第02讲 常用逻辑用语（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦常用逻辑用语核心考点，通过基础-重难-真题三级演练，系统覆盖充要条件判断、命题否定及参数问题，以题构建逻辑推理体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|4题型（判断/证明/否定/参数）|单选为主，覆盖集合/函数/数列等载体|从概念辨析到简单应用，构建“定义-判断-证明”逻辑链| |重难·创新演练|综合题13道|结合向量/函数性质/新定义，考查复杂条件关系|深化跨知识模块逻辑推理，培养数学思维严谨性| |真题·实战演练|8道高考题|聚焦充要条件判断与参数求解高频考点|对接高考命题趋势，强化知识应用的规范性与准确性|

第02讲 常用逻辑用语 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 充分必要条件的判断 2 题型02 充分必要条件的证明 4 题型03 含量词命题的否定与真假 6 题型04 根据命题真假/充要关系求参数 8 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：充要条件的应用 题型01 充分必要条件的判断 一、单选题 1． “”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津经开一中·模拟）已知是正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【新思维】4．（2026·安徽明光中学·最后一卷）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·山东九五协作体·最后一卷）已知三次函数 ，则 “ ” 是 “ 是 的极大值点” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·浙江精诚联盟·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 11．将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·山东烟台·适应性测试）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 13．下列说法中正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．函数的最小值是 C．“，恒成立”的充要条件是“” D．若，则等于 三、解答题 【新考法】14．命题：是边长为1的正六边形内的一点，且恒成立，命题：方程有两解. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围. 题型02 充分必要条件的证明 一、单选题 1． 是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2026·宁波镇海中学·模拟）在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·北京育才学校·仿真）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．（2026·山东聊城·模拟）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【新角度】7．（2026·江苏淮安·模拟）已知随机事件满足，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量，是两个不共线的向量，若，，则“，，三点共线”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·重庆·模拟调研（五））在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 11．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 三、解答题 【新考法】12．已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 【新情境】13．（2026·重庆一中·适应性训练5）已知函数，记等差数列的前n项和为，记． (1)证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； (2)证明：“”是“”的充要条件； (3)时，求函数在区间上的零点个数． 题型03 含量词命题的否定与真假 一、单选题 1．已知命题，；命题，.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2026·西藏日喀则·模拟）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 3．（2026·陕西西安华清中学·模拟）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 4．若，，，，则（   ） A．p，q均为真命题 B．，均为假命题 C．，均为真命题 D．p，q均为假命题 5．（25-26高三下·河南周口·联考）已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 7．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 8．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·云南昆明一中·5月诊断）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 10．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 11．（2026·河北名校联盟·一模）已知命题，命题，则（    ） A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题 12．（2025·四川·5月联考）已知，；，.下列结论正确的是（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 二、多选题 13．下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 题型04 根据命题真假/充要关系求参数 一、单选题 1．（2026·陕西西安中学·模拟）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南红河&文山·一检）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东江门·调研）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄冈育才高中·模拟）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃张掖·三诊）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西兴平·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（12-13高三下·四川树德中学·3月月考）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西景德镇·三检）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·宁夏石嘴山三中·四模）以下结论正确的是（   ） A．经验回归直线一定经过样本点的中心 B．命题“，”为真命题，则a的取值范围是 C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 D．从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 三、填空题 10．（2026·青海西宁五中·模拟）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 11．（25-26高三上·安徽江淮十校·第二次联考）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是__________. 【新考法】12．（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 四、解答题 13．（25-26高三上·山东聊城百师联盟·一调）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·江苏常州高级中学·适应性考试）设向量，，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【新考法】3．（2026·北京朝阳·二模）设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河南周口天立高中·一适）已知数列，设，.若为等差数列，设p：“为等差数列”，q：“为常数列”，则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·长沙铁一中·学考模拟（二））不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知数列为等差数列，设甲：，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 12．（2026·天津北辰·二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 15．已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 【新思维】16．（2026·浙江义乌·适应性考试）定义：对于实数数列，若存在正整数T，使得对任意，都有，则称数列为“半周期数列”，正整数T称为该数列的一个半周期．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若是公差为d的等差数列，则“是半周期数列”是“”的必要不充分条件 B．若是公比为q的等比数列，则“是半周期数列”的充要条件是“” C．“对所有成立”的必要不充分条件是“不是半周期数列” D．若（k为正整数），则“数列的最小半周期为2”的充要条件是“k为偶数” 【新角度】17．（2026·重庆育才中学·一模）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．任意， 三、解答题 【新角度】18．（2026·江苏南京部分校·考前训练）已知，，为单位圆上的动点，为关于的对称点，线段的中垂线与直线交于点，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，是曲线上的两点，直线与单位圆相切.试判断：“”是“，，三点共线”的什么条件（在①充分不必要、②必要不充分、③充要、④既不充分也不必要中选一个），并证明你的结论； (3)若，过的直线与曲线交于，，且的外心在轴上，求直线的斜率. 真题·实战演练 高频考点：根据充要条件求参数 一、单选题 1．（2025·北京·高考）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·新课标全国Ⅱ卷·高考）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2024·全国甲卷·高考）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．（2024·北京·高考）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·天津·高考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·新课标全国Ⅰ卷·高考）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．（2023·全国甲卷·高考）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 充分必要条件的判断 2 题型02 充分必要条件的证明 8 题型03 含量词命题的否定与真假 17 题型04 根据命题真假/充要关系求参数 22 重难·创新演练 27 真题·实战演练 40 模拟·基础演练 考查重点：充要条件的应用 题型01 充分必要条件的判断 一、单选题 1． “”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 2．在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为是三角形内角，因此. 若，结合可得，此时，因此充分性成立； 若，结合可得或， 当时，，因此必要性不成立. 综上，是的充分不必要条件. 3．（2026·天津经开一中·模拟）已知是正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则成立， 若,不妨取，此时，所以不成立， 综上“”是“”的充分不必要条件 【新思维】4．（2026·安徽明光中学·最后一卷）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 5．（2026·山东九五协作体·最后一卷）已知三次函数 ，则 “ ” 是 “ 是 的极大值点” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先对函数求导，找出可能的极值点，分析条件下导数的符号变化，判断是否为极大值点，从而验证充分性，再举反例说明必要性不成立即可. 【详解】由题设，， 若，则，故当或时，，当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 故为的极大值点，从而充分性成立； 当时，有，则， 当或时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 此时为的极大值点，但条件并不成立，从而必要性不成立； 因此“ ” 是 “ 是 的极大值点” 的充分不必要条件. 6．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】根据可知直线在平面内或直线与平面相交， 故是的必要不充分条件． 7．若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件与必要条件定义，借助直线与平面的关系判断即可得. 【详解】若，可知直线，是共面直线，则存在平面，使，，即必要性成立； 若存在平面，使，，则直线，可能相交，即充分性不成立； 综上所述：“存在平面，使，”是“”的必要不充分条件． 8．（2026·浙江精诚联盟·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 9．设p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，解得； 由可得，解得； 因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件. 10．已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据复数的加法及模长运算结合充分条件及必要条件定义判断即可. 【详解】设复数 ，且满足， 则，化简即得， 又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0， 若“为实数”可得，不能推出， 若“为纯虚数”则，且不为0，即得， 则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件. 11．将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据平移规则得到的解析式，再分别验证充分性和必要性即可判断逻辑关系. 【详解】根据三角函数图象平移“左加右减”的规则，将函数的图象向左平移个单位后，可得：. 充分性：当时，，对于任意，都有，故是奇函数，充分性成立. 必要性：若是奇函数，则对于任意，恒成立，即，化简可得，即，解得，满足条件的不一定为，必要性不成立. 综上，“”是“是奇函数”的充分不必要条件. 12．（2026·山东烟台·适应性测试）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，，不满足数列为单调递增数列，充分性不成立； 若，此时，满足数列为单调递增数列，但不成立，必要性不成立； 所以“”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件. 二、多选题 13．下列说法中正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．函数的最小值是 C．“，恒成立”的充要条件是“” D．若，则等于 【答案】CD 【详解】由，得，则，解得，所以A错误； 令，则，即， 由对勾函数性质知在上单调递增，， 则函数的最小值不是，故B错误； ，恒成立， 当时，不等式恒成立， 当时，有，解得， 综上所述，“，恒成立”的充要条件是“”，故C正确； 由，则， ， 则 ， 故D正确. 三、解答题 【新考法】14．命题：是边长为1的正六边形内的一点，且恒成立，命题：方程有两解. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解； （2）分类讨论“真假”与“假真”两种情况即可. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以. 在正六边形中，以点为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图.    因为正六边形的边长为，则 ， 设，因为点在正六边形内，则有， 则，则， 所以，即. （2）若为真命题，则函数与函数的图象有两个交点， 在同一个坐标系画出两个函数的图象，如下图.    由图可知，，所以. ①当真假时，则，解得； ②当假真时，则，解得. 综上，的取值范围为：. 题型02 充分必要条件的证明 一、单选题 1． 是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【详解】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件. 2．已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 3．（2026·宁波镇海中学·模拟）在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将其转化为函数，结合图像即可求解 【详解】考虑为到的斜率， 因为 ， 因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示， 若，则，而 同号，由图及单调性可得； 若，则必定成立，故为充要条件． 4．（2026·北京育才学校·仿真）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理，得. 5．记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为 ，首项为 . 甲：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，所以. 乙：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，解得或. 所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 6．（2026·山东聊城·模拟）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 【新角度】7．（2026·江苏淮安·模拟）已知随机事件满足，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件概率公式结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】由题得：，， 所以由， 由，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 8．已知向量，是两个不共线的向量，若，，则“，，三点共线”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知不共线，，. 充分性证明：若三点共线，则存在非零实数，使得. 代入得，即. 由不共线，得，消去得，即. 必要性证明：若，则，即， 此时， 故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 综上，“三点共线”是“”的充分必要条件. 9．（2026·重庆·模拟调研（五））在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 二、多选题 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 【答案】AC 【分析】对于A，通过求导得到函数的单调性，结合极值点的定义即可判断；对于B，取，即可判断；对于C，根据函数的图象可判断；对于D，充分性代入可判断，必要性可通过取，判断. 【详解】，令，解得， 当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 所以，的极大值点为，极小值点为，所以有两个极值点，故A正确； 取，，， 所以，不符合时，，故B错误； ，令，即，解得或， 为开区间，若在有最大值， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 当时，则， 所以 ， 所以是的充分条件， 若， 取，，，， 满足，此时， 所以不是的必要条件， 综上，是的充分不必要条件，故D错误. 11．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【分析】对于A选项，结合三角形边角的性质和正弦定理边角互化，分别证明充分性与必要性即可判断；对于B选项，根据角度比例算出三个内角的具体值，再利用正弦定理得到三边的比例关系进行判断；对于C选项，通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求出的值，进而得到角；对于D选项，利用正弦定理将边的平方比转化为正弦平方的比，再结合余弦定理化简，分析角、的关系判断三角形形状. 【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 三、解答题 【新考法】12．已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 【答案】(1)18 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比写出通项公式，直接计算子集中指定元素的和. （2）先利用子集元素和不超过全集元素和的性质，再结合等比数列前项和公式，证明全集元素和小于，从而推导出任意子集的元素和均小于. （3）若选①：先证充分性（集合相等则元素和相等），再用反证法结合（2）的结论证明必要性，通过递推分析集合的最大项，证明若元素和相等则两集合元素完全相同. 若选②：采用反证法，假设存在满足的集合，按的最大元素位置分类讨论，结合等比数列前项和公式推出矛盾，证明不存在这样的集合. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以． （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以． （3）若选①． 充分性：若，由定义，显然成立． 必要性：若，记集合的最大项为，集合的最大项为， 假设，则，所以， 由（2）知，，所以，矛盾． 假设，类似可得，矛盾． 所以． 记集合去掉后得到集合，记的最大项为，集合去掉后得到集合，记的最大项为 同上分析可得． 以此类推，集合和中元素完全相同，即． 若选②． 假设存在，使得． 记数列的前项和为，因为， 所以， 设的最大元素为，则， 若，则，矛盾． 若，设去掉后得到集合，则， 所以，矛盾． 综上，不存在，使得． 【新情境】13．（2026·重庆一中·适应性训练5）已知函数，记等差数列的前n项和为，记． (1)证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； (2)证明：“”是“”的充要条件； (3)时，求函数在区间上的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）由可得答案； （2）由已知得，再由（1）可得充分性；①假设，即，利用导数判断出函数在上单调递增，得出矛盾.②假设，同①理得，矛盾.③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立.必要性得证； （3）的周期，分、、讨论，即可得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以曲线是中心对称图形，且对称中心为，得证； （2）（i）先证明充分性：若，则， 所以， 所以. 所以，充分性得证； （ii）再证明必要性：若， ①假设，则，即， ，所以函数在上单调递增， ， 同理， 所以，矛盾，假设不成立. ②假设，同①理得，矛盾，假设同样不成立. ③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立. 综上，必要性得证， 所以“”是“”的充要条件； （3）由题设， ①时，（等号不可同时取得），此时，函数无零点. ②时，，所以此时，函数无零点， ③时，， 令， 由复合函数的性质可得函数在区间上单调递增， 时，，， 由零点存在定理：，使得， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 因为，所以， 因为在上单调递减， 由零点存在定理：，使得. 综上所述，在上有2个零点，分别为. 题型03 含量词命题的否定与真假 一、单选题 1．已知命题，；命题，.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】因为当时，，所以命题为假命题，所以是真命题， 因为当时，，所以q是真命题，所以是假命题. 2．（2026·西藏日喀则·模拟）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】，故命题为真． 又，． 3．（2026·陕西西安华清中学·模拟）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，解不等式，得，所以为真命题． 4．若，，，，则（   ） A．p，q均为真命题 B．，均为假命题 C．，均为真命题 D．p，q均为假命题 【答案】C 【详解】若，则命题不成立，则为假命题，故为真命题； 若，则，则命题为真命题. 5．（25-26高三下·河南周口·联考）已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】利用作差法可判断命题，解方程可判断命题，即可得出合适的选项. 【详解】对于命题，，，则，故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 6．已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题； 根据指数函数和对数函数的图象可知，函数与在上有一个交点， 则，，即命题是真命题，是假命题. 7．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 8．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解全称量词和存在量词，存在就是有就可以，任意是所有的都要满足，利用这些知识进行求解即可得到答案. 【详解】， 选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； 选项B，，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误. 故选：A. 9．（2026·云南昆明一中·5月诊断）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 10．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，得，即，解得. 方法二：由，得或. 解得. 所以是假命题，是真命题. 当时，显然成立，所以是真命题，是假命题. 11．（2026·河北名校联盟·一模）已知命题，命题，则（    ） A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题 【答案】C 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法确定给定命题真假即可. 【详解】命题是全称量词命题，当时，，所以是假命题； 命题是存在量词命题，当时，，所以是真命题. 故选：C 12．（2025·四川·5月联考）已知，；，.下列结论正确的是（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 【答案】C 【分析】特殊值法、分别判断的真假，即可得. 【详解】当时，，则p是假命题，即是真命题. 当时，，满足，则q是真命题，即是假命题.. 故选：C 二、多选题 13．下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 题型04 根据命题真假/充要关系求参数 一、单选题 1．（2026·陕西西安中学·模拟）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 2．（2026·云南红河&文山·一检）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数的单调性及全称命题的真假计算即可. 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 3．（25-26高三上·广东江门·调研）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得. 【详解】命题“”的否定是“”， 则“”是真命题， 则有，解得. 故选：C. 4．（2025·湖北黄冈育才高中·模拟）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 5．（2026·甘肃张掖·三诊）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 6．（2026·陕西兴平·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 7．（12-13高三下·四川树德中学·3月月考）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 8．（2025·江西景德镇·三检）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 二、多选题 9．（2025·宁夏石嘴山三中·四模）以下结论正确的是（   ） A．经验回归直线一定经过样本点的中心 B．命题“，”为真命题，则a的取值范围是 C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 D．从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 【答案】AC 【分析】利用回归直线的性质判断A；利用全称量词命题为真求出范围判断B；利用相关系数的意义判断C；求出不同送法数判断D. 【详解】对于A，经验回归直线一定经过样本点的中心，A正确； 对于B，命题“，”为真命题，则，即，B错误； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，C正确； 对于D，从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法，D错误. 故选：AC 三、填空题 10．（2026·青海西宁五中·模拟）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 11．（25-26高三上·安徽江淮十校·第二次联考）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】转化为最值问题，利用“1”的代换求最值求解. 【详解】因为，令， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【新考法】12．（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 【答案】 【分析】根据题意得函数与函数在有相同的零点，再求出零点，进而得到即可． 【详解】由题得函数与函数有相同的零点， 而在的零点为，， 所以，也是的两个根， 即：， 四、解答题 13．（25-26高三上·山东聊城百师联盟·一调）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出集合，利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解. （2）由全称量词命题为真及集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. （2）由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 重难·创新演练 设题创新:综合考察 一、单选题 1．已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知是单位向量，故. 对两边平方得， 代入，解得. 由点积定义得（为两向量夹角）， 得，即同向共线，存在使，充分性成立； 若存在使，由， 得. 当时，，此时，必要性不成立. 因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件. 2．（2026·江苏常州高级中学·适应性考试）设向量，，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】D 【分析】由，和，分别求得x的值，再逐项判断. 【详解】因为向量，， 若，则 ，即，解得 或 ； 若则，即，解得 或 ； 所以，”是“”的充分条件，故A错误； “”是“”的充分不必要条件，故B错误； “”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； “”是“”的充分条件，故D正确； 【新考法】3．（2026·北京朝阳·二模）设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵ 函数的对称轴满足，即. 充分性：若，则，满足对称轴条件，充分性成立. 必要性：取，是函数对称轴，但，必要性不成立. 故为充分不必要条件，A正确. 4．（2026·河南周口天立高中·一适）已知数列，设，.若为等差数列，设p：“为等差数列”，q：“为常数列”，则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】已知，，且为等差数列，设其公差为. 若为常数列，则（常数），即. 此时：， 为常数，故是公差为的等差数列，即. 若为等差数列，则为常数，设为. ， 又，则， 因此：， 由于是等差数列，设其公差为，则，代入上式：， 对任意成立，说明为常数（），故，即为常数列.因此. 综上，是的充分必要条件. 5．已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，则，都有，故充分性成立； 若，，则有， 但不为奇函数，故必要性不成立， 故“函数为奇函数”是“存在，使得”的充分不必要条件. 6．在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦、正弦公式、同角三角函数的基本关系，充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，又，得， 则， 所以“”是“”的充分条件； 若，且，则，所以， 若，则，可得， 若，则，可得. 故“”不是“”的必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 8．已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切求出的值，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】若直线与圆相切，且圆的圆心为坐标原点，半径为，则， 整理可得，可得，解得或， 因为是的真子集，故“”是“与圆相切”的充分不必要条件. 9．（2026·长沙铁一中·学考模拟（二））不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 10．（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 11．已知数列为等差数列，设甲：，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设，则，， 当时，成立，但不成立； 当时，，，所以． 因此甲是乙的必要不充分条件． 12．（2026·天津北辰·二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得. 【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 13．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 二、多选题 14．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 【答案】ABD 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即，化简得对恒成立， 所以，即， 反之，当时，， 当是偶数时，为奇函数， 当是奇数时，为奇函数， 所以为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为，所以为奇函数， 若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确. 15．已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 【答案】ABD 【分析】求出导函数，根据奇函数、偶函数的定义即可判断AB；通过导数即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D. 【详解】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由于，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由于，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 【新思维】16．（2026·浙江义乌·适应性考试）定义：对于实数数列，若存在正整数T，使得对任意，都有，则称数列为“半周期数列”，正整数T称为该数列的一个半周期．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若是公差为d的等差数列，则“是半周期数列”是“”的必要不充分条件 B．若是公比为q的等比数列，则“是半周期数列”的充要条件是“” C．“对所有成立”的必要不充分条件是“不是半周期数列” D．若（k为正整数），则“数列的最小半周期为2”的充要条件是“k为偶数” 【答案】BC 【分析】对于A，根据定义可得，可得，再结合，可得即可判断；对于B，根据，可得为奇数，，再结合充要条件判断即可；对于C，若“是半周期数列”，可得，易得不是半周期数列，但，据此判断即可；对于D，易得时，“数列的最小半周期也为2”． 【详解】解：对于A，，， 又，所以，解得， 则，解得， 所以“等差是半周期数列”是“”的充要条件，故A错误； 对于B，若等比数列是半周期数列， 则，，则为奇数，， 当时，，“是半周期数列”， 综上，则“等比数列是半周期数列”的充要条件是“”，故B正确； 对于C，若“是半周期数列”，则， ，， 即若“是半周期数列”，则一定存在，， 故对所有成立，则一定不是半周期数列， 易知不是半周期数列，但， 则“对所有成立”的必要不充分条件是“不是半周期数列”，故C正确； 对于D，时，， ， 则时，“数列的最小半周期也为2”，故D错误． 【新角度】17．（2026·重庆育才中学·一模）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得，所以， 代入得 ， 可得， ， 因为，所以， 则，，即，故C正确； 对于D，任意， ， ， ， ， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 【新角度】18．（2026·江苏南京部分校·考前训练）已知，，为单位圆上的动点，为关于的对称点，线段的中垂线与直线交于点，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，是曲线上的两点，直线与单位圆相切.试判断：“”是“，，三点共线”的什么条件（在①充分不必要、②必要不充分、③充要、④既不充分也不必要中选一个），并证明你的结论； (3)若，过的直线与曲线交于，，且的外心在轴上，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)②必要不充分条件， “”是“，，三点共线”的必要不充分条件，理由如下： 先证必要性：若，，三点共线，则设直线方程为. 由相切，得，所以. 由对称性，不妨设，则. 联立，得. 设，，则. 所以. 故必要性得证. 再证不充分性：由对称性可知，若直线过点，则也为3. 比如：直线方程为，过点，根据对称性知满足3. 从而由不能推出，，三点共线. 综上：“”是“，，三点共线”的必要不充分条件. (3) 【分析】（1）利用双曲线的定义求解曲线的方程； （2） 选择必要不充分条件，再分必要性和不充分性分别证明； （3）法一：中垂线+垂径定理; 法二：圆的一般方程+同解; 法三：对称性+圆幂定理. 【详解】（1）因为为的中垂线，所以. 又因为为中点，为中点， 所以为的中位线，所以. 从而 ， 所以点的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线. 设焦距为，长轴长为，，则，，. 所以曲线的方程为. （2）略 （3）法一：中垂线+垂径定理    设直线 ，，. 联立，得，所以 设中点为，则. 所以的中垂线为.令，则. 设的外心为，则.则由垂径定理，. 又，所以. 即 ，即 . 又，所以 ，所以. 所以直线的斜率为. 法二：圆的一般方程+同解    设的外接圆方程为. 因为圆心在轴上，所以.将代入，得. 所以外接圆方程为 . 设直线 ，，. 联立，得 ，则. 联立，得，则. 所以，所以 ，所以. 所以直线的斜率为. 法三：对称性+圆幂定理   的外心在轴上，所以的外接圆关于轴对称. 由在圆上，得也在圆上. 由圆幂定理得， . 设直线 ，，. 联立，得，则. 所以 . 所以 ，所以. 所以直线的斜率为. 真题·实战演练 高频考点：根据充要条件求参数 一、单选题 1．（2025·北京·高考）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·天津·高考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·新课标全国Ⅱ卷·高考）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2024·北京·高考）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（2024·天津·高考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 7．（2023·新课标全国Ⅰ卷·高考）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8．（2023·全国甲卷·高考）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 39 / 44 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $