第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法讲义-2027届高三数学一轮复习

第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 内 容 导 航 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 知识点2 分式不等式的解法 知识点3 绝对值不等式的解法 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 知识点5 指数对数不等式的解法 知识点6 含参一元二次不等式的解法 知识点7 一元二次不等式的基础解法 知识点8 三个二次的综合应用 知识点9 分式与高次不等式的解法 知识点10 绝对值与指数对数不等式的解法 知识点11 含参一元二次不等式的解法 知识点12 含参不等式恒成立 / 能成立问题 题型1 解一元二次不等式 题型2 由一元二次不等式的解求参数 题型3 一元二次不等式恒成立问题 题型4 一元二次方程的根的分布与系数的关系 题型5 指、对数不等式的解法 知 识 点 通 关 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 1、一元二次不等式的一般形式或（a≠0），其中a,b,c为常数。 2、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 2.1、有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 3、一元二次不等式的解法步骤 1. 化正：将二次项系数化为正数； 2. 求根：求对应一元二次方程的根； 3. 画图：画出对应二次函数的草图； 4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点2 分式不等式的解法 核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 1. 2. 3. 4. 知识点3 绝对值不等式的解法 1. 基本类型 2. 拓展类型 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 1. 步骤： a. 化正：将不等式化为（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正； b. 标根：将所有根标在数轴上； c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）； d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 知识点5 指数对数不等式的解法 核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。 1. 指数不等式 当时， 当时， 2. 对数不等式 当时， 当时， 知识点6 含参一元二次不等式的解法 分类讨论的三个层次： 1. 讨论二次项系数的符号：、、； 2. 讨论判别式的符号：、、； 3. 当时，讨论两根的大小关系。 知识点7 一元二次不等式的基础解法 方法技巧 不等式性质的快速判断 1. 严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解； 2. 对于的情况，直接根据二次函数图象写出解集； 3. 注意不等式中的等号是否成立。 易错分析 忽略前提条件 1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误； 2. 求根时计算错误； 3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。 知识点8 三个二次的综合应用 方法技巧 1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数； 2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系； 3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。 易错分析 1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误； 2. 韦达定理公式记错； 3. 转化时混淆不等式的方向。 知识点9 分式与高次不等式的解法 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母； 2. 穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则； 3. 注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。 易错分析 范围扩大问题 1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件； 2. 穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误； 3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。 知识点10 绝对值与指数对数不等式的解法 方法技巧 1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法； 2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化； 3. 对数不等式必须保证真数大于 0。 易错分析 1. 绝对值不等式漏写等价条件； 2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响； 3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。 知识点11 含参一元二次不等式的解法 方法技巧 1. 按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论； 2. 分类时做到不重不漏； 3. 最后将各种情况的结果综合起来。 易错分析 1. 忽略二次项系数为 0 的情况； 2. 分类讨论不全面； 3. 比较根的大小时出错。 知识点12 含参不等式恒成立 / 能成立问题 方法技巧 优先使用分离参数法 1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值； 2. 恒成立：恒成立；恒成立； 3. 能成立：能成立；能成立； 4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求； 2、求函数最值时忽略定义域； 3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。 考 点 演 练 题型1 解一元二次不等式 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈Z||x﹣1|≥2}，则A∩B＝（　　） A．{0，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，3} C．{﹣1，3，4} D．{﹣1，0，3，4} 【变式1】已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（　　） A．[0，1] B．[﹣1，4] C．[﹣1，0] D．[1，4] 题型2 由一元二次不等式的解求参数 【典例1】甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为（﹣3，2），乙写错了常数c，得到的解集为（﹣3，4）．那么原不等式中b，c的值依次为 　 　 ，解集为 　 　 ． 【变式1】若关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是 　 　 ． 题型3 一元二次不等式恒成立问题 【典例1】若不等式（ax﹣1）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，则4a+b的最小值为（　　） A． B．4 C．5 D． 【变式1】“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 一元二次方程的根的分布与系数的关系 【典例1】已知关于x的方程x2+4x+a＝0（a∈R）的两根在复平面xOy上对应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a＝　 　 ． 【变式1】方程|x2﹣5|＝a有四个可以排列成等差数列的实根，则a的值为 　 　 ． 题型5 指、对数不等式的解法 【典例1】已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|ln（x+1）＜1}，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 【变式1】已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝（﹣1，4]，则A∪B＝（　　） A．[3，4] B．（﹣1，3] C．（﹣1，3） D．（﹣∞，4] 过 关 验 收 1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．{x|x＜﹣3或x≥1} B．{x|x＜﹣3或x＞1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x＜﹣2或x＞1} 2．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，S＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则M∩S＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 3．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）． （1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值； （2）若不等式的解集是，求k的值： （3）若不等式的解集是R，求k的取值范围； （4）若不等式的解集是∅，求k的取值范围． 4．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x； （3）记不等式f（x）≥0的解集为A，若，求实m的取值范围． 5．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2x＞4}． （1）求集合A∪B和∁RB； （2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值． 6．已知集合，集合B＝{x|x2﹣ax+3＜0}． （1）当a＝4时，求A∪B； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 7．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣12（a，b∈R）． （1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），求实数a，b的值； （2）当b＝3a﹣4时，求不等式f（x）≥0的解集． 8．若关于x的不等式x2+mx﹣6＜0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，则m＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 9．若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2] 10．若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．已知条件q：“不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集”，则条件p：“﹣2≤a＜1”是条件q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}”是“a+b+c＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列选项中正确的是（　　） A．a＜0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或 14．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（　　） A．a＜0 B．a+b+c＝0 C．4a+2b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x} 15．设a＞0，若关于x的不等式x2﹣ax＜0的解集是区间（0，1）的真子集，则a的取值范围是 　 　 ． 16．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A为该抛物线上任意一点，若|AF|＞1恒成立，则p的取值范围是（　　） A．p＜2 B．p＞2 C．p＜4 D．p＞4 17．下列叙述正确的是（　　） A．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是奇函数，则实数m＝﹣1 B．先将曲线y＝sin2x向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于x的不等式kx2+2kx+1＞0有解，则实数k的取值范围为[﹣1，0） D．函数f（x）＝lnx+2x﹣4在区间（1，2）内有零点 18．下列说法中不正确的是（　　） A．已知f（2x）的定义域为（1，3），则的定义域为（4，6） B．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣|x| C．函数的单调递减区间是[2，+∞） D．“﹣3＜k＜0”是“不等式对一切实数x恒成立”的充要条件 19．在正项等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣15x+9＝0的两个根，则a1a9﹣a5＝（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 20．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5） C．（4，5） D．（4，8） 21．“一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根”是“b2﹣4ac≥0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知lga和lgb分别是x2+x﹣3＝0的两个根，则ab的值为（　　） A．10 B．1 C． D．100 23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则实数b的取值范围为（　　） A．（0，+∞） B． C．（0，1） D． 24．tanα，tanβ是一元二次方程x2+3x+4＝0两根，α、β∈（，0），则cos（α+β）等于（　　） A． B． C． D． 25．“lna＞lnb”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位℃之间满足y＝eax+b（其中a，b为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（　　） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 27．已知集合，B⫋A，则符合条件的集合B的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 28．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣1，4） B． C． D．（0，2） 29．已知集合，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1} C．{3} D．{0，1，2} 30．已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x|2x＜8}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．（﹣3，3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 内 容 导 航 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 知识点2 分式不等式的解法 知识点3 绝对值不等式的解法 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 知识点5 指数对数不等式的解法 知识点6 含参一元二次不等式的解法 知识点7 一元二次不等式的基础解法 知识点8 三个二次的综合应用 知识点9 分式与高次不等式的解法 知识点10 绝对值与指数对数不等式的解法 知识点11 含参一元二次不等式的解法 知识点12 含参不等式恒成立 / 能成立问题 题型1 解一元二次不等式 题型2 由一元二次不等式的解求参数 题型3 一元二次不等式恒成立问题 题型4 一元二次方程的根的分布与系数的关系 题型5 指、对数不等式的解法 知 识 点 通 关 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 1、一元二次不等式的一般形式或（a≠0），其中a,b,c为常数。 2、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 2.1、有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 3、一元二次不等式的解法步骤 1. 化正：将二次项系数化为正数； 2. 求根：求对应一元二次方程的根； 3. 画图：画出对应二次函数的草图； 4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点2 分式不等式的解法 核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 1. 2. 3. 4. 知识点3 绝对值不等式的解法 1. 基本类型 2. 拓展类型 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 1. 步骤： a. 化正：将不等式化为（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正； b. 标根：将所有根标在数轴上； c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）； d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 知识点5 指数对数不等式的解法 核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。 1. 指数不等式 当时， 当时， 2. 对数不等式 当时， 当时， 知识点6 含参一元二次不等式的解法 分类讨论的三个层次： 1. 讨论二次项系数的符号：、、； 2. 讨论判别式的符号：、、； 3. 当时，讨论两根的大小关系。 知识点7 一元二次不等式的基础解法 方法技巧 不等式性质的快速判断 1. 严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解； 2. 对于的情况，直接根据二次函数图象写出解集； 3. 注意不等式中的等号是否成立。 易错分析 忽略前提条件 1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误； 2. 求根时计算错误； 3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。 知识点8 三个二次的综合应用 方法技巧 1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数； 2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系； 3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。 易错分析 1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误； 2. 韦达定理公式记错； 3. 转化时混淆不等式的方向。 知识点9 分式与高次不等式的解法 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母； 2. 穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则； 3. 注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。 易错分析 范围扩大问题 1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件； 2. 穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误； 3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。 知识点10 绝对值与指数对数不等式的解法 方法技巧 1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法； 2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化； 3. 对数不等式必须保证真数大于 0。 易错分析 1. 绝对值不等式漏写等价条件； 2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响； 3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。 知识点11 含参一元二次不等式的解法 方法技巧 1. 按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论； 2. 分类时做到不重不漏； 3. 最后将各种情况的结果综合起来。 易错分析 1. 忽略二次项系数为 0 的情况； 2. 分类讨论不全面； 3. 比较根的大小时出错。 知识点12 含参不等式恒成立 / 能成立问题 方法技巧 优先使用分离参数法 1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值； 2. 恒成立：恒成立；恒成立； 3. 能成立：能成立；能成立； 4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求； 2、求函数最值时忽略定义域； 3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。 考 点 演 练 题型1 解一元二次不等式 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈Z||x﹣1|≥2}，则A∩B＝（　　） A．{0，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，3} C．{﹣1，3，4} D．{﹣1，0，3，4} 【答案】C 【解答】解：A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈Z|x≤﹣1或x≥3}， 所以A∩B＝{﹣1，3，4}． 故选：C． 【变式1】已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（　　） A．[0，1] B．[﹣1，4] C．[﹣1，0] D．[1，4] 【答案】A 【解答】解：由x2﹣4x≤0得x∈[0，4]，即A＝[﹣1，1]，B＝[0，4]， 所以A∩B＝[0，1]． 故选：A． 题型2 由一元二次不等式的解求参数 【典例1】甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为（﹣3，2），乙写错了常数c，得到的解集为（﹣3，4）．那么原不等式中b，c的值依次为 　 　 ，解集为 　 　 ． 【答案】﹣1，﹣6；（﹣2，3）． 【解答】解：依题意，根据韦达定理有c＝﹣3×2＝﹣6，﹣b＝﹣3+4＝1，即b＝﹣1，c＝﹣6， 因此不等式x2+bx+c＜0为：x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3， 所以原不等式的解集为（﹣2，3）． 故答案为：﹣1，﹣6；（﹣2，3）． 【变式1】若关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：当m＝0时，不等式为﹣5x≤0⇒x≥0，显然不符合题意； 当m≠0时，因为关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R， 所以有， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：． 题型3 一元二次不等式恒成立问题 【典例1】若不等式（ax﹣1）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，则4a+b的最小值为（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：不等式（ax﹣1）（x﹣b）≥0可化为ax2﹣（ab+1）x+b≥0， 当a＝0时，不等式为x≤b，不满足对任意的x∈R恒成立； 当a＜0时，y＝ax2﹣（ab+1）x+b，图象开口向下，不满足题意， 所以a＞0，且Δ＝（ab+1）2﹣4ab≤0，即ab＝1，且a＞0，b＞0； 所以，当且仅当4a＝b，即时等号成立， 所以4a+b的最小值为4． 故选：B． 【变式1】“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立， 即a≤x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立． 令f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴x＝﹣1， ∴函数f（x）＝x2+2x在区间（0，+∞）上单调递增， ∴当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，∴a≤0． 若a≤﹣1，则a≤0一定成立， ∴“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的充分条件； 若a≤0，则推不出a≤﹣1． ∴“a≤﹣1”不是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的必要条件． ∴“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的充分不必要条件． 故选：A． 题型4 一元二次方程的根的分布与系数的关系 【典例1】已知关于x的方程x2+4x+a＝0（a∈R）的两根在复平面xOy上对应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设方程的两虚根为x1＝﹣2+bi，x2＝﹣2﹣bi，b为实数， 由题意可得，PQ∥y轴， 又△POQ是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则． 故答案为：． 【变式1】方程|x2﹣5|＝a有四个可以排列成等差数列的实根，则a的值为 　 　 ． 【答案】4． 【解答】解：将绝对值方程化为两个方程，当x2﹣5≥0，即x或x时，方程|x2﹣5|＝a可化为x2﹣5＝a，即x2＝a+5，此时x ＝±，当x2﹣5＜0，即x时，方程|x2﹣5|＝a 可化为﹣（x2﹣5）＝a，即 x2＝5﹣a，此时x＝±，根据根成等差数列列方程，因为方程有四个可以排列成等差数列的实根， 不妨设这四个根为x1＜x2＜x3＜x4，由于方程的根关于y轴对称， 所以x1＝﹣x4，x2＝﹣x3，设x1＝﹣3d，x2＝﹣d，x3＝d，x4＝3d．由x2＝a+5，得x4＝3d ，由x2＝5﹣a， 得，由3d和﹣d，可得：d， 3d，将d代入3d，得：，两边平方得，9（5﹣a）＝a+5，解得：a＝4． 故答案为：a＝4． 题型5 指、对数不等式的解法 【典例1】已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|ln（x+1）＜1}，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 【答案】B 【解答】解：A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|ln（x+1）＜1}＝{x|0＜x+1＜e}＝{x|﹣1＜x＜e﹣1}， 则A∩B＝{0，1}． 故选：B． 【变式1】已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝（﹣1，4]，则A∪B＝（　　） A．[3，4] B．（﹣1，3] C．（﹣1，3） D．（﹣∞，4] 【答案】D 【解答】解：因为A＝{x|2x≤8}＝{x|x≤3}，B＝（﹣1，4]，则A∪B＝（﹣∞，4]． 故选：D． 过 关 验 收 1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．{x|x＜﹣3或x≥1} B．{x|x＜﹣3或x＞1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x＜﹣2或x＞1} 【答案】B 【解答】解：∁RA＝{x|x＜﹣3或x≥1}，又B＝{x|x＜﹣2或x＞1}， 所以（∁RA）∩B＝{x|x＜﹣3或x＞1}． 故选：B． 2．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，S＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则M∩S＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 【答案】C 【解答】解：S＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈N|﹣2≤x≤3}＝{0，1，2，3}，集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 所以M∩S＝{0，1，2}． 故选：C． 3．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）． （1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值； （2）若不等式的解集是，求k的值： （3）若不等式的解集是R，求k的取值范围； （4）若不等式的解集是∅，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）；， （4）． 【解答】解：已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0），解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}， （1）方程kx2﹣2x+6k＝0的两个根分别为﹣3和﹣2， 所以，解得； （2）因为不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集是， 所以方程kx2﹣2x+6k＝0有两个相等的根为，且k＜0， 所以Δ＝4﹣24k2＝0，且， 解得或（舍去）； （3）因为不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集是R， 所以， 所以k的取值范围为； （4）不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集是∅， 所以， 所以， 所以k的取值范围为． 4．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x； （3）记不等式f（x）≥0的解集为A，若，求实m的取值范围． 【答案】（1）（﹣∞，﹣2）； （2）当m＜﹣1时，解集为， 当m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}， 当m＞﹣1时，解集为； （3）[1，+∞）． 【解答】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝2x﹣3，不合题意； ②当m+1≠0，即m≠﹣1时，不等式f（x）的解集为R，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m0解集为R， 即， 即， 解可得， 综合可得：m＜﹣2，故m的取值范围为（﹣∞，﹣2）； （2）根据题意，f（x）≥（m+1）x，即（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0， 即[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0， ①当m+1＝0，即m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}； ②当m+1＞0，即m＞﹣1时，，， ∴解集为或x≥1}； ③当m+1＜0，即m＜﹣1时，， ∵， ∴解集为， 综上所述：当m＜﹣1时，解集为， 当m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}， 当m＞﹣1时，解集为； （3）根据题意，（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0， 即m（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1，x2﹣x+1＞0恒成立，， 设l﹣x＝t，则，变形可得x＝1﹣t，， ∵，当且仅当t＝1时取等号， ∴当且仅当x＝0时取等号， ∴当x＝0时，，必有m≥1， 即m的取值范围为[1，+∞）． 5．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2x＞4}． （1）求集合A∪B和∁RB； （2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值． 【答案】（1）A∪B＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≤2}； （2）a＝﹣5，b＝6． 【解答】解：（1）由2x＞4可得2x＞22，即x＞2，所以B＝{x|x＞2}， 由（x﹣1）（x﹣3）＜0得1＜x＜3， 所以A＝{x|1＜x＜3}， 所以A∪B＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≤2}； （2）由（1）知，A∩B＝{x|2＜x＜3}， 所以x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}， 所以2，3为方程x2+ax+b＝0的解， 所以， 解得.，所以，a＝﹣5，b＝6． 6．已知集合，集合B＝{x|x2﹣ax+3＜0}． （1）当a＝4时，求A∪B； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}； （2）． 【解答】解：（1）不等式可化为：，即， 即（x﹣2）（x+1）＜0， 解得﹣1＜x＜2， 所以A＝{x|﹣1＜x＜2}， 当a＝4时，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}， 所以A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}； （2）由A∩B＝B可得：B⊆A， ①若B＝∅，则Δ＝a2﹣12≤0，解得， ②若B≠∅，要使B⊆A，则f（x）＝x2﹣ax+3应满足， ，即， 解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 7．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣12（a，b∈R）． （1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），求实数a，b的值； （2）当b＝3a﹣4时，求不等式f（x）≥0的解集． 【答案】（1）a＝﹣4，b＝﹣16； （2）当时，不等式f（x）≥0的解集为； 当时，不等式f（x）≥0的解集为{﹣3}； 当时，不等式f（x）≥0的解集为； 当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣3]； 当a＞0时，不等式f（x）≥0的解集为． 【解答】解：（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1）， 由题意可知ax2+bx﹣12＝0的两根为﹣3和﹣1， 则， 解得a＝﹣4，b＝﹣16； （2）当a＝0时，则x+3≤0，解得x≤﹣3； 当a≠0时，， 当a＞0时，则，解得x≤﹣3或； 当a＜0时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得x＝﹣3； 当时，即，解，得． 综上所述，当时，不等式f（x）≥0的解集为； 当时，不等式f（x）≥0的解集为{﹣3}； 当时，不等式f（x）≥0的解集为； 当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣3]； 当a＞0时，不等式f（x）≥0的解集为． 8．若关于x的不等式x2+mx﹣6＜0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，则m＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【答案】D 【解答】解：因为x2+mx﹣6＜0的解集为{x|﹣1＜x＜6}， 则﹣1，6是x2+mx﹣6＝0的两个根， 可知，解得m＝﹣5． 故选：D． 9．若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2] 【答案】B 【解答】解：2ax2﹣4x＜ax﹣2，即（2x﹣1）（ax﹣2）＜0， 当a＝0时，不等式的解集为，不符合题意； 当a＜0时，不等式的解集为，不符合题意； 当a＞0时，若a＝4，不等式的解集为∅，不符合题意； 若0＜a＜4，不等式的解集为，，故只需满足，解得1≤a＜2； 若a＞4，不等式的解集为，不符合题意． 综上所述，1≤a＜2． 故选：B． 10．若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是， 所以a＜0且， 解得． 故选：C． 11．已知条件q：“不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集”，则条件p：“﹣2≤a＜1”是条件q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集， 所以不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1＜0的解集是R， 当a2﹣4＝0即a＝±2 时， 若a＝2，则 4x﹣1＜0， （舍）； 若a＝﹣2，则﹣1＜0，x∈R； 当a2﹣4≠0时，则，解得， 综上所述，a的取值范围为{a|}， 因为{a|﹣2≤a＜1}⫋{a|}， 所以条件p是条件q的充分不必要条件． 故选：A． 12．已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}”是“a+b+c＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由题意知，一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}，所以a＞0且， 所以b＝﹣2a，且c＝a；所以a+b+c＝0，充分性成立； 若a≠0，且a+b+c＝0，则ax2+bx+c＞0可化为ax2+bx﹣a﹣b＞0，即（x﹣1）（ax+a+b）＞0，a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x+1）＞0，b＝0时不等式的解集不是{x|x≠1}，必要性不成立； 所以是充分不必要条件． 故选：A． 13．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列选项中正确的是（　　） A．a＜0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或 【答案】AC 【解答】解：对于A，根据题意可知，﹣2，3是不等式ax2+bx+c＝0的两个实数根， 所以且，则b＝﹣a，c＝﹣6a且a＜0，故A正确， 对于B，不等式bx+c＞0为﹣ax﹣6a＞0，解得x＞﹣6，故解集是{x|x＞﹣6}，故B错误， 对于C，a+b+c＝a+（﹣a）+（﹣6a）＝﹣6a＞0，C正确， 对于D，cx2﹣bx+a＜0化为﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＜0，解得，故不等式的解为，D错误． 故选：AC． 14．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（　　） A．a＜0 B．a+b+c＝0 C．4a+2b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x} 【答案】ABD 【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}， 所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确； 故， 所以b＝﹣4a，c＝3a， 所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确； 4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误； 由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0， 解得x＜﹣1或x，D正确． 故选：ABD． 15．设a＞0，若关于x的不等式x2﹣ax＜0的解集是区间（0，1）的真子集，则a的取值范围是 　 　 ． 【答案】（0，1）． 【解答】解：因为a＞0，所以解不等式x2﹣ax＜0，得0＜x＜a， 又因为不等式x2﹣ax＜0的解集是区间（0，1）的真子集， 所以a的取值范围是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 16．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A为该抛物线上任意一点，若|AF|＞1恒成立，则p的取值范围是（　　） A．p＜2 B．p＞2 C．p＜4 D．p＞4 【答案】B 【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A为该抛物线上任意一点， 由抛物线定义可知，|AF|等于点A到抛物线准线的距离， |AF|的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即， 若|AF|＞1恒成立，则，即p＞2． 故选：B． 17．下列叙述正确的是（　　） A．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是奇函数，则实数m＝﹣1 B．先将曲线y＝sin2x向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于x的不等式kx2+2kx+1＞0有解，则实数k的取值范围为[﹣1，0） D．函数f（x）＝lnx+2x﹣4在区间（1，2）内有零点 【答案】AD 【解答】解：幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是奇函数，则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1， 当m＝2时，f（x）＝x2不是奇函数，不符合题意，故m＝﹣1，A正确； 将曲线y＝sin2x向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为y＝sin（4x），B错误； 若不等式kx2+2kx+1＞0有解， 当k＝0时，1＞0有解，选项C显然错误； f（x）＝lnx+2x﹣4在区间（1，2）内单调递增，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2＞0， 根据零点存在定理可知，f（x）在（1，2）内有零点，D正确． 故选：AD． 18．下列说法中不正确的是（　　） A．已知f（2x）的定义域为（1，3），则的定义域为（4，6） B．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣|x| C．函数的单调递减区间是[2，+∞） D．“﹣3＜k＜0”是“不等式对一切实数x恒成立”的充要条件 【答案】ACD 【解答】解：对于A，由解得：﹣1＜x＜3且x≠2， 所以的定义域为（﹣1，2）∪（2，3），故A错； 对于B，当x＞0时，所以﹣x＜0， 因为f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（﹣x+1）， 所以，即f（x）＝x2﹣|x|，正确； 对于C：当x＝6时，5+4x﹣x2＝5+24﹣36＜0，故C错； 对于D：当k＝0时，恒成立，故D错． 故选：ACD． 19．在正项等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣15x+9＝0的两个根，则a1a9﹣a5＝（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解答】解：在正项等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣15x+9＝0的两个根，所以a4a6＝9， 又，所以，又a5＞0，所以a5＝3， 所以a1a9﹣a5＝9﹣3＝6． 故选：B． 20．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5） C．（4，5） D．（4，8） 【答案】C 【解答】解：根据题意，方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4， 则， 得4＜a＜5， 则a的取值范围为（4，5）． 故选：C． 21．“一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根”是“b2﹣4ac≥0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c＝0有实根的充要条件为：b2﹣4ac≥0． 故选：C． 22．已知lga和lgb分别是x2+x﹣3＝0的两个根，则ab的值为（　　） A．10 B．1 C． D．100 【答案】C 【解答】解：已知lga和lgb分别是x2+x﹣3＝0的两个根， 则lga+lgb＝﹣1，则lgab＝﹣1， 则ab． 故选：C． 23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则实数b的取值范围为（　　） A．（0，+∞） B． C．（0，1） D． 【答案】C 【解答】解：因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2）， 可得x1，x2为函数f（x）＝x2+ax+2b的两个零点， 利用零点存在定理可得：，即，所以， 所以， 解得0＜b＜1． 故选：C． 24．tanα，tanβ是一元二次方程x2+3x+4＝0两根，α、β∈（，0），则cos（α+β）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题设条件tanα+tanβ＝﹣3，tanα×tanβ＝4 tan（α+β） 又α、β∈，则α+β∈（﹣π，0） ∴α+β∈（﹣π，） 取α+β终边上一点P（﹣1，） 则OP＝2，cos（α+β） 故选：B． 25．“lna＞lnb”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：若lna＞lnb，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增， 则a＞b＞0，则，即充分性成立； 若，可得a＞b＞0，∴lna＞lnb，即必要性成立． 故“lna＞lnb”是“”的充分必要条件． 故选：C． 26．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位℃之间满足y＝eax+b（其中a，b为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（　　） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【解答】解：已知保鲜时间y与贮藏温度x的关系为y＝eax+b（a，b为常数）． 当x＝9时，y＝261，代入得261＝e9a+b①， 当x＝23时，y＝29，代入得29＝e23a+b②， 将①÷②化简可得9＝e（9a+b）﹣（23a+b）， 即9＝e﹣14a， 解得， 代入①式求得， 由题意y≥87，即eax+b≥87， 即， 则， 将，代入， 化简可得， 当指数大于等于零时不等式成立， 即， 解得x≤16， 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过16℃． 故选：C． 27．已知集合，B⫋A，则符合条件的集合B的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：由可得，2﹣1＜2x＜23， 解得﹣1＜x＜3， 所以集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}， 因为B⫋A，所以B是A的真子集， 所以集合B的个数为23﹣1＝7． 故选：C． 28．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣1，4） B． C． D．（0，2） 【答案】B 【解答】解：因为A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|2x＜8}＝{x|x＜3}； 所以A∩B＝{x|x＜2}＝（，2）． 故选：B． 29．已知集合，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1} C．{3} D．{0，1，2} 【答案】B 【解答】解：由题意A＝{x|}＝{x|﹣2≤x＜2}，由B＝{x∈N|2x≤12}＝{0，1，2，3}， 所以A∩B＝{0，1}． 故选：B． 30．已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x|2x＜8}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．（﹣3，3） 【答案】B 【解答】解：由题意可知，A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}＝{x∈N|﹣3＜x＜4}＝0，1，2，3}，B＝{x|2x＜8}＝{x|x＜3}， 则A∩B＝{0，1，2}． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $