第01讲 集合及其运算（讲义）-2027届高考数学一轮复习

第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考集合的考点分布、分值占比与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 集合知识网络图、三组易混辨析与四大思想方法 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 7 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 集合的概念与表示 全国一卷 T1（5 分） 全国一卷 T2（5 分） 新课标Ⅰ卷 T1（5 分） 集合间的基本关系 北京卷 T1（5 分） 北京卷 T1（5 分） 天津卷 T1（5 分） 集合的交、并、补运算 新课标Ⅰ卷 T1（5 分） 全国二卷 T1（5 分） 全国甲卷 T1（5 分） 集合中的参数问题 全国甲卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 浙江卷 T1（5 分） 集合的新定义问题 上海卷 T2（5 分） —— 北京卷 T2（5 分） 集合在第 1 题的位置十年没动过，5 分，考的是把话翻译成符号的手速。真正拉开差距的从来不是会不会，而是快不快、准不准。 三处暗礁反复出现：代表元素看错（点集当数集）、空集漏掉、区间端点开闭。命题人不需要新花样，把这三处埋进去就够拉开一档。 2027 若要加难，方向是新定义运算——给一条没见过的规则，现场推性质。这类题不考记忆，考读规则的能力。 备考建议：牢记“先化简、再画图、后运算”三步走；凡遇 必先问“ 能不能为空集”；凡遇端点必逐个代入检验；凡遇“至少、存在”可优先考虑补集思想。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 集合是高中数学的“语言基础”，本章知识可浓缩为“一个核心、两类关系、三种运算、四种思想”。先看整体脉络： 图 1　集合知识结构图 沿着这条主线，学习时要把注意力放在“转化”上：把文字语言转化为符号语言，把符号语言转化为图形语言，再由图形语言回到计算结果。三组易混概念务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 、、 不含任何元素，元素个数为 0； 含一个元素 ； 含一个元素 与 描述元素与集合的关系， 描述集合与集合的关系，如 正确而 错误 与 前者代表元素是 ，表示定义域 ；后者代表元素是 ，表示值域 ，两者不相同 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　集合的概念与表示 一、元素与集合的关系 1．对象与集合的关系只有两种：属于（）与不属于（），二者必居其一。这与“集合与集合”之间的包含关系不同，符号不可混用。 2．常用数集记法：（自然数集）、（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集），其中 。 二、集合的三种表示方法 1．列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，适用于元素个数有限且较少的情形，如 。 2．描述法：，竖线前的 是代表元素及其取值范围，竖线后的 是元素的共同特征，如 。 3．图示法：用一条封闭曲线的内部表示集合，即 Venn 图；连续型数集还可用区间表示，如 。 三、元素的三个特性 1．确定性：给定集合，任一对象是否属于该集合是确定的，“个子较高的同学”因标准不明，不能构成集合。 2．互异性：集合中的元素互不相同，相同的元素只算一个，这是含参问题中最隐蔽的“陷阱”。 3．无序性：集合中的元素没有先后顺序， 与 是同一个集合。 注意： 1．描述法中竖线前的代表元素不能省略：、、 是三个不同的集合，分别表示定义域 、值域 与抛物线上的点集。 2．含参集合求出参数后，必须回代检验是否满足互异性，这是本节最易失分之处。 3． 不含任何元素， 含一个元素 ， 含一个元素 ，三者互不相同。 特别提醒 若集合 中有三个元素，则这三个式子两两不等。因此由“”列方程求出 后，还要把三个元素全部算出，逐一检查是否重复，凡重复的一律舍去。 【自主检测】已知集合 ，若 ，则 的取值集合为________． ▶ 知识点2　集合间的基本关系 一、子集、真子集与集合相等 1．子集：若对任意 都有 ，则称 是 的子集，记作 （或 ）。 2．真子集：若 且存在 ，，则称 是 的真子集，记作 。 3．集合相等： 且 ，即两个集合的元素完全相同。 二、子集个数的三个结论 1．含 个元素的集合有 个子集、 个真子集。 2．含 个元素的集合有 个非空子集、 个非空真子集。 3．含 个元素的集合中，恰含 个元素的子集有 个。 三、空集的特殊性 1．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2．处理 型问题，必须分 与 两类讨论，“空集优先”是通法。 注意： 1．“”包含“”的情形，而“”不含相等，两者不可混用。 2．“”用于元素与集合之间，“”用于集合与集合之间，如 正确，而 错误。 3．判断集合关系前应先化简（解方程、解不等式），把集合化为最简形式再比较，否则极易误判。 特别提醒 若 是由参数确定的集合，则“”必须以“ 可以是空集”为前提。例如 ，当 即 时 ，此时 恒成立。遗漏这一情形，是子集型含参问题最常见的失分原因。 【自主检测】已知 ，，若 ，则实数 组成的集合为________． ▶ 知识点3　集合的基本运算 一、三种运算的定义 1．交集：，即两个集合的公共部分。 2．并集：，注意“或”包含“且”，即公共部分也要并进去。 3．补集：设 ，则 ，它是相对于全集 而言的。 二、运算性质 1．，，，。 2．，，，。 3．德摩根律：，。 4．等价关系：，这是把“运算问题”转化为“关系问题”的桥梁。 三、数轴与 Venn 图的使用 1．离散型集合（列举法给出）用 Venn 图或直接检验元素；连续型集合（不等式给出）用数轴。 2．数轴上实心点表示取到端点，空心圈表示取不到，画图时务必区分。 3．求补集前必须先明确全集 ，“”中的 不能默认成 。 注意： 1．端点能否取到取决于原不等式是否含等号，含参时更要逐个代入验证，不能“想当然”。 2．区间 有意义的前提是 ，含参时需先保证区间非空，再谈运算。 3． 中的元素不能重复计算，集合的元素具有互异性。 【自主检测】设全集 ，，，则 ________． ▶ 知识点4　集合中的参数问题 一、空集优先原则 1．若 求参数，且 一类含参区间，先令 ，此时 ，结论恒成立。 2．再令 ，使 ，由端点列出不等式组求解。 3．最后把两类结果取并集，缺一不可。 二、端点的取舍 1．把候选端点“代入”原集合检验：若端点属于另一集合，则取等号；否则不取。 2．、 都等价于 ，可统一转化为子集问题处理。 三、补集思想（正难则反） 1．当正面需要分类较多时，先求使结论不成立的参数范围，再取其补集。 2．“至少”“存在”“不全”一类问题，常用补集思想大幅简化讨论。 注意： 1．求出参数后必须回代：检验集合是否非空、元素是否互异、区间是否有效。 2．含参不等式两端同乘（除）一个式子时，必须讨论该式子的符号，不可直接变形。 3．若题目给出“”，则不必再讨论空集；若未给出，则必须先讨论。 【自主检测】已知 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． ▶ 知识点5　集合的新定义与创新应用 一、新定义问题的三步流程 1．读定义：逐字研读新定义，圈出运算对象、运算规则与结果形式，先弄清“是什么”。 2．代特值：用具体的元素试算，把新运算还原为熟悉的交、并、补，或方程、不等式。 3．回检验：把结论译回集合语言，检验元素的互异性与取值范围。 二、三类常见创新 1．新运算型：如 ，按规则列举全部结果后去重。 2．新概念型：如“封闭集”“好集”“理想集”，抓住定义中的“任意”“存在”等量词。 3．计数型：求新集合的元素个数或元素和，注意重复元素只算一次。 注意： 1．新定义题“不超纲”，规则一定可以转化为已学内容，不要在定义本身上纠缠。 2．列举新运算的结果时，务必用互异性去重，这是最容易丢分的地方。 3．条件中含“任意”的，可用反例快速排除；含“存在”的，可用特值验证。 【自主检测】已知集合 ，定义运算 （），则集合 中元素的个数为________． ▶ 知识点6　元素特征 一、集合元素的三个特征 确定性：给定集合，任一对象是否属于它是明确的；互异性：同一集合中元素互不相同；无序性：元素的排列顺序不影响集合。 二、互异性的检验 含参数的集合求出参数后必须回代：若出现重复元素，则该值应舍去。例如 中 、、。 注意： 与 同时出现时，最容易漏掉 使 与首元素重复的情形。 【自主检测】集合 中的三个元素互不相同，则 不能等于________． ▶ 知识点7　（真）子集的个数 一、子集个数 含 个元素的集合有 个子集。 二、真子集与非空真子集 真子集有 个（去掉自身）；非空真子集有 个（再去掉空集）。 注意：空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，计数时不要漏掉。 【自主检测】集合 的真子集个数为________． ▶　题型破译　◀ 下面按“概念—关系—运算—参数—创新”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 集合的概念与表示 例1-1（2025·湖南长沙·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． 或 C． D． 【变式训练1-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数 的值为________． 【变式训练1-2】（2025·山东济南·二模）下列各组集合中，表示同一个集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-3】（2026·江苏南京·三模）已知集合 ，若 中至多有一个元素，则 的取值范围是________． ▶ 题型2 集合间的基本关系 例2-1（2026·安徽合肥·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2025·河南郑州·二模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【变式训练2-2】（2026·四川成都·三模）已知集合 ，，若 ，则 ________． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）若集合 至多有一个真子集，则实数 的取值集合为________． ▶ 题型3 集合的交、并、补运算 例3-1（2024·新课标Ⅰ卷·T1）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2025·新课标Ⅰ卷·T2）设全集 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2023·全国乙卷·T1）设全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2022·全国甲卷·T1）设全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． ▶ 题型4 集合中的参数问题 例4-1（2023·新课标Ⅱ卷·T2）设集合 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2026·福建厦门·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【变式训练4-2】（2025·江西南昌·二模）已知 ，，若 ，则 ________． 【变式训练4-3】（2026·广东深圳·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． ▶ 题型5 集合的新定义与创新 例5-1（2025·北京·模拟预测）已知集合 ，定义 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·江苏·模拟预测）定义 ，若 ，，则 ________． 【变式训练5-2】（2025·浙江·三模）若集合 满足：对任意 ，都有 ，则称 为“封闭集”．下列集合是封闭集的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2026·全国·模拟预测）已知集合 ，，若 中任意两个元素之和都不是 的倍数，则 中元素个数的最大值为________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2021·全国甲卷）设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2022·全国乙卷）设全集 ，集合 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2021·全国乙卷）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·北京卷）已知集合 ，，则 ________． 6．（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 ，，则 ________． 三、解答题 7．已知集合 ，，其中 ． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P4 例1 改编）下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．接近 的实数 B．我国的小河流 C．方程 的实数根 D．高一年级个子较高的同学 2．（人教A版必修第一册 P13 复习参考题 改编）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P9 习题 1.2 改编）已知集合 ， 若 ，求实数 的取值集合． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考集合的考点分布、分值占比与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 集合知识网络图、三组易混辨析与四大思想方法 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 7 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 集合的概念与表示 全国一卷 T1（5 分） 全国一卷 T2（5 分） 新课标Ⅰ卷 T1（5 分） 集合间的基本关系 北京卷 T1（5 分） 北京卷 T1（5 分） 天津卷 T1（5 分） 集合的交、并、补运算 新课标Ⅰ卷 T1（5 分） 全国二卷 T1（5 分） 全国甲卷 T1（5 分） 集合中的参数问题 全国甲卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 浙江卷 T1（5 分） 集合的新定义问题 上海卷 T2（5 分） —— 北京卷 T2（5 分） 集合在第 1 题的位置十年没动过，5 分，考的是把话翻译成符号的手速。真正拉开差距的从来不是会不会，而是快不快、准不准。 三处暗礁反复出现：代表元素看错（点集当数集）、空集漏掉、区间端点开闭。命题人不需要新花样，把这三处埋进去就够拉开一档。 2027 若要加难，方向是新定义运算——给一条没见过的规则，现场推性质。这类题不考记忆，考读规则的能力。 备考建议：牢记“先化简、再画图、后运算”三步走；凡遇 必先问“ 能不能为空集”；凡遇端点必逐个代入检验；凡遇“至少、存在”可优先考虑补集思想。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 集合是高中数学的“语言基础”，本章知识可浓缩为“一个核心、两类关系、三种运算、四种思想”。先看整体脉络： 图 1　集合知识结构图 沿着这条主线，学习时要把注意力放在“转化”上：把文字语言转化为符号语言，把符号语言转化为图形语言，再由图形语言回到计算结果。三组易混概念务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 、、 不含任何元素，元素个数为 0； 含一个元素 ； 含一个元素 与 描述元素与集合的关系， 描述集合与集合的关系，如 正确而 错误 与 前者代表元素是 ，表示定义域 ；后者代表元素是 ，表示值域 ，两者不相同 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　集合的概念与表示 一、元素与集合的关系 1．对象与集合的关系只有两种：属于（）与不属于（），二者必居其一。这与“集合与集合”之间的包含关系不同，符号不可混用。 2．常用数集记法：（自然数集）、（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集），其中 。 二、集合的三种表示方法 1．列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，适用于元素个数有限且较少的情形，如 。 2．描述法：，竖线前的 是代表元素及其取值范围，竖线后的 是元素的共同特征，如 。 3．图示法：用一条封闭曲线的内部表示集合，即 Venn 图；连续型数集还可用区间表示，如 。 三、元素的三个特性 1．确定性：给定集合，任一对象是否属于该集合是确定的，“个子较高的同学”因标准不明，不能构成集合。 2．互异性：集合中的元素互不相同，相同的元素只算一个，这是含参问题中最隐蔽的“陷阱”。 3．无序性：集合中的元素没有先后顺序， 与 是同一个集合。 注意： 1．描述法中竖线前的代表元素不能省略：、、 是三个不同的集合，分别表示定义域 、值域 与抛物线上的点集。 2．含参集合求出参数后，必须回代检验是否满足互异性，这是本节最易失分之处。 3． 不含任何元素， 含一个元素 ， 含一个元素 ，三者互不相同。 特别提醒 若集合 中有三个元素，则这三个式子两两不等。因此由“”列方程求出 后，还要把三个元素全部算出，逐一检查是否重复，凡重复的一律舍去。 【自主检测】已知集合 ，若 ，则 的取值集合为________． 【答案】 【分析】由 知三个元素中至少有一个等于 ，分三种情况求解，求出后逐一检验互异性。 【详解】若 ，则 ，此时 ，元素 重复，不合题意； 　　　若 ，则 或 ．当 时 ，符合题意；当 时 ，元素重复，舍去； 　　　若 ，即 ，则 或 ，均已被舍去。 　　　综上，，所求取值集合为 ． ▶ 知识点2　集合间的基本关系 一、子集、真子集与集合相等 1．子集：若对任意 都有 ，则称 是 的子集，记作 （或 ）。 2．真子集：若 且存在 ，，则称 是 的真子集，记作 。 3．集合相等： 且 ，即两个集合的元素完全相同。 二、子集个数的三个结论 1．含 个元素的集合有 个子集、 个真子集。 2．含 个元素的集合有 个非空子集、 个非空真子集。 3．含 个元素的集合中，恰含 个元素的子集有 个。 三、空集的特殊性 1．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2．处理 型问题，必须分 与 两类讨论，“空集优先”是通法。 注意： 1．“”包含“”的情形，而“”不含相等，两者不可混用。 2．“”用于元素与集合之间，“”用于集合与集合之间，如 正确，而 错误。 3．判断集合关系前应先化简（解方程、解不等式），把集合化为最简形式再比较，否则极易误判。 特别提醒 若 是由参数确定的集合，则“”必须以“ 可以是空集”为前提。例如 ，当 即 时 ，此时 恒成立。遗漏这一情形，是子集型含参问题最常见的失分原因。 【自主检测】已知 ，，若 ，则实数 组成的集合为________． 【答案】 【分析】先化简 ，再按 是否为空集分类讨论，最后合并结果。 【详解】由 得 或 ，故 ． 　　　当 时，方程 无解，，满足 ； 　　　当 时，，由 得 或 ，即 或 ． 　　　综上， 组成的集合为 ． ▶ 知识点3　集合的基本运算 一、三种运算的定义 1．交集：，即两个集合的公共部分。 2．并集：，注意“或”包含“且”，即公共部分也要并进去。 3．补集：设 ，则 ，它是相对于全集 而言的。 二、运算性质 1．，，，。 2．，，，。 3．德摩根律：，。 4．等价关系：，这是把“运算问题”转化为“关系问题”的桥梁。 三、数轴与 Venn 图的使用 1．离散型集合（列举法给出）用 Venn 图或直接检验元素；连续型集合（不等式给出）用数轴。 2．数轴上实心点表示取到端点，空心圈表示取不到，画图时务必区分。 3．求补集前必须先明确全集 ，“”中的 不能默认成 。 注意： 1．端点能否取到取决于原不等式是否含等号，含参时更要逐个代入验证，不能“想当然”。 2．区间 有意义的前提是 ，含参时需先保证区间非空，再谈运算。 3． 中的元素不能重复计算，集合的元素具有互异性。 【自主检测】设全集 ，，，则 ________． 【答案】 【分析】先求 在 中的补集，再与 求交集，借助数轴完成。 【详解】由 得 ． 　　　又 ，在数轴上表示两个集合，取公共部分得 　　　． ▶ 知识点4　集合中的参数问题 一、空集优先原则 1．若 求参数，且 一类含参区间，先令 ，此时 ，结论恒成立。 2．再令 ，使 ，由端点列出不等式组求解。 3．最后把两类结果取并集，缺一不可。 二、端点的取舍 1．把候选端点“代入”原集合检验：若端点属于另一集合，则取等号；否则不取。 2．、 都等价于 ，可统一转化为子集问题处理。 三、补集思想（正难则反） 1．当正面需要分类较多时，先求使结论不成立的参数范围，再取其补集。 2．“至少”“存在”“不全”一类问题，常用补集思想大幅简化讨论。 注意： 1．求出参数后必须回代：检验集合是否非空、元素是否互异、区间是否有效。 2．含参不等式两端同乘（除）一个式子时，必须讨论该式子的符号，不可直接变形。 3．若题目给出“”，则不必再讨论空集；若未给出，则必须先讨论。 【自主检测】已知 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 等价于 ，按 是否为空集分类讨论。 【详解】由 得 ． 　　　当 时，，即 ，此时 成立； 　　　当 时，，由 得 且 ，即 且 ，故 ． 　　　综上，． ▶ 知识点5　集合的新定义与创新应用 一、新定义问题的三步流程 1．读定义：逐字研读新定义，圈出运算对象、运算规则与结果形式，先弄清“是什么”。 2．代特值：用具体的元素试算，把新运算还原为熟悉的交、并、补，或方程、不等式。 3．回检验：把结论译回集合语言，检验元素的互异性与取值范围。 二、三类常见创新 1．新运算型：如 ，按规则列举全部结果后去重。 2．新概念型：如“封闭集”“好集”“理想集”，抓住定义中的“任意”“存在”等量词。 3．计数型：求新集合的元素个数或元素和，注意重复元素只算一次。 注意： 1．新定义题“不超纲”，规则一定可以转化为已学内容，不要在定义本身上纠缠。 2．列举新运算的结果时，务必用互异性去重，这是最容易丢分的地方。 3．条件中含“任意”的，可用反例快速排除；含“存在”的，可用特值验证。 【自主检测】已知集合 ，定义运算 （），则集合 中元素的个数为________． 【答案】 【分析】先确定 的全部取值，再整体减去 。 【详解】因为 ，所以 可以取到 到 之间的每一个整数； 　　　于是 可以取到 到 之间的每一个整数； 　　　故 ，共有 个元素． ▶ 知识点6　元素特征 一、集合元素的三个特征 确定性：给定集合，任一对象是否属于它是明确的；互异性：同一集合中元素互不相同；无序性：元素的排列顺序不影响集合。 二、互异性的检验 含参数的集合求出参数后必须回代：若出现重复元素，则该值应舍去。例如 中 、、。 注意： 与 同时出现时，最容易漏掉 使 与首元素重复的情形。 【自主检测】集合 中的三个元素互不相同，则 不能等于________． ▶ 知识点7　（真）子集的个数 一、子集个数 含 个元素的集合有 个子集。 二、真子集与非空真子集 真子集有 个（去掉自身）；非空真子集有 个（再去掉空集）。 注意：空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，计数时不要漏掉。 【自主检测】集合 的真子集个数为________． ▶　题型破译　◀ 下面按“概念—关系—运算—参数—创新”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 集合的概念与表示 例1-1（2025·湖南长沙·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】由 得 ，再结合元素的互异性排除 。 【详解】因为 ，所以 ，即 、 或 ． 　　　又集合 中已有元素 ，由互异性知 ． 　　　所以 或 ，故选 B． 【方法技巧】 1．判断元素与集合的关系，核心是“代入验证”，同时看清集合中元素的表示形式是数、点还是式子。 2．含参集合求参数，先由“属于”列方程，再用互异性检验，最后取满足条件的全部值。 3．判断两集合相等，必须“元素完全相同”，列举法集合与描述法集合要先统一形式再比较。 【易错分析】 1．忽略互异性，把产生重复元素的参数值也保留下来，导致答案多解。 2．混淆 与 ，把点集当作数集，或把数集当作点集。 3．含参方程忘记讨论二次项系数为零的情形，直接按“一元二次方程”处理。 【变式训练1-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数 的值为________． 【答案】 或 【分析】由 分两种情况列方程，求出后回代检验互异性。 【详解】若 ，则 ，元素互异，符合题意； 　　　若 ，则 或 ．当 时 ，元素重复，舍去；当 时 ，符合题意。 　　　综上， 或 ． 【变式训练1-2】（2025·山东济南·二模）下列各组集合中，表示同一个集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】逐项考察集合的代表元素与元素是否完全相同。 【详解】A 中 、 都是点集，但点的坐标不同，，故 ； 　　　B 中两个集合的元素都是 和 ，由无序性知 ； 　　　C 中 是直线上的点集， 是函数 的值域 ，二者不同； 　　　D 中 是数集， 是点集，二者不同．故选 B． 【变式训练1-3】（2026·江苏南京·三模）已知集合 ，若 中至多有一个元素，则 的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】按 与 分类， 时由判别式不大于零求解。 【详解】当 时，方程化为 ，，恰有一个元素，符合题意； 　　　当 时， 中至多有一个元素等价于 ，解得 ； 　　　综上， 或 ． ▶ 题型2 集合间的基本关系 例2-1（2026·安徽合肥·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式把 化为区间，再用数轴比较端点。 【详解】由 得 ，故 ． 　　　又 ，由 知区间 的右端点不超过 ，即 ． 　　　当 时 ，符合题意，故 ，选 B． 【方法技巧】 1．判断集合关系，先化简再用数轴或 Venn 图比较，“化到最简再比较”是关键。 2． 求参数，分 与 ；涉及子集个数时先确定元素个数。 3．集合相等问题利用“元素一一对应”列方程，注意无序性与互异性，必要时用韦达定理。 【易错分析】 1．忘记空集，导致参数范围漏掉一段，这是子集型问题的头号错误。 2．把子集个数 与真子集个数 记混，或误用“非空真子集”公式。 3．端点取等判断错误，把开区间写成闭区间，或多取了临界值。 【变式训练2-1】（2025·河南郑州·二模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 即 ，由区间端点列不等式组。 【详解】由 得 ，故 ． 　　　由 得 ，又 恒非空， 　　　所以 且 ，解得 ，即 ． 【变式训练2-2】（2026·四川成都·三模）已知集合 ，，若 ，则 ________． 【答案】 【分析】 说明 是方程 的两根，用韦达定理。 【详解】由 知 、 是方程 的两个根， 　　　由韦达定理得 ，， 　　　所以 ． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）若集合 至多有一个真子集，则实数 的取值集合为________． 【答案】 【分析】“至多有一个真子集”等价于“子集个数不超过 ”，即元素个数不超过 。 【详解】若 有 个元素，则真子集有 个．由 得 ． 　　　当 时，，符合； 　　　当 时，需 ，即 ． 　　　综上， 的取值集合为 ． ▶ 题型3 集合的交、并、补运算 例3-1（2024·新课标Ⅰ卷·T1）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】交集由既属于 又属于 的元素组成，逐一验证 中元素的三次方是否落在 内即可。 【详解】由 得 ，而 ，故 中的整数为 ，，． 　　　逐一检验 中的元素：，，，均不属于 ； 　　　而 ，，故 ，． 　　　所以 ，故选 A． 【方法技巧】 1．离散型集合用列举法或 Venn 图，连续型集合用数轴，注意端点虚实与元素互异。 2．交、并、补的混合运算，先算括号内，再用德摩根律 简化。 3．求补集前先明确全集，符号“”中的 不可省略、不可默认。 【易错分析】 1．全集不明确就求补集，把 误当成 。 2．数轴上端点取等判断错误，把“”写成“”。 3．并集与交集符号混淆，导致结果多算或漏算元素。 【变式训练3-1】（2025·新课标Ⅰ卷·T2）设全集 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把全集用列举法写出，再求补集并计数。 【详解】小于 的正整数为 ，即 ． 　　　又 ，所以 ，共 个元素，故选 C． 【变式训练3-2】（2023·全国乙卷·T1）设全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 ，再求其补集，与目标集合比对。 【详解】因为 ，，所以 ． 　　　于是 ，故选 A． 　　　验证：B 中 ；C 中 ；D 中 ，均不符合． 【变式训练3-3】（2022·全国甲卷·T1）设全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程求 ，再求 ，最后在 中取补集。 【详解】由 得 或 ，故 ． 　　　所以 ． 　　　又 ，故 ，选 D． ▶ 题型4 集合中的参数问题 例4-1（2023·新课标Ⅱ卷·T2）设集合 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 知 ，由此缩小 的取值范围，再逐一检验。 【详解】因为 ，所以 ，即 或 ，故 或 ． 　　　当 时，，，，不合题意； 　　　当 时，，，满足 ．故选 B． 【方法技巧】 1．“子集型”含参问题：先空集、后非空，最后把两类结果取并集。 2．端点取舍用“代入检验法”：把端点代入原集合，属于则取等，不属于则不取。 3．正难则反，用补集思想可把“至少”“存在”类问题转化为一次运算。 【易错分析】 1．漏掉空集情形，参数范围“缺一段”，答案不完整。 2．端点能否取等判断错误，多取或漏取临界值。 3．求出参数后未回代检验非空、互异等隐含条件，导致增解。 【变式训练4-1】（2026·福建厦门·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】由两区间无公共点确定端点位置关系。 【详解】在数轴上表示 ，． 　　　若 ，则 ； 　　　当 时 ，与 无公共元素，符合题意，故 ． 【变式训练4-2】（2025·江西南昌·二模）已知 ，，若 ，则 ________． 【答案】 【分析】 等价于 的补集被 包含。 【详解】 在 中的补集为 ． 　　　由 得 ， 　　　所以 且 ，即 且 ，故 ． 【变式训练4-3】（2026·广东深圳·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 是含参区间，必须先讨论 的情形。 【详解】由 得 ，故 ． 　　　当 时，，即 ，此时 成立； 　　　当 时，，由 得 且 ，解得 ． 　　　综上，． ▶ 题型5 集合的新定义与创新 例5-1（2025·北京·模拟预测）已知集合 ，定义 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按新定义列举 中不同元素的两两之和，再由互异性去重。 【详解】由 得 可取 ，，（交换次序结果相同）， 　　　所以 ，共 个元素，故选 B． 【方法技巧】 1．解新定义题的通法是“照定义办事”：先明确运算对象与运算规则，再逐步代入。 2．列举型新运算要把所有有序对算一遍，最后用互异性去重，不能凭感觉取舍。 3．新概念型问题要紧扣定义中的量词，“任意”可用反例否定，“存在”可用特值验证。 【易错分析】 1．只算“一半”，漏掉交换次序后产生的新元素，或重复计算同一元素。 2．忘记去重，把 与 当成两个不同的结果。 3．把新定义直接套用旧结论，忽略定义中对元素范围、 等附加限制。 【变式训练5-1】（2026·江苏·模拟预测）定义 ，若 ，，则 ________． 【答案】 【分析】逐个计算 的全部结果，再去重。 【详解】当 时， 可取 ，；当 时，可取 ，；当 时，可取 ，． 　　　由互异性得 ． 【变式训练5-2】（2025·浙江·三模）若集合 满足：对任意 ，都有 ，则称 为“封闭集”．下列集合是封闭集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按定义逐个检验：只要找到一对元素其和不在集合中，即可否定。 【详解】A 中 ，不是封闭集； 　　　B 中 ，不是封闭集； 　　　C 中 ，不是封闭集； 　　　D 中任意两个正整数的和仍是正整数，符合定义．故选 D． 【变式训练5-3】（2026·全国·模拟预测）已知集合 ，，若 中任意两个元素之和都不是 的倍数，则 中元素个数的最大值为________． 【答案】 【分析】按元素除以 的余数分类，再分析各类之间能否共存。 【详解】把 中元素按模 的余数分为三类：余 的 共 个，余 的 共 个，余 的 共 个． 　　　两个余 的数之和是 的倍数，故余 类至多取 个； 　　　一个余 的数与一个余 的数之和是 的倍数，故这两类不能同时取； 　　　而同属余 类（或同属余 类）的任意两数之和都不是 的倍数，可以全取． 　　　所以 中元素个数的最大值为 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式化简 ，再与 求交集。 【详解】由 得 ，即 或 ， 　　　所以 ． 　　　又 ，故 ，选 A． 2．（2021·全国甲卷）设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个连续区间求交集，借助数轴比较端点。 【详解】在数轴上表示 与 ， 　　　取公共部分得 ，选 B． 3．（2022·全国乙卷）设全集 ，集合 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集定义， 是 中去掉 余下的元素。 【详解】因为 ，且 ， 　　　所以 ，选 B． 4．（2021·全国乙卷）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个集合的包含关系： 中元素都是奇数，故 。 【详解】 为奇数，故 中每个元素都属于 ，即 ． 　　　而 ，但 不能写成 （）的形式，故 ， 　　　所以 ，从而 ，选 C． 二、填空题 5．（2023·北京卷）已知集合 ，，则 ________． 【答案】 【分析】分别解不等式，再求交集。 【详解】由 得 ，即 ；由 得 ，即 ． 　　　所以 ． 6．（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 ，，则 ________． 【答案】 【分析】先解绝对值不等式化简 ，再逐一验证 中元素。 【详解】由 得 ，即 ． 　　　逐一检验 中元素：，，，， 　　　故 ． 三、解答题 7．（2026·全国甲卷·T1 改编）已知集合 ，，其中 ． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 　(2) 【分析】先化简 、，第 (2) 问把 转化为 。 【详解】(1) 由 得 ，故 ． 　　　当 时，， 　　　所以 ． 　　　(2) 因为 ，所以 ． 　　　由 得 ，于是 且 ，解得 ． 　　　又 ，故 的取值范围为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P4 例1 改编）下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．接近 的实数 B．我国的小河流 C．方程 的实数根 D．高一年级个子较高的同学 【答案】C 【分析】判断能否构成集合，关键看对象是否满足“确定性”。 【详解】A 中“接近”标准不明确，不满足确定性； 　　　B 中“小河流”无明确界定，不满足确定性； 　　　C 中方程 的实数根为 和 ，对象确定，能构成集合； 　　　D 中“个子较高”标准不明确，不满足确定性．故选 C． 2．（人教A版必修第一册 P13 复习参考题 改编）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 化为区间，用数轴比较端点。 【详解】，． 　　　由 得 ；当 时 ，仍包含 ， 　　　故 ，选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P9 习题 1.2 改编）已知集合 ，，若 ，求实数 的取值集合． 【答案】 【分析】先化简 ，再按 是否为空集分类。 【详解】由 得 或 ，故 ． 　　　当 时，，符合题意； 　　　当 时，，由 得 或 ，即 或 ． 　　　综上， 的取值集合为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $