精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年九年级上学期学科素养大比拼数学试卷

蛟川书院（甬江校区）2025学年第一学期学科素养大比拼 初三数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题 1. 在半径为的中，的圆周角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟记定理和弧长公式．首先根据圆周角定理求得弧所对的圆心角的度数，再进一步根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是， 根据弧长的公式． 故选：． 2. 如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 3. 如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，如△ODC的面积为4，则四边形AEOD的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥BE、CD=AB，进而可得出△COD∽△EOB，根据相似三角形的性质可求出S△EOB和的值，由三角形的面积可得出S△BCD=S△COD=6，再根据平行四边形的性质结合S四边形AEOD=S△ABD-S△EOB，即可求出四边形AEOD的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥BE，CD=AB， ∴△COD∽△EOB， ∴=（）2． ∵E是AB的中点， ∴AB=2BE， ∴CD=2BE， ∴=22=4，=2， ∴S△EOB=1，BD=BO+OD=OD， ∴S△BCD=S△COD=6． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S△ABD=S△BCD=6， ∴S四边形AEOD=S△ABD-S△EOB=6-1=5． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质及相似三角形的性质求出△ABD和△BOE的面积是解题的关键． 4. 如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， 故选：B． 5. 如图，点是的边AD上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，由平行四边形性质可得，，，则有，通过相似三角形性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴的周长为：， 故选：． 6. 如图，已知，，，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理可知，根据，可得，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求出． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：C． 7. 在半径为5的内有一点P，，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（ ） A. 8条 B. 7条 C. 6条 D. 5条 【答案】A 【解析】 【分析】为过P点的直径，是与垂直的弦，连接，根据垂径定理得到，利用圆的性质有过点P的所有的弦中直径最长，最短，并且，然后根据勾股定理可计算出，则，于是得过点P的所有的弦长在6与10之间，进而可求得答案． 【详解】解：如图，为过P点的直径，是与垂直的弦，连接， 则过点P的所有的弦中直径最长，最短，并且， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴过点P的弦中弦长可以为整数的有6，7，8，9，10， 其中长为6和10的弦各有1条，长为7，8，9的弦各有2条，因此长度为整数的弦共有条． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆的有关性质以及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质，是解题的关键． 8. 如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识． 连接，过点O作于点E，由垂径定理得到，同时，先求出， 在中得到，中，即可得到． 【详解】解：连接，过点O作于点E，则，， ∴ ∴， ∵是的直径，是的半径， ∴， 在中， ∴， 在中，， ∴ 故选：D 9. 如图，圆内接四边形，，，，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，勾股定理，将绕点逆时针旋转到，则与全等，证明、、三点共线，再根据为等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转到， 过点作于点， ， ，，，， 四边形的面积等于， 圆内接四边形， ， ， 、、三点共线， ， ， ， 为等边三角形， ，． 的面积为． 四边形的面积为． 故选：D． 10. 如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，过点作于，过点作于．由，得到，弓形的面积弓形的面积，则阴影部分面积四边形的面积，下面证明，设，而，则，由，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于． ， ， ， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分面积四边形的面积 ， ， 是的中点， ， ，而 ，， 设，则， ， 是直径， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴ ∴， 而，， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得：（舍负）， ∵四边形的面积， ∴阴影部分面积 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 二、填空题 11. 已知两个相似三角形的面积比为，那么这两个相似三角形的周长比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比等于相似比，即：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12. 如图，点C在的内部，，．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明，得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，四边形和四边形相似，已知，，，______． 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据四边形的内角和定理可得的度数，再由相似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形和四边形相似， ∴． 故答案为：78 14. 如图，是一张等腰直角三角形彩色纸，．将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，这4张小长方形的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而得到，依题意得纸条的宽度为，证明都是等腰直角三角形，运用面积差可求出4张纸条的面积和．此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：相交于一点 ∵是等腰直角三角形，， 由勾股定理得： ， ∴为等腰斜边上的高， ∴ ， 依题意得纸条的宽度为： ， ∴都是等腰直角三角形 则 ∵4张宽度相等的长方形纸条 ∴10个小等腰直角三角形都是全等三角形 ∴ ∴这4张纸条的面积和是 故答案为：. 15. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 16. 如图，是边上的一点，过点画线段，使点在的边上，并且点，和的一个顶点组所在小三角形与相似，则这样的点有________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行分析即可. 【详解】解：作DE∥BC，此时△ADE∽△ACB； 作DE∥AB，此时△CDE∽△CAB 作AE：AB=AD：AC，此时△AED∽△ABC； 同理作CD：CB=CE：CA，此时△CDE∽△CBA；. 故这样的点共有四个. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似. 17. 如图，是半的直径，点是弧的中点．点是弧的中点，连接、交于点．则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，正确利用弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．连接交于点H，根据点E是弧的中点，可得，从而证得，，进而得到，，设，则，，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴， ∵是半的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，是等边边上点．，作的垂线交、分别于点、，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键．如图，过作交于，延长交于，过作于，作于，设，则，可得，，，证明，，同理可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作交于，延长交于，过作于，作于， ∵为等边三角形，， ∴，， 设，则， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19. 如图，在中，的面积为25，点分别在边上，，已知． （1）求的长． （2）求四边形的面积． 【答案】（1）（2）12 【解析】 【分析】（1）根据DE∥BC，可以证明△ADE∽△ABC，可得，可求出DE＝CF，则BF可求出． （2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，同理求得△BDF的面积，用△ABC的面积减去△ADE的面积和△BDF的面积即可求得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴DE＝， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF为平行四边形， ∴DE＝CF＝， ∴BF＝BC−CF＝6−＝； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴S△ADE＝S△ABC＝×25＝4， 同理，S△BDF＝S△ABC＝×25＝9． ∴平行四边形DFCE的面积为：25−S△ADE−S△BDF＝25−4−9＝12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，正确理解相似三角形的性质，求得△ADE的面积和△BDF的面积是关键． 20. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，得，根据，，即可求出； （2）由（1）得，根据，得，得，即可求出． 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴ ∴，即 又∵且 ∴ ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 21. 如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， （两边都减去）， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ， ， ， ， 的度数是， ， ， 的度数是 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 22. 如图，为的直径，点D为下方圆上一点，点C为的中点，连接. （1）求证：； （2）连接，并且过点C作交于点H，交于点E．若，，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：设 ， 则， ∵点C为的中点， ∴ ∴ ∴ ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据圆周角定理得到，因为点C为的中点，得到，由是直径得，根据余角的性质即可得出结论； （2）连接，根据圆心角与圆周角关系得，等量代换得，根据相似三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，利用相似三角形性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、勾股定理及相似三角形的判定与性质等，熟练掌握与圆有关的综合应用和结论是解答的关键． 23. 如图，是的内接三角形，在延长线上取一点F，连接．有． （1）连接，求证：； （2）黄金分割点是指将一条线段分为两部分．使得较长部分与整条线段的长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比．若，求证：点A是的黄金分割点； （3）若，，，求的直径． 【答案】（1） 证明：作直径，连接， ∴， ∵， ， ∵是的直径， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，即点A是的黄金分割点； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键． （1）作直径，连接，证得，由圆周角定理知，可推出，即可求证； （2）先证明，推出，再由，即可求证； （3）作直径，连接，作于M，由推出，，，再由勾股定理得，再由即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作直径，连接，作于M， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即的直径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2025学年第一学期学科素养大比拼 初三数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题 1. 在半径为的中，的圆周角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，如△ODC的面积为4，则四边形AEOD的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是的边AD上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 7. 在半径为5的内有一点P，，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（ ） A. 8条 B. 7条 C. 6条 D. 5条 8. 如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 如图，圆内接四边形，，，，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 10. 如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题 11. 已知两个相似三角形的面积比为，那么这两个相似三角形的周长比为_______． 12. 如图，点C在的内部，，．若，，则______． 13. 如图，四边形和四边形相似，已知，，，______． 14. 如图，是一张等腰直角三角形彩色纸，．将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，这4张小长方形的面积和为______． 15. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 16. 如图，是边上的一点，过点画线段，使点在的边上，并且点，和的一个顶点组所在小三角形与相似，则这样的点有________个． 17. 如图，是半的直径，点是弧的中点．点是弧的中点，连接、交于点．则______． 18. 如图，是等边边上点．，作的垂线交、分别于点、，那么______． 19. 如图，在中，的面积为25，点分别在边上，，已知． （1）求的长． （2）求四边形的面积． 20. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 22. 如图，为的直径，点D为下方圆上一点，点C为的中点，连接. （1）求证：； （2）连接，并且过点C作交于点H，交于点E．若，，求线段的长度． 23. 如图，是的内接三角形，在延长线上取一点F，连接．有． （1）连接，求证：； （2）黄金分割点是指将一条线段分为两部分．使得较长部分与整条线段的长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比．若，求证：点A是的黄金分割点； （3）若，，，求的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $