第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2027届高考数学一轮复习

第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考二次函数与二次不等式的考点分布与命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、三组易混辨析与“三个二次”思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 一元二次不等式的解法 新课标Ⅰ卷 T1（5 分） 全国甲卷 T1（5 分） 北京卷 T1（5 分） 含参二次不等式的讨论 天津卷 T4（5 分） 浙江卷 T3（5 分） 上海卷 T5（5 分） 闭区间上的二次最值 全国乙卷 T11（5 分） 新课标Ⅱ卷 T8（5 分） 全国甲卷 T12（5 分） 不等式恒成立问题 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 北京卷 T9（5 分） 天津卷 T8（5 分） 一元二次方程根的分布 上海卷 T11（5 分） 全国乙卷 T11（5 分） 浙江卷 T9（5 分） 二次函数是整个高中的地基，含参讨论、恒成立、根的分布都从这里长出来，这一讲讲不透，后面导数题也会跟着吃力。 含参不等式的关键是顺序：先看二次项系数是否为零，再看判别式，最后才比较两根——顺序颠倒必然漏解。 闭区间最值只比对称轴和区间端点的位置，画图比背口诀可靠；含参时按对称轴落在区间左、中、右分类即可。 备考建议：解不等式先化正、再求根、后定形，端点开闭逐一核对；含参问题先问“二次项系数能为零吗”，再问“判别式什么符号”，最后问“两根谁大”；恒成立优先分离参数，分离后一定验证等号能否取到。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个函数、三个二次、两类最值、一种转化”。先看整体脉络： 图 1　二次函数与不等式知识结构图 学习时抓住两条主线：图象（开口、对称轴、顶点、与 轴的交点）与转化（不等式化归为方程与图象的位置关系）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 解集端点与方程的根 不等式 解集的端点就是方程 的根；但 与 时解集形式相反，口诀不能混用 判别式与解集 且 时解集为 ； 且 时解集为 ，两种情形不可互换 恒成立与有解 恒成立求 的最小值； 有解求 的最大值，方向正好相反 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　二次函数的三种表示与图象特征 一、三种表示形式 1．一般式：（），适用于已知三点或做系数运算。 2．顶点式：，顶点为 ，对称轴为 ，适用于已知顶点或最值。 3．交点式：，适用于已知图象与 轴的两个交点。 二、图象的四个特征 1．开口： 向上， 向下； 越大，开口越小。 2．对称轴：。 3．顶点：，纵坐标即最值。 4．交点个数：与 轴的交点个数由 决定， 有两个， 有一个， 没有。 注意： 1．三种表示形式中，只有一般式的二次项系数可以为任意非零实数，配方时不要漏掉常数项。 2．顶点纵坐标 与最小值 只在 时一致， 时它是最大值。 3． 决定开口宽窄， 的符号决定开口方向，两者要分开说。 【自主检测】已知 ，求图象的对称轴、顶点坐标及最小值． 【答案】对称轴 ，顶点 ，最小值 【分析】配方化为顶点式，再由开口方向确定最值． 【详解】， 　　　所以对称轴为 ，顶点坐标为 ． 　　　因为 ，图象开口向上，所以最小值为 ． ▶ 知识点2　一元二次不等式的解法 一、“三个二次”的对应关系 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的根，也就是不等式 解集的端点。三者一一对应，解题时先画草图再写解集。 二、解法的四个步骤 1．化正：两边同乘 ，把二次项系数化为正数，同时改变不等号方向。 2．求根：计算 ，求出方程的两个根 。 3．定形： 且 时，“大于取两边、小于取中间”。 4．写集：端点是否取到，看原不等式是否带等号。 三、三种判别式情形的解集 设 。若 ， 的解集为 ；若 ，解集为 ；若 ，解集为 。 注意： 1． 必须先化正，否则“大于取两边、小于取中间”完全失效。 2． 时口诀退化： 的解集是去掉顶点横坐标后的全体实数，不能写成 。 3．解集端点是否包含，取决于原不等式是否带等号，与化正时的不等号方向无关。 【自主检测】解不等式 ． 【答案】 【分析】先化正，再因式分解求根． 【详解】原不等式两边同乘 ，得 ， 　　　即 ，解得 ． 　　　所以解集为 ． ▶ 知识点3　含参一元二次不等式的分类讨论 一、讨论的三个层次 1．看开口：二次项系数含参时，先讨论系数为 （不等式退化为一次不等式）与系数不为 两种情形。 2．看判别式：系数不为 时，按 、、 分类，分别对应“两根”“一根”“无根”。 3．看两根大小： 时比较 与 的大小，才能确定解集是两根之间还是两根之外。 二、书写规范 每一类都要写成“当……时，解集为……”的完整句式，最后用“综上”汇总。分类标准要不重不漏，分界点的等号只能归入其中一类。 注意： 1．忘记 的退化情形，是含参不等式最高频的失分点。 2．两根相等的情形不能并入“两根之间”，此时解集可能是空集，也可能是去掉一个点的实数集。 3．两根大小不确定时，必须以参数与根的关系再分一次，不能默认 。 【自主检测】解关于 的不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】因式分解为 ，再比较 与 的大小． 【详解】原不等式可化为 ． 　　　当 时，解集为 ； 　　　当 时，不等式为 ，解集为 ； 　　　当 时，解集为 ． ▶ 知识点4　二次函数在闭区间上的最值 一、定轴动区间 对称轴固定、区间端点含参。按对称轴在区间的左侧、内部、右侧分三类：轴在左侧时最小值在左端点，轴在内部时最小值在顶点，轴在右侧时最小值在右端点。 二、动轴定区间 区间固定、对称轴含参。同样按轴与区间的位置关系分三类，此时最大值要在两个端点函数值中比较，离对称轴较远的端点取得最大值。 三、两个关键结论 1． 时，最小值只可能在顶点或区间端点取得，最大值一定在端点取得。 2．若函数在区间上单调，则最值都在端点取得，不必再求顶点。 注意： 1．三类分界的等号放在哪一类都可以，但不能重复也不能遗漏。 2．求最大值时必须比较两个端点的函数值，不能想当然地取离轴较近的端点。 3．含参的最值结果要写成关于参数的分段函数，并注明每一段对应的参数范围。 【自主检测】求 在 上的最大值与最小值． 【答案】最小值为 ，最大值为 【分析】对称轴 落在区间内，最小值在顶点，最大值在端点． 【详解】，对称轴为 ，且 ， 　　　所以最小值为 ． 　　　又 ，，所以最大值为 ． ▶ 知识点5　一元二次不等式恒成立与根的分布 一、在全体实数上恒成立 对任意 恒成立的充要条件是 且 ； 对任意 恒成立的充要条件是 且 。二次项系数含参时，还要单独检验 。 二、在区间上恒成立 优先分离参数： 在 上恒成立 的最小值； 在 上恒成立 的最大值。 三、一元二次方程根的分布 设 （）。两根都大于 的条件是 ，，；两根分居 两侧的条件是 。 四、恒成立与有解的区别 “有解”取最值的另一侧： 在 上有解 的最大值。方向判断错误，结论会完全相反。 注意： 1．恒成立问题不要漏掉二次项系数为零的一次情形。 2．参数分离后要判断 的最值能否取到，取不到时端点处要用严格不等号。 3．根的分布必须同时用判别式、对称轴、端点函数值三个条件，缺一不可。 【自主检测】若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】 【分析】开口向上，只需判别式小于零． 【详解】因为二次项系数 ，所以只需 ， 　　　解得 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“解法—讨论—最值—恒成立—应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 一元二次不等式的解法 例1-1（2025·江苏南京·二模）已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的值． 【答案】 【分析】解集端点是对应方程的两根，用韦达定理求 、． 【详解】由题意， 与 是方程 的两根，且 ． 　　　由韦达定理，，得 ； 　　　又 ，即 ，得 ． 　　　所以 ． 【方法技巧】 1．解集的端点就是对应方程的根，“由解集求系数”优先用韦达定理。 2．先由解集形式判断二次项系数的符号：解集是中间段则 。 3．求出系数后代回原不等式验算一次，确保端点与开闭一致。 【易错分析】 1．忽略 ，把二次项系数算成正数。 2．韦达定理符号写错，把 写成 。 3．把开区间误当成闭区间，导致端点处理错误。 【变式训练1-1】（2026·山东济南·一模）解不等式 ． 【答案】 【分析】因式分解后“小于取中间”． 【详解】原不等式可化为 ， 　　　解得 ，解集为 ． 【变式训练1-2】（2026·河北石家庄·二模）解不等式 ． 【答案】 【分析】先化正，再因式分解． 【详解】两边同乘 ，得 ， 　　　即 ，解得 ， 　　　解集为 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江宁波·三模）已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集． 【答案】 【分析】先由解集得 及 ，，再代入新不等式． 【详解】由解集为 知 ，且 、 是方程 的两根， 　　　所以 ，． 　　　代入 得 ，即 ． 　　　因为 ，所以 ，即 ， 　　　解得 ，解集为 ． ▶ 题型2 含参二次不等式的讨论 例2-1（2026·湖北武汉·一模）解关于 的不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】先分解为 ，再按 的符号与两根大小分类． 【详解】原不等式可化为 ． 　　　当 时，不等式为 ，解集为 ． 　　　当 时，抛物线开口向上，解集为两根之间： 　　　若 ，则 ，解集为 ； 　　　若 ，则 ，不等式为 ，解集为 ； 　　　若 ，则 ，解集为 ． 　　　当 时，抛物线开口向下，解集为两根之外，又 ， 　　　故解集为 ． 【方法技巧】 1．含参二次不等式先尝试因式分解，能分解就不必计算判别式。 2．按“二次项系数是否为零 → 开口方向 → 两根大小”三层依次讨论。 3．每一类结论单独成句，最后用“综上”汇总，分界点的等号只归一类。 【易错分析】 1．漏掉 的退化情形，把一次不等式当成二次不等式解。 2． 时仍套用“小于取中间”，把解集写成两根之间。 3． 时两根相等，误把空集写成某个区间。 【变式训练2-1】（2026·湖南长沙·二模）解关于 的不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】分解为 ，比较 与 的大小． 【详解】原不等式可化为 ． 　　　当 时，解集为 ； 　　　当 时，不等式为 ，解集为 ； 　　　当 时，解集为 ． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·三模）解关于 的不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】分解为 ，按开口方向与两根大小分类． 【详解】原不等式可化为 ． 　　　当 时，不等式为 ，解集为 ． 　　　当 时，，抛物线开口向上，解集为 ． 　　　当 时，抛物线开口向下，解集为两根之外： 　　　若 ，则两根均为 ，解集为 ； 　　　若 ，则 ，解集为 ； 　　　若 ，则 ，解集为 ． 【变式训练2-3】（2025·福建厦门·二模）解关于 的不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【分析】两根为 与 ，按 的符号比较两根大小． 【详解】方程 的两根为 与 ． 　　　当 时，，解集为 ； 　　　当 时，不等式为 ，解集为 ； 　　　当 时，，解集为 ． ▶ 题型3 二次函数在闭区间上的最值 例3-1（2025·浙江杭州·二模）已知函数 ，求 在区间 上的最小值 ． 【答案】当 时，；当 时，；当 时， 【分析】对称轴为 ，按 与区间 的位置关系分三类． 【详解】，对称轴为 ． 　　　当 时， 在 上单调递增，； 　　　当 时，最小值在顶点处取得，； 　　　当 时， 在 上单调递减，． 【方法技巧】 1．先配方写出对称轴，再画“轴—区间”位置草图，三类情形一目了然。 2．轴在区间左侧取右端点，轴在区间内部取顶点，轴在区间右侧取左端点。 3．结果写成关于参数的分段函数，每段后注明参数范围。 【易错分析】 1．分界点的等号重复或遗漏，导致某段参数没有对应的最值。 2． 时仍取 ，没有注意函数在区间上已单调递减。 3．把“最小值”与“顶点纵坐标”混为一谈，轴不在区间内时仍取顶点。 【变式训练3-1】（2026·四川成都·一模）求 在 上的最大值和最小值． 【答案】最小值为 ，最大值为 【分析】对称轴 在区间内，再比较两个端点． 【详解】，对称轴 ，故最小值为 ． 　　　又 ，，故最大值为 ． 【变式训练3-2】（2026·辽宁沈阳·二模）已知 ，求 在 上的最小值． 【答案】当 时，最小值为 ；当 时，最小值为 ；当 时，最小值为 【分析】对称轴 ，按区间与 的位置关系分三类． 【详解】，对称轴为 ． 　　　当 ，即 时， 在 上单调递减， 　　　最小值为 ； 　　　当 ，即 时，最小值为 ； 　　　当 时， 在 上单调递增，最小值为 ． 【变式训练3-3】（2025·广西南宁·三模）已知 在 上的最大值为 ，求 的取值范围． 【答案】 【分析】先找使 的两个点，再限制区间右端点． 【详解】，对称轴为 ，且 ． 　　　当 时， 在 上的最大值为 ，符合题意； 　　　当 时，，最大值大于 ，不符合题意． 　　　所以 的取值范围是 ． ▶ 题型4 恒成立与根的分布 例4-1（2025·山东青岛·一模）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，转化为求 的最小值． 【详解】因为 ，所以 ，原不等式等价于 ， 　　　即 ． 　　　由基本不等式，， 　　　当且仅当 ，即 时取等号，且 ． 　　　所以 的最小值为 ，故 ． 【方法技巧】 1．恒成立问题优先分离参数，把问题化为求函数在区间上的最值。 2．分离时注意所除式子的符号， 时 ，可以直接除。 3．“恒成立”与“有解”方向相反，判断不清时先画出最值的位置再定不等号。 【易错分析】 1．分离参数时没有讨论 的符号，导致不等号方向出错。 2．用基本不等式求最值却不验证等号能否在区间内取到。 3．把“恒成立”误做成“有解”，结论恰好相反。 【变式训练4-1】（2026·安徽合肥·一模）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】 【分析】开口向上，只需判别式小于零． 【详解】因为二次项系数 ，所以只需 ， 　　　解得 ． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·二模）若方程 有两个不相等的正根，求 的取值范围． 【答案】 【分析】联列判别式、两根和、两根积三个条件． 【详解】由题意，，即 ，解得 或 ； 　　　又 ，得 ； 　　　且 ，得 ． 　　　三个条件取交集，得 ． 【变式训练4-3】（2025·陕西西安·三模）若不等式 在 上有解，求 的取值范围． 【答案】 【分析】“有解”转化为 的最小值． 【详解】因为 ，所以 ，原不等式等价于 ． 　　　 在 上单调递增，故最小值为 ． 　　　因为不等式有解，所以 不小于该最小值，即 ． ▶ 题型5 二次函数的实际应用与创新 例5-1（2026·广东广州·二模）某服装厂生产一种服装，每件成本 元，售价为 元（），销售量约为 件．若要求销售该服装的利润不低于 元，求售价 的取值范围． 【答案】 【分析】利润等于每件利润乘销售量，列出二次不等式求解． 【详解】利润 ． 　　　由 得 ， 　　　即 ，亦即 ， 　　　解得 ．又 ， 　　　所以售价的取值范围是 ． 【方法技巧】 1．利润模型：利润 （售价 成本） 销售量，先列函数再列不等式。 2．注意定义域：销售量非负、售价高于成本，这些条件要与解集取交集。 3．答案要回到实际情境检验，必要时按整数取整。 【易错分析】 1．只解不等式，忘记与定义域取交集，得出不符合实际的区间。 2．把“不低于 ”写成“大于 ”，丢掉端点。 3．展开时符号出错，导致因式分解与解集全部错误。 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园面积的最大值． 【答案】 平方米 【分析】设一边长 ，另一边为 ，配方求最值． 【详解】设矩形的一边长为 m，则另一边长为 m，且 ． 　　　面积 ． 　　　当 时， 取得最大值 ，此时矩形为边长 m 的正方形． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）某商品进货价为 元/件，售价为 元时每天可售出 件；若售价每上涨 元，日销售量减少 件．要使日利润不低于 元，求售价的取值范围． 【答案】 【分析】设售价为 元，写出日销量与日利润，再解二次不等式． 【详解】设售价为 元（），则日销售量为 件． 　　　日利润 ． 　　　由 得 ，即 ， 　　　亦即 ，解得 ． 　　　又日销售量非负，即 ，故售价的取值范围是 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）已知函数 ，若不等式 的解集为 ，求 在 上的值域． 【答案】 【分析】先由解集反求 、，再求闭区间上的最值． 【详解】由解集为 知 、 是方程 的两根， 　　　所以 ，，即 ． 　　　，对称轴 ， 　　　故最小值为 ． 　　　又 ，，故最大值为 ，值域为 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T1）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解二次不等式化简 ，再与 取交集． 【详解】由 得 ，即 或 ， 　　　所以 ． 　　　又 ，故 ．故选 C． 2．（2023·全国甲卷·T1 改编）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集端点是对应方程的两根，用韦达定理． 【详解】由题意，、 是方程 的两根， 　　　所以 ，， 　　　故 ．故选 A． 3．（2024·天津卷·T3 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数得 ，再求右侧的最大值． 【详解】因为 ，原不等式等价于 ． 　　　由 （ 时取等号）得 ， 　　　且当 时取到 ，故需 ．故选 A． 4．（2022·全国乙卷·T4 改编）已知函数 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最大值 在顶点处取得，区间必须包含对称轴． 【详解】，对称轴为 ，． 　　　要使 上的最大值为 ，必须包含 ，即 ； 　　　当 时， 在 上的最大值确为 ．故选 A． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6 改编）若关于 的不等式 有实数解，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】开口向上的二次不等式有解，只需判别式非负． 【详解】因为二次项系数 ，不等式有实数解等价于 ， 　　　解得 ． 三、解答题 6．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知函数 ．（1）求 在 上的最小值 ；（2）若 ，求 的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】对称轴 ，按 与 的位置关系分三类；再由分段函数解方程． 【详解】（1），对称轴为 ． 　　　当 时， 在 上单调递增，； 　　　当 时，最小值在顶点处取得，； 　　　当 时， 在 上单调递减，． 　　　（2）若 ，由 得 ，不满足 ，舍去； 　　　若 ，由 得 ，只有 符合； 　　　若 ，由 得 ，不满足 ，舍去． 　　　综上，． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P55 习题 2.3 改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解后“小于取中间”． 【详解】原不等式可化为 ，解得 ， 　　　所以解集为 ．故选 A． 2．（人教A版必修第一册 P56 复习参考题 改编）已知函数 ，则使 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求图象与 轴的交点，再取 轴上方部分． 【详解】由 得 或 ，抛物线开口向上， 　　　所以 的解集为 ．故选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P58 习题 2.3 改编）已知不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集． 【答案】 【分析】由解集得 及 、，代入后二次项系数变号． 【详解】由解集为 知 ，且 、 是方程 的两根． 　　　由韦达定理，，，即 ，． 　　　代入 得 ，即 ． 　　　因为 ，所以 ，即 ， 　　　解得 ，故解集为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考二次函数与二次不等式的考点分布与命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、三组易混辨析与“三个二次”思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 一元二次不等式的解法 新课标Ⅰ卷 T1（5 分） 全国甲卷 T1（5 分） 北京卷 T1（5 分） 含参二次不等式的讨论 天津卷 T4（5 分） 浙江卷 T3（5 分） 上海卷 T5（5 分） 闭区间上的二次最值 全国乙卷 T11（5 分） 新课标Ⅱ卷 T8（5 分） 全国甲卷 T12（5 分） 不等式恒成立问题 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 北京卷 T9（5 分） 天津卷 T8（5 分） 一元二次方程根的分布 上海卷 T11（5 分） 全国乙卷 T11（5 分） 浙江卷 T9（5 分） 二次函数是整个高中的地基，含参讨论、恒成立、根的分布都从这里长出来，这一讲讲不透，后面导数题也会跟着吃力。 含参不等式的关键是顺序：先看二次项系数是否为零，再看判别式，最后才比较两根——顺序颠倒必然漏解。 闭区间最值只比对称轴和区间端点的位置，画图比背口诀可靠；含参时按对称轴落在区间左、中、右分类即可。 备考建议：解不等式先化正、再求根、后定形，端点开闭逐一核对；含参问题先问“二次项系数能为零吗”，再问“判别式什么符号”，最后问“两根谁大”；恒成立优先分离参数，分离后一定验证等号能否取到。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个函数、三个二次、两类最值、一种转化”。先看整体脉络： 图 1　二次函数与不等式知识结构图 学习时抓住两条主线：图象（开口、对称轴、顶点、与 轴的交点）与转化（不等式化归为方程与图象的位置关系）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 解集端点与方程的根 不等式 解集的端点就是方程 的根；但 与 时解集形式相反，口诀不能混用 判别式与解集 且 时解集为 ； 且 时解集为 ，两种情形不可互换 恒成立与有解 恒成立求 的最小值； 有解求 的最大值，方向正好相反 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　二次函数的三种表示与图象特征 一、三种表示形式 1．一般式：（），适用于已知三点或做系数运算。 2．顶点式：，顶点为 ，对称轴为 ，适用于已知顶点或最值。 3．交点式：，适用于已知图象与 轴的两个交点。 二、图象的四个特征 1．开口： 向上， 向下； 越大，开口越小。 2．对称轴：。 3．顶点：，纵坐标即最值。 4．交点个数：与 轴的交点个数由 决定， 有两个， 有一个， 没有。 注意： 1．三种表示形式中，只有一般式的二次项系数可以为任意非零实数，配方时不要漏掉常数项。 2．顶点纵坐标 与最小值 只在 时一致， 时它是最大值。 3． 决定开口宽窄， 的符号决定开口方向，两者要分开说。 【自主检测】已知 ，求图象的对称轴、顶点坐标及最小值． ▶ 知识点2　一元二次不等式的解法 一、“三个二次”的对应关系 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的根，也就是不等式 解集的端点。三者一一对应，解题时先画草图再写解集。 二、解法的四个步骤 1．化正：两边同乘 ，把二次项系数化为正数，同时改变不等号方向。 2．求根：计算 ，求出方程的两个根 。 3．定形： 且 时，“大于取两边、小于取中间”。 4．写集：端点是否取到，看原不等式是否带等号。 三、三种判别式情形的解集 设 。若 ， 的解集为 ；若 ，解集为 ；若 ，解集为 。 注意： 1． 必须先化正，否则“大于取两边、小于取中间”完全失效。 2． 时口诀退化： 的解集是去掉顶点横坐标后的全体实数，不能写成 。 3．解集端点是否包含，取决于原不等式是否带等号，与化正时的不等号方向无关。 【自主检测】解不等式 ． ▶ 知识点3　含参一元二次不等式的分类讨论 一、讨论的三个层次 1．看开口：二次项系数含参时，先讨论系数为 （不等式退化为一次不等式）与系数不为 两种情形。 2．看判别式：系数不为 时，按 、、 分类，分别对应“两根”“一根”“无根”。 3．看两根大小： 时比较 与 的大小，才能确定解集是两根之间还是两根之外。 二、书写规范 每一类都要写成“当……时，解集为……”的完整句式，最后用“综上”汇总。分类标准要不重不漏，分界点的等号只能归入其中一类。 注意： 1．忘记 的退化情形，是含参不等式最高频的失分点。 2．两根相等的情形不能并入“两根之间”，此时解集可能是空集，也可能是去掉一个点的实数集。 3．两根大小不确定时，必须以参数与根的关系再分一次，不能默认 。 【自主检测】解关于 的不等式 ． ▶ 知识点4　二次函数在闭区间上的最值 一、定轴动区间 对称轴固定、区间端点含参。按对称轴在区间的左侧、内部、右侧分三类：轴在左侧时最小值在左端点，轴在内部时最小值在顶点，轴在右侧时最小值在右端点。 二、动轴定区间 区间固定、对称轴含参。同样按轴与区间的位置关系分三类，此时最大值要在两个端点函数值中比较，离对称轴较远的端点取得最大值。 三、两个关键结论 1． 时，最小值只可能在顶点或区间端点取得，最大值一定在端点取得。 2．若函数在区间上单调，则最值都在端点取得，不必再求顶点。 注意： 1．三类分界的等号放在哪一类都可以，但不能重复也不能遗漏。 2．求最大值时必须比较两个端点的函数值，不能想当然地取离轴较近的端点。 3．含参的最值结果要写成关于参数的分段函数，并注明每一段对应的参数范围。 【自主检测】求 在 上的最大值与最小值． ▶ 知识点5　一元二次不等式恒成立与根的分布 一、在全体实数上恒成立 对任意 恒成立的充要条件是 且 ； 对任意 恒成立的充要条件是 且 。二次项系数含参时，还要单独检验 。 二、在区间上恒成立 优先分离参数： 在 上恒成立 的最小值； 在 上恒成立 的最大值。 三、一元二次方程根的分布 设 （）。两根都大于 的条件是 ，，；两根分居 两侧的条件是 。 四、恒成立与有解的区别 “有解”取最值的另一侧： 在 上有解 的最大值。方向判断错误，结论会完全相反。 注意： 1．恒成立问题不要漏掉二次项系数为零的一次情形。 2．参数分离后要判断 的最值能否取到，取不到时端点处要用严格不等号。 3．根的分布必须同时用判别式、对称轴、端点函数值三个条件，缺一不可。 【自主检测】若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． ▶　题型破译　◀ 下面按“解法—讨论—最值—恒成立—应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 一元二次不等式的解法 例1-1（2025·江苏南京·二模）已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的值． 【变式训练1-1】（2026·山东济南·一模）解不等式 ． 【变式训练1-2】（2026·河北石家庄·二模）解不等式 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江宁波·三模）已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集． ▶ 题型2 含参二次不等式的讨论 例2-1（2026·湖北武汉·一模）解关于 的不等式 ． 【变式训练2-1】（2026·湖南长沙·二模）解关于 的不等式 ． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·三模）解关于 的不等式 ． 【变式训练2-3】（2025·福建厦门·二模）解关于 的不等式 ． ▶ 题型3 二次函数在闭区间上的最值 例3-1（2025·浙江杭州·二模）已知函数 ，求 在区间 上的最小值 ． 【变式训练3-1】（2026·四川成都·一模）求 在 上的最大值和最小值． 【变式训练3-2】（2026·辽宁沈阳·二模）已知 ，求 在 上的最小值． 【变式训练3-3】（2025·广西南宁·三模）已知 在 上的最大值为 ，求 的取值范围． ▶ 题型4 恒成立与根的分布 例4-1（2025·山东青岛·一模）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【变式训练4-1】（2026·安徽合肥·一模）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·二模）若方程 有两个不相等的正根，求 的取值范围． 【变式训练4-3】（2025·陕西西安·三模）若不等式 在 上有解，求 的取值范围． ▶ 题型5 二次函数的实际应用与创新 例5-1（2026·广东广州·二模）某服装厂生产一种服装，每件成本 元，售价为 元（），销售量约为 件．若要求销售该服装的利润不低于 元，求售价 的取值范围． 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园面积的最大值． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）某商品进货价为 元/件，售价为 元时每天可售出 件；若售价每上涨 元，日销售量减少 件．要使日利润不低于 元，求售价的取值范围． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）已知函数 ，若不等式 的解集为 ，求 在 上的值域． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T1）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·T1 改编）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2024·天津卷·T3 改编）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·全国乙卷·T4 改编）已知函数 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6 改编）若关于 的不等式 有实数解，则 的取值范围是________． 三、解答题 6．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知函数 ．（1）求 在 上的最小值 ；（2）若 ，求 的值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P55 习题 2.3 改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P56 复习参考题 改编）已知函数 ，则使 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P58 习题 2.3 改编）已知不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集． / 学科网（北京）股份有限公司 $