第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式及分式、绝对值、高次不等式等核心考点，按“三个二次”关系、等价变形规则构建知识框架，通过考点梳理、题型技巧归纳、真题训练等环节，帮助学生系统掌握解法，突破分类讨论、恒成立等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维与数学语言为核心，如解含参不等式时引导学生通过参数范围分类提升逻辑推理能力，恒成立问题结合二次函数图象深化数形结合思想。设置基础与重难分层练习，配合方法总结与真题溯源，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 解一元二次不等式 知识点2 解分式不等式 知识点3 解绝对值不等式 题型破译 (含超链接） 题型1 三个二次之间的关系 题型2 解绝对值不等式 题型3 解不含参的一元二次不等式 题型4 解分式不等式 题型5 解根式、高次不等式 题型6 解含参的一元二次不等式 【方法总结】解含参一元二次不等式的步骤 题型7 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【方法总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略 题型8 一元二次不等式的实际应用问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 解分式不等式 解一元二次不等式 北京卷T1（4分） 一元二次不等式恒成立 考情分析 北京卷中一元二次不等式及其他常见不等式常作为载体内容在其他知识点中呈现，若与集合结合，通常直接求解即可，难度较低。也常与函数（定义域、值域）、导数（恒成立、能成立）、数列、立体几何、解析几何、实际问题结合，核心考查不等式的变形求解能力。因变形不等价、分类不完整致错是易错点 复习目标 1.掌握一元一次、一元二次不等式的基础解法，能熟练用数轴标根法解高次不等式，会通过等价变形解分式不等式、绝对值不等式，明晰各类不等式变形规则。 2.理解含参不等式中参数的作用，针对不同参数范围，准确分类讨论并求解解集，提升分类整合能力。 3.能结合函数（一次函数、二次函数、分式函数等 ）的图象与性质，分析不等式的解集，深化 “数形结合” 思想在解不等式中的应用。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 解一元二次不等式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 自主检测不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 知识点2 解分式不等式 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 自主检测不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 知识点3 解绝对值不等式式 简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 自主检测不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 三个二次之间的关系 【例1】已知一元二次方程的两个实根为和3，则（    ） A．7 B． C． D． 【变式1】已知方程的两个实根为，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．1 【变式2】已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 解绝对值不等式 【例2】（2026·山东·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 题型3 解不含参的一元二次不等式 【例3】不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型4 解分式不等式 【例4】（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】解不等式，其解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 题型5 解根式、高次不等式 【例5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集是 ． 【变式2】不等式的解集是 ． 【变式3】若x满足，则x的取值范围为 ． 题型6 解含参的一元二次不等式 【例6】对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集不可能为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 解含参一元二次不等式的步骤 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】解关于的不等式． 题型7 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【例7】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】，使成立，则实数的取值范围是___________. 题型8 一元二次不等式的实际应用问题 【例8】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 2．某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 3．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 h． 4．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1.已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 2.不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 3.不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 6.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 7.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 9.不等式的解集是____. 10.不等式解集为_________ ． 11.，则的取值范围是__________. 重难·创新演练 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9.一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 11．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 12．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是________． 13.已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 解一元二次不等式 知识点2 解分式不等式 知识点3 解绝对值不等式 题型破译 (含超链接） 题型1 三个二次之间的关系 题型2 解绝对值不等式 题型3 解不含参的一元二次不等式 题型4 解分式不等式 题型5 解根式、高次不等式 题型6 解含参的一元二次不等式 【方法总结】解含参一元二次不等式的步骤 题型7 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【方法总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略 题型8 一元二次不等式的实际应用问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 解分式不等式 解一元二次不等式 北京卷T1（4分） 一元二次不等式恒成立 考情分析 北京卷中一元二次不等式及其他常见不等式常作为载体内容在其他知识点中呈现，若与集合结合，通常直接求解即可，难度较低。也常与函数（定义域、值域）、导数（恒成立、能成立）、数列、立体几何、解析几何、实际问题结合，核心考查不等式的变形求解能力。因变形不等价、分类不完整致错是易错点 复习目标 1.掌握一元一次、一元二次不等式的基础解法，能熟练用数轴标根法解高次不等式，会通过等价变形解分式不等式、绝对值不等式，明晰各类不等式变形规则。 2.理解含参不等式中参数的作用，针对不同参数范围，准确分类讨论并求解解集，提升分类整合能力。 3.能结合函数（一次函数、二次函数、分式函数等 ）的图象与性质，分析不等式的解集，深化 “数形结合” 思想在解不等式中的应用。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 解一元二次不等式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 自主检测不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 【答案】D 【解析】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 知识点2 解分式不等式 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 自主检测不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将不等式移项得，通分得，即，等价于，解得，故C正确. 知识点3 解绝对值不等式式 简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 自主检测不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故，化简得，解得， 即不等式的解集为. 题●型●破●译 题型1 三个二次之间的关系 【例1】已知一元二次方程的两个实根为和3，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【解析】和3是一元二次方程的两个实根， ，解得，．故选：C． 【变式1】已知方程的两个实根为，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．1 【答案】B 【解析】因为方程的两个实根为，则，， 所以，整理得到，解得或， 又由，得到，所以，故选：B. 【变式2】已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 【变式3】关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件；，解得， 的取值范围是，故A正确．故选：A． 题型2 解绝对值不等式 【例2】（2026·山东·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，则， 即或，解得或，故选：C 【变式1】不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，解集为.故选：B 【变式2】的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，转化为，且，解得，且， 【变式3】（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 题型3 解不含参的一元二次不等式 【例3】不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知不等式为，即， 即，解得，所以解集为．故选A. 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 【变式2】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】，解得或， 所以不等式的解集为或 题型4 解分式不等式 【例4】（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式，即， 则，解得，即，所以不等式的解集为． 【变式1】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即为，故，故. 【变式2】解不等式，其解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，, 两边同乘得,解得. 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】， 解得，所以不等式的解集为. 题型5 解根式、高次不等式 【例5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，故选B. 【变式1】不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由题意，且， 所以，利用穿针引线法，在数轴上标根如下图：解得：不等式的解集为. 【变式2】不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】要使不等式有意义，则有，解得：. 当时，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，解得：， 所以，因为，所以，综上：原不等式的解集为， 【变式3】若x满足，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】由，得或， 解，得，解，得， 所以x的取值范围为或. 题型6 解含参的一元二次不等式 【例6】对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于为一元二次不等式，所以， 当时，函数开口向上，与轴的交点的横坐标为，， 故不等式的解集为， 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 综上，ACD选项都可能是一元二次不等式的解集. 故选：B. 方法技巧 解含参一元二次不等式的步骤 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是，故选A 【变式2】若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或，故选C 【变式3】解关于的不等式． 【解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型7 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【例7】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为，故选：D. 方法技巧 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是.故选：B 【变式2】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是.故选A 【变式3】，使成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由于当时，不等式， 要，使成立，即满足 因为函数在上单调递增，所以，即 题型8 一元二次不等式的实际应用问题 【例8】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为，故选D. 【变式1】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【变式2】某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，结合，解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 【变式3】某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 【答案】30 【解析】设每件售价为元，则， 即，即，解得， 又，所以.所以销售价格最高是30元. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【解】（1）解：， 解得或， 所以不等式的解集是或； （2）由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为：； （3）不等式的相应方程的两个根为，， 则不等式的解集为； （4）不等式，即为， 所以原不等式无解； （5）不等式即为， 则，解得或， 所以原不等式的解集为或； （6）其相应方程的判别式为， 所以不等式的解集为R； 2．某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 【解】设这批削笔器的销售价格定为元/个 由题意得,即 ∵方程的两个实数根为, 解集为 又 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 3．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 h． 【解】设现在热带风暴中心的位置为点，小时后热带风暴中心到达点位置， 自向轴作垂线，垂足为， 由题意得，则， 若在点处受到热带风暴的影响，则， 所以，即， 整理得，，解得， 所以该码头将受到热带风暴影响的时间为， 4．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 【解】当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方， 即，得. 当时，二次函数的图象开口向上， 一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1.已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】已知一元二次方程的两个根分别为，可得，故选B. 2.不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，解集为.故选：B 3.不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 4．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由可得，解得， 故“”是“”的充要条件.故选：C. 5.已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】关于的不等式的解集为，，， 可化为，即， 关于的不等式的解集是.故选：D. 6.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 7.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式对恒成立，所以，解得． 故选：C． 8.在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，， 则排球在抛出点以上停留的时间． 9.不等式的解集是____. 【答案】 【解析】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 10.不等式解集为_________ ． 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 11.，则的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】当时，，不合要求，舍去； 当时，开口向下，满足要求； 当时，开口向上，需满足， 解得，综上，或 重难·创新演练 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 3．命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“，使得不等式成立”为假命题， 则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 4．已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是．故选D. 5．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 6．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，.故选：C 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，不等式为，解得：且，即为空集， 当时，不等式为，解得：， 当时，不等式为，解得， 综上不等式的解集为，故选C 9.一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为，故选D 10．已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】由题意知，当时，，即，所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4， 所以，即，所以实数的取值范围为. 11．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【解析】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ，又因为，所以，故销售价格的范围为 ； 12．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】根据绝对值的几何意义，是数轴上点到点的距离，是点到点的距离， 当点在和之间（含端点）时，两个距离之和最小，最小值就是到的距离， 即的最小值为.因此不等式恒成立要求即可，即的取值范围是. 13.已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $