专题 第2讲 常用逻辑用语专项训练-2027届高三数学一轮复习

常用逻辑用语 集合与逻辑 · 专题篇 充分条件与必要条件 充分与必要这两句话，用日常语言说就是：能推出别人的，是充分的；被别人推出的，是必要的。「 是 的充分条件」等价于「由 能推出 」。反过来，「 是 的必要条件」等价于「由 能推出 」。两个方向都成立才叫充要条件。 做题时更省力的办法是把命题化成集合。把 成立的所有 收成一个集合 ，把 成立的收成 ，那么「由 能推出 」就等于「」。于是「小范围推出大范围」就是充分，「大范围只能推出小范围里的一部分」就是必要。一句话：小范围是充分的，大范围是必要的。 这个转化把逻辑题变成了集合题，接下来只要比端点 —— 与《集合的运算与计数》里那一套完全一样。特别注意「充分不必要」对应真包含（），「必要不充分」对应被真包含（）。端点处能不能取等，就看对应的两个集合在端点处取不取得到。 第二类题是辨析型：给出四个条件，问哪个是「」的充要条件、哪个只是充分不必要。做法是逐项验证两个方向：先看能不能推出结论（充分性），再看结论能不能推出它（必要性）。举反例是最快的工具 —— 只要找到一个反例，这一项在对应方向上就被否定了。 辨析题里有几条常用的等价关系要记牢：（指数函数单调）；（对数还要保证真数为正）；（加法可逆）；而 、、 都推不出 （前两个在负数上会翻车，第三个要看 的正负）。 两处最容易错。一是把充分与必要说反 —— 记住「小范围推大范围」，谁的范围小谁就是充分的一方。二是忘记验证反向：题目问「充分不必要」，必须两个方向都验；只验一个方向，很容易把充要条件误判成充分不必要。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（多选·★★★☆☆） 若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★☆☆☆☆） 若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 全称量词与存在量词 这一块只有一条规则：否定一个含量词的命题，要把量词换掉、结论取反。具体的做法是「 变 、 变 」，同时把后面的结论整个取反。例如「所有 都满足 」的否定是「存在某个 不满足 」。 有一处最容易写错：条件部分（也就是 的范围）不要动。原命题写的是「」，否定之后仍然是「」，而不是「」。道理是：否定的是「是不是都满足」，不是「 在不在这个范围里」。选项里往往就埋着「把范围也反过来」的干扰项。 结论取反时，常见符号要对着换：大于号与小于等于号、小于号与大于等于号、等号与不等号，「都是」与「不都是」，「一定能」与「不一定能」。取反要整个结论一起反，不能只反一部分 ——比如 的否定是 ，而不是 。 遇到两个量词嵌套的命题，否定时两层都要换：「，，使得 」的否定是「，，使得 」。记忆办法是：否定一次就把从左到右的每一个量词都翻转，最后把结论取反。 第二类题是判断命题真假，最有力的工具是举例子：全称命题只要找到一个反例就是假的，存在命题只要找到一个例子就是真的。判断技巧上，含「」「绝对值」的式子先代 或负数；含二次式的看判别式；含指数对数的不等式看单调性。 第三类题是由真假反求参数，处理的顺序是：先把否定收进来，再解。比如「 使 为假命题」，先翻译成「 都有 」，于是问题变成「恒成立」；若 是二次函数，再让 即可。「为假命题」这四个字，等价于「把否定命题改成真命题」。 例4（单选·★☆☆☆☆） 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 变式4-2（单选·★☆☆☆☆） 已知命题p：，，命题q：，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 例5（单选·★☆☆☆☆） 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★☆☆☆☆） 命题“，，使得”的否定是（ ） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 变式6-1（单选·★☆☆☆☆） 若命题“，使得”为假命题，则实数m的取值范围是（　） A. B. C. D. 命题真假的判断 这一块是「选择题」「多选题」的主战场：给出四个命题，问哪些是真命题。做法只有一条：逐项验证。没有捷径，但每一项都有它的快慢之分。 最快的武器是举反例。判断一个全称命题为假，只要找到一个反例；判断一个存在命题为真，只要找到一个例子。反例的来源有几处最常用：、、、相反数对（如 、）、以及含参数的式子里的 这种「退化情形」。绝大多数错项都是靠这五个例子戳穿的。 不等式性质的命题，要盯住乘除一个数的地方。不等式两边同乘一个正数方向不变、同乘负数方向要反 ——所以凡是出现乘积、商、倒数的命题，先问一句「这个数是正是负、能不能为零」。另外「两边平方」不是等价变形， 推不出 （反例：、）。 含二次式的命题，用判别式与配方。要说明「对任意 都有 」，把二次式配方成 的形式看 的符号；或者用判别式 配合开口方向。要说明「存在 使 」，则反过来要求 。 含指数、对数、三角的命题，靠单调性与图像。 隐含 ； 在负数处反而小，所以「 对一切实数成立」是假的； 与 的大小关系要靠单调性论证（令 ，由 知它递减，再回代 即可）。遇到「存在零点」这类判断，用零点存在定理：找两个点让函数值异号就够。 两处最容易错。一是举反例时没让反例满足全部前提条件 ——比如命题要求 ，反例却取了 、，那样反例不成立，判断也就无效。二是多选题漏选：四项都要独立判断，选中两项就收手，很可能漏掉第三项。 例7（单选·★☆☆☆☆） 下列命题中为真命题的是（ ）。 A. ， B. ， C. ， D. ， 变式7-1（多选·★★★☆☆） 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 变式7-2（多选·★★★☆☆） 下列命题中，真命题的有（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，，使得 D. ，，使得 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 变式8-1（多选·★★★☆☆） 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 例9（多选·★★★☆☆） 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 变式9-1（多选·★★★☆☆） 已知，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 学科网（北京）股份有限公司 $ 常用逻辑用语 集合与逻辑 · 专题篇 充分条件与必要条件 充分与必要这两句话，用日常语言说就是：能推出别人的，是充分的；被别人推出的，是必要的。「 是 的充分条件」等价于「由 能推出 」。反过来，「 是 的必要条件」等价于「由 能推出 」。两个方向都成立才叫充要条件。 做题时更省力的办法是把命题化成集合。把 成立的所有 收成一个集合 ，把 成立的收成 ，那么「由 能推出 」就等于「」。于是「小范围推出大范围」就是充分，「大范围只能推出小范围里的一部分」就是必要。一句话：小范围是充分的，大范围是必要的。 这个转化把逻辑题变成了集合题，接下来只要比端点 —— 与《集合的运算与计数》里那一套完全一样。特别注意「充分不必要」对应真包含（），「必要不充分」对应被真包含（）。端点处能不能取等，就看对应的两个集合在端点处取不取得到。 第二类题是辨析型：给出四个条件，问哪个是「」的充要条件、哪个只是充分不必要。做法是逐项验证两个方向：先看能不能推出结论（充分性），再看结论能不能推出它（必要性）。举反例是最快的工具 —— 只要找到一个反例，这一项在对应方向上就被否定了。 辨析题里有几条常用的等价关系要记牢：（指数函数单调）；（对数还要保证真数为正）；（加法可逆）；而 、、 都推不出 （前两个在负数上会翻车，第三个要看 的正负）。 两处最容易错。一是把充分与必要说反 —— 记住「小范围推大范围」，谁的范围小谁就是充分的一方。二是忘记验证反向：题目问「充分不必要」，必须两个方向都验；只验一个方向，很容易把充要条件误判成充分不必要。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都要两个方向各验一次，能推出 才算充分，能被 推出才算必要。 【关键】 项：取 、，有 但 ，故 不是充分条件， 不是。 项：同样取 、， 成立而 ， 不是。 项： 等价于 ，能推出 （充分），但 时可能 使对数无意义（不必要），故是充分不必要， 不是。 项： 等价于 ，两个方向都成立， 是。故选 D。 【易错】一是只验一个方向就下结论 ——「不必要」只能排除充要，还得看充分性。二是 项忘了对数要求 。三是 项举不出反例，关键就是取一对反号的数。 【答案】D 变式1-1（多选·★★★☆☆） 若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 等价于 （立方函数单调递增），于是题目变成「谁是 的充分不必要条件」。 【关键】 项： 与 互相等价，是充要条件， 错。 项：由 得 ，故 ，能推出 （充分）；反过来 、 时 不满足（不必要）， 对。 项：取 、， 而 （充分性不成立）；取 、， 而 （必要性不成立），故是既不充分也不必要， 错。 项： 等价于 ，能推出 （充分）；反过来 、 满足 但不满足（不必要）， 对。故选 BD。 【易错】一是没有先把 化成 。二是 项要两个方向各举一个反例，少举一个就会误判。三是 项忘了 与 都为正意味着 、 同号且都大于零。 【答案】BD 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】这次要的是「能推出但推不出我」，所以要找比 更强的条件。 【关键】 项： 与 互相等价，是充要条件， 不是。 项：当 时由 得 ，方向会反过来，不是充分条件， 不是。 项：取 、 有 但 ， 不是。 项：由 可知 、，两边同除 得 （充分）；反过来取 时 ，推不出来（不必要）。故 是。故选 D。 【易错】一是把 选成答案 ——加法可逆，它是充要条件不是充分不必要。二是 项只算了「两边同除 」，没验证反方向（ 是关键反例）。三是把 项的 默认成正数。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「」是「」的充分条件，就是 ，而 里含参数，于是化成恒成立问题。 【关键】由 得 。由 知当 时恒有 ，即 恒成立。设 ，由 得 （ 舍去）， 在 上减、在 上增，故最小值 。所以 ，即 。故选 B。 【易错】一是把充分条件写成 。二是分离参数时不等号方向搞错 —— 要求 不超过它的最小值，所以取 而不是 。三是求最值时只代端点（ 给 、 给 ），真正的最大值/最小值在 处，必须看顶点。 【答案】B 例3（单选·★☆☆☆☆） 若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把两个条件都化成集合，再把「充分条件」翻译成包含关系。 【关键】设 、。因为「」是「」的充分条件，所以 。于是 且 ，解得 。故选 A。 【易错】一是把包含方向搞反，写成 。二是端点取等的判断： 的两个端点都取不到（严格不等号），所以 时 确实在 内，端点可取； 时 也在 内 可取。三是只列了一个不等式就交卷。 【答案】A 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「 是 的必要不充分条件」意思是 能推出 、但 推不出 ，化成集合就是「 的集合是 的集合的真子集」。 【关键】设 （对应 ）、（对应 ）。由题意 。由 知 一定非空，故只需 且 ，解得 。故选 D。 【易错】一是把方向搞反，写成「 是 的真子集」。二是忘了判断 是否可能为空集 ——这里 恒成立，所以不必分类讨论。三是端点： 与 时 仍是 的真子集，端点可以取到。 【答案】D 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把二次不等式解成区间，再把「必要不充分」翻译成真包含。 【关键】由 得 ，即 ，记 ；条件「」的解集为 。因为「」是它的必要不充分条件，所以 。于是 ，即 。故选 B。 【易错】一是包含方向搞反 ——「 是 … 的必要条件」意味着结论能推出 ，所以是 。二是端点取等要谨慎：若 ，则 不含 而 含 ， 不成立 ⇒ 不能取，故是开区间。三是解二次不等式时把 直接当成 而忘了变号。 【答案】B 全称量词与存在量词 这一块只有一条规则：否定一个含量词的命题，要把量词换掉、结论取反。具体的做法是「 变 、 变 」，同时把后面的结论整个取反。例如「所有 都满足 」的否定是「存在某个 不满足 」。 有一处最容易写错：条件部分（也就是 的范围）不要动。原命题写的是「」，否定之后仍然是「」，而不是「」。道理是：否定的是「是不是都满足」，不是「 在不在这个范围里」。选项里往往就埋着「把范围也反过来」的干扰项。 结论取反时，常见符号要对着换：大于号与小于等于号、小于号与大于等于号、等号与不等号，「都是」与「不都是」，「一定能」与「不一定能」。取反要整个结论一起反，不能只反一部分 ——比如 的否定是 ，而不是 。 遇到两个量词嵌套的命题，否定时两层都要换：「，，使得 」的否定是「，，使得 」。记忆办法是：否定一次就把从左到右的每一个量词都翻转，最后把结论取反。 第二类题是判断命题真假，最有力的工具是举例子：全称命题只要找到一个反例就是假的，存在命题只要找到一个例子就是真的。判断技巧上，含「」「绝对值」的式子先代 或负数；含二次式的看判别式；含指数对数的不等式看单调性。 第三类题是由真假反求参数，处理的顺序是：先把否定收进来，再解。比如「 使 为假命题」，先翻译成「 都有 」，于是问题变成「恒成立」；若 是二次函数，再让 即可。「为假命题」这四个字，等价于「把否定命题改成真命题」。 例4（单选·★☆☆☆☆） 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【切入点】全称命题的否定是存在命题：量词换、结论反，范围不动。 【关键】原命题是「，」。量词 换成 ，范围仍是 ；结论 取反得 。故否定为「，」。故选 D。 【易错】一是把范围也反了，写成 （选项 B、C 就是这样）。二是结论只反了一半。三是把量词换了却忘了反结论。 【答案】D 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】与例 1 同型，只是范围写成了 、结论是 。 【关键】原命题为「，」。量词 换成 ，范围仍为 ；结论取反得 。故否定为「，」。故选 A。 【易错】一是把范围改成 （选项 B、C）。二是把 的否定写成 ——大于的否定是小于等于。三是把量词保留了（选项 D，那是原命题）。 【答案】A 变式4-2（单选·★☆☆☆☆） 已知命题p：，，命题q：，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【切入点】不用背结论，各举一个例子就能定下两个命题的真假，再各自取反。 【关键】命题 ：，。取 ，左边 、右边 ，不成立，故 是假命题， 是真命题。命题 ：，，。取 ，左边 、右边 ，不等式成立，故 是真命题， 是假命题。所以 与 都是真命题。故选 B。 【易错】一是 的判定： 增长很快，但在负数处反而小，要想到代负数。二是 里 要求 ，所以只能代同号的例（ 与 正合适）。三是「 假」不等于「 假」——两者必然一真一假。 【答案】B 例5（单选·★☆☆☆☆） 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【切入点】存在命题的否定是全称命题，把 换成 、结论取反。 【关键】原命题为「，」。换成全称、结论取反得 「，」。故选 C。 【易错】一是只把结论反了没换量词（选项 A）。二是把「等于」的否定写成「大于」（选项 B）——等于的否定是不等于，只要举一个不等于的情形就够。三是两个都没动（选项 D）。 【答案】C 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【切入点】存在命题的否定是全称命题；这里的范围是一个开区间，原样保留。 【关键】原命题为 「，」。换成全称、结论取反（小于号变为大于等于号）得 「，」。故选 D。 【易错】一是把 写成 （选项 A、B）——范围本身不取反。二是只换了量词没反结论（选项 C）。三是把「大于等于」写成「大于」，漏掉取等的情形。 【答案】D 例6（单选·★☆☆☆☆） 命题“，，使得”的否定是（ ） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 【切入点】命题里有两个量词，否定时两个都要翻转。 【关键】原命题为「，，使得 」。第一层 换 、第二层 换 ，结论 取反得 ，故否定为「，，使得 」。故选 C。 【易错】一是只翻转了一个量词（选项 A、B）。二是把结论方向搞反，写成 。三是忘了「使得 」里的「使得」是结构词，它本身不变，只跟着结论一起走。 【答案】C 变式6-1（单选·★☆☆☆☆） 若命题“，使得”为假命题，则实数m的取值范围是（　） A. B. C. D. 【切入点】「存在 … 使得 … 小于零为假」这句话，先把否定收进来，变成恒成立，再让判别式非正。 【关键】命题「，使得 」为假，等价于它的否定为真，即 「，」恒成立。二次项系数为正（开口向上），故只需判别式非正：，即 ，因式分解得 ，解得 。故选 A。 【易错】一是没把「为假」翻译成否定为真，直接去解「小于零」。二是判别式写成 ——「 恒成立」允许恰好等于零（此时有唯一解），所以是 ，端点 与 都要取。三是因式分解后区间方向写反。 【答案】A 命题真假的判断 这一块是「选择题」「多选题」的主战场：给出四个命题，问哪些是真命题。做法只有一条：逐项验证。没有捷径，但每一项都有它的快慢之分。 最快的武器是举反例。判断一个全称命题为假，只要找到一个反例；判断一个存在命题为真，只要找到一个例子。反例的来源有几处最常用：、、、相反数对（如 、）、以及含参数的式子里的 这种「退化情形」。绝大多数错项都是靠这五个例子戳穿的。 不等式性质的命题，要盯住乘除一个数的地方。不等式两边同乘一个正数方向不变、同乘负数方向要反 ——所以凡是出现乘积、商、倒数的命题，先问一句「这个数是正是负、能不能为零」。另外「两边平方」不是等价变形， 推不出 （反例：、）。 含二次式的命题，用判别式与配方。要说明「对任意 都有 」，把二次式配方成 的形式看 的符号；或者用判别式 配合开口方向。要说明「存在 使 」，则反过来要求 。 含指数、对数、三角的命题，靠单调性与图像。 隐含 ； 在负数处反而小，所以「 对一切实数成立」是假的； 与 的大小关系要靠单调性论证（令 ，由 知它递减，再回代 即可）。遇到「存在零点」这类判断，用零点存在定理：找两个点让函数值异号就够。 两处最容易错。一是举反例时没让反例满足全部前提条件 ——比如命题要求 ，反例却取了 、，那样反例不成立，判断也就无效。二是多选题漏选：四项都要独立判断，选中两项就收手，很可能漏掉第三项。 例7（单选·★☆☆☆☆） 下列命题中为真命题的是（ ）。 A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】四个选项都是量词命题，逐个判断：全称命题找反例、存在命题找例子。 【关键】 项：因为 ，故 ，不存在使 的 ， 是假命题。 项：取 ， 不满足「大于零」， 是假命题。 项：对任意整数 ， 都是非负整数，而自然数集 正是全体非负整数， 是真命题。 项：方程 的判别式 ，无实根， 是假命题。故选 C。 【易错】一是 项忘了代 （这是最省事的反例）。二是 项把 与 的张冠李戴，注意 确实落在 里。三是 项不验判别式就下结论。 【答案】C 变式7-1（多选·★★★☆☆） 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 【切入点】四个选项分别考配方、充要条件、命题否定、不等式性质 ——正好把前两讲的工具都用一遍。 【关键】 项： 恒成立， 对。 项： 是 的真子集，故「」是「」的必要不充分条件， 对。 项：存在命题的否定是全称命题，把小于号取反成大于等于号即可得 对。 项：若 ，两边同乘 （负数）得 ，两边同乘 得 ，故 ， 错。故选 ABC。 【易错】一是 项方向搞反（真子集的一方是充分的一方）。二是 项忘了乘的是负数、不等号要变向。三是 项否定时把范围也改了。 【答案】ABC 变式7-2（多选·★★★☆☆） 下列命题中，真命题的有（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，，使得 D. ，，使得 【切入点】四项里两项是「对任意 」、两项是「存在 」，前两项用配方或分情况讨论，后两项用单调性与零点存在定理。 【关键】 项：当 时 ；当 时 ，故恒成立， 对。 项：， 对。 项：令 ， 且不恒为零，故 在 上递减；又 ，所以只有 时取零，而命题要求 ， 错。 项：令 ，、，由零点存在定理知在 内有零点， 对。故选 ABD。 【易错】一是 项必须分两种情况，只算 会漏。二是 项要用单调性说明「只有 」，不能只代几个特殊值就下结论。三是 项要写出异号的两点，零点存在定理的用法就是「找异号」。 【答案】ABD 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】四项都是不等式性质，用一对相反数（、）就能戳穿前两项。 【关键】 项：取 、， 而 ， 错。 项：同样取 、，… 即 ， 错。 项：取 、，， 错。 项：由 知 （若 则两边相等），两边同除 得 ， 对。故选 D。 【易错】一是 项忘了 、 异号时「倒数大小关系会翻」（ 才有 ）。二是 项的基本不等式要求两个数同号且都为正，题目只说 ，不保证同号。三是 项没有先说明 。 【答案】D 变式8-1（多选·★★★☆☆） 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 【切入点】这一题的四个选项其实都是充分必要条件的辨析，把它化回集合比大小最清楚。 【关键】 项：，所以「」是「」的必要不充分条件， 对。 项：「 且 」能推出 （充分），反过来取 、 得 但不满足条件（不必要）， 对。 项： 解得 或 ，所以「」只能单向推出，是充分不必要， 错。 项：取 ，由 得 ，推不出严格小于；反过来 可推出 ，故是必要不充分， 错。故选 AB。 【易错】一是 项解分式不等式时漏掉 那一支。二是 项把「充要」与「必要不充分」说反。三是 项判断「不必要」时想不出反例 ——取一个反号的数（如 、）立刻见效。 【答案】AB 例9（多选·★★★☆☆） 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【切入点】四个选项是四种不同的推理，逐项各自验证。 【关键】 项：两个同向不等式相加方向不变， 对。 项：由 展开得 ， 对。 项：取 ，则 ， 错。 项：作差得 ，由 、 知分子分母都为正，故差为正， 对。故选 ABD。 【易错】一是 项没试 。二是 项只看到两个分式就以为无法比较，作差是最稳的出路。三是 项忘了 这个条件是怎么用上的（ 就是它的用处）。 【答案】ABD 变式9-1（多选·★★★☆☆） 已知，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】四个选项都在 内讨论正弦，用和差化积把两边化成同一个因子，再比较系数。 【关键】 项：，而 、，故 ， 错。 项：由和差化积 ，而 时 ，故 对任意 、 成立， 对。 项：不妨设 ，由和差化积 、，而 且余弦递减，故 ，两边同乘正数即得 对。 项：当 时 ，两边同除它要变号，得到 ，不可能成立， 错。故选 BC。 【易错】一是 项没把 展开比较。二是 、 两项都要处理符号：乘除负数要变向，这是最容易漏的一步。三是和差化积公式记混（正号配余弦、减号配正弦）。 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司 $