，得出是的垂直平分线，即可证明； ②过点作于，连接、、、、、、，由（2）得：，，由题意可得四边形是正方形，利用正方形的性质可得出的半径长与相等，还可证明得出，证明得出，，进而得出，最后在与中利用勾股定理即可求出的半径长． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵圆的半径为， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②如图所示，过点作于，连接、、、、、、， 由（2）得：，， ∴， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， 由①可得：是的垂直平分线， 又∵是的垂直平分线，即与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即的半径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2026学年第一学期学科素养大比拼 初三数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. ∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 2. 已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ） A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大 C. 不可能是黑球 D. 摸出红球的可能性最小 4. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 6. 如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　） A. 2sinα B. 2cosα C. D. 9. 如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，，则的值为______________． 12. 有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两人同坐2号车的概率为_______． 13. 扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为_________． 14. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，则山高为______米． 15. 在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、，若，则的度数为________． 16. 在正方形中，为对角线，点为的中点，点在边上，连接交于点．在上取一点，使得，连接、．若，，则的长为________． 三．解答题（共3小题） 17. 计算：； 18. 翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． （1）若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． （2）老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） （1）在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． （2）在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 20. 如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. “锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． （1）若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） （2）给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 22. 如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分，求t的值； （2）当时，求点E的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点． （1）若圆的半径为，，求的长． （2）如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点． （3）如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若， ①求证：； ②若，求的半径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $