第01讲 集合及其运算（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖集合概念、关系及运算，依据高考命题规律搭建知识框架，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统掌握解题技巧，突破含参问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层训练与题型建模策略，如通过元素互异性检验、空集分类讨论等方法培养数学思维，结合Venn图直观教学发展数学语言表达能力。设置基础与创新演练，配合即时反馈，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 集合的基本概念 知识点2 集合的基本关系 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 知识点4 集合运算性质 题型破译 (含超链接） 题型1 元素与集合的关系 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 利用元素的三特性解题 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间的基本关系 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 子集、真子集个数计算 题型5 数集的运算 题型6 点集的运算 【方法技巧】点集与数集的区别 题型7 Venn图的运算 题型8 利用集合的运算结果求参数 【方法技巧】由运算结果求参数的解题方法 题型9 容斥原理（实际应用） 题型10 集合与其他知识综合题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 —— 集合的基本关系 —— 集合的基本运算 天津卷 T1（5分） 天津卷 T1（5分） 考情分析 高考中集合专题为天津卷必考热点内容，主要考查集合的基本运算（交、并、补）、元素与集合关系及含参问题，题型以单选题为主，固定在第1题，分值5分，难度极低，属于基础送分题。 近三年考情显示，集合常与简单的不等式、有限数集结合考查，核心考点稳定在集合的基本运算，极少单独考查集合间的基本关系，从未出现过难题，是考生必须拿满的基础分。 复习目标 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能区分集合中元素的不同类型； 2. 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，掌握子集、真子集的个数计算方法； 3. 掌握集合的交、并、补的基本运算，能熟练求解有限数集的混合运算，理解补集的含义，能结合Venn图辅助分析集合问题； 4. 能处理集合中的含参问题，结合元素的互异性求解参数的取值范围，掌握集合与不等式结合的基础题型。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 元素与集合 元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 必记结论 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 自主检测已知集合，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于集合，， 则，故，故A错误； 因，故B错误； 因，故C错误； 因，故D正确. 故选：D 知识点2 集合的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 自主检测已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 所以，. 知识点4 集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 必记结论 （1）． （2）,． 自主检测已知全集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A 题●型●破●译 题型1 元素与集合的关系 例1-1（2026·天津·二模）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 例1-2给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 方法技巧 判断元素与集合关系 判断元素与集合的关系，牢记属于、不属于符号仅用于元素和集合之间。先分清集合是数集还是点集，依据元素确定性判断归属。遇到含参数的题目，求出结果后必须利用元素互异性检验，防止出现重复元素。熟练记忆各类常用数集符号，列举法直接比对元素，描述法将数值代入条件验证，注意区分符号用法，规避概念混淆、书写错误等问题。 【变式训练1-1】给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 【变式训练1-2】已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，解得. 故选：A. 【变式训练1-3】已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 题型2 利用元素的三特性解题 例2-1已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【答案】D 【详解】由，，， 所以，即，此时，，满足题设. 故选：D 例2-2已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 【答案】B 【详解】由题知集合，， 当时，得，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去）， 即时，，故B正确. 故选：B. 方法技巧 利用元素的三特性解题 解题灵活运用元素确定性、互异性、无序性。确定性用于判断对象能否构成集合，明确元素取值范围。互异性是高频考点，求解含参数问题后，务必回代检验，保证集合内元素互不重复。无序性说明元素排列顺序不影响集合。做题优先分析限制条件，结合三大特性梳理思路，重点排查互异性引发的增根，避开解题误区。 【变式训练2-1】已知集合，且，则________． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是______. 【答案】3或7 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 【变式训练2-3】已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【详解】因为，，若，则，解得：，又因为集合元素的互异性，即 故选：C 题型3 集合间的基本关系 例3-1（2025·天津·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，但，故不是的子集，A错误；B错误；，C错误，D正确. 例3-2记全集，已知集合． (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或；(2) 【详解】（1）当时，， 不等式 所以 则或，或， 所以，或； （2）（2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上所述：实数的取值范围为． 例3-3（2026·天津·模拟预测）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式训练3-1】已知全集，若集合，（）. (1)若，求集合及； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或；(2) 【详解】（1）， 若，则，则， 则或； （2）若为空集，则，得，符合； 若不是空集，则， 因为，所以且，得，则， 综上，实数的取值范围为. 【变式训练3-2】设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 题型4 子集、真子集个数计算 例4-1已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，即，解得， 所以， 所以，所以的真子集的个数为个. 故选：D 例4-2已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 【答案】15 【详解】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15 【变式训练4-1】设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【详解】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 【变式训练4-2·变载体】已知全集，，则集合B真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，共4个元素， 所以集合真子集的个数为. 故选：D 【变式训练4-3】已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，，， 所以，则． 题型5 数集的运算 例5-1已知全集，集合，则中的元素个数为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】依题意，，而， 所以，有个元素. 例5-2已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，故. 【变式训练5-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，解得或，即， 所以. 【变式训练5-2】已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得：，又，所以 【变式训练5-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求集合： ， 由，得，即， 又，，故. 求集合： ， 由，得，故. 所以. 题型6 点集的运算 例6-1 （    ） A． B．} C． D． 【答案】C 【详解】由，解得或， 所以, 例6-2（2026·天津·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 方法技巧 点集的运算 数集以数字为元素，研究数值相关运算。点集以坐标为元素，对应平面内的点。区分核心看代表元素，单独字母代表数集，括号内成对字母代表点集。两类集合本质不同，运算规则不能混用，解题时务必准确分辨。 【变式训练6-1】下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 【变式训练6-2】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式训练6-3】下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 题型7 Venn图的运算 例7-1如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 例7-2已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 【变式训练7-1】下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 【变式训练7-2】已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，集合或，， 在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，， 因此阴影部分区域所表示的集合为 . 故选：C. 【变式训练7-3】已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    【答案】 【详解】由题意，得， 由韦恩图得阴影部分为， 故答案为： 题型8 利用集合的运算结果求参数 例8-1（2026·天津·一模）已知集合，，则集合中的所有整数是_____；若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 、、 或 【详解】因为，故集合中的所有整数有、、， 由题意可得或， 因为，， 当时，，解得，合乎题意； 当时，，解得， 因为，所以，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：、、；或. 例8-2已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 【变式训练8-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 【变式训练8-2·变考法】设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 当时，， 所以； （2）或， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或， 解得或无解， 综上所述，. 【变式训练8-3】已知集合，集合. (1)若，求； (2)已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解，得，所以， 当时，解，得，所以， 所以. （2）因为，，若是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 因为是非空集合，， 所以且等号不能同时成立，解得， 故实数的取值范围为. （3）若，则， 因为，所以或， 又是非空集合， 所以或，解得或； 所以当时，， 所以的取值范围为. 题型9 容斥原理 例9-1某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________． 【答案】 【详解】设集合， 集合， 集合， 则，，， ，，， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得. 故答案为：. 例9-2有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人． 【答案】2 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 【变式训练9-1】1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为______；同时参加田径和球类比赛的人数为______ 【答案】 9 3 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 【变式训练9-2】某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学､物理143人，数学､化学116人，物理､化学97人；三科都参加的有90人．求参加竞赛的学生总人数是__________． 【答案】 【详解】由题意，用分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生形成的集合， 则, , 因此 . 所以参加竞赛的学生总人数是人. 故答案为：. 【变式训练9-3】某校学生积极参加社团活动，高一某班共有40名学生，其中参加围棋社团的学生有23名，参加合唱社团的学生有25名（并非每个学生必须参加某个社团）.请问，在该班学生中，同时参加围棋社团和合唱社团的最多有___________名学生，最少有___________名学生. 【答案】 【详解】解：依题意，当参加围棋社团的学生，同时也参加合唱社团，此时同时参加围棋社团和合唱社团的人数最多，最多有人，当每个学生至少参加一个社团时，此时同时参加围棋社团和合唱社团的最少，最少有人， 故答案为：；； 题型10 集合与其他知识综合题 例10-1已知是等差数列，是等比数列，设数列的前项和为． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求集合中所有元素之和． 【答案】(1)(2)(3)集合中所有元素之和为：. 【详解】（1）因为是等差数列，所以，即； 因为是等比数列，所以，代入得，即. （2）由题，则，得：，即. （3）因为，所以严格单调递增，当或时，，元素仅一个；当且时，，且这些差值互不相等，此时共有个元素. 计算所有非零元素的和，不妨设，，则. 由(2)可得，，设， 则， 由得：，代入得， 则， 其中，， ， ， 由得， 令，则 ， 代回式得 则. 综上所述，集合中所有元素之和为：. 例10-2若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【详解】若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或，所以； 若，即， 令，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式训练10-1】对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 【变式训练10-2】已知集合，若，且对任意的，，均有，则B中元素个数的最大值为________． 【答案】 【详解】因为集合， 所以 ， 由， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以元素个数尽量多的集合， 或， 或， 或， 所以集合中元素个数的最大值为. 故答案为：. 【变式训练10-3·变考法】设A，B是的两个子集，对于，定义：，，若，则对任意，________. 【答案】0 【详解】因为， 则当时，，； 时，，必有，，． 综上可得：． 故答案为：0. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 3．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，而， 所以. 故选：A 4．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故， 故选：A. 5．（2021·天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，. 故选：C. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．    【答案】答案见解析 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为. 2．已知集合或，，则与的关系是______． 【答案】 【详解】由或，得； 由，得 所以. 故答案为：. 3．已知全集，，，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，全集 对于选项A，，不符合题意； 对于选项B，，，不符合题意； 对于选项C，，不符合题意； 对于选项D，，符合题意； 故选：D. 4．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【详解】由得且，又， 则， 其子集个数共有，除去集合本身， 则其真子集个数为， 故选：D. 5．已知集合，． (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）当时，集合，， 所以，. （2）由，可知， 则，解得， 故实数的取值范围为． 6．设全集，，，求，，． 【答案】，， 【详解】因为全集，，， 所以，， 所以，，. 7．设全集，，，求，． 【答案】, 【详解】因为，，， 所以， . 8．已知集合，，，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：因为集合，，， 所以，所以； （2）因为集合，，， 所以，所以； （3）因为集合，，， 所以， 所以； （4）因为集合，，， 所以，， 所以. 9．已知集合，，求，． 【答案】 【详解】因为，， 所以 10．某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生，是参加400m短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加400m短跑项目的学生，试用Venn图表示这些集合之间的关系． 【答案】见解析 【详解】Venn图如图所示，阴影部分表示集合C，    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考集合基础演练，核心考查集合的基本概念与运算。重点包括元素与集合的关系、集合的表示方法，以及子集、交集、并集、补集四类基本运算。常结合不等式、简单函数定义域、实数范围命题，题型以选择题为主。同时注重空集、区间表示、元素互异性等易错点考查，题目难度偏低，侧重基础概念理解与运算熟练度，是试卷开篇基础送分题型，要求审题细致、运算准确。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 2．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 所以或. 3．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 因为， 所以不等式的解为，故集合； 因为在上单调递增，所以由，得：，故集合， 所以，． 故选：D 4．已知集合，. （ⅰ）________；（ⅱ）________. 【答案】 【详解】（ⅰ）因为，所以. （ⅱ）因为， 所以. 故答案为：； 5．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 6．已知全集，集合，函数的定义域为，则__________. 【答案】或 【详解】由，得，即， 函数的定义域需满足：，即， 所以， 全集，则或， 则或. 故答案为：或. 7．设集合，，． (1)若，求. (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），又，得， 若，得 或， 则整数集下， 得. （2）， 或， 若“”是“”的充分条件， 则或， 得或， 故实数a的取值范围为： 8．集合，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，解得，所以， 又，所以. （2）因为，则或， 又由（1）知，则. 9．已知全集为，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）当时，．由，解得或， 所以或，所以， 所以． （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 10．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 重难·创新演练 设题创新:天津高考集合重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合一元二次不等式、函数定义域值域、充分必要条件命题，核心考查含参集合运算、子集关系中的参数求解。难点集中在分类讨论思想运用、空集遗漏、区间端点取舍等问题。题目跳出简单计算，侧重逻辑推理与解题严谨性，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．设集合，，且. (1)求a的值及集合A，B； (2)设全集，写出的所有子集. 【答案】(1)，，； (2). 【详解】（1）由已知可得， 由，可得，解得或， 当时，，满足， 当时，，满足，舍去， 所以，， （2）由（1）得，， 所以，所有子集为. 2．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）由，可得，解得， 即实数m的取值范围是； （2）由题意知，， 可得：，得. 所以实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得， ∴实数的取值范围为. （4）由“，使得”是真命题， 可得：, 先求， ， 当时，由（1）知， 当时，则或， 解集为：， 综上可知时，， 所以时，， 即“，使得”是真命题时实数m的取值范围是. 3．【新考法】给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】③④ 【详解】①，，故真子集个数为个，故①错误； ②由，可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，故②错误； ③由开口向上且对称轴为， 只需即可保证原方程有一个正根和一个负根， 故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正确； ④当，时，不成立；当时，且， 故“”是“”的必要不充分条件，故④正确. 故答案为：③④. 4．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)或. 【详解】（1）由题设； （2）当时，则，显然满足； 当时，则， 由，则，可得，此时； 综上，； （3）由，而， 当时，显然不满足， 当时，要使，因为同号， 则或，即或， 综上，或. 5．设，，若，则实数的值是（   ） A．0或 B．或 C．0或 D．0或或 【答案】D 【详解】， 若，则集合为空集，符合； 若，则， 因为，则，则或，得或， 综上，实数的值是0或或. 故选：D 6．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 7．已知集合，， (1)若，求实数的取值集合； (2)若，求实数a的取值范围. (3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． (4)若关于的不等式的解集是集合B，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)或(2)或(3)或(4)答案见解析 【详解】（1）已知集合，， 由可知． 若，则，即时，符合题意； 若，因为，所以，解得， 综上，实数的取值集合为或． （2）已知集合，， 当时，则，解得，此时满足； 当时，因为，则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是或． （3）命题，命题，是成立的必要不充分条件， 所以可以推出，但不能推出，可得． 已知集合，， 当时，则，解得，满足题意； 当时，则，解得； 所以且等号不同时成立， 解得，又，所以， 综上，的取值范围是或． （4）因为不等式的解集是集合， 所以是方程的两个根， 所以，则， 所以，即， 若，不等式可化为，此时不等式的解集为， 若，则，此时不等式的解集为， 若，则，此时不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为． 8．已知集合，若，则实数的取值集合为_____ 【答案】 【详解】， 由，则， 当时，； 当时，， 则或，解得或； 综上所述：实数的取值集合为. 故答案为：. 9．设全集，A，B都是U的子集，，，，则集合______． 【答案】 【详解】由已知， 由，，， 画出Venn图，如图所示，由图可知，. 故答案为：    10．已知，若，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由函数在上单调递减，则函数在上单调递减，即， 由函数在上单调递增，则函数在上单调递增，即， 由题意可得，则，解得. 故答案为：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 集合的基本概念 知识点2 集合的基本关系 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 知识点4 集合运算性质 题型破译 (含超链接） 题型1 元素与集合的关系 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 利用元素的三特性解题 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间的基本关系 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 子集、真子集个数计算 题型5 数集的运算 题型6 点集的运算 【方法技巧】点集与数集的区别 题型7 Venn图的运算 题型8 利用集合的运算结果求参数 【方法技巧】由运算结果求参数的解题方法 题型9 容斥原理（实际应用） 题型10 集合与其他知识综合题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 —— 集合的基本关系 —— 集合的基本运算 天津卷 T1（5分） 天津卷 T1（5分） 考情分析 高考中集合专题为天津卷必考热点内容，主要考查集合的基本运算（交、并、补）、元素与集合关系及含参问题，题型以单选题为主，固定在第1题，分值5分，难度极低，属于基础送分题。 近三年考情显示，集合常与简单的不等式、有限数集结合考查，核心考点稳定在集合的基本运算，极少单独考查集合间的基本关系，从未出现过难题，是考生必须拿满的基础分。 复习目标 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能区分集合中元素的不同类型； 2. 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，掌握子集、真子集的个数计算方法； 3. 掌握集合的交、并、补的基本运算，能熟练求解有限数集的混合运算，理解补集的含义，能结合Venn图辅助分析集合问题； 4. 能处理集合中的含参问题，结合元素的互异性求解参数的取值范围，掌握集合与不等式结合的基础题型。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 元素与集合 元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：_________、_______、__________. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 必记结论 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 自主检测已知集合，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 知识点2 集合的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的_________ ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合_________，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做_________，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的_________，简称为集合的补集，记作，即． 自主检测已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 知识点4 集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 必记结论 （1）． （2）,． 自主检测已知全集为，则（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 元素与集合的关系 例1-1（2026·天津·二模）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例1-2给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 判断元素与集合关系 判断元素与集合的关系，牢记属于、不属于符号仅用于元素和集合之间。先分清集合是数集还是点集，依据元素确定性判断归属。遇到含参数的题目，求出结果后必须利用元素互异性检验，防止出现重复元素。熟练记忆各类常用数集符号，列举法直接比对元素，描述法将数值代入条件验证，注意区分符号用法，规避概念混淆、书写错误等问题。 【变式训练1-1】给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 题型2 利用元素的三特性解题 例2-1已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 例2-2已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 方法技巧 利用元素的三特性解题 解题灵活运用元素确定性、互异性、无序性。确定性用于判断对象能否构成集合，明确元素取值范围。互异性是高频考点，求解含参数问题后，务必回代检验，保证集合内元素互不重复。无序性说明元素排列顺序不影响集合。做题优先分析限制条件，结合三大特性梳理思路，重点排查互异性引发的增根，避开解题误区。 【变式训练2-1】已知集合，且，则________． 【变式训练2-2·变考法】【新思维】定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是______. 【变式训练2-3】已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 题型3 集合间的基本关系 例3-1（2025·天津·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例3-2记全集，已知集合． (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围． 例3-3（2026·天津·模拟预测）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式训练3-1】已知全集，若集合，（）. (1)若，求集合及； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练3-2】设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型4 子集、真子集个数计算 例4-1已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 例4-2已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 【变式训练4-1】设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【变式训练4-2·变载体】已知全集，，则集合B真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【变式训练4-3】已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 题型5 数集的运算 例5-1已知全集，集合，则中的元素个数为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 例5-2已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型6 点集的运算 例6-1 （    ） A． B．} C． D． 例6-2（2026·天津·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 方法技巧 点集的运算 数集以数字为元素，研究数值相关运算。点集以坐标为元素，对应平面内的点。区分核心看代表元素，单独字母代表数集，括号内成对字母代表点集。两类集合本质不同，运算规则不能混用，解题时务必准确分辨。 【变式训练6-1】下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【变式训练6-2】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 题型7 Venn图的运算 例7-1如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 例7-2已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 【变式训练7-1】下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 【变式训练7-3】已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    题型8 利用集合的运算结果求参数 例8-1（2026·天津·一模）已知集合，，则集合中的所有整数是_____；若，则实数的取值范围是_____. 例8-2已知集合，且，则实数的值为_______. 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 【变式训练8-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2·变考法】设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 【变式训练8-3】已知集合，集合. (1)若，求； (2)已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. (3)若，求实数的取值范围. 题型9 容斥原理 例9-1某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________． 例9-2有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人． 【变式训练9-1】1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为______；同时参加田径和球类比赛的人数为______ 【变式训练9-2】某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学､物理143人，数学､化学116人，物理､化学97人；三科都参加的有90人．求参加竞赛的学生总人数是__________． 【变式训练9-3】某校学生积极参加社团活动，高一某班共有40名学生，其中参加围棋社团的学生有23名，参加合唱社团的学生有25名（并非每个学生必须参加某个社团）.请问，在该班学生中，同时参加围棋社团和合唱社团的最多有___________名学生，最少有___________名学生. 题型10 集合与其他知识综合题 例10-1已知是等差数列，是等比数列，设数列的前项和为． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求集合中所有元素之和． 例10-2若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【变式训练10-1】对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【变式训练10-2】已知集合，若，且对任意的，，均有，则B中元素个数的最大值为________． 【变式训练10-3·变考法】设A，B是的两个子集，对于，定义：，，若，则对任意，________. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．    2．已知集合或，，则与的关系是______． 3．已知全集，，，那么是（    ） A． B． C． D． 4．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 5．已知集合，． (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围． 6．设全集，，，求，，． 7．设全集，，，求，． 8．已知集合，，，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．已知集合，，求，． 10．某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生，是参加400m短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加400m短跑项目的学生，试用Venn图表示这些集合之间的关系． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考集合基础演练，核心考查集合的基本概念与运算。重点包括元素与集合的关系、集合的表示方法，以及子集、交集、并集、补集四类基本运算。常结合不等式、简单函数定义域、实数范围命题，题型以选择题为主。同时注重空集、区间表示、元素互异性等易错点考查，题目难度偏低，侧重基础概念理解与运算熟练度，是试卷开篇基础送分题型，要求审题细致、运算准确。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，. （ⅰ）________；（ⅱ）________. 5．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 6．已知全集，集合，函数的定义域为，则__________. 7．设集合，，． (1)若，求. (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 8．集合，. (1)求； (2)求. 9．已知全集为，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 10．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:天津高考集合重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合一元二次不等式、函数定义域值域、充分必要条件命题，核心考查含参集合运算、子集关系中的参数求解。难点集中在分类讨论思想运用、空集遗漏、区间端点取舍等问题。题目跳出简单计算，侧重逻辑推理与解题严谨性，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．设集合，，且. (1)求a的值及集合A，B； (2)设全集，写出的所有子集. 2．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 3．【新考法】给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 4．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，且，求实数a的取值范围． 5．设，，若，则实数的值是（   ） A．0或 B．或 C．0或 D．0或或 6．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，， (1)若，求实数的取值集合； (2)若，求实数a的取值范围. (3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． (4)若关于的不等式的解集是集合B，求关于的不等式的解集． 8．已知集合，若，则实数的取值集合为_____ 9．设全集，A，B都是U的子集，，，，则集合______． 10．已知，若，使得成立，则实数的取值范围为__________. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $