第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦一元二次及常见不等式解法，从基础到含参问题分层设计，融合新考法与真题实战，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式基础解法|单选7、填空2、解答1|集合运算、充要条件判断|从定义出发，结合二次函数图像解不等式| |三个二次综合应用|单选7、多选1、填空2、解答1|二次函数零点、解集与参数关系|构建二次函数、方程、不等式的内在联系| |分式与高次不等式|单选6、多选2、填空2|分式不等式转化、高次因式分解|通过等价变形将复杂不等式转化为整式不等式| |绝对值与指对不等式|单选8、多选1、填空1、解答1|绝对值去符号、指对函数单调性应用|利用函数性质简化不等式求解| |含参一元二次不等式|单选4、多选2、填空1、解答3|参数分类讨论、解集区间确定|按参数影响不等式类型及根的大小分类| |恒成立/能成立问题|单选5、多选2、填空4、解答1|参数范围求解、函数最值应用|转化为函数最值问题，体现数学建模思想|

第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 一元二次不等式的基础解法 2 题型02 三个二次的综合应用 6 题型03 分式与高次不等式的解法 13 题型04 绝对值与指数对数不等式的解法 18 题型05 含参一元二次不等式的解法 25 题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题 33 重难·创新演练 44 真题·实战演练 53 模拟·基础演练 考查重点：一元二次不等式的应用 题型01 一元二次不等式的基础解法 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 2．（2026·江苏南京·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可化简集合A，然后由交集定义可得答案. 【详解】由题，或，则. 3．（2026·福建龙岩·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 再根据交集的概念得. 4．（2026·天津静海·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，解得或，即， 所以. 5．若实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得a，b，c大小不等，且b在a，c之间，取a=0可排除两个选项，将用表示出即可得解. 【详解】因实数，，满足，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间， 取a=0，则，即选项A，C都不正确， 而，即选项D不正确，选项B正确. 故选：B 6．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 7．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 二、填空题 8．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为 【新考法】9．记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 【答案】 21 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 三、解答题 【新情境】10．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算，得到关于的不等式组，求解可得的取值范围． 【详解】（1）记事件M：恰有2个芯片正常运行. 事件N：芯片C的运行正常． 由题可知，. . 所以在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行正常的概率为. （2） 若该设备正常工作，则恰有2个或恰有3个芯片正常运行. 所以该设备正常工作的概率为． 所以，结合解得， 所以的取值范围为． 题型02 三个二次的综合应用 一、单选题 1．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 【新思维】2．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立 C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项. 【详解】当且 时， 的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立. 当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立. 故选：B 3．设集合，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若的两个根分别为，利用一元二次方程的根与对应不等式解集的关系得，由韦达定理结合已知条件求，进而可求. 【详解】若的两个根分别为且， ∴且，， ∵，且， ∴， 综上，可得：. 故选：A. 4．已知函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设知关于对称且开口向上，根据二次函数的对称性有，求解集. 【详解】依题意，有二次函数关于对称且开口向上， ∴根据二次函数的对称性：若，即有， ∴. 故选：C 5．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】本题首先可以令二次函数，则开口向上且对称轴为，然后结合题意与二次函数对称性得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】令二次函数， 则二次函数开口向上，且对称轴为， 根据二次函数对称性可知： 若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足， 即，解得， 故选：D. 【新角度】6．设函数，则“”是“”都恰有两个零点的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据二次函数零点的分布情况，从充分性和必要性进行推理论证，即可容易判断选择. 【详解】显然是的最小值，若有两个零点， 设，且，由得或， 由题意只有两个零点，因此无解，有两个不等实根， 即，，必要性得证， 若，由于，因此有两个零点， 设为，不妨设，由得或， 显然无解，有两个不等实根， 即有两个零点，充分性得证， 故题中是充分必要条件， 故选：C. 7．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值. 【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，所以，且是两个不同的正数， 则有 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是. 故选：C 二、多选题 8．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 【新思维】9．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将函数零点个数问题转化为方程的解或两函数图象交点个数问题.分类讨论方程根的情况，当时，去掉绝对值转化为新方程根的情况探讨；当时，转化为函数，图象交点个数分析即可. 【详解】令，得， 设，， 记方程的判别式. ①当，即时， 恒有，则， ， 令，得方程， 其判别式， 若，则方程有两相等实根，即函数有且仅有一个零点，不满足题意； 若，恒成立，即方程有两不等实根，即函数有两个零点，满足题意. 故当，或时，函数有两个零点； ②当，即，或时， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 由函数的图象与轴交于，且斜率， 而直线恰为的对称轴. 故结合图象可知，两函数在无交点，在恒有两交点 故，或时，函数恒有两个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【新情境】10．等差数列的公差为d，关于x的不等式＋＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是________． 【答案】11 【分析】由条件可得，，，即，所以是单调递减数列，故，然后分析的正负，从而得到答案. 【详解】关于的不等式的解集为[0，22] 所以，，所以， 所以是单调递减数列，故， 令得，所以前11项为正，从第12项起为负，所以前11项和最大． 故答案为：11 四、解答题 11．设函数． (1)若函数在上不单调，求a的取值范围； (2)对任意，都存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数单调性知对称轴在之间，则，解出即可. （2）将题目转化为对任意的实数关于y的方程有解， ∴，对任意恒成立，即转化为，对任意恒成立，然后设二次函数，，对对称轴分，和讨论即可. 【详解】（1）∵函数在上不单调， ∴，即， 所以实数a的取值范围是； （2）由已知，对任意的实数， 关于y的方程有解， 即对任意的实数关于y的方程有解， ∴，对任意恒成立， 即，对任意恒成立， 记，， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得或，故； ②当时，，解得，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，而，故， 综上所述a的范围是． 题型03 分式与高次不等式的解法 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·模拟预测）若集合 ，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】, 则. 2．（2026·吉林延边·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因， 解得或，即或 又，则. 3．（2026·河南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. ，或， . 4．（2026·陕西榆林·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以． 5．（2026·辽宁大连·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到集合，结合交集的运算即可求解. 【详解】解不等式，即解得或 即，则. 【新角度】6．（2026·辽宁大连·模拟预测）数列满足，设的前项和为，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用裂项相消法可求，结合可求实数的取值范围，逐项判断后可得正确选项. 【详解】因为， 故， 由裂项相消法可得， 故， 因为，故， 故， 故，， 而，，， ， 故选：C. 二、多选题 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 【答案】AC 【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误. 【详解】对于A：等价于，解得或，故A正确， 对于B：等价于，即， 整理得，解得，且，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：，，即，故D错误. 8．（2026·河南商丘·模拟预测）已知函数，若的解集为或，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象的对称中心的纵坐标为 D．不等式的解为 【答案】ABD 【分析】先由的解集可得是函数的极值点也是函数的零点，进而可得值及函数解析式，再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得. 【详解】因为的解集为或，所以为的极值点也是的零点，如图: 由题意得，则，解得，故A正确. 又因为为的零点,所以，解得， 故，则， 当时，，故在上单调递增，故B正确. 假设的图象的对称中心为，则对， ，则， 即，所以,解得， 而， 所以的图象的对称中心的纵坐标为，故C错误. 又因为，得，， 所以，得，故D正确. 三、填空题 【新思维】9．（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 【答案】 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故答案为：. 10．不等式的解集为 ____________ 【答案】或或 【分析】将分式不等式化为，应用穿根法求解集即可. 【详解】由题设得， 所以或或，故解集为或或. 故答案为：或或 题型04 绝对值与指数对数不等式的解法 一、单选题 1．（2026·山东济宁·三模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 或， 所以. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题设，， 所以，则其非空子集的个数有个. 3．（2026·河北衡水·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得，解得或， 由，得或，解得或， 因此“”是“”的充要条件. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式可得集合，再根据指数不等式可得集合，利用交集运算可得结果. 【详解】解分式不等式可得，由， 所以. 故选：B 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解即可. 【详解】∵，∴，即，∴， ∵，∴，解得，∴， ∴. 故选：B 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求出集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再根据交集运算方法即可得到答案． 【详解】， ， ∴， 故选：C． 7．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合和集合，根据交集的定义求出. 【详解】由题意知，，，所以. 故选：C. 【新思维】8．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】先利用导数求斜率得到直线的方程，可得出，分类讨论的符号，计算化简并判断其符号即得命题①正确；由结合指数与对数的互化，得到，即得的范围，得命题②错误；构造函数，研究其零点，再构造函数并研究其范围，即得到，得到命题③正确. 【详解】，，所以直线的斜率，直线的方程为，即，同理根据可知，直线的方程为，故，得. 命题①中，若，由可得，此时等式不成立，矛盾； 时，，因此， 若，则，有，此时； 若，则，有，此时. 所以根据数量积定义知，，即，故①正确； 命题②中，由得，得或，故②错误； 命题③中，因为，由②知，，或， 故当时，即，设，则，故 在是增函数，而，，故的根，因为，故构造函数，，则，故在上单调递减，所以，故，故③正确. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·江西宜春·模拟预测）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可. 【详解】由，解得：或， 对于A，因为，所以， 由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故D正确． 三、填空题 【新思维】10．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________． 【答案】 【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解. 【详解】当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解； 当时，， 等式恒成立，所以都是方程的解； 当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解， 所以. 因为等价于，即， 用穿根法可得不等式组的解为或， 所以. 因为，， 所以. 四、解答题 【新角度】11．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 【答案】(1) (2)1 (3)见详解 【分析】（1）由题意可知，即不等式的解集，解此不等式即可得到结果； （2）构造函数，可知即的解集，将集合只有一个元素，转化为方程有唯一解，且函数在该点处与轴相切.再借助导数，求即可求出的值 （3）构造函数，可知即的解集，求导，令，解得两根和1，通过讨论两根的大小情况，来研究的正负，进而研究的单调性，通过的正负来说明的解集，即集合必是一个区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 可化为，整理可得， 即，解得或， 所以. （2）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 令，所以即的解集， 若集合只有一个元素，即方程有唯一解， 且函数在该点处与轴相切. 因为， （i）当时，恒成立，在上单调递增， 所以，无解，故不成立； （ii）当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 即，解得. 经检验，当时， ， 所以只有一个解，且， 符合题意，故a的值为1； （3）函数的定义域为， 由题意可知即不等式（且）的解集， 即（且）的解集 令， 则， ①当时，恒成立，单调递增，当 所以的解集，即集合必是一个区间； ②当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； ③当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； 题型05 含参一元二次不等式的解法 一、单选题 1． “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为， 因为当时，必然满足，所以“”能推出“”，充分性成立； 当时，满足，但不满足，所以“”不能推出“”，必要性不成立. 故选：A. 2．已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对不等式变形为，再根据不等式）的整数解恰有4个，对进行限制即可得出答案. 【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或． 故选：． 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 二、多选题 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 6．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 三、填空题 7．已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论的解集，建立不等式得解． 【详解】由可得， 又， ， 当时，，由可得或，所以； 当时，，满足； 当时，，由可得或，所以； 综上，实数的取值范围是． 四、解答题 8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或； (2) 【分析】（1）求定义域得集合，解不等式得集合，再由交集合的运算法则计算； （2）分，，解不等式得集合，根据充分条件的定义列不等式组求解． 【详解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 又或， 所以或或； （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， 当时，， 所以或，结合解得，， 当时，， 所以，得. 综上，实数的取值范围为. 【新思维】9．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)设，解关于的不等式：． 【答案】(1)（或）； (2)； (3)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定，再利用图象平移规律求； （2）先求的取值范围，结合指数函数单调性求值域； （3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集. 【详解】（1）由幂函数定义，，解得或. 当时，，是上的偶函数，符合要求； 当时，，定义域不为且非偶函数，舍去. 故，经图象平移（右移2个单位，下移1个单位）， 得. （2）因，且单调递增， 故，值域为. （3）不等式整理为. 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 10．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案； （2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解. 【详解】（1）因为的解集为， 若，得，符合题意； 若时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. （2）由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 11．已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题 一、单选题 1．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图象列不等式求解即得. 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 4．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 5．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 二、多选题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）下列叙述正确的是（    ） A．已知幂函数是奇函数，则实数 B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D．函数在区间内有零点 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误. 【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或， 当时，，，为偶函数，故舍去， 当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确； 选项B：将曲线向右平移个单位长度，得， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误； 选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误； 选项D：因为与在均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 又，， 所以，则在区间内有零点，故D正确. 三、填空题 【新考法】7．（2026·北京房山·二模）设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 【答案】②③ 【详解】1.当时，恒成立，与条件矛盾， 解得或，所以不在中； 2. 当，即时 有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 3. 当，即时，有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 综上所述 是开口向上的二次函数，在上不可能恒为负，所以， 对于①，且 ，①错误； 对于②，且 ，②正确； 对于③，若，则且，③正确； 对于④，若且，则或，④错误． 8．（2026·天津·二模）已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分析对函数的影响，再对分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和的关系，进行求解. 【详解】设，，则， 对于固定的，在的值域是，值域的区间长度为， 此时函数在的最大值为的含义是：数轴上，点到区间上所有点的最大距离为. 若，则，若或，则，所以. 对任意恒成立等价于，即：， ， ①当时，即：时，在上单调递增，所以 ，令，解得，符合题意； ②当，即：时，，而，， 若，则：，，因为，所以 ，则 ，不满足条件； 若，则，，令，解得：或，不满足条件； ③当，即：时，在上单调递减，所以，令，解得：，符合条件. 综上所述，的取值范围为. 9．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 10．（2026·重庆·模拟预测）设 ，若对 ，则 _____． 【答案】24 【详解】，， 代入，可得，即， 展开，可得， 即， 化简可得， 因为，当时，代入可得，恒成立， 当时，化简可得 代入，可得 即， 设函数， 因为是开口向上的二次函数，且，又要满足当时， 所以必须是函数的重根，即另一个根，解得， ，解得， 所以. 四、解答题 【新思维】11．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】(1) (2) (3)见解析，不存在 【分析】（1）根据集合定义，结合，得到不等式求解； （2）法一：根据集合定义，结合得到恒成立求解；法二：因为对任意实数均有，所以等价于对任意、，不等式恒成立，所以将，，代入不等式，化简得到关于和的式子，将式子转化为关于的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解的范围； （3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在. 【详解】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 可得集合， 又由函数，可得，解得，可得集合， 根据集合交集的定义与运算，可得 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得或，解得，故选项D正确． 4．（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解集合、实数集下的补集与集合，再计算二者的交集即可得到结果. 【详解】因为，即集合，所以； 由，整理得，等价为，解得， 所以集合， 所以. 5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用赋值法构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可. 【详解】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 赋值，得，解得， 即； AC项，由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故AC错误； BD项，，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故B错误，D正确. 故选：D. 6．实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，，令，则 易知与均不为且符号相同，∴，解得或. （此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.） 又∵，，，， ∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， ∴， 又∵， ∴，（当时，）， ∴解得，即，当且仅当时，等号成立. ∴综上所述，的取值范围是. 故选：D. 7．（2026·陕西西安·三模）已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，设，，作出函数图象数形结合求解，法二，对分类讨论求解即可. 【详解】法一：， 设，，令，得．作出，的大致图象，如图， 因为有三个互不相等的零点，所以要有两个大于的相异零点，记为，， 由根与系数的关系得，解得或， 所以的取值范围是． 法二：． ①若，只有一个零点，舍去； ②若，当或时，， 则，令， 得； 当时，， 则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得． ③若，当或时，，则， 令，得． 要使有三个互不相等的零点，要满足，得； 当时，0，则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得. 综上所述，的取值范围是． 二、多选题 【新思维】8．（2026·江西宜春·模拟预测）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的新定义逐项分析即可. 【详解】对于A，当不是整数时，如，则有，不满足，故A错误； 对于B，若，则有，区间长度小于，因此，因此充分性成立， 若，不妨令，此时有，但，，因此必要性不成立， 即是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由于，，不妨设，由于，从而， 因此函数变为， 当时，，此时，，， 当时，， 当时，，此时，，， 因此，函数的值域为，故C正确. 对于D，方程可变为，根据取整函数的性质有， 代入得，即，解得， 又因为必须是整数，不妨设，则，同时， 因为，因此的可能取值为， 当时，，当时，，舍去，当时，，符合条件； 当时，，当时，，符合条件，当时，，舍去； 当时，，当时，，符合条件，当时，，舍去； 因此方程的解集为，故D正确. 9．（2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】首先利用导数分析 的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式 可判断AB；根据​ 是 的根结合韦达定理可判断C；由可得，令 ，利用导数求其最大值可判断D. 【详解】已知 ，设 ，，令 ，解得 ， 在 上递减， 上递增，最小值 ， 又 时， ，故 ，， ， 时 ，因此 有两个不同的正零点 ， 要使 恒成立，开口向上的二次式必须和 同号， 因此二次式的零点恰好就是 ，即 . 由韦达定理：，​，因为 都是正数， 故 ， ，A正确； 二次式有两个不同零点，判别式 ，即 ，B正确； 因为 ​ 是 的根，故 ​，， 两式相乘得： ，即 ，C错误； 由 得 ，代入目标式化简： ， 令 ，求导得 , 当 时， ，递增； 当 时， ，递减. 因此 的最大值为 ，D正确. 三、填空题 10．（2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可. 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 【新思维】11．设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【分析】构造函数，转化不等式为，利用函数单调性求参数范围即可. 【详解】令，则，是上的奇函数． 又当时，， 所以在上单调递减，又是上的奇函数． 所以是上的减函数． 由 故等价于， ， 所以，解得 故答案为： 12．已知若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为___________. 【答案】. 【分析】不等式可以转化为，先考虑时，当时，考虑和两种情况对根式不等式进行讨论，最后求出答案. 【详解】由题意，. 当时，，； 当时， （1）若，则，设，于是，所以. （2）若，首先，而函数在上单调递减，则，而函数在上单调递减，则，则，设，于是， 所以. 综上：. 真题·实战演练 高频考点：一元二次不等式的应用 一、单选题 1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 2．（2011·山东·高考真题）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】∵， ， ∴. 故选：A. 3．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 4．（2019·浙江·高考真题）设，数列中，， ,则 A．当 B．当 C．当 D．当 【答案】A 【解析】若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确. 【详解】若数列为常数列，则，由， 可设方程 选项A：时，，， ， 故此时不为常数列， ， 且， ，则， 故选项A正确； 选项B：时，，， 则该方程的解为， 即当时，数列为常数列，， 则，故选项B错误； 选项C：时，， 该方程的解为或， 即当或时，数列为常数列，或， 同样不满足，则选项C也错误； 选项D：时，， 该方程的解为， 同理可知，此时的常数列也不能使， 则选项D错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解. 5．（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 【答案】A 【分析】先求出集合A，再求出交集． 【详解】由题意得，，则．故选A． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 7．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 9．（2019·天津·高考真题） 设，使不等式成立的的取值范围为__________. 【答案】 【分析】通过因式分解，解不等式． 【详解】， 即， 即， 故的取值范围是． 【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 10．（2012·天津·高考真题）已知集合，集合且则m =__________，n = __________. 【答案】-1,1 【详解】且 是方程的根，故 此时,所以. 【考点定位】本题考查绝对值不等式、二次不等式的解法，考查学生利用转化思想的解题能力 三、解答题 11．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 在与中， ，解得， ∴， ∵， ∴，解得或或 ∴不等式的解集为. （2）由题意及（1）得，， 在中，， ∴ ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为：，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 在中，，与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，， 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 12．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 13．（2017·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的极小值． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）列出不等式直接求解即可. （2）求出函数的导数，并探讨单调性，再确定极值点并求出极值. 【详解】（1）由，解得，所以x的取值范围为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在单调递减；当时，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 2 / 61 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 一元二次不等式的基础解法 2 题型02 三个二次的综合应用 6 题型03 分式与高次不等式的解法 13 题型04 绝对值与指数对数不等式的解法 18 题型05 含参一元二次不等式的解法 25 题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题 33 重难·创新演练 44 真题·实战演练 53 模拟·基础演练 考查重点：一元二次不等式的应用 题型01 一元二次不等式的基础解法 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建龙岩·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津静海·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．若实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 二、填空题 8．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【新考法】9．记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 三、解答题 【新情境】10．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 题型02 三个二次的综合应用 一、单选题 1．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【新思维】2．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立 C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立 3．设集合，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【新角度】6．设函数，则“”是“”都恰有两个零点的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 8．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 三、填空题 【新思维】9．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【新情境】10．等差数列的公差为d，关于x的不等式＋＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是________． 四、解答题 11．设函数． (1)若函数在上不单调，求a的取值范围； (2)对任意，都存在，使得成立，求a的取值范围． 题型03 分式与高次不等式的解法 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·模拟预测）若集合 ，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林延边·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁大连·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【新角度】6．（2026·辽宁大连·模拟预测）数列满足，设的前项和为，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 8．（2026·河南商丘·模拟预测）已知函数，若的解集为或，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象的对称中心的纵坐标为 D．不等式的解为 三、填空题 【新思维】9．（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 10．不等式的解集为 ____________ 题型04 绝对值与指数对数不等式的解法 一、单选题 1．（2026·山东济宁·三模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 3．（2026·河北衡水·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【新思维】8．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（2026·江西宜春·模拟预测）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 【新思维】10．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________． 四、解答题 【新角度】11．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 题型05 含参一元二次不等式的解法 一、单选题 1． “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 二、多选题 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 6．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 三、填空题 7．已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【新思维】9．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)设，解关于的不等式：． 10．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 11．已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题 一、单选题 1．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 4．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 二、多选题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）下列叙述正确的是（    ） A．已知幂函数是奇函数，则实数 B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D．函数在区间内有零点 三、填空题 【新考法】7．（2026·北京房山·二模）设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 8．（2026·天津·二模）已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 9．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 10．（2026·重庆·模拟预测）设 ，若对 ，则 _____． 四、解答题 【新思维】11．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·三模）已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【新思维】8．（2026·江西宜春·模拟预测）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 9．（2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 三、填空题 10．（2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【新思维】11．设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 12．已知若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为___________. 真题·实战演练 高频考点：一元二次不等式的应用 一、单选题 1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2011·山东·高考真题）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 4．（2019·浙江·高考真题）设，数列中，， ,则 A．当 B．当 C．当 D．当 5．（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 7．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 9．（2019·天津·高考真题） 设，使不等式成立的的取值范围为__________. 10．（2012·天津·高考真题）已知集合，集合且则m =__________，n = __________. 三、解答题 11．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 12．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 13．（2017·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的极小值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $