第2节 一元二次不等式与基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第2节 一元二次不等式与基本不等式 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 一元二次不等式的解法：化为标准形式后求出对应方程的根，再结合开口方向写出解集 ② 含参数一元二次不等式的分类讨论：先按二次项系数是否为零，再按判别式与两根大小分层讨论 ③ 基本不等式的适用条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可 ④ “1 的代换”与凑配法：把常数 1 或已知的和式整体代入，凑出定值后再用基本不等式求最值 ⑤ 一元二次不等式的恒成立与解集含参问题：转化为判别式、最值或集合的包含关系来处理 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某校对垃圾分类投放点做统计，投放正确率变量 v（单位：%）满足 − 5v + 6 ≤ 0，则 v 的整数取值共有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 某物流园区测算单趟货运成本，成本 y（万元）与里程 m（km）满足 y = 3m + （m > 0），则 y 的最小值为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 3. 某培养箱的适宜湿度 w（单位：%RH）需满足 − + 6w − 5 ≥ 0，则在该范围内 w 的最小整数值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 4. 某饮品配方要求两种原料配比 p、q（均为正）满足 2p + q = 6，则 pq 的最大值为 A. 3 B. C. 6 D. 5. 若二次不等式 + px + q < 0 的解集为 (−1, 3)，则 p − q 的值为 A. 2 B. −2 C. 10 D. −10 6. 已知关于 x 的不等式 − 4x + b < 0 的解集中恰含有一个整数，则实数 b 的取值范围为 A. [3, 4) B. (3, 4) C. [3, 4] D. (3, 4] 7. 某食品配料表中，两种添加剂质量 m、n（单位：g，均为正）满足 2m + n = 1，则 + 的最小值为 A. 7 + 4 B. 7 + 2 C. 5 + 4 D. 9 8. 某桥梁的安全裕度记为 z = − 3t + k（t 为荷载系数）。若要求 z 恒大于 0 对一切实数 t 都成立，则 k 的取值范围为 A. (, +∞) B. [, +∞) C. (−∞, ) D. (−∞, ] 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某化学实验要把 3 g 溶质配成质量分别为 a、b 的两份（均取正值），记 a + b = 3。则下列结论中正确的有 A. ab ≤ B. + ≥ C. + ≥ D. + ≥ 10. 若不等式 + dx + e ≥ 0 对任意实数 x 都成立，则下列判断中正确的有 A. − 12e ≤ 0 B. ≤ 12e C. d > 0 D. 若 d = 0，则 e ≥ 0 11. 下列四个关于最值的论断中，正确的有 A. 若 u > 0，则 u + 的最小值为 6 B. 若 u < 0，则 u + 的最大值为 −6 C. 若 u ≥ 1，则 u + 的最小值为 2 D. 若 0 < u ≤ 1，则 u + 的最大值为 2 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 不等式 (3 − x)(2x + 4) ≥ 0 的解集为___________。 13. 若关于 u 的不等式 − 3u + k ≤ 0 的解集非空，且该解集包含于区间 [0, 2]，则实数 k 的取值范围为___________。 14. 已知 e > 0，f > 0，且 + = 1，则 ef 的最小值为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市政管网改造中需要解关于 x 的不等式 − (k + 2)x + 2k < 0。 （1）当 k = 1 时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为 (2, 5)，求 k 的值； （3）若该不等式的解集包含于区间 (0, 5)，求 k 的取值范围。 16. 某配送中心以 t（单位：h）表示单程配送时长。 记 A = {t | − 6t + k ≤ 0}，B = {t | − 6t + 8 > 0}。 （1）当 k = 5 时，求 A ∩ B； （2）若 A ∩ B = ∅，求 k 的取值范围； （3）若 A ∩ B ≠ ∅，求 k 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第2节 一元二次不等式与基本不等式 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 一元二次不等式的解法：化为标准形式后求出对应方程的根，再结合开口方向写出解集 ② 含参数一元二次不等式的分类讨论：先按二次项系数是否为零，再按判别式与两根大小分层讨论 ③ 基本不等式的适用条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可 ④ “1 的代换”与凑配法：把常数 1 或已知的和式整体代入，凑出定值后再用基本不等式求最值 ⑤ 一元二次不等式的恒成立与解集含参问题：转化为判别式、最值或集合的包含关系来处理 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某校对垃圾分类投放点做统计，投放正确率变量 v（单位：%）满足 − 5v + 6 ≤ 0，则 v 的整数取值共有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】左边因式分解： − 5v + 6 = (v − 2)(v − 3)，对应方程的两根为 v = 2 与 v = 3。 二次项系数为 1 > 0，图象开口向上，取“≤ 0”时解集在两根之间且含端点，得 2 ≤ v ≤ 3。 区间 [2, 3] 内的整数只有 2 与 3，共 2 个，所以答案是 2 个。 【考查知识点】一元二次不等式的解法、解集中整数个数的统计 【易错点】把“两根之间”记成“两根之外”，会选出区间 [2, 3] 之外的情况；另外 2 与 3 是闭端点，必须计入整数个数 2. 某物流园区测算单趟货运成本，成本 y（万元）与里程 m（km）满足 y = 3m + （m > 0），则 y 的最小值为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】因为 m > 0，所以 3m > 0 且 > 0，两项同为正数，可以使用基本不等式。 由基本不等式得 3m + ≥ 2 = 2 = 12。 检验等号能否取到：3m = 即 = 4，得 m = 2 > 0，可以取到。 所以 y 的最小值为 12。 【考查知识点】基本不等式求最小值、等号成立条件的检验 【易错点】忘记检验等号能否取到；或者把 2 里的系数算漏，误把最小值当成 6 3. 某培养箱的适宜湿度 w（单位：%RH）需满足 − + 6w − 5 ≥ 0，则在该范围内 w 的最小整数值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】二次项系数为 −1 < 0，先把两边同乘 −1，不等号方向随之改变，得 − 6w + 5 ≤ 0。 左边因式分解为 (w − 1)(w − 5)，对应方程两根为 w = 1 与 w = 5。 此时二次项系数变为正、开口向上，取“≤ 0”得 1 ≤ w ≤ 5。 区间 [1, 5] 中的整数为 1, 2, 3, 4, 5，最小的是 1，所以最小整数值为 1。 【考查知识点】二次项系数为负的一元二次不等式的处理、实际问题中的整数取值 【易错点】两边同乘 −1 时忘记改变不等号方向，会把范围算成 w ≤ 1 或 w ≥ 5，从而误选 A 或 C 4. 某饮品配方要求两种原料配比 p、q（均为正）满足 2p + q = 6，则 pq 的最大值为 A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】把 2p 与 q 看成两项，它们的和为定值 6。 由基本不等式得 2p · q ≤ (){^|2|}，即 2pq ≤ (){^|2|} = 9。 两边同除以 2 得 pq ≤ 。 当且仅当 2p = q = 3，即 p = 、q = 3 时取等号，均大于 0，符合“一正、二定”的要求。 所以 pq 的最大值为 。 【考查知识点】基本不等式在积的最值问题中的应用、系数要一起放缩 【易错点】只对 p、q 直接用基本不等式（p + q ≥ 2）而忽略系数 2，得不到定值；或者忘了两边同除以 2，误选 C 5. 若二次不等式 + px + q < 0 的解集为 (−1, 3)，则 p − q 的值为 A. 2 B. −2 C. 10 D. −10 【答案】A 【解析】二次项系数 2 > 0，图象开口向上，解集 ( −1, 3) 是两根之间的有限区间，说明对应方程 + px + q = 0 的两根为 −1 与 3。 由根与系数的关系，两根之和 −1 + 3 = 2 = −，得 p = −4；两根之积 (−1) × 3 = −3 = ，得 q = −6。 于是 p − q = −4 − (−6) = 2。 也可直接用因式分解： + px + q = 2(x + 1)(x − 3) = − 4x − 6，即 p = −4、q = −6。 【考查知识点】一元二次不等式解集与方程根的关系、根与系数的关系 【易错点】由两根之和求 p 时丢掉负号，会把 p 算成 4，进而选出 D；由两根之积求 q 时忘记乘回二次项系数 2，会把 q 算成 −3 6. 已知关于 x 的不等式 − 4x + b < 0 的解集中恰含有一个整数，则实数 b 的取值范围为 A. [3, 4) B. (3, 4) C. [3, 4] D. (3, 4] 【答案】A 【解析】先配方： − 4x + b < 0 即 < 4 − b。 当 4 − b ≤ 0 即 b ≥ 4 时，左边非负而右边不大于 0，不等式无解，解集中整数个数为 0，不合题意。 当 b < 4 时，解集为 (2 − , 2 + )，这个区间关于 2 对称，整数 2 必在其中。 要让解集里恰有这一个整数，就要求整数 1 与 3 至少有一个落不进解集，即 ≤ 1。 于是 4 − b ≤ 1，得 b ≥ 3；再与 b < 4 合起来，得 3 ≤ b < 4。 检验端点：b = 3 时解集为 (1, 3)，开区间不含端点 1 与 3，其中只有整数 2，恰好一个，符合题意。 所以 b 的取值范围是 [3, 4)。 【考查知识点】含参一元二次不等式、解集中整数个数的端点讨论 【易错点】端点是失分重灾区：b = 3 时区间左端点恰好是整数 1，但开区间不含端点，仍只有一个整数，故左端要取等号；b = 4 时解集为空，右端不能取等号 7. 某食品配料表中，两种添加剂质量 m、n（单位：g，均为正）满足 2m + n = 1，则 + 的最小值为 A. 7 + 4 B. 7 + 2 C. 5 + 4 D. 9 【答案】A 【解析】所求式里 与 的乘积不是定值，不能直接套基本不等式，要用“1 的代换”。 因为 2m + n = 1，所以 + = ( + )(2m + n) = 4 + + + 3 = 7 + + 。 对后两项用基本不等式： + ≥ 2 = 2 = 4。 等号成立条件是 = ，即 = ，取正根得 n = m。 代入 2m + n = 1 得 2m + m = 1，关于 m 有正解，说明等号能取到。 所以最小值为 7 + 4。 【考查知识点】“1 的代换”求最值、基本不等式等号成立条件的联立 【易错点】直接硬套“和为定值则倒数和≥4”一类结论，会漏算 2m 与 n 的系数而得到 7 + 2；等号条件解不出时还要回头检验 m、n 是否都为正 8. 某桥梁的安全裕度记为 z = − 3t + k（t 为荷载系数）。若要求 z 恒大于 0 对一切实数 t 都成立，则 k 的取值范围为 A. (, +∞) B. [, +∞) C. (−∞, ) D. (−∞, ] 【答案】A 【解析】“对一切实数 t 恒有 z > 0”就是二次函数 y = − 3t + k 的图象全部落在横轴上方。 二次项系数为 1 > 0，图象开口向上，恒为正的充要条件是判别式小于 0。 由 Δ = − 4k = 9 − 4k < 0，解得 k > 。 检查端点：k = 时 z = (t − ){^|2|}，在 t = 处等于 0，不满足“严格大于 0”，故端点不能取。 所以 k 的取值范围是 (, +∞)。 【考查知识点】一元二次不等式恒成立问题与判别式 【易错点】把“恒为正”写成 Δ ≤ 0 而误选 B；开口向上时 Δ = 0 对应图象与横轴相切，此时最小值为 0，并不满足严格大于 0 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某化学实验要把 3 g 溶质配成质量分别为 a、b 的两份（均取正值），记 a + b = 3。则下列结论中正确的有 A. ab ≤ B. + ≥ C. + ≥ D. + ≥ 【答案】ABC 【解析】A 项：由基本不等式 ab ≤ (){^|2|} = (){^|2|} = ，当 a = b = 时取等号，正确。 B 项： + = − 2ab = 9 − 2ab，由 A 项知 ab ≤ ，所以 + ≥ 9 − = ，正确。 C 项： + = = ，由 A 项知 ab ≤ ，而 ab > 0，取倒数方向翻转，得 ≥ = ，正确。 D 项：把 ( + ){^|2|} 展开得 a + b + 2 = 3 + 2 ≤ 3 + 2 = 6，所以 + ≤ ，与论断的方向恰好相反。 取 a = 1、b = 2 代入， + = 1 + < ，确实不满足“≥”，故 D 错误。 【考查知识点】基本不等式的几个常用推论与等号成立条件 【易错点】C 项要先由 A 项拿到 ab 的上界再取倒数，方向会翻转，不能凭感觉估；D 项把“和平方”与“平方和”的方向记反，正确的是 + ≤ 10. 若不等式 + dx + e ≥ 0 对任意实数 x 都成立，则下列判断中正确的有 A. − 12e ≤ 0 B. ≤ 12e C. d > 0 D. 若 d = 0，则 e ≥ 0 【答案】ABD 【解析】A 项：二次项系数 3 > 0，图象开口向上，要使它恒不小于 0，图象不能在横轴下方，充要条件是判别式不大于 0，即 Δ = − 12e ≤ 0，正确。 B 项： − 12e ≤ 0 与 ≤ 12e 是同一句话，正确。 C 项：一次项系数 d 完全可以由图象左右平移改变，取 d = 0 时 + e ≥ 0 依然可以恒成立，故“d > 0”不是必要条件，错误。 D 项：若 d = 0，不等式退化为 + e ≥ 0。取 x = 0 代入得 e ≥ 0，这是恒成立的必要条件，故该论断正确。 【考查知识点】一元二次不等式恒成立的条件、必要与必要的判定 【易错点】把“恒 ≥ 0”误当成“恒 > 0”，于是写成 Δ < 0，会漏掉 = 12e 这种与横轴相切的情形 11. 下列四个关于最值的论断中，正确的有 A. 若 u > 0，则 u + 的最小值为 6 B. 若 u < 0，则 u + 的最大值为 −6 C. 若 u ≥ 1，则 u + 的最小值为 2 D. 若 0 < u ≤ 1，则 u + 的最大值为 2 【答案】ABC 【解析】A 项：u > 0 时两项同正，u + ≥ 2 = 2 = 6，当 u = 3 时取等号，正确。 B 项：u < 0 时先提出负号，令 w = −u > 0，则 u + = −(w + ) ≤ −6，当 w = 3 即 u = −3 时取等号，最大值是 −6，正确。 C 项：u ≥ 1 时 u + ≥ 2，而 u = 1 本身满足条件、等号可以在这里取到，所以最小值是 2，正确。 D 项：0 < u ≤ 1 时 u 从右侧无限接近 0， 随之无限增大，式子根本没有最大值；u = 1 时取到的 2 只是这个区间上的最小值，论断把最小说成了最大，错误。 【考查知识点】基本不等式的适用条件、最值是否真的取得到 【易错点】B 项忽视了“一正”这一前提，必须先提负号再套不等式；D 项把“最小值 2”误说成“最大值 2”，正是没有看清函数在这个区间上的走向 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 不等式 (3 − x)(2x + 4) ≥ 0 的解集为___________。 【答案】[−2, 3] 【解析】左边出现 (3 − x)，首项系数不在正面上，先把它改写成 −(x − 3)，原不等式等价于 (x − 3)(2x + 4) ≤ 0。 再化出标准形式：2(x − 3)(x + 2) ≤ 0，即 (x − 3)(x + 2) ≤ 0。 对应方程两根为 x = −2 与 x = 3，二次项系数为正、开口向上，取“≤ 0”时解集在两根之间且含端点。 所以解集为 [−2, 3]。 【考查知识点】一元二次不等式的解法与区间表示、首项系数的处理 【易错点】把 (3 − x) 的根误当作 3 之外的符号方向而写成 [−2, 3] 的补集；另外 2x + 4 = 0 的根是 −2 而不是 −4，系数 2 要一并提出 13. 若关于 u 的不等式 − 3u + k ≤ 0 的解集非空，且该解集包含于区间 [0, 2]，则实数 k 的取值范围为___________。 【答案】[2, ] 【解析】“解集非空”先给出判别式条件：Δ = 9 − 4k ≥ 0，即 k ≤ 。 在此条件下两根为 u = ，解集是闭区间 [, ]。 “解集包含于 [0, 2]”要求左端点不小于 0 且右端点不大于 2： 左端点≥0 化为 ≤ 3，即 9 − 4k ≤ 9，得 k ≥ 0； 右端点≤2 化为 3 + ≤ 4，即 ≤ 1，得 9 − 4k ≤ 1，即 k ≥ 2。 两个条件取较强的一个 k ≥ 2，再与 k ≤ 合并，得 2 ≤ k ≤ 。 检验端点：k = 2 时解集为 [1, 2] 含于 [0, 2]；k = 时解集为单点集合 [, ]，非空且含于 [0, 2]，两端都能取。 【考查知识点】解集非空与解集包含关系的双重条件、根式不等式的求解 【易错点】只解“包含于 [0, 2]”而漏掉“非空”这一条，会把 k > 也放进来；反过来只顾非空又会把范围放太窄。两个条件必须分别列式再取交集 14. 已知 e > 0，f > 0，且 + = 1，则 ef 的最小值为___________。 【答案】8 【解析】把条件与所求式对照：条件是“倒数和为 1”，求的是“积的最小值”，正好可以用基本不等式直接卡住。 由基本不等式得 + ≥ 2 = 2。 把条件代入，得 1 ≥ 2。 两边平方：1 ≥ ，于是 ef ≥ 8。 检验等号： = = 时 e = 2、f = 4，均为正且满足 + = + = 1，此时 ef = 8，等号能够取到。 所以 ef 的最小值为 8。 【考查知识点】倒数和为定值求积的最值、基本不等式的反向使用 【易错点】看到“倒数和”就想去凑“1 的代换”，其实本题直接对两项用基本不等式即可，多绕一步反而容易算错；另外平方时不要忘记 2 里 2 的系数也要平方 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市政管网改造中需要解关于 x 的不等式 − (k + 2)x + 2k < 0。 （1）当 k = 1 时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为 (2, 5)，求 k 的值； （3）若该不等式的解集包含于区间 (0, 5)，求 k 的取值范围。 【答案】解：先把左边因式分解： − (k + 2)x + 2k = (x − k)(x − 2)。 （1）当 k = 1 时，不等式化为 (x − 1)(x − 2) < 0。 对应方程的两根为 1 与 2，二次项系数为 1 > 0，图象开口向上，取“< 0”时解集在两根之间， 所以解集为 (1, 2)。 （2）由上面的因式分解可知，对应方程的两根恒为 k 与 2。 题设解集是有限区间 (2, 5)，说明不等式取“< 0”时解集落在两根之间，而两根中已有一个是 2，另一个就必须是 5，故 k = 5。 （3）由因式分解知，解集或者是空集，或者是两根之间的开区间。 ① 当 k = 2 时，不等式化为 < 0，此时无解，解集为 ∅。空集包含于任何集合，满足要求； ② 当 k > 2 时，解集为 (2, k)，要包含于 (0, 5)，由于左端点 2 > 0 已经满足，只需右端点 k ≤ 5，得 2 < k ≤ 5； ③ 当 k < 2 时，解集为 (k, 2)，要包含于 (0, 5)，只需左端点 k ≥ 0，得 0 ≤ k < 2。 综合①②③，k 的取值范围为 [0, 5]。 【解析】本题的突破口在第一步：把 − (k + 2)x + 2k 直接拆成 (x − k)(x − 2)，不要去套求根公式，那样会把参数 k 卷进根式里，讨论无法下手。 第（2）问表面是“由解集定参数”，真正用到的是“解集为有限区间 ⟺ 开口向上且取两根之间”这个判断：二次项系数恒为 1 > 0，所以有限区间的两个端点就是两根，于是 k 只能是 5。 第（3）问最容易漏掉 k = 2 这一支：两根重合时解集是空集，而空集包含于任何集合，它同样满足“包含于 (0, 5)”。漏掉这一支，答案就会错成 (0, 2) ∪ (2, 5]。 处理包含关系时要分“左端点不早于 0”和“右端点不晚于 5”两件事：左端点问题只在 k < 2 的情形出现，右端点问题只在 k > 2 的情形出现，分情形之后各自只解一个不等式，最清楚。 最后别忘把 k = 2 这个孤立点并回区间，直接写成 [0, 5] 即可。 【考查知识点】含参一元二次不等式的因式分解、解集的包含关系与空集情形 【易错点】漏掉 k = 2 时解集为 ∅ 的情形；或把“包含于 (0, 5)”误解成“端点必须严格在 (0, 5) 内部”，从而把 k = 0 这种左端点恰等于 0 的情况舍掉 16. 某配送中心以 t（单位：h）表示单程配送时长。 记 A = {t | − 6t + k ≤ 0}，B = {t | − 6t + 8 > 0}。 （1）当 k = 5 时，求 A ∩ B； （2）若 A ∩ B = ∅，求 k 的取值范围； （3）若 A ∩ B ≠ ∅，求 k 的取值范围。 【答案】解：（1）当 k = 5 时， − 6t + 5 ≤ 0 化为 (t − 1)(t − 5) ≤ 0，解得 1 ≤ t ≤ 5，即 A = [1, 5]。 又 − 6t + 8 > 0 化为 (t − 2)(t − 4) > 0，解得 t < 2 或 t > 4，即 B = (−∞, 2) ∪ (4, +∞)。 所以 A ∩ B = [1, 2) ∪ (4, 5]。 （2）（3）先统一处理 B：由（1）的做法， − 6t + 8 > 0 的解集为 B = (−∞, 2) ∪ (4, +∞)， 它在实数集中的补集恰为 [2, 4]。于是 A ∩ B = ∅ 等价于 A ⊆ [2, 4]，而 A ∩ B ≠ ∅ 等价于 A ⊄ [2, 4]。 再看 A：方程 − 6t + k = 0 的判别式为 Δ = 36 − 4k。 ① 当 Δ < 0 即 k > 9 时，A = ∅，此时 A ∩ B = ∅ 成立而 A ∩ B ≠ ∅ 不成立，归入第（2）问； ② 当 Δ ≥ 0 即 k ≤ 9 时，两根为 t = 3 ± ，A = [3 − , 3 + ]。 第（2）问由 A ⊆ [2, 4] 得 3 − ≥ 2 且 3 + ≤ 4， 两个不等式同化为 ≤ 1，即 9 − k ≤ 1，解得 k ≥ 8。 再与 k ≤ 9 合起来得 8 ≤ k ≤ 9，并入①中的 k > 9，最终得 k ≥ 8； 第（3）问是第（2）的补集，由于 k ≥ 8 包含了 A = ∅ 的 k > 9，取补集即得 k < 8。 综上：（2）k 的取值范围为 [8, +∞)；（3）k 的取值范围为 (−∞, 8)。 【解析】关键一步：把 B 写成 (−∞, 2) ∪ (4, +∞)，它的补集正好是 [2, 4]。这样一来“A ∩ B = ∅”就被翻译成“A ⊆ [2, 4]”，比硬算交集省掉一大截运算。 第（2）问的失分点有两个：一是 k > 9 时 A = ∅ 必须单独计入，只写 8 ≤ k ≤ 9 就漏了无穷远那一支；二是解不等式组时两个端点条件要同时列，虽然化简后是同一个式子，但列式过程不能省。 端点检验不能省： ≤ 1 推出 k ≥ 8，k = 8 时 A = [2, 4]，此时 2 与 4 都不属于 B（B 在这两点是开的），A ∩ B 确实仍为空集，所以 8 要取到。 第（3）问看似另起炉灶，其实与第（2）互为否定，直接取补集即可，不必重新讨论，这也提醒我们最后一问常常是前一问的镜像。 本题中集合的补集、交、空集都来自第 1 节已学过的内容，此处只作工具调用，不涉超纲。 【考查知识点】含参不等式解集、集合的补集与交集、空集的分类讨论 【易错点】忘记讨论 k > 9 时 A = ∅ 的情形，答案只剩 8 ≤ k ≤ 9；或把第（3）问误当成独立问题重新分类讨论，反而把 k ≥ 8 又算了一遍 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第2节 一元二次不等式与基本不等式 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 一元二次不等式的解法 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 基本不等式求最小值 数学运算 基础 C 3 单项选择题 5 一元二次不等式的应用 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 基本不等式求积的最大值 数学运算 基础 B 5 单项选择题 5 解集与方程根的关系 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 含参不等式与整数解个数 逻辑推理 中档 A 7 单项选择题 5 “1 的代换”求最值 数学运算 中档 A 8 单项选择题 5 恒成立问题与判别式 逻辑推理 中档 A 9 多项选择题 6 基本不等式的推论 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 恒成立与判别式 逻辑推理 中档 ABD 11 多项选择题 6 最值的存在性与凑配法 数学运算 中档 ABC 12 填空题 5 一元二次不等式的解集 数学运算 基础 [−2, 3] 13 填空题 5 解集的包含关系 逻辑推理 中档 [2, {f|9|4}] 14 填空题 5 基本不等式的直接应用 数学运算 中档 8 15 解答题 13 含参一元二次不等式 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 解集的包含关系与空集讨论 逻辑推理、数学运算 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $