第02讲 常用逻辑用语 专项训练-2027届高考数学一轮复习

第02讲 常用逻辑用语 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 命题的真假与四种命题 （重） 2 题型02 充分必要条件的判断 （重） 2 题型03 充分必要条件的证明 重难 3 题型04 含量词命题的否定与真假 （重） 4 题型05 根据命题真假/充要关系求参数 重难 4 重难·创新演练 5 真题·实战演练 6 模拟·基础演练 考点聚焦：原命题与逆否命题同真假，先改写再判断 ▶ 题型01 命题的真假与四种命题 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列语句中是命题的是（　　） A． B．请画一个圆 C． 是无理数 D． 大于 吗 2．（2026·山西太原·二模）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．（2025·河南郑州·一模）下列命题为假命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．（2025·安徽合肥·二模）命题“若 ，则 ”的否命题是（　　） A．若 ，则 或 B．若 ，则 或 C．若 ，则 且 D．若 ，则 5．（2026·江苏南京·三模）已知命题 ：若 ，则 ．下列判断正确的是（　　） A． 为真，其逆命题也为真 B． 为真，其逆命题为假 C． 为假，其逆否命题为真 D． 为假，其逆否命题为假 6．（2025·辽宁大连·一模）已知命题 的逆命题为真命题，则下列一定为真的是（　　） A． B． 的否命题 C． 的逆否命题 D． 的否定 考点聚焦：小范围推大范围，用集合法判充分必要 ▶ 题型02 充分必要条件的判断 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列选项中， 是 的充分不必要条件的是（　　） A．：，： B．：，： C．：，： D．：，： 2．（2026·湖南长沙·二模）设 ，则下列结论正确的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 3．（2025·浙江杭州·三模）已知 ，下列命题为真的是（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的充要条件 4．（2025·四川成都·二模）已知命题 ： 或 ，命题 ：，则（　　） A． 是 的充分条件 B． 是 的必要条件 C． 是 的充分不必要条件 D． 是 的必要不充分条件 考点聚焦：充分性证“由 p 推 q”，必要性证“由 q 推 p”，两段都要写 ▶ 题型03 充分必要条件的证明 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）要证明“ 是 的充分条件”，只需证明（　　） A． B． C． D． 与 无关 2．（2025·河南安阳·二模）要证明“ 是 的充要条件”，需要证明（　　） A．只证 B．只证 C．既证 又证 D．证明 、 都是真命题 二、解答题 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）证明：“”是“”的充分不必要条件． (1) 证明充分性； (2) 举反例说明必要性不成立． 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在 中，证明： 是 的充要条件． (1) 证明充分性； (2) 证明必要性． 5．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知 ，证明：“ 且 ”是“ 且 ”的充要条件． (1) 证明充分性； (2) 证明必要性． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）证明：“”是“ 或 ”的充要条件． (1) 写出“ 或 ”的否定； (2) 判断两者是否等价． 考点聚焦：全称与存在互换，结论取否定 ▶ 题型04 含量词命题的否定与真假 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）命题“，”的否定是________． 2．（2026·山东济南·三模）若命题“，”为真命题，则 的取值范围是________． 3．（2025·江西南昌·二模）命题“，”为真命题，则 的取值范围是________． 4．（2025·河北唐山·一模）已知命题 ：，；命题 ：，．若 与 中有且只有一个为真，则 的取值范围是________． 5．（2026·广东广州·三模）若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是________． 考点聚焦：把条件翻成集合的包含关系，再定端点取舍 ▶ 题型05 根据命题真假/充要关系求参数 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ：，：． (1) 当 时，判断 是 的什么条件； (2) 若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围． 2．（2026·全国·模拟预测）已知命题 ：，；命题 ：． (1) 若 为真命题，求 的取值范围； (2) 判断 是 的什么条件，并说明理由． 3．（2026·河北邯郸·三模）若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东聊城·二模）已知 ，，若 是 的充分条件，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽淮南·二模）若“”是“”的充分条件，则 ________． 6．（2026·四川德阳·模拟预测）已知 ，，若 是 的充分条件，求 的取值范围． (1) 分别解出 、 对应的集合； (2) 用包含关系求 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：真假推理、恒成立与跨章节交汇 1．（2026·江苏南通·模拟预测）甲说：“乙在说谎．”乙说：“丙在说谎．”丙说：“甲、乙都在说谎．”若三人中恰有一人说真话，则说真话的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（2026·浙江温州·三模）已知命题 ：；：．若 是 的必要不充分条件，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·二模）若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2026·全国·模拟预测）已知 ：实数 满足 （），：实数 满足 ．若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：充要条件判断与含量词命题的否定 1．（2023·新课标Ⅱ卷·T2）设 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·北京卷·T3）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2021·全国乙卷·T3）已知命题 ：，；命题 ：，．则下列命题为真的是（　　） A． B． C． D． 4．（2021·天津卷·T2）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 5．（2023·北京卷·T5）若命题“，”为假命题，则 的取值范围是________． 6．（2022·上海卷·T4）已知 ：，：，则 是 的________条件． 三、解答题 7．（2023·全国甲卷·T17 改编）已知 ：，：．若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 命题的真假与四种命题 （重） 2 题型02 充分必要条件的判断 （重） 4 题型03 充分必要条件的证明 重难 5 题型04 含量词命题的否定与真假 （重） 7 题型05 根据命题真假/充要关系求参数 重难 8 重难·创新演练 11 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：命题真假、条件关系与量词否定的基础落实 考点聚焦：原命题与逆否命题同真假，先改写再判断 ▶ 题型01 命题的真假与四种命题 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列语句中是命题的是（　　） A． B．请画一个圆 C． 是无理数 D． 大于 吗 【答案】C 【分析】命题是能判断真假的陈述句。 【详解】A 含未定字母，无法判断真假，是开语句； B 是祈使句；D 是疑问句，均不是命题； C 是陈述句且为真，是命题．故选 C． 2．（2026·山西太原·二模）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】逆否命题：条件与结论互换并同时否定。 【详解】原命题条件 、结论 ， 逆否命题为“若 ，则 ”，故选 B． 3．（2025·河南郑州·一模）下列命题为假命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【分析】不等式两边乘同一个数，符号决定不等号方向。 【详解】C 中当 时 ，不等号不成立； A、B、D 均可由等式与不等式性质直接推出．故选 C． 4．（2025·安徽合肥·二模）命题“若 ，则 ”的否命题是（　　） A．若 ，则 或 B．若 ，则 或 C．若 ，则 且 D．若 ，则 【答案】B 【分析】否命题：同时否定条件与结论，不交换位置。 【详解】条件“”的否定是“”， 结论“”的否定是“ 或 ”， 故否命题为“若 ，则 或 ”，选 B． 5．（2026·江苏南京·三模）已知命题 ：若 ，则 ．下列判断正确的是（　　） A． 为真，其逆命题也为真 B． 为真，其逆命题为假 C． 为假，其逆否命题为真 D． 为假，其逆否命题为假 【答案】B 【分析】先判断 ，再单独判断逆命题。 【详解】 时 ，故 为真； 逆命题“若 ，则 ”：取 ， 但 ，故逆命题为假． 原命题真则逆否命题必真，与逆命题为假并不矛盾．故选 B． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知命题 的逆命题为真命题，则下列一定为真的是（　　） A． B． 的否命题 C． 的逆否命题 D． 的否定 【答案】B 【分析】逆命题与否命题互为逆否，同真同假。 【详解】 的逆命题与 的否命题互为逆否命题，二者同真同假， 故 的否命题一定为真；而 与其逆否命题的真假无法确定． 故选 B． 考点聚焦：小范围推大范围，用集合法判充分必要 ▶ 题型02 充分必要条件的判断 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列选项中， 是 的充分不必要条件的是（　　） A．：，： B．：，： C．：，： D．：，： 【答案】ACD 【分析】逐项比较两个条件对应集合的包含关系。 【详解】A 中 ，充分不必要，符合； B 中 ，是必要不充分，不符； C 中 ，充分不必要，符合； D 中 ，充分不必要，符合．故选 ACD． 2．（2026·湖南长沙·二模）设 ，则下列结论正确的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】注意包含方向：小范围是充分条件。 【详解】A 中 ，正确； B 中 ，正确； C 中 对应 ，与 不相等，错误； D 中 ， 是 的必要不充分条件，正确．故选 ABD． 3．（2025·浙江杭州·三模）已知 ，下列命题为真的是（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】ACD 【分析】逐项举反例或证明。 【详解】A 中 单调递增，，正确； B 中取 ，，则 但 ，错误； C 中 必有 ，反之取 ， 不成立，正确； D 中 、 同号 ，正确．故选 ACD． 4．（2025·四川成都·二模）已知命题 ： 或 ，命题 ：，则（　　） A． 是 的充分条件 B． 是 的必要条件 C． 是 的充分不必要条件 D． 是 的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】用逆否命题转化： 与 的关系。 【详解】： 且 ；：． 考点聚焦：充分性证“由 p 推 q”，必要性证“由 q 推 p”，两段都要写 ▶ 题型03 充分必要条件的证明 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）要证明“ 是 的充分条件”，只需证明（　　） A． B． C． D． 与 无关 【答案】A 【分析】充分条件的方向是“条件推出结论”。 【详解】“ 是 的充分条件”即由 能推出 ， 故只需证 ． 故选 A． 2．（2025·河南安阳·二模）要证明“ 是 的充要条件”，需要证明（　　） A．只证 B．只证 C．既证 又证 D．证明 、 都是真命题 【答案】C 【分析】充要条件要求双向推出。 【详解】充要条件即 ， 需分别证明充分性与必要性， 故选 C． 二、解答题 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）证明：“”是“”的充分不必要条件． (1) 证明充分性； (2) 举反例说明必要性不成立． 【答案】充分性成立，必要性不成立 【分析】先证充分性，再举反例否定必要性。 【详解】充分性：当 时，，故 成立． 必要性：取 ，此时 ，但 不成立， 故必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在 中，证明： 是 的充要条件． (1) 证明充分性； (2) 证明必要性． 【答案】由正弦定理把角化为边，再用大边对大角 【分析】用正弦定理把 、 换成边。 【详解】充分性：由 得 ， 由正弦定理 ，， 故 ． 必要性：由 得 ， 由大边对大角得 ． 故两者互为充要条件． 5．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知 ，证明：“ 且 ”是“ 且 ”的充要条件． (1) 证明充分性； (2) 证明必要性． 【答案】充分性由 知同号，再由和为正定符号；必要性显然 【分析】关键是同号这一条。 【详解】充分性：由 知 、 同号； 若同为负，则 ，与 矛盾， 故 且 ． 必要性：若 且 ，则显然 且 ． 故为充要条件． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）证明：“”是“ 或 ”的充要条件． (1) 写出“ 或 ”的否定； (2) 判断两者是否等价． 【答案】用逆否命题等价转化 【分析】直接证较难，改写其逆否命题。 【详解】“ 或 ”的否定是“ 且 ”， 此时 ，故“”“ 且 ”？ 注意： 不能推出 且 （如 ）， 因此原命题不成立，是假命题，不能作为充要条件． 显然 ，即 ，所以 是 的必要条件； 反之取 ，，则 但 ，故 ， 所以 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件．故选 BC． 考点聚焦：全称与存在互换，结论取否定 ▶ 题型04 含量词命题的否定与真假 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）命题“，”的否定是________． 【答案】， 【分析】改量词、否结论。 【详解】全称量词“”改为存在量词“”， 结论“”改为“”， 故否定为“，”． 2．（2026·山东济南·三模）若命题“，”为真命题，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】存在实根等价于判别式非负。 【详解】由题意，方程 有实根， 所以 ，解得 ． 3．（2025·江西南昌·二模）命题“，”为真命题，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】恒成立转化为求最大值。 【详解】需 对 恒成立， 而 在 上最大值为 ， 所以 ． 4．（2025·河北唐山·一模）已知命题 ：，；命题 ：，．若 与 中有且只有一个为真，则 的取值范围是________． 【答案】全体实数（） 【分析】先看两命题的否定关系： 与 的关系是否互斥。 【详解】 真 ； 真 ． 可见 、 恰有一个为真对任意 都成立， 故 的取值范围是 ． 5．（2026·广东广州·三模）若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】分离参数后求最小值。 【详解】需 对 恒成立， 而 在 上单调递减，最小值为 ， 所以 ． 考点聚焦：把条件翻成集合的包含关系，再定端点取舍 ▶ 题型05 根据命题真假/充要关系求参数 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ：，：． (1) 当 时，判断 是 的什么条件； (2) 若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围． 【答案】(1) 充要条件　(2) 【分析】先化简两个不等式，再用集合的包含关系判断。 【详解】(1) 由 得 ； 当 时， 的解集为 ，与 的解集相同， 故 是 的充要条件． (2) 的解集为 ，由 是 的充分不必要条件得 ， 所以 且 ，解得 ． 故 的取值范围是 ． 2．（2026·全国·模拟预测）已知命题 ：，；命题 ：． (1) 若 为真命题，求 的取值范围； (2) 判断 是 的什么条件，并说明理由． 3．（2026·河北邯郸·三模）若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】必要：，故 ；不充分： 不能推出 ，故 。 【详解】由必要性得 ； 若 ，则两者等价，成为充要条件，不满足“不充分”， 故 ． 故选 A． 4．（2025·山东聊城·二模）已知 ，，若 是 的充分条件，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“ 是 的充分条件”即 ，用小范围推大范围。 【详解】由 知 ， 故 ． 故选 A． 5．（2025·安徽淮南·二模）若“”是“”的充分条件，则 ________． 【答案】 【分析】把 代入方程即可。 【详解】由 得 ． 6．（2026·四川德阳·模拟预测）已知 ，，若 是 的充分条件，求 的取值范围． (1) 分别解出 、 对应的集合； (2) 用包含关系求 ． 【答案】 【分析】分别解出两个不等式，再用集合的包含关系定端点。 【详解】由 得 ； 由 得 ，即 ．由 得 ， 故 且 ，解得 ． 【答案】(1) 　(2) 充分不必要条件 【分析】恒成立要按 与 分类，再比较集合。 【详解】(1) 当 时，不等式化为 ，不能对任意 成立，故 ； 当 时，需 且 ，解得 ． 所以 为真时 ． (2) 对应集合 ， 对应 ， ， 故 是 的充分不必要条件． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：真假推理、恒成立与跨章节交汇 1．（2026·江苏南通·模拟预测）甲说：“乙在说谎．”乙说：“丙在说谎．”丙说：“甲、乙都在说谎．”若三人中恰有一人说真话，则说真话的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】逐个假设谁说真话，检验“恰有一真”。 【详解】若甲真，则乙说谎，于是丙真，出现两真，矛盾； 若乙真，则丙说谎，即“甲、乙都说谎”为假，与乙真相符； 此时甲说“乙说谎”为假，丙为假，恰有一真，符合题意； 若丙真，则甲、乙都说谎，但乙假意味着丙说谎，矛盾． 故说真话的是乙，选 B． 2．（2026·浙江温州·三模）已知命题 ：；：．若 是 的必要不充分条件，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】必要不充分即 。 【详解】由题意 且 ，即 ， 所以 ，故选 A． 3．（2025·重庆·二模）若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】存在性命题为真，只需 大于 在区间上的最小值。 【详解】不等式即 在 上有解， 由基本不等式 ，当且仅当 时取等， 故只需 ，选 A． 二、解答题 4．（2026·全国·模拟预测）已知 ：实数 满足 （），：实数 满足 ．若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围． 【答案】 【分析】 是 的必要不充分条件，等价于 是 的充分不必要条件。 【详解】由 且 得 ，记 ； 由 得 ，记 ． 是 的必要不充分条件 是 的充分不必要条件， 即 ，所以 且 ，解得 ． 又 为开区间、 为闭区间， 恒成立， 故 的取值范围是 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：充要条件判断与含量词命题的否定 1．（2023·新课标Ⅱ卷·T2）设 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】比较 与 。 【详解】 时必有 ；取 可知反之不成立， 故 是 的充分不必要条件，选 A． 2．（2022·北京卷·T3）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】改量词、否结论。 【详解】“”改为“”，“”改为“”， 故否定为“，”，选 B． 3．（2021·全国乙卷·T3）已知命题 ：，；命题 ：，．则下列命题为真的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先定 、 真假，再按联结词判断。 【详解】，故 假； 由基本不等式 ，故 真． 于是 真， 为真，选 B． 4．（2021·天津卷·T2）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】。 【详解】 能推出 ，反之取 不成立， 故为充分不必要条件，选 A． 二、填空题 5．（2023·北京卷·T5）若命题“，”为假命题，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】特称命题为假等价于全称命题为真。 【详解】对任意 都有 ， 所以 ，解得 ． 6．（2022·上海卷·T4）已知 ：，：，则 是 的________条件． 【答案】必要不充分 【分析】分别解集后比较包含关系。 【详解】：；：． ，故 是 的必要不充分条件． 三、解答题 7．（2023·全国甲卷·T17 改编）已知 ：，：．若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】 充分不必要，即对应集合是真子集。 【详解】由 得 ； 由 得 ． 由 是 的充分不必要条件得 ， 所以 且 ，解得 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $