第03讲 等式性质与不等式性质（讲义）-2027届高考数学一轮复习

第03讲 等式性质与不等式性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考不等式性质的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 不等式知识结构图、三组易混辨析与比较思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 实数比较大小 全国一卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T4（5 分） 北京卷 T5（5 分） 不等式的基本性质 新课标Ⅰ卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 不等式性质求范围 全国甲卷 T5（5 分） 浙江卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T3（5 分） 不等式的证明 上海卷 T5（5 分） 全国乙卷 T5（5 分） 天津卷 T5（5 分） 不等式的实际应用 北京卷 T6（5 分） —— 上海卷 T6（5 分） 不等式性质单独命题的机会很少，它更像工具箱里的一把螺丝刀，出现在比较大小、求范围、证明的第二步。 同向可加不可减、乘法先定符号、取倒数要变号，这三条错一条后面全错；求范围的高阶做法是待定系数，把目标式写成已知区间的线性组合，比反复放缩稳得多。 备考建议：比较大小先想作差，作差后一定因式分解或配方；求范围时把 看作 ， 看作 ，不要直接相减相除；证明题写好四步格式。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个工具、八条性质、两类方法、一种意识”。先看整体脉络： 图 1　等式与不等式知识结构图 学习时抓住两条主线：比较（作差、作商、特值、单调性）与变形（同向可加、同向同正可乘、取倒数）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 同向可加与同向可减 ， 成立；但 ，，减法不能同向相减 同向同正可乘与可除 ，；除以一个数要看符号， 时不等号反向 取倒数 且 ；若 则结论相反，务必先看同号 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　比较两个实数的大小 一、作差法 1．原理：；；。 2．步骤：作差 → 变形 → 定号 → 结论。变形的手段是因式分解、配方、通分、有理化。 二、作商法 当 ， 时，；；。 作商法的前提是两数同号且不为零，跨号时只能用作差法。 注意： 1．作差后必须化成几个因式的积或商，或配方成平方和，否则无法定号。 2．含字母的比较，要按字母取值分类讨论（如 与 ）。 3．选择填空题可用特值法快速排除，但解答题必须写出完整过程。 【自主检测】比较 与 的大小． 【答案】 【分析】作差后配方即可定号。 【详解】， 　　　当且仅当 时取等号， 　　　所以 ． ▶ 知识点2　不等式的基本性质 一、四条基本性质 1．对称性：。 2．传递性：，。 3．可加性：。 4．可乘性：，；，。 二、两条合成性质 1．同向可加：，。 2．同向同正可乘：，。 三、乘方与开方 ，（，）。 注意： 1．减法不能同向相减：， 推不出 。 2．除法不能同向相除：必须先化为乘法（取倒数），并注意符号。 3．乘方、开方的不等式要求两边同为正，一正一负时不能直接平方。 【自主检测】已知 ，，判断 与 的大小． 【答案】 【分析】两边同乘一个负数，不等号反向。 【详解】因为 ，， 　　　由可乘性得 ． ▶ 知识点3　利用不等式性质求范围 一、求范围的三种基本运算 1．加减： 的范围由 、 的范围直接相加得到，注意 要写成 。 2．乘法：先判断各量是否同正，同正时用“同向同正可乘”；异号时化为绝对值讨论。 3．取倒数： 时 ，正负号会“翻转”大小关系。 二、整体代换 若所求量能表示成已知量的线性组合，应先设系数、解方程，再用同向可加，避免逐项运算放大范围。 注意： 1．由 ， 求 的范围，不能用 ， 正确做法是 ，再与 相加得 。 2．求 的范围，要先写出 的范围，再同向同正相乘。 【自主检测】已知 ，，求 的取值范围． 【答案】 【分析】先写出 的范围，再与 的范围同向相加。 【详解】由 得 ， 　　　又 ，两式同向相加得 ． ▶ 知识点4　不等式的证明 一、作差比较法 要证 ，只需证 。步骤：作差 → 变形 → 定号 → 结论，四步齐全才给满分。 二、作商比较法 当 ， 时，要证 ，只需证 。 三、综合法 从已知不等式出发，反复使用性质，逐步推出结论，注意每一步都要写明依据。 注意： 1．“定号”一步必须交代清楚，如“因为 ，且 ，所以 ”。 2．作商法要先说明“两式均为正”，否则结论不成立。 3．含等号情形要单独说明取等条件，这是评分点。 【自主检测】已知 ，，求证：． 【答案】见详解 【分析】先由 得 ，再乘负数 。 【详解】因为 ，所以 ． 　　　又 ，两边同乘 得 ． ▶ 知识点5　不等式的应用与创新 一、糖水不等式 若 ，，则 ，即“加糖变甜”。 二、实际应用建模 1．读题：找出不等关系的关键词——“至少”“不超过”“不低于”； 2．设元：把未知量设为字母，注明范围； 3．列式：列出不等式（组），再用性质求解并回到实际情境检验。 三、跨章节交汇 不等式性质常与函数单调性、数列单调性结合，比较 与 时先判断单调性。 注意： 1．糖水不等式的条件是“，”，三项缺一不可。 2．实际应用题的答案要符合实际意义（人数取整、长度为正）。 3．用单调性比较大小时，务必说明函数在区间上的单调性。 【自主检测】若 ，，比较 与 的大小． 【答案】 【分析】作差后分子为 。 【详解】， 　　　因为 ，，所以 ，， 　　　故差为正，即 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“比较—性质—范围—证明—应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 比较大小 例1-1（2025·湖南长沙·一模）已知 ，，比较 与 的大小． 【答案】 【分析】作差后提取公因式 ，再分解为 。 【详解】． 　　　因为 ，，所以 ，， 　　　故差非负，即 ，当且仅当 时取等号． 【方法技巧】 1．比较大小的首选方法是作差，作差后向“积”或“平方和”方向变形。 2．含两个字母时，常提取 、 等对称式，再用 定号。 3．选择题可用特值法：取 ， 快速排除错误选项。 【易错分析】 1．作差后不分解到底，无法判断符号。 2．忘记说明取等条件，解答题丢分。 3．用特值法得出“相等”就断言恒等，忽略了其他取值。 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）比较 与 的大小． 【答案】 【分析】展开后作差，二次项会抵消。 【详解】， 　　　所以 ． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）若 ，比较 与 的大小． 【答案】 【分析】作差通分，分母为正。 【详解】， 　　　因为 ，所以 ，， 　　　故差为负，即 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）设 ，比较 与 的大小． 【答案】 【分析】分子有理化后化为比较分母的大小。 【详解】，， 　　　因为 ， 　　　所以 ． ▶ 题型2 不等式性质的真假判断 例2-1（2023·天津卷·T3 改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例否定错误项，用函数单调性证明正确项。 【详解】A 中取 ，，则 （即 ），不成立； 　　　B 中取 ，，则 ，不成立； 　　　D 中取 ，则两边相等，不成立； 　　　C 中 在 上单调递增，故 恒成立．故选 C． 【方法技巧】 1．判断性质型命题，先找“反例”——反例只需一个即可否定。 2．常用反例：，；，；。 3．正面证明时优先用单调性：、 在 上递增。 【易错分析】 1．把 直接平方，忽略负数情形。 2．忽略 这种“乘零”的特殊情况。 3．取倒数时没有验证 。 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】负数取绝对值比较，或用特值验证。 【详解】由 得 ，D 正确； 　　　A 中由 且 得 ，错误； 　　　B 中 ，错误；C 中取 ， 验证错误．故选 D． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可加性最稳妥，其余各项留意符号。 【详解】由可加性， 两边同减 得 ，B 正确； 　　　A、D 需 、，条件未给；C 需 ，条件未给．故选 B． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）若 ，，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 时 ，可用同向可加。 【详解】由 得 ，又 ，两式同向相加得 ，B 正确； 　　　A 中 且 ，可得 ，错误； 　　　C 中取 ，，，，得 ，，此时 ，但取 ， 时不成立，错误； 　　　D 中 与 均为负，大小无法确定，错误．故选 B． ▶ 题型3 由不等式性质求范围 例3-1（2024·新课标Ⅰ卷·T4 改编）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 的范围，再与 的范围同向同正相乘。 【详解】由 得 ， 　　　又 ，两式同向同正相乘得 ．故选 A． 【方法技巧】 1．求差：先写出 的范围，再与 的范围相加。 2．求商：先写出 的范围（注意 的正负），再相乘。 3．多用整体代换：把所求量写成已知量的线性组合，可避免范围放大。 【易错分析】 1．直接把两个范围相减或相除，得到错误的“放大”范围。 2．求倒数时忽略 的正负，导致不等号方向错误。 3．端点是否可取没有交代，开闭区间写错。 【变式训练3-1】（2026·湖北武汉·二模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求 与 的范围，再同向相加。 【详解】由 得 ；由 得 ， 　　　两式同向相加得 ． 【变式训练3-2】（2026·四川成都·一模）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同向可加，端点分别相加。 【详解】由 ， 得 ，故选 A． 【变式训练3-3】（2025·福建厦门·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求 的范围，再同向相乘。 【详解】由 得 ， 　　　与 同向同正相乘得 ， 　　　即 ． ▶ 题型4 不等式的证明 例4-1（2023·全国乙卷·T17 改编）已知 ，，且 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差后分解为 ，再说明恒正。 【详解】． 　　　因为 ，，所以 ； 　　　又 ，所以 ， 　　　故差大于 ，即 ． 【方法技巧】 1．证明不等式首选作差法，四步写全：作差、变形、定号、结论。 2．“定号”必须给出理由，如“ 且 ”。 3．含等号时要指出取等条件，且验证条件确实能取到。 【易错分析】 1．只写“显然大于 0”，没有依据。 2．条件 没用上，导致无法排除等号。 3．作商法忘记声明两式均为正。 【变式训练4-1】（2026·辽宁大连·二模）已知 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差通分即可。 【详解】， 　　　因为 ，所以 ，， 　　　故差为负，即 ． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·三模）已知 ，，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差后通分，分子可分解。 【详解】左边减右边 ， 　　　分子 　　　 　　　， 　　　故原不等式成立，当且仅当 时取等号． 【变式训练4-3】（2025·广西南宁·二模）已知 ， 均为正数，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差后分成两个完全平方。 【详解】， 　　　所以 ，当且仅当 时取等号． ▶ 题型5 不等式的应用与创新 例5-1（2025·上海·模拟预测）一杯糖水中含有 克糖、 克水（），再加入 克糖（）后，糖水变甜了．请用不等式表示这一事实并证明． 【答案】，证明见详解 【分析】“变甜”即糖的质量分数变大，作差比较即可。 【详解】原糖水质量分数为 ，加糖后为 ． 　　　作差： 　　　． 　　　因为 ，，所以差为正， 　　　故 ，即糖水变甜． 【方法技巧】 1．“变甜”“变浓”这类问题都转化为“比值变大”，用糖水不等式处理。 2．应用题先设元再列式，最后回到实际情境检验取值范围。 3．涉及人数、件数时，答案常需取整，注意“至少”取进位、“至多”取舍位。 【易错分析】 1．把“糖水变甜”理解成糖变多，而忽略了总质量也在增加。 2．作差后不化简到能定号的形式。 3．应用题答案没有回到实际意义检验。 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）若 ，，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作差后分子为 。 【详解】， 　　　故 ，选 A． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）某商品原价 元，先涨价 ，再降价 ，现价为 元，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】依次乘 与 ，比较乘积与 的大小。 【详解】，故选 C． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）用 米长的篱笆围成一个矩形菜园，若长不小于宽的 倍，则菜园面积的最大值为________平方米（长、宽均为整数米）． 【答案】 【分析】设长 、宽 ，由 与 确定 的范围。 【详解】设长为 ，宽为 ，则 ，即 ，面积 ． 　　　由 得 ，即 ． 　　　 在 上单调递增， 　　　取整数 ，，此时 ，故最大面积为 平方米． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·T4 改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项验证，取倒数和乘方都要注意符号条件。 【详解】A 中 且 ，取倒数得 ，错误； 　　　B 中 ，正确； 　　　C、D 中 时 、，均错误．故选 B． 2．（2022·北京卷·T5 改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同向同正可乘；减法、除法不能同向运算。 【详解】由 ， 得 ，B 正确； 　　　A 取 ，，， 得 ，错误； 　　　C 取 ，，， 得 ，错误； 　　　D 取 ，，， 得 ，错误．故选 B． 3．（2021·全国乙卷·T8 改编）若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】负数比较大小，取绝对值后方向反转。 【详解】由 得 ，D 正确； 　　　A 中 ，取倒数得 ，错误； 　　　B 中 ，故 ，错误； 　　　C 中 ，故 ，错误．故选 D． 4．（2021·天津卷·T4）已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 时 与 互为充要。 【详解】当 时，由 得 ； 　　　反之若 ，则 ，而 ，故 ． 　　　所以二者互为充要条件，选 C． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先写出 的范围，再同向相加。 【详解】由 得 ， 　　　与 相加得 ． 6．（2022·全国甲卷·T13 改编）若 ，则 与 的大小关系是________． 【答案】 【分析】作差，分子为 。 【详解】， 　　　所以 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P42 练习 改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 等价于 ，两边分别是正数与负数。 【详解】． 　　　因为 ，所以 ；因为 ，所以 ， 　　　故 恒成立，A 正确； 　　　B、C 都等价于比较 与 的大小，无法确定， 　　　如取 ，，， 时 ，C 不成立； 　　　D 中 、 未必为正，如 ，，， 时 ．故选 A． 2．（人教A版必修第一册 P43 习题 2.1 改编）已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差配方，注意 时取等。 【详解】， 　　　所以 ，当且仅当 时取等号，选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P44 习题 2.1 改编）已知 ，，且 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差后通分，分子为完全平方。 【详解】． 　　　因为 ，，所以 ； 　　　又 ，所以 ， 　　　故差大于 ，即 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式性质与不等式性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考不等式性质的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 不等式知识结构图、三组易混辨析与比较思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 实数比较大小 全国一卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T4（5 分） 北京卷 T5（5 分） 不等式的基本性质 新课标Ⅰ卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 不等式性质求范围 全国甲卷 T5（5 分） 浙江卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T3（5 分） 不等式的证明 上海卷 T5（5 分） 全国乙卷 T5（5 分） 天津卷 T5（5 分） 不等式的实际应用 北京卷 T6（5 分） —— 上海卷 T6（5 分） 不等式性质单独命题的机会很少，它更像工具箱里的一把螺丝刀，出现在比较大小、求范围、证明的第二步。 同向可加不可减、乘法先定符号、取倒数要变号，这三条错一条后面全错；求范围的高阶做法是待定系数，把目标式写成已知区间的线性组合，比反复放缩稳得多。 备考建议：比较大小先想作差，作差后一定因式分解或配方；求范围时把 看作 ， 看作 ，不要直接相减相除；证明题写好四步格式。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个工具、八条性质、两类方法、一种意识”。先看整体脉络： 图 1　等式与不等式知识结构图 学习时抓住两条主线：比较（作差、作商、特值、单调性）与变形（同向可加、同向同正可乘、取倒数）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 同向可加与同向可减 ， 成立；但 ，，减法不能同向相减 同向同正可乘与可除 ，；除以一个数要看符号， 时不等号反向 取倒数 且 ；若 则结论相反，务必先看同号 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　比较两个实数的大小 一、作差法 1．原理：；；。 2．步骤：作差 → 变形 → 定号 → 结论。变形的手段是因式分解、配方、通分、有理化。 二、作商法 当 ， 时，；；。 作商法的前提是两数同号且不为零，跨号时只能用作差法。 注意： 1．作差后必须化成几个因式的积或商，或配方成平方和，否则无法定号。 2．含字母的比较，要按字母取值分类讨论（如 与 ）。 3．选择填空题可用特值法快速排除，但解答题必须写出完整过程。 【自主检测】比较 与 的大小． ▶ 知识点2　不等式的基本性质 一、四条基本性质 1．对称性：。 2．传递性：，。 3．可加性：。 4．可乘性：，；，。 二、两条合成性质 1．同向可加：，。 2．同向同正可乘：，。 三、乘方与开方 ，（，）。 注意： 1．减法不能同向相减：， 推不出 。 2．除法不能同向相除：必须先化为乘法（取倒数），并注意符号。 3．乘方、开方的不等式要求两边同为正，一正一负时不能直接平方。 【自主检测】已知 ，，判断 与 的大小． ▶ 知识点3　利用不等式性质求范围 一、求范围的三种基本运算 1．加减： 的范围由 、 的范围直接相加得到，注意 要写成 。 2．乘法：先判断各量是否同正，同正时用“同向同正可乘”；异号时化为绝对值讨论。 3．取倒数： 时 ，正负号会“翻转”大小关系。 二、整体代换 若所求量能表示成已知量的线性组合，应先设系数、解方程，再用同向可加，避免逐项运算放大范围。 注意： 1．由 ， 求 的范围，不能用 ， 正确做法是 ，再与 相加得 。 2．求 的范围，要先写出 的范围，再同向同正相乘。 【自主检测】已知 ，，求 的取值范围． ▶ 知识点4　不等式的证明 一、作差比较法 要证 ，只需证 。步骤：作差 → 变形 → 定号 → 结论，四步齐全才给满分。 二、作商比较法 当 ， 时，要证 ，只需证 。 三、综合法 从已知不等式出发，反复使用性质，逐步推出结论，注意每一步都要写明依据。 注意： 1．“定号”一步必须交代清楚，如“因为 ，且 ，所以 ”。 2．作商法要先说明“两式均为正”，否则结论不成立。 3．含等号情形要单独说明取等条件，这是评分点。 【自主检测】已知 ，，求证：． ▶ 知识点5　不等式的应用与创新 一、糖水不等式 若 ，，则 ，即“加糖变甜”。 二、实际应用建模 1．读题：找出不等关系的关键词——“至少”“不超过”“不低于”； 2．设元：把未知量设为字母，注明范围； 3．列式：列出不等式（组），再用性质求解并回到实际情境检验。 三、跨章节交汇 不等式性质常与函数单调性、数列单调性结合，比较 与 时先判断单调性。 注意： 1．糖水不等式的条件是“，”，三项缺一不可。 2．实际应用题的答案要符合实际意义（人数取整、长度为正）。 3．用单调性比较大小时，务必说明函数在区间上的单调性。 【自主检测】若 ，，比较 与 的大小． ▶　题型破译　◀ 下面按“比较—性质—范围—证明—应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 比较大小 例1-1（2025·湖南长沙·一模）已知 ，，比较 与 的大小． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）比较 与 的大小． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）若 ，比较 与 的大小． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）设 ，比较 与 的大小． ▶ 题型2 不等式性质的真假判断 例2-1（2023·天津卷·T3 改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）若 ，，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． ▶ 题型3 由不等式性质求范围 例3-1（2024·新课标Ⅰ卷·T4 改编）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·湖北武汉·二模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【变式训练3-2】（2026·四川成都·一模）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2025·福建厦门·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． ▶ 题型4 不等式的证明 例4-1（2023·全国乙卷·T17 改编）已知 ，，且 ，求证：． 【变式训练4-1】（2026·辽宁大连·二模）已知 ，求证：． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·三模）已知 ，，求证：． 【变式训练4-3】（2025·广西南宁·二模）已知 ， 均为正数，求证：． ▶ 题型5 不等式的应用与创新 例5-1（2025·上海·模拟预测）一杯糖水中含有 克糖、 克水（），再加入 克糖（）后，糖水变甜了．请用不等式表示这一事实并证明． 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）若 ，，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）某商品原价 元，先涨价 ，再降价 ，现价为 元，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）用 米长的篱笆围成一个矩形菜园，若长不小于宽的 倍，则菜园面积的最大值为________平方米（长、宽均为整数米）． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·T4 改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·北京卷·T5 改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·T8 改编）若 ，则（　　） A． B． C． D． 4．（2021·天津卷·T4）已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6）已知 ，，则 的取值范围是________． 6．（2022·全国甲卷·T13 改编）若 ，则 与 的大小关系是________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P42 练习 改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P43 习题 2.1 改编）已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P44 习题 2.1 改编）已知 ，，且 ，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $