第01讲 集合及其运算（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素性质、集合关系、三大运算及新定义问题，按“概念-关系-运算-应用”逻辑架构知识体系。通过命题透视研判考情，知识精讲拆解核心，题型破译归纳技巧，真题溯源感知考向，帮助学生系统梳理知识，突破空集讨论、端点取舍等易错点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与符号规范培养，如用数轴辅助集合运算强化几何直观，新定义题型通过逐字翻译转化为基础运算提升推理能力。分层训练覆盖基础到创新题，配合方法技巧总结与易错分析，确保高效突破，助力学生精准把握高考趋势，为教师提供清晰复习路径与节奏把控指导。

第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 元素与集合 知识点2 集合与集合间的关系 知识点3 集合三大基本运算 知识点4 集合的运算性质 题型破译 (含超链接） 题型1 集合元素性质与参数求值 题型2 集合包含关系与参数讨论 题型3 集合交并补混合运算 题型4 子集个数与元素计数问题 题型5 集合新定义问题（上海高考特色题型） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的基本关系 春考第1题 / / 集合的基本运算 春考第16题 春考第1题 秋考第1题 秋考第1题 集合新定义综合题 / 春考21题 秋考21题 秋考第15题 秋考第16题 考情分析 集合是上海高考必考基础题型，稳定位于试卷开篇，以填空题、选择题形式考查，分值4-5分，整体难度偏低，但陷阱多、细节性强，是高考拿满分的基础模块。 固定题型：必考填空题第1题，4分基础送分题，题型位置稳定不变 核心考点趋势：主流持续考查交集、补集基础运算，以不等式解集为核心载体；保留集合新定义中档题型（大概率出现在填空压轴位置） 命题导向：弱化复杂计算，强化概念理解、符号规范、数形结合素养，杜绝偏题怪题。 复习目标 1. 熟练掌握集合所有基础概念、符号、运算性质，精准区分元素与集合、集合与集合的关系符号，杜绝符号书写错误； 2. 熟练掌握不等式解集与集合的转化，能用数轴快速求解交、并、补运算，精准把控区间端点取舍； 3. 掌握空集的特殊性，熟练解决含参集合问题，规避漏解、错解问题； 4. 具备集合新定义题型的翻译转化能力，能将陌生题型转化为熟悉的基础集合运算。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 元素与集合 一、元素与集合的关系（最基础必考） 设任意元素，任意集合 1. 若元素 属于 集合 ，记作： 2. 若元素 不属于 集合 ，记作： 核心规则：元素与集合只有“属于”和“不属于”两种关系，二者必居其一。 二、集合中元素的三大特征（上海高考易错考点） 1. 确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象要么属于、要么不属于该集合，结果唯一确定，模糊描述不能构成集合。 例：“个子高的同学”不能构成集合，“身高180cm及以上的同学”可以构成集合。 2. 互异性：集合中的任意两个元素互不相同，集合中无重复元素（上海参数类集合题高频考点）。 解题必验：含参数集合求出未知数后，必须代入检验元素是否重复。 3. 无序性：集合中元素的排列顺序不影响集合本身，元素位置可任意调换。 例： 三、空集（高频陷阱考点） 1. 定义：不含有任何元素的集合叫做空集。 2. 符号： 3. 高考核心性质（必考） ① 空集是任何集合的子集： ② 空集是任何非空集合的真子集： 4. 易错区分：、、 互不相等 ：无任何元素；：含元素0的非空集合。 四、常用数集标准符号（上海卷规范写法） 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N₊ Z Q R 答题要求：上海高考必须使用标准符号，禁止自创简写。 自主检测（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 知识点2 集合与集合间的关系（核心考点） 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 ⊂且 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以或， 解得，或， 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足题意，故 知识点3 集合三大基本运算（上海秋考、春考核心题型） 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 自主检测（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】集合，，则. 知识点4 集合的运算性质 1. 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A 2. 幂等律：A∩A=A，A∪A=A 3. 零律与同一律：A∩=，A∪=A；A∩U=A，A∪U=U 4. 互补律：A∩=，A∪=U，； 5. 德摩根律（难点必考）：=，= 6. 等价转化核心（参数题万能思路）：A∩B=A ⇔ A⊆B；A∪B=A ⇔ B⊆A 自主检测已知全集，设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，，所以或 则. 故选：D. 题●型●破●译 题型1 集合元素性质与参数求值 例1-1已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，代入得，解得. 例1-2下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 例1-3如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 方法技巧 1. 含参数集合求参，所有解必须回代检验互异性，这是必考得分点； 2. 区分数集符号，N含0、N₊不含0，杜绝概念性错误； 3. 看清代表元素，描述法集合中x为核心，避免看错集合范围。 易错分析 1.忽略集合互异性，未核验元素重复情况直接答题 2.混淆自然数集与正整数集，对错数值范围 3.混淆数集与点集，看错代表元素理解错题 【变式训练1-1】已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 【变式训练1-2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 【变式训练1-3】已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 【变式训练1-4】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 【变式训练1-5】设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 题型2 集合包含关系与参数讨论 例2-1（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 例2-2已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【详解】由于，得或， 结合集合的元素的互异性，得， 所以集合， 故答案为： 例2-3集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 例2-4集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 方法技巧 1. 遇到A⊆B、A∩B=A、A∪B=B等包含关系，优先讨论空集情况（参数不等式无解即为空集）； 2. 先化简集合（解不等式、解方程），再判断关系，杜绝直接预判； 3. 区间集合关系优先用数轴辅助，直观高效，避免逻辑漏洞。 易错分析 1.习惯性遗漏空集讨论，丢失有效参数解 2.区间判断端点失误，等号取舍出现偏差 3.不会转化等价集合关系，解题思路受阻 【变式训练1-1】已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 【变式训练1-2】（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 【变式训练1-3】若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 【变式训练1-4】若集合，，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】根据已知条件，解不等式，可得， ， 由，则. 当时，则，解得； 当时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式训练1-5】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 【变式训练1-6】已知集合，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】由得，其中． ①时，，解得． ②时，，解得． 综上，实数a的取值范围为． 题型3 集合交并补混合运算 例3-1设集合，集合，则_________． 【答案】 【详解】由题意得， 例3-2已知集合，则___________． 【答案】 【详解】由题意得：. 例3-3（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 【答案】 【详解】，则，解得或， 即， 已知全集为，补集． 例3-4已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，集合或，， 在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，， 因此阴影部分区域所表示的集合为 . 故选：C. 方法技巧 1. 不等式集合运算必画数轴，数形结合规避端点错误； 2. 严格区分开闭区间：原集合“≥/≤”对应数轴实心点，“>/<”对应空心点； 3. 混合运算遵循“先括号、后交并、最后补集”的运算顺序。 易错分析 1.端点开闭混淆，导致集合范围判定错误 2.补集运算范围颠倒，缺失部分取值区间 3.多层运算顺序错乱，计算步骤出现失误 【变式训练1-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知集合 ，则__________． 【答案】 【详解】由， ， 所以 【变式训练1-2】（2026·上海黄浦·二模）若，，则______． 【答案】 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 【变式训练1-3】已知集合，，则_____________. 【答案】 【详解】因为集合，，故. 故答案为：. 【变式训练1-4】（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________． 【答案】 【详解】由，得，解得或， 又，所以，则. 题型4 子集个数与元素计数问题 例4-1已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由，则其子集共有个. 例4-2集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 例4-3若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____． 【答案】2036 【详解】时，，（舍）或1 时，， 整理得，即， 因是正项数列，故，所以， 是以1为首项1为公差的等差数列， ，最小元素为1的非空子集有个，最小元素为2的非空子集有个，，最小元素为10的非空子集有1个，设所求和为， 则． 方法技巧 1. 先确定集合元素个数，再代入对应公式，切勿混淆子集、真子集、非空真子集公式； 2. 元素计数公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，适用于Venn图计数问题。 易错分析 1.子集相关公式记忆混淆，计算出错 2.统计元素个数漏数、重复计数 3.对空集的子集性质认知模糊 【变式训练4-1】若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【变式训练4-2】已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 【变式训练4-3】已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为__________ 【答案】 【详解】由题意易知，，均是集合中的元素， 又集合恰有8个子集，故集合有且只有三个元素，则， 又， 当时，，此时集合只有两个元素，不满足题意； 当时，， 此时集合有且只有三个元素，满足题意； 当时，， 此时集合有且只有三个元素，满足题意； 当时，易知集合中不只三个元素，不满足题意； 综上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合为. 故答案为：. 【变式训练4-4】已知掷一颗均匀骰子所得的样本空间为，事件与事件都是的子集．若，且与独立，则满足要求的共有__________个． 【答案】20 【详解】由题意知掷一颗均匀骰子所得的样本空间为， ，则； 因为与独立，故， 设B中含有k个基本事件，则； 设中含有m个基本事件，则, 则，则，故k必为偶数； 当时，，此时B为空集，符合题意，B的个数为1； 当时，，此时B中有2个元素， 则中含有1个元素，而，则此时B的元素有1个来自于A，另一个来自于， 则B的个数为； 当时，，此时B中有4个元素， 中含有2个元素，而，则此时B的元素有2个来自于A，另2个来自于， 则B的个数为； 当时，，此时，满足，符合题意， 则B的个数为1； 综合上述可知满足要求的共有个. 【变式训练4-5】已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 【答案】12 【详解】设，，当且时，都有， 设表示集合中，满足要求的集合的个数， 若中无，则有个集合满足要求， 若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求， 所以， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 故，， ，， ，， ，， ， 故正整数的最小值为12. 题型5 集合新定义问题（上海高考特色题型） 例5-1（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 例5-2已知集合，且，定义这个集合的“复合乘幂和”：，其中，设表示集合的所有非空子集的“复合乘幂和”的总和，则______． 【答案】 【详解】考虑前面的系数和，由题设前面的系数可为， 故前面的系数和为， 所以前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 故 . 例5-3已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 方法技巧 1. 新定义题型绝不凭经验做题，严格紧扣题干定义，逐字翻译条件； 2. 所有新运算均可转化为交、并、补基础运算，复杂问题用Venn图辅助分析； 3. 无需拓展课外结论，题干定义即为唯一解题标准。 易错分析 1.凭固有经验解题，违背题目全新运算规则 2.元素归属判断混乱，筛选条件把握不准 3.多层新运算逻辑复杂，梳理思路不清 【变式训练5-1】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：                A                                B                C                                D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的. 故选：B 【变式训练5-2】（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 【变式训练5-3】．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 【答案】968 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 2．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 二、填空题 3．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________． 【答案】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 4．（2023·上海·高考真题）已知集合，且，则_____________． 【答案】2 【详解】因为且， 所以集合中元素相同， 所以， 故答案为：2 5．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则______． 【答案】 【详解】由题设有， 故答案为： 6．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 【答案】 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 7．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 三、解答题 8．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 9．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则. 2．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 3．已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得，所以. 由于，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 4．已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 5．已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由，所以， 所以，所以的非空真子集有和共2个. 二、填空题 6．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 三、解答题 7．已知全集，集合，.    (1)求集合和； (2)求图中阴影部分所表示的集合. 【答案】(1)或， (2)或， 【详解】（1）由得， 解得，即， 由得或， 即或， 所以或， ； （2）由Venn图可知：阴影部分为， 又或， 所以或， 即阴影部分表示的集合为或， 8．已知全集，集合，集合， (1)求，. (2)若集合，且，求实数的范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 由可得或，即或， 所以 ， 所以，，. （2）因为，所以， 因为，所以. 9．对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【详解】（1）任取，， 又，所以函数属于集合 易知在上严格单调递减 故最大值，最小值 因此 （2）取，则 又，所以； 取，则 又，所以 综上，所以 （3）必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 2．（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得或，即集合， 由可得，解得，即集合； 所以. 3．（2025·上海普陀·一模）已知集合，则___________． 【答案】 【详解】解不等式得，则， 则. 故答案为：. 4．（2025·上海闵行·一模）已知全集，集合，则________ 【答案】 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 5．（2025·上海闵行·一模）全集是实数集，则集合，则__________. 【答案】 【详解】易知，则. 故答案为： 6．（2025·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________. 【答案】 【详解】根据三角不等式，当且仅当时等号成立，所以，即， 解不等式得或，即， 所以. 7．（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）由，得，解得或， 则或； 由； 当时，，解得. （2）由，得，由， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，或, 可得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 重难·创新演练 1．（2025·上海杨浦·一模）函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】B 【详解】假设，在上单调递增函数， 对于任意实数，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 2．若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意得函数的值域为， 当时，函数在处有最小值为，即时，， 要使函数的值域为， 则时，函数的最大值大于等于， 当时，因为在上均单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，所以， 当时，， 即函数在区间上值域为，满足题意； 当时，在上单调递增，值域为，不满足题意； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在有最大值为， 则，解得或（舍去），所以； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为： 3．（2025·上海闵行·一模）已知集合，；如果存在，对于属于且不属于任意（）的所有元素，都有成立，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】因为所以， ，设则， 令 ， 所以在单调递增， 在单调递减； ， 故 故答案为： 4．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【详解】（1），令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为； （2）由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围. 5．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【详解】（1）由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. （3）对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 元素与集合 知识点2 集合与集合间的关系 知识点3 集合三大基本运算 知识点4 集合的运算性质 题型破译 (含超链接） 题型1 集合元素性质与参数求值 题型2 集合包含关系与参数讨论 题型3 集合交并补混合运算 题型4 子集个数与元素计数问题 题型5 集合新定义问题（上海高考特色题型） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的基本关系 春考第1题 / / 集合的基本运算 春考第16题 春考第1题 秋考第1题 秋考第1题 集合新定义综合题 / 春考21题 秋考21题 秋考第15题 秋考第16题 考情分析 集合是上海高考必考基础题型，稳定位于试卷开篇，以填空题、选择题形式考查，分值4-5分，整体难度偏低，但陷阱多、细节性强，是高考拿满分的基础模块。 固定题型：必考填空题第1题，4分基础送分题，题型位置稳定不变 核心考点趋势：主流持续考查交集、补集基础运算，以不等式解集为核心载体；保留集合新定义中档题型（大概率出现在填空压轴位置） 命题导向：弱化复杂计算，强化概念理解、符号规范、数形结合素养，杜绝偏题怪题。 复习目标 1. 熟练掌握集合所有基础概念、符号、运算性质，精准区分元素与集合、集合与集合的关系符号，杜绝符号书写错误； 2. 熟练掌握不等式解集与集合的转化，能用数轴快速求解交、并、补运算，精准把控区间端点取舍； 3. 掌握空集的特殊性，熟练解决含参集合问题，规避漏解、错解问题； 4. 具备集合新定义题型的翻译转化能力，能将陌生题型转化为熟悉的基础集合运算。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 元素与集合 一、元素与集合的关系（最基础必考） 设任意元素，任意集合 1. 若元素 属于 集合 ，记作： 2. 若元素 不属于 集合 ，记作： 核心规则：元素与集合只有“属于”和“不属于”两种关系，二者必居其一。 二、集合中元素的三大特征（上海高考易错考点） 1. 确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象要么属于、要么不属于该集合，结果唯一确定，模糊描述不能构成集合。 例：“个子高的同学”不能构成集合，“身高180cm及以上的同学”可以构成集合。 2. 互异性：集合中的任意两个元素互不相同，集合中无重复元素（上海参数类集合题高频考点）。 解题必验：含参数集合求出未知数后，必须代入检验元素是否重复。 3. 无序性：集合中元素的排列顺序不影响集合本身，元素位置可任意调换。 例： 三、空集（高频陷阱考点） 1. 定义：不含有任何元素的集合叫做空集。 2. 符号： 3. 高考核心性质（必考） ① 空集是任何集合的子集： ② 空集是任何非空集合的真子集： 4. 易错区分：、、 互不相等 ：无任何元素；：含元素0的非空集合。 四、常用数集标准符号（上海卷规范写法） 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N₊ Z Q R 答题要求：上海高考必须使用标准符号，禁止自创简写。 自主检测（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 知识点2 集合与集合间的关系（核心考点） 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 ⊂且 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 知识点3 集合三大基本运算（上海秋考、春考核心题型） 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 自主检测（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 知识点4 集合的运算性质 1. 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A 2. 幂等律：A∩A=A，A∪A=A 3. 零律与同一律：A∩=，A∪=A；A∩U=A，A∪U=U 4. 互补律：A∩=，A∪=U，； 5. 德摩根律（难点必考）：=，= 6. 等价转化核心（参数题万能思路）：A∩B=A ⇔ A⊆B；A∪B=A ⇔ B⊆A 自主检测已知全集，设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 集合元素性质与参数求值 例1-1已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例1-2下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 例1-3如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 方法技巧 1. 含参数集合求参，所有解必须回代检验互异性，这是必考得分点； 2. 区分数集符号，N含0、N₊不含0，杜绝概念性错误； 3. 看清代表元素，描述法集合中x为核心，避免看错集合范围。 易错分析 1.忽略集合互异性，未核验元素重复情况直接答题 2.混淆自然数集与正整数集，对错数值范围 3.混淆数集与点集，看错代表元素理解错题 【变式训练1-1】已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练1-2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1-5】设集合，，若，则的值为________． 题型2 集合包含关系与参数讨论 例2-1（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 例2-2已知集合，，且，则集合________． 例2-3集合为空集，则实数的取值范围是___________ 例2-4集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 方法技巧 1. 遇到A⊆B、A∩B=A、A∪B=B等包含关系，优先讨论空集情况（参数不等式无解即为空集）； 2. 先化简集合（解不等式、解方程），再判断关系，杜绝直接预判； 3. 区间集合关系优先用数轴辅助，直观高效，避免逻辑漏洞。 易错分析 1.习惯性遗漏空集讨论，丢失有效参数解 2.区间判断端点失误，等号取舍出现偏差 3.不会转化等价集合关系，解题思路受阻 【变式训练1-1】已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【变式训练1-2】（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若集合的没有真子集，则实数________． 【变式训练1-4】若集合，，，则实数的取值范围为___________. 【变式训练1-5】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【变式训练1-6】已知集合，，若，求实数a的取值范围． 题型3 集合交并补混合运算 例3-1设集合，集合，则_________． 例3-2已知集合，则___________． 例3-3（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 例3-4已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 方法技巧 1. 不等式集合运算必画数轴，数形结合规避端点错误； 2. 严格区分开闭区间：原集合“≥/≤”对应数轴实心点，“>/<”对应空心点； 3. 混合运算遵循“先括号、后交并、最后补集”的运算顺序。 易错分析 1.端点开闭混淆，导致集合范围判定错误 2.补集运算范围颠倒，缺失部分取值区间 3.多层运算顺序错乱，计算步骤出现失误 【变式训练1-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知集合 ，则__________． 【变式训练1-2】（2026·上海黄浦·二模）若，，则______． 【变式训练1-3】已知集合，，则_____________. 【变式训练1-4】（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________． 题型4 子集个数与元素计数问题 例4-1已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 例4-2集合的真子集的个数为______. 例4-3若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____． 方法技巧 1. 先确定集合元素个数，再代入对应公式，切勿混淆子集、真子集、非空真子集公式； 2. 元素计数公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，适用于Venn图计数问题。 易错分析 1.子集相关公式记忆混淆，计算出错 2.统计元素个数漏数、重复计数 3.对空集的子集性质认知模糊 【变式训练4-1】若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【变式训练4-2】已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练4-3】已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为__________ 【变式训练4-4】已知掷一颗均匀骰子所得的样本空间为，事件与事件都是的子集．若，且与独立，则满足要求的共有__________个． 【变式训练4-5】已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 题型5 集合新定义问题（上海高考特色题型） 例5-1（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 例5-2已知集合，且，定义这个集合的“复合乘幂和”：，其中，设表示集合的所有非空子集的“复合乘幂和”的总和，则______． 例5-3已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 方法技巧 1. 新定义题型绝不凭经验做题，严格紧扣题干定义，逐字翻译条件； 2. 所有新运算均可转化为交、并、补基础运算，复杂问题用Venn图辅助分析； 3. 无需拓展课外结论，题干定义即为唯一解题标准。 易错分析 1.凭固有经验解题，违背题目全新运算规则 2.元素归属判断混乱，筛选条件把握不准 3.多层新运算逻辑复杂，梳理思路不清 【变式训练5-1】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【变式训练5-3】．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 二、填空题 3．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________． 4．（2023·上海·高考真题）已知集合，且，则_____________． 5．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则______． 6．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 7．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 三、解答题 8．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 9．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 5．已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、填空题 6．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 三、解答题 7．已知全集，集合，.    (1)求集合和； (2)求图中阴影部分所表示的集合. 8．已知全集，集合，集合， (1)求，. (2)若集合，且，求实数的范围. 9．对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·上海普陀·一模）已知集合，则___________． 4．（2025·上海闵行·一模）已知全集，集合，则________ 5．（2025·上海闵行·一模）全集是实数集，则集合，则__________. 6．（2025·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________. 7．（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 重难·创新演练 1．（2025·上海杨浦·一模）函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 2．若，则实数的取值范围是________． 3．（2025·上海闵行·一模）已知集合，；如果存在，对于属于且不属于任意（）的所有元素，都有成立，则的取值范围是________ 4．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 5．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $