第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 一元二次不等式的解法 （重） 2 题型02 含参讨论与恒成立 重难 5 题型03 二次函数在闭区间上的最值 重难 8 题型04 二次不等式的综合应用 重难 10 题型05 二次不等式与函数图象 重难 11 题型06 方程根的个数与分布 重难 13 题型07 分式不等式与高次不等式 重难 15 题型08 绝对值不等式 重难 16 重难·创新演练 19 真题·实战演练 22 模拟·基础演练 考查重点：二次不等式的解法、含参讨论与闭区间上的最值 考点聚焦：因式分解、配方法与解集端点 ▶ 题型01 一元二次不等式的解法 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解后“小于取中间”． 【详解】原不等式可化为 ，解得 ， 所以解集为 ．故选 A． 2．（2026·山西太原·二模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化正，再因式分解． 【详解】两边同乘 ，得 ，即 ， 解得 ．故选 A． 3．（2026·江苏南京·一模）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集端点是对应方程的两根，用韦达定理求系数． 【详解】由题意，、 是方程 的两根， 所以 ，， 故 ．故选 A． 4．（2025·河南郑州·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求根后“大于取两边”． 【详解】由 得 或 ，抛物线开口向上， 所以解集为 ．故选 B． 5．（2025·安徽合肥·二模）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】被开方数非负，解二次不等式． 【详解】由 得 ， 解得 或 ，故定义域为 ．故选 B． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式化简 ，再与 在数轴上取交集． 【详解】由 得 ，即 ． 7．（2026·河北唐山·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解为 ，按“两根之间”写解集。 【详解】原不等式可化为 ，对应方程的两根为 与 ． 二次项系数为正，故解集为两根之间，即 ． 故选 B． 8．（2026·山西晋中·二模）不等式 的整数解共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】先解出解集 ，再数其中的整数。 【详解】由 得 ，解集为 ． 其中的整数为 ，共 个． 故选 B． 9．（2026·江苏徐州·一模）已知不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解集端点是对应方程的两根，用韦达定理求 ，，注意开口方向。 【详解】由解集为 知 ，且 ， 是 的两根． 由韦达定理：，得 ； ，即 ，得 ． 故 ，选 A． 10．（2026·浙江嘉兴·二模）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根式在分母上，要求被开方数严格大于 。 【详解】由题意需 ，即 ． 分解得 ，解得 ． 故定义域为 ，选 B． 11．（2026·安徽芜湖·三模）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解一元二次不等式与一次不等式，再取交集，注意端点能否取到。 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ． 取交集得 ． 故选 A． 12．（2026·福建莆田·一模）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】开口向上的二次式恒正，只需判别式小于 。 【详解】因为二次项系数 ，所以 对任意 恒成立 等价于 ，解得 ． 故 的取值范围是 ，选 A． 又 ，所以 ．故选 B． 考点聚焦：二次项系数、判别式、根的大小三步讨论 ▶ 题型02 含参讨论与恒成立 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）若不等式 的解集为 ，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】开口向上，只需判别式小于零． 【详解】由 且 得 ， 所以选项中只有 、 符合．故选 CD． 2．（2026·湖南长沙·二模）若关于 的方程 有两个不相等的正根，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】联列判别式、两根和、两根积三个条件． 【详解】由 得 或 ； 由两根和 得 ；由两根积 得 ． 取交集得 ，所以 、 符合．故选 CD． 3．（2026·浙江杭州·三模）设 ，关于 的不等式 ，下列判断正确的是（　　） A．当 时，解集为 B．当 时，解集为 C．当 时，解集为 D．对任意 ，解集均非空 【答案】ABC 【分析】分解为 ，比较两根大小． 【详解】原不等式可化为 ． 当 时，解集为 ，A 正确； 当 时，，解集为 ，B 正确； 当 时，解集为 ，C 正确； 由 B 知 时解集为空集，D 错误．故选 ABC． 4．（2025·四川成都·二模）若不等式 在 上恒成立，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分离参数得 ，再求右侧的最小值． 【详解】因为 ，所以 ，原不等式等价于 ． 5．（2026·湖北黄石·一模）关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解集为两根之间说明开口向下；系数只在相差一个正数倍数的意义下确定，故 B 不能定。 【详解】A：解集为两根之间，故抛物线开口向下，，正确； B：， 是 的两根，由韦达定理 ，，即 ，， 的值不确定，故 不能确定，错误； C： 在解集内，故 ，正确； D： 是方程的根，故 ，正确． 故选 ACD． 6．（2026·湖南岳阳·二模）若关于 的方程 有两个不相等的正根，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】三个条件缺一不可：、两根之和为正、两根之积为正。 【详解】设两根为 ，，则需同时满足： ，即 ，解得 或 ； ，即 ； ，即 ． 取交集得 ． 故 与 符合， 时方程为 有两等根， 时 不满足． 故选 AD． 7．（2026·浙江湖州·三模）设 ，关于 的不等式 ，下列判断正确的是（　　） A．当 时，解集为 B．当 时，解集为 C．当 时，解集为 D．对任意 ，解集均非空 【答案】ABC 【分析】因式分解为 ，按 与 的大小分类讨论。 【详解】原不等式即 ． 当 时，解集为 ，B 正确； 当 时，不等式为 ，解集为 ，A 正确； 当 时，解集为 ，C 正确； 由 A 知 时解集为空集，D 错误． 故选 ABC． 8．（2026·四川宜宾·二模）若不等式 在 上恒成立，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B．当 时不等式在 上恒成立 C．当 时不等式在 上恒成立 D． 【答案】ABD 【分析】分离参数得 ，再求右边在 上的最小值。 【详解】当 时 ，不等式等价于 ，即 ． 由 （当 时取等）得 ， 故需 ，即 的最大值为 ，A、B、D 均正确； 当 时，取 得 ，不恒成立，C 错误． 故选 ABD． 在 上单调递增，最小值为 （ 时取得）， 所以 ，选项中 、、 符合．故选 ABC． 考点聚焦：对称轴与区间位置的三种情形 ▶ 题型03 二次函数在闭区间上的最值 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）函数 在 上的值域是________． 【答案】 【分析】对称轴在区间内，最小值在顶点，最大值在端点． 【详解】，对称轴 ，最小值为 ． 又 ，，故值域为 ． 2．（2026·山东济南·三模）函数 在 上的最大值是________． 【答案】 【分析】开口向下，最大值在顶点处取得． 【详解】，对称轴 ， 所以最大值为 ． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 在 上的最小值为 ，则 ________． 【答案】 【分析】按对称轴与区间的位置关系分类求最小值，再解方程． 【详解】对称轴为 ． 当 时，最小值为 ，得 ，符合； 当 时，最小值为 ，得 ，不符合； 当 时，最小值为 ，得 ，不符合． 综上，． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】比较端点函数值，注意 ． 【详解】，． 当 时，，故 上的最大值为 ； 当 时，，最大值大于 ，不符合． 所以 的取值范围是 ． 5．（2025·广东广州·三模）若不等式 在 内有解，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】“有解”转化为 的最大值． 【详解】不等式即 ，只需 小于 在 上的最大值． 6．（2026·福建厦门·一模）函数 在 上的值域是________． 【答案】 【分析】对称轴 在区间内，最小值在顶点取到，最大值比较两端点。 【详解】，对称轴 ，故最小值 （）． 端点值： 时 ； 时 ． 故最大值 ，值域为 ． 7．（2026·山东济南·三模）函数 在 上的最大值是________． 【答案】 【分析】对称轴 落在区间内，最大值在顶点处取到。 【详解】，对称轴 ，开口向下， 故当 时取最大值 ． （端点值 ，，均小于 ．） 8．（2026·江西南昌·二模）已知 在 上的最小值为 ，则 ________． 【答案】 【分析】按对称轴 与区间的位置关系分三类，分别求最小值并检验。 【详解】，对称轴 ． 若 ，最小值 ，得 ，与 矛盾； 若 ，最小值 ，得 ，故 （ 舍去）； 若 ，最小值 ，得 ，与 矛盾． 综上 ． 9．（2026·河北沧州·一模）已知函数 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 已是最大值，只需右端点的函数值不超过 。 【详解】，，顶点值 ． 要使 上的最大值为 ，只需 ，即 ， 解得 ；又区间 非退化，故 ． 所以 的取值范围是 ． 10．（2026·广东汕头·三模）若不等式 在 内有解，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】“有解”转化为 小于 在区间上的最大值。 【详解】不等式即 ，它在 内有解等价于 ． 而 ，当 时取到 ． 故 ． ，在 处取得最大值 ，且 ， 所以 ． 考点聚焦：与集合、定义域、参数范围结合的综合题 ▶ 题型04 二次不等式的综合应用 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数：由 ，结合 转化为 的最小值． 【详解】原不等式即 ． 因为 ，所以 ，两边同除以 得 ． 令 ，则 ，． 由 （ 即 时取等号）得 ， 故 的最小值为 ，所以 ． 2．（2026·全国·模拟预测）某企业生产一种产品，每件成本 元，售价为 元（），年销售量为 万件．若年利润不低于 万元，求售价 的取值范围． 【答案】 【分析】年利润 每件利润 年销售量，列出二次不等式后求解． 【详解】年利润 万元． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 ． (1) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围； (2) 若 在 上的最小值为 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 开口向上恒非负即 ；(2) 按对称轴与区间的位置分三类讨论最小值。 【详解】(1) 因为二次项系数 ，所以恒成立等价于 ， 即 ，解得 ，故 的取值范围是 ． (2) 对称轴 ． 若 ，最小值 ，得 ，符合； 若 ，最小值 ，得 ， 或 ，均不在 内； 若 ，最小值 ，得 ，不符合 ． 综上 ． 4．（2026·全国·模拟预测）某商品进价为每件 元，当售价为每件 元（）时，日销售量为 件． (1) 求日利润 （元）关于售价 的函数解析式； (2) 若日利润不低于 元，求售价 的取值范围； (3) 售价定为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【答案】(1) （）；(2) ；(3) 售价 元时利润最大，最大日利润为 元 【分析】日利润 每件利润 日销售量，转化为二次函数后求最值与解一元二次不等式。 【详解】(1) 每件利润为 元，日销售量为 件， 故 （）． (2) 由 得 ，即 ， 分解得 ，解得 ． 结合定义域，售价范围为 ． (3) ，当 时取最大值 ． 故售价定为 元时，日利润最大，最大日利润为 元． 考点聚焦：解集端点即方程的根，开口方向定正负 ▶ 题型05 二次不等式与函数图象 一、单选题 1．（2026·山东聊城·三模）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集端点是方程的两根，且开口向下，可设 。 【详解】由解集为 知 ，且 、 是方程 的两根． 于是 ， 故 ，，即 ． 故选 A． 2．（2025·安徽六安·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数在对称轴右侧递增，只需对称轴不在区间内部。 【详解】 的图象开口向上，对称轴为 ． 要使 在 上单调递增，只需 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖南邵阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为直线 B．函数的最小值为 C．图象与 轴交于 、 D．函数在 上单调递减 【答案】ABC 【分析】配方后读出对称轴与最值，再解方程求零点。 【详解】，对称轴为 ，最小值为 ，A、B 正确； 令 得 或 ，C 正确； 函数在 上单调递增，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西新余·二模）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】开口向上，恒非负等价于判别式不大于零。 【详解】由 得 ． 四、解答题 5．（2026·广西河池·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式． (1) 讨论对称轴与区间的位置关系； (2) 写出 的分段表达式． 【答案】当 时 ；当 时 ；当 时 【分析】按对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情形分别求最小值。 【详解】，对称轴为 ． 当 时， 在 上递增，； 当 时，最小值在顶点处取得，； 当 时， 在 上递减，． 故 考点聚焦：把方程根的问题转成二次函数图象与 x 轴的交点 ▶ 题型06 方程根的个数与分布 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）若方程 在区间 内有两个不相等的实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对称轴在区间内，需判别式大于零且两个端点函数值都为正。 【详解】设 ，对称轴 ． 由 得 ； 又 ，， 综上 ． 故选 A． 2．（2025·河南新乡·二模）若方程 有两个不相等的正根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两根为正需判别式非负、两根之和为正、两根之积为正。 【详解】由 得 或 ； 两根之和 ，故 ； 两根之积 恒成立． 综上 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北十堰·三模）关于方程 的根，下列说法正确的是（　　） A．当 时有两个不相等的实根 B．当 时有两个相等的实根 C．当 时没有实根 D．无论 取何值都有实根 【答案】ABC 【分析】按判别式的三种情形分类。 【详解】． 当 时 ，有两个不等实根，A 正确； 当 时 ，有两个相等实根，B 正确； 当 时 ，无实根，C 正确，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西景德镇·二模）若方程 的一个根大于 、另一个根小于 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】开口向上的抛物线在 处函数值为负，即可保证两根分居 的两侧。 【详解】设 ，开口向上， 只需 ， 解得 ． 四、解答题 5．（2026·陕西汉中·模拟预测）讨论关于 的方程 的实根个数． (1) 写出判别式； (2) 按判别式的符号讨论． 【答案】 或 时两个不等实根； 或 时两个相等实根； 时无实根 【分析】二次方程根的个数由判别式符号决定。 【详解】(1) ． (2) 当 或 时 ，有两个不等实根； 当 或 时 ，有两个相等实根； 当 时 ，无实根． 考点聚焦：移项通分、因式分解，再用穿根法定区间开闭 ▶ 题型07 分式不等式与高次不等式 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分母不能为零，故 处取不到；分子可以为零。 【详解】由 得 且 ， 解得 或 ， 故解集为 ． 故选 C． 2．（2025·河南洛阳·二模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三个零点把数轴分成四段，从最右段开始“奇穿偶不穿”。 【详解】三个零点 均为单根，最右段 上为正， 依次交替为负、正、负， 故解集为 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北宜昌·三模）关于不等式 ，下列说法正确的是（　　） A．解集为 B．解集为 C． 不是该不等式的解 D． 是该不等式的解 【答案】ACD 【分析】分式不等式的解集端点要检验分母是否为零。 【详解】原不等式等价于 且 ， 解得 ，A 正确，B 错误； 使分母为零，不是解，C 正确； 时左边为 ，满足不等式，D 正确． 故选 ACD． 三、填空题 4．（2025·江西九江·二模）不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】分子分解为 ，三个临界值 ，其中 处取不到。 【详解】原不等式等价于 且 ， 由穿根法得 或 ， 故解集为 ． 四、解答题 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）解关于 的不等式 ． (1) 移项并通分； (2) 判断分母的符号，写出解集． 【答案】 【分析】先移项通分，化成右边为零的标准形式再判断符号。 【详解】移项通分得 ， 即 ， 因为分子恒为负，所以只需 ， 解得 ，故解集为 ． 考点聚焦：零点分段去绝对值，或直接用 |x-a|+|x-b| 的几何意义 ▶ 题型08 绝对值不等式 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 型直接化为 。 【详解】由 得 ， 故解集为 ． 故选 A． 2．（2025·河南洛阳·二模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 型化为 或 。 【详解】由 得 ；由 得 ， 故解集为 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北十堰·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的最小值为 B．当 时 取得最小值 C．不等式 的解集为 D． 的最小值为 【答案】ABC 【分析】数轴上到 与 的距离之和，最小值就是两点间距离。 【详解】 表示数轴上点 到 、 的距离之和， 当 落在 上时取最小值 ，A、B 正确，D 错误； 故 的解集为 ，C 正确． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西九江·二模）若不等式 对任意实数 恒成立，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】恒成立只需 小于左边的最小值。 【详解】 的最小值为 ， 故只需 ，即 ． 四、解答题 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）解不等式 ． (1) 以 、 为界分段讨论； (2) 写出解集． 【答案】 【分析】以 、 为分界点分三段去掉绝对值。 【详解】当 时，原式化为 ，得 ，故 ； 当 时，原式化为 ，恒成立； 当 时，原式化为 ，得 ，故 ． 综上解集为 ． 由 得 ， 即 ，亦即 ， 解得 ． 又 ，故售价的取值范围是 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：最值反求参数、解集互换与“存在”和“任意”的辨析 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按对称轴与 的位置关系分三类，分别解方程． 【详解】对称轴为 ． 当 时，最小值为 ，得 ，符合； 当 时，最小值为 ，得 ，均不符合； 当 时，最小值为 ，得 ，符合． 综上，．故选 C． 2．（2026·浙江温州·三模）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由解集求 、，再代入新不等式． 【详解】由解集为 知 、 是方程 的两根， 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最小值在右端点取到，说明区间在对称轴左侧（含对称轴恰在右端点的情形）。 【详解】，对称轴 ，开口向上． 在 上递减（或先减后增但最低点在 ）等价于 ： 当 时， 位于对称轴左侧， 为最小值； 当 时，若 则最小值在 取到，若 则最小值在 取到，均不符合． 故 ，选 A． 4．（2026·浙江温州·三模）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解集得两根与系数比，再对 两边同除以 ，把新方程的两根写成原两根的倒数。 【详解】由解集为 知 ，且 ， 是 的两根， 故 ，，即 ，． 代入 得 ，两边同除以 得 ， 分解得 ，解得 或 ． 故解集为 ，选 A． 所以 ，． 代入 得 ，即 ， 解得 ．故选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ．（1）若存在 ，使 成立，求 的取值范围；（2）若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】“存在”对应最小值，“任意”也对应最小值，但不等号方向相反． 【详解】，在 上单调递增， 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 若 在 上的最小值为 ，求 的值； (2) 若 在 上恒成立，求 的取值范围； (3) 若方程 有两个不相等的实根 ，，且 ，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】三问都按对称轴 与区间的位置分类；(3) 需同时控制判别式、对称轴位置与端点函数值。 【详解】(1) 对称轴 ． 若 ，最小值 ，不合题意； 若 ，最小值 ，得 ，取 ； 若 ，最小值 ，得 ，与 矛盾． 故 ． (2) 最小值 ：当 时最小值为 ，成立；当 时需 ，即 ；当 时最小值为 ，不成立． 综上 ． (3) 需 ，即 或 ； 对称轴 ，即 ； 端点值 ，，即 ． 取交集得 ． 所以 的最小值为 ，最大值为 ． （1）“存在 使 ”等价于 的最小值， 即 ． （2）“对任意 都有 ”等价于 的最小值， 即 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：集合与不等式交汇、恒成立求参数、含参讨论的规范书写 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T1 改编）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二次不等式，再与 取交集． 【详解】由 得 ，即 ． 又 ，所以 ．故选 A． 2．（2023·全国甲卷·T1 改编）设集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把 化成区间，再由子集关系确定端点． 【详解】由 得 ． 要使 ，必须 ，即 ； 当 时 ，不包含 ，故等号不能取．故选 A． 3．（2024·北京卷·T4 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数得 ，再求右侧的最大值． 【详解】原不等式等价于 ． 在 上的最大值为 （ 时取得）， 故需 ；当 时， 处取等号，不满足严格大于．故选 A． 4．（2022·天津卷·T3 改编）已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最小值要求区间含顶点，最大值要求区间不含使函数值大于 的点． 【详解】，对称轴 ，，． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·T1 改编）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二次不等式得 ，再与 取交集。 【详解】由 得 ，故 ． 又 ，取交集得 ． 故选 A． 6．（2023·全国甲卷·T1 改编）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由 要求 ，注意 是开区间。 【详解】由 得 ，故 ． 由 知 ，需 （若 则 ）． 故 ，选 A． 7．（2024·北京卷·T4 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数得 恒成立，求右边在 上的最大值。 【详解】不等式即 对任意 成立，故 ． 而 ，在 上最大值为 （ 时取到）． 故 ，选 A． 8．（2022·天津卷·T3 改编）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最小值恰为顶点值，说明对称轴 落在区间内；再排除顶点在区间外的可能。 【详解】，顶点值为 ． 若 ，即 ，则最小值为 ，符合； 若 ，即 ，最小值 ，得 ，，与 矛盾； 若 ，最小值 ，得 ，，与 矛盾． 故 ，选 A． 最小值为 需 ，即 ； 最大值为 需 ，即 ． 所以 ．故选 A． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】分离参数得 ，再求最小值． 【详解】因为 ，所以 ，原不等式等价于 ． 10．（2023·上海卷·T6 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】需分 与 两类；后者要求开口向下且判别式小于 。 【详解】当 时，不等式为 ，恒成立； 当 时，需 且 ，解得 ． 综上 的取值范围是 ． 由 ，当且仅当 时取等号，且 ， 故最小值为 ，所以 ． 三、解答题 11．（2026·全国·模拟预测）解关于 的不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】分解为 ，按 的符号与两根大小分类． 【详解】原不等式可化为 ． 当 时，不等式为 ，解集为 ． 当 时，抛物线开口向上，解集为两根之外： 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ． 当 时，抛物线开口向下，解集为两根之间， 又 ，故解集为 ． 12．（2025·全国·模拟预测）某工厂生产一种产品，每件成本 元，售价 元（），年销售量为 万件．若年利润不低于 万元，求售价 的取值范围． 【答案】 【分析】建立利润函数，解二次不等式并与定义域取交集． 【详解】年利润 万元． 13．（2026·全国·模拟预测）解关于 的不等式 ． (1) 把不等式左边因式分解，并写出对应方程的两根； (2) 就 的取值讨论，写出不等式的解集． 【答案】(1) ，两根为 与 ；(2) 当 或 时解集为 ，当 时解集为 ，当 或 时解集为 【分析】两根为 与 ，需按 与 的大小关系分类，分界点为 与 。 【详解】(1) ，故不等式即 ，对应方程的两根为 与 ． (2) 由 的符号分类： 当 或 时，，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 或 时，，不等式化为 ，解集为 ． 14．（2025·全国·模拟预测）某旅行社组团旅游，人数不超过 人时，人均费用为 元；超过 人时，每增加 人，人均费用降低 元，但人均费用不低于 元． (1) 设参团人数为 ，求人均费用 （元）关于 的解析式； (2) 若某团共支付费用 元，求该团的人数． 【答案】(1) （，），（，）；(2) 人 【分析】(1) 分段建模，注意“人均不低于 元”给出上限 ；(2) 分两段列方程，检验解是否落在本段范围内。 【详解】(1) 当 时，； 当 时，，由 得 ． 故 其中 ． (2) 若 ，则 ，得 ，不在本段内，舍去； 若 ，则 ，即 ， 解得 或 ，其中 舍去． 故该团共有 人． 由 得 ， 即 ，亦即 ， 解得 ． 又 ，故售价的取值范围是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 一元二次不等式的解法 （重） 2 题型02 含参讨论与恒成立 重难 3 题型03 二次函数在闭区间上的最值 重难 4 题型04 二次不等式的综合应用 重难 5 题型05 二次不等式与函数图象 重难 5 题型06 方程根的个数与分布 重难 6 题型07 分式不等式与高次不等式 重难 7 题型08 绝对值不等式 重难 7 重难·创新演练 8 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考查重点：二次不等式的解法、含参讨论与闭区间上的最值 考点聚焦：因式分解、配方法与解集端点 ▶ 题型01 一元二次不等式的解法 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．（2026·河北唐山·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·山西晋中·二模）不等式 的整数解共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．（2026·江苏徐州·一模）已知不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·浙江嘉兴·二模）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·安徽芜湖·三模）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 12．（2026·福建莆田·一模）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：二次项系数、判别式、根的大小三步讨论 ▶ 题型02 含参讨论与恒成立 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）若不等式 的解集为 ，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·二模）若关于 的方程 有两个不相等的正根，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·三模）设 ，关于 的不等式 ，下列判断正确的是（　　） A．当 时，解集为 B．当 时，解集为 C．当 时，解集为 D．对任意 ，解集均非空 4．（2025·四川成都·二模）若不等式 在 上恒成立，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·湖北黄石·一模）关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·湖南岳阳·二模）若关于 的方程 有两个不相等的正根，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·浙江湖州·三模）设 ，关于 的不等式 ，下列判断正确的是（　　） A．当 时，解集为 B．当 时，解集为 C．当 时，解集为 D．对任意 ，解集均非空 8．（2026·四川宜宾·二模）若不等式 在 上恒成立，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B．当 时不等式在 上恒成立 C．当 时不等式在 上恒成立 D． 考点聚焦：对称轴与区间位置的三种情形 ▶ 题型03 二次函数在闭区间上的最值 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）函数 在 上的值域是________． 2．（2026·山东济南·三模）函数 在 上的最大值是________． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 在 上的最小值为 ，则 ________． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是________． 5．（2025·广东广州·三模）若不等式 在 内有解，则 的取值范围是________． 6．（2026·福建厦门·一模）函数 在 上的值域是________． 7．（2026·山东济南·三模）函数 在 上的最大值是________． 8．（2026·江西南昌·二模）已知 在 上的最小值为 ，则 ________． 9．（2026·河北沧州·一模）已知函数 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是________． 10．（2026·广东汕头·三模）若不等式 在 内有解，则 的取值范围是________． 考点聚焦：与集合、定义域、参数范围结合的综合题 ▶ 题型04 二次不等式的综合应用 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 2．（2026·全国·模拟预测）某企业生产一种产品，每件成本 元，售价为 元（），年销售量为 万件．若年利润不低于 万元，求售价 的取值范围． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 ． (1) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围； (2) 若 在 上的最小值为 ，求 的值． 4．（2026·全国·模拟预测）某商品进价为每件 元，当售价为每件 元（）时，日销售量为 件． (1) 求日利润 （元）关于售价 的函数解析式； (2) 若日利润不低于 元，求售价 的取值范围； (3) 售价定为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 考点聚焦：解集端点即方程的根，开口方向定正负 ▶ 题型05 二次不等式与函数图象 一、单选题 1．（2026·山东聊城·三模）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽六安·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南邵阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为直线 B．函数的最小值为 C．图象与 轴交于 、 D．函数在 上单调递减 三、填空题 4．（2025·江西新余·二模）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是________． 四、解答题 5．（2026·广西河池·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式． (1) 讨论对称轴与区间的位置关系； (2) 写出 的分段表达式． 考点聚焦：把方程根的问题转成二次函数图象与 x 轴的交点 ▶ 题型06 方程根的个数与分布 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）若方程 在区间 内有两个不相等的实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南新乡·二模）若方程 有两个不相等的正根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北十堰·三模）关于方程 的根，下列说法正确的是（　　） A．当 时有两个不相等的实根 B．当 时有两个相等的实根 C．当 时没有实根 D．无论 取何值都有实根 三、填空题 4．（2025·江西景德镇·二模）若方程 的一个根大于 、另一个根小于 ，则 的取值范围是________． 四、解答题 5．（2026·陕西汉中·模拟预测）讨论关于 的方程 的实根个数． (1) 写出判别式； (2) 按判别式的符号讨论． 考点聚焦：移项通分、因式分解，再用穿根法定区间开闭 ▶ 题型07 分式不等式与高次不等式 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·二模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北宜昌·三模）关于不等式 ，下列说法正确的是（　　） A．解集为 B．解集为 C． 不是该不等式的解 D． 是该不等式的解 三、填空题 4．（2025·江西九江·二模）不等式 的解集是________． 四、解答题 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）解关于 的不等式 ． (1) 移项并通分； (2) 判断分母的符号，写出解集． 考点聚焦：零点分段去绝对值，或直接用 |x-a|+|x-b| 的几何意义 ▶ 题型08 绝对值不等式 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·二模）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北十堰·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的最小值为 B．当 时 取得最小值 C．不等式 的解集为 D． 的最小值为 三、填空题 4．（2025·江西九江·二模）若不等式 对任意实数 恒成立，则 的取值范围是________． 四、解答题 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）解不等式 ． (1) 以 、 为界分段讨论； (2) 写出解集． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：最值反求参数、解集互换与“存在”和“任意”的辨析 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ．（1）若存在 ，使 成立，求 的取值范围；（2）若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 若 在 上的最小值为 ，求 的值； (2) 若 在 上恒成立，求 的取值范围； (3) 若方程 有两个不相等的实根 ，，且 ，求 的取值范围． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：集合与不等式交汇、恒成立求参数、含参讨论的规范书写 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T1 改编）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·T1 改编）设集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·北京卷·T4 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·天津卷·T3 改编）已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·T1 改编）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·T1 改编）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·北京卷·T4 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2022·天津卷·T3 改编）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是________． 10．（2023·上海卷·T6 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是________． 三、解答题 11．（2026·全国·模拟预测）解关于 的不等式 ． 12．（2025·全国·模拟预测）某工厂生产一种产品，每件成本 元，售价 元（），年销售量为 万件．若年利润不低于 万元，求售价 的取值范围． 13．（2026·全国·模拟预测）解关于 的不等式 ． (1) 把不等式左边因式分解，并写出对应方程的两根； (2) 就 的取值讨论，写出不等式的解集． 14．（2025·全国·模拟预测）某旅行社组团旅游，人数不超过 人时，人均费用为 元；超过 人时，每增加 人，人均费用降低 元，但人均费用不低于 元． (1) 设参团人数为 ，求人均费用 （元）关于 的解析式； (2) 若某团共支付费用 元，求该团的人数． / 学科网（北京）股份有限公司 $