第03讲 等式与不等式的性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，按“性质-方法-应用”逻辑架构整合知识点，通过知识解构、题型破译、真题溯源、课本典例等环节，帮助学生系统掌握性质应用、比较大小、取值范围求解等高考高频考点，构建完整知识体系。 讲义采用“靶向突破”策略，如不等式性质判断结合特殊值法与性质法培养逻辑推理能力，比较大小融入函数单调性与中间量法提升数学运算素养。分层变式训练配合易错分析，确保高效突破，为教师提供清晰复习路径，助力学生夯实基础拿下必得分。

第03讲 等式与不等式的性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的基本性质 知识点3 比较大小的常用方法 知识点4 不等式常用推论 题型破译 (含超链接） 题型1 不等式性质的正误判断 【方法技巧】不等式性质的快速判断 【易错分析】忽略前提条件 题型2 比较大小 【方法技巧】比较大小的解题策略 【易错分析】方法选择不当 题型3 求代数式的取值范围 【方法技巧】求代数式范围的规范步骤 【易错分析】范围扩大问题 题型4 不等式的基础证明 【方法技巧】不等式证明的基础方法 【易错分析】逻辑不严谨 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不等式的基本性质 —— —— —— 比较大小 —— 全国一卷T8（5 分） —— 利用不等式性质求范围 全国一卷T10（4 分） 全国二卷T10（4 分） 全国一卷T10（4 分） 全国甲卷（文理） T3（5 分） 全国Ⅰ卷T8（5 分） 全国Ⅰ卷T18（4 分） 不等式的推论与应用 全国一卷T14（5 分） 全国一卷T17（8 分） 全国一卷T19（10 分） 全国二卷T19（13 分） 全国一卷T19（10 分） 全国二卷T19（6 分） 全国甲卷（理） T21（6 分） 全国甲卷（文理） T23（12 分） 全国Ⅰ卷T19（4分） 考情分析 等式与不等式的性质是高中数学的基础工具，新教材强化了其与函数、数列、导数的融合考查，删除了繁琐的不等式证明技巧，侧重性质的直接应用与逻辑推理。题型以选择题第 2-4 题为主，分值固定5分，整体难度中等偏下，属于必得分板块。 考查方向： 1. 不等式基本性质的正误判断（核心高频）； 2. 作差法、作商法、中间量法比较大小； 3. 利用不等式性质求代数式的取值范围； 4. 结合函数单调性、指数对数运算考查不等式应用； 常结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性，以及数列、立体几何中的不等关系考查，侧重数学运算与逻辑推理核心素养，强调变形的等价性。 复习目标 1. 掌握等式的基本性质，理解其作为代数变形的基础地位。 2. 熟练掌握不等式的8条基本性质，能准确判断不等式变形的等价性。 3. 掌握作差法、作商法、中间量法三种比较大小的核心方法。 4. 能利用不等式性质求代数式的取值范围，掌握 “同向不等式相加” 的边界控制技巧。 5. 理解不等式的常用推论，能结合函数单调性解决综合不等问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式的基本性质 1. 对称性：若a=b，则b=a ； 2. 传递性：若a=b且b=c，则a=c； 3. 可加性：若a=b，则a+c=b+c ； 4. 可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 。 自主检测（2026·陕西西安中学·模拟）已知，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将M换成只含的方程，然后对这个未知数进行取值范围的讨论即可. 【详解】由题意可得，， 可得， 即， 将代入，可得. 知识点2 不等式的基本性质 性质名称 具体内容 注意事项 对称性 a>b⇔b<a 双向等价 传递性 a>b,b>c⇒a>c 单向推导 可加性 a>b⇔a+c>b+c 双向等价，移项的依据 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 单向，可推广到 n个同向不等式 可乘性 a>b,c>0⇒ ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc 乘负数不等号方向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 必须同时满足 "同向"和"正数" 乘方性 a>b>0⇒> (n∈N,n≥2) 仅对 成立 开方性 a>b>0⇒ ​(n∈N,n≥2) 仅对 成立 自主检测（多选题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用基本不等式，可得判定A不正确，B正确，C正确；由，化简得到，结合二次函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，，且，所以， 又因为，可得，所以D不正确. 知识点3 比较大小的常用方法 1. 作差法（通用）： 2. 作商法（适用于同号两数）：若a,b>0，则;;。 3. 中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。 自主检测设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 知识点4 不等式的常用结论 1. 倒数法则：a＞b,ab＞0⇒ ； 2. 分数性质：若a>b>0,m>0，则 （真分数性质） ； 3. 绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。 自主检测（2026·山东济宁·模拟）（多选题）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 题●型●破●译 题型1 不等式性质的正误判断 例1-1（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ， ，故，即，故C，D错误． 例1-2（2026·四川绵阳南山中学实验学校·高考冲刺）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为，所以， 因此，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 方法技巧 不等式性质的快速判断 1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项； 2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性； 3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。 易错分析 忽略前提条件 1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响； 2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提； 3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。 【变式训练1-1】（25-26高三下·江苏G4·4月联考）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 【变式训练1-2】（多选题）（2026·芜湖安师大附中·适应性检测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 【变式训练1-3】（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 【变式训练1-4】（多选题）（2026·黔西南顶兴中学·二模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 【变式训练1-5】（多选题）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，根据基本不等式求最值后判断CD. 【详解】对于A，因为，由不等式的性质可得，故A错误； 对于B，， 因为，故，故， 故，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 对于D，， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2，故D成立. 【变式训练1-6·变载体】（多选题）（2026·河北雄安新区·预测）已知4个正数，，，成等比数列（公比），则（   ） A． B． C． D．若，，则的最小值为5 【答案】BCD 【详解】对A：由等比数列性质可得，故A错误； 对B：，， 则， 由且各项为正数，则，，则， 即，故B正确. 对C：由，则，则， 故，故C正确； 对D：由，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减， 故，故D正确. 【变式训练1-7·变考法】（多选题）已知实数，且成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等差数列性质，取特殊值，以及均值不等式逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 因为成等差数列，所以， 两边同乘可得：， 即，也即，可得， 因 故，即A正确； 对于B，若取，代入，可得， ，此时不满足，故B错误； 对于C，由A项分析，得，当且仅当时取等，故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D正确． 题型2 比较大小 例2-1（2026·辽宁名校联盟·模拟）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 例2-2【新考法】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 方法技巧 比较大小的解题策略 1. 指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ； 2. 同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ； 3. 同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ； 4. 复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。 易错分析 方法选择不当 1. 作商法比较大小时忽略分母符号 ； 2. 构造函数时定义域判断错误 ； 3. 指数函数与对数函数单调性混淆。 【变式训练2-1·变载体】（2026·长沙铁一中·模拟）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 【变式训练2-2·】（2026·河北部分高中·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有， 整理得，因， 代入化简得 解得：，代入，可得， 因，， 则， 故. 【变式训练2-3】已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省广州市天河区2025届高三综合测试（二）数学试题 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 【变式训练2-4】（2026·西宁大通二中·仿真模拟）（多选题）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 【变式训练2-5】（2026·江西重点中学协作体·第二次联考）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 【变式训练2-6】（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】选项A利用函数的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性质确定；选项D利用函数的单调性判断. 【详解】函数在区间上单调递增， 因为，所以，选项A正确； ，时，，选项B错误； 若，，则，选项C正确； 函数在上单调递减，所以，选项D错误. 【变式训练2-7·变考法】（2026·武汉武昌·五月供题）（多选题）已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】应用概率的性质，结合事件互斥得，再应用作差法比较大小及基本不等式得，进而依次判断各项的正误. 【详解】由概率的性质知， 由，互斥，则，A错，故， 由， 而且， 所以，则，B对， 由，，则， 当且仅当时取等号，则， 当，则，当且仅当时取等号，即的最大值为，C对， 当，则，结合概率的性质知，则，D对. 题型3 求代数式的取值范围 例3-1（25-26高三下·安徽滁州来安中学·考前预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将条件等价转化为，构造函数证明，从而，求得取等号时的，，解出. 【详解】由题意得，，，， 则等价于． 设，则，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 由得，， 则， 又， 所以，即， 则． 例3-2（2026·四川广安友谊中学·模拟）（多选题）已知，两点的坐标分别为，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．， C．若，则曲线与圆：有交点 D．若，直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据条件得到曲线的方程，根据方程的特征判断A，平方后结合不等式的性质和判别式为非负判断B，结合B可判断C，联立直线方程和曲线的方程后消元求解可判断D. 【详解】由题设有，此方程即为曲线的方程. 对于A，设关于原点的对称点为， 则， 故也在曲线上，故曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，曲线的方程可化为， 整理得，故， 故，故，故， 所以. 又，故， 整理得，故，故B正确； 对于C，若，若曲线与圆：有交点， 则由可得， 故，这与B中判断矛盾， 故C错误； 对于D，若，则曲线方程为 ， 由可得， 整理得，故或， 因为直线与曲线有3个交点，故，故，故D正确. 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 1. 设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ； 2. 利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ； 3. 合并得到最终范围，注意边界值的验证。 易错分析 范围扩大问题 1. 多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ； 2. 忽略变量之间的相互制约关系 ； 3. 端点值无法同时取到，错误包含端点。 【变式训练3-1】（多选题）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项. 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D：， 由：当时，，故； 当时，，故，综上范围为，D正确. 【变式训练3-2·变考法】（25-26高三下·安徽A10联盟·阶段检测）已知函数，在点处作曲线的切线，其纵截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据题意求出点处的切线方程，得到截距，再根据裂项相消法求出的表达式，最后解不等式的恒成立问题即可． 【详解】由题意得，，， 因为，故点处的切线方程为， 则，所以， 则， 结合题意可得， 所以，可得， 的取值范围为． 【变式训练3-3·变载体】（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义可得，结合三角形三边的大小关系建立不等式组，解之即可； （2）根据余弦定理可得，结合（1）和不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】（1）因为成公差为的等差数列，， 所以，即， 由三角形三边的大小关系可得，即，又， 所以，即的取值范围为. （2）由余弦定理得， ， ， 所以， 由（1）知，则，得， 所以，故， 即的取值范围为. 【变式训练3-4】的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，代入三角形面积公式求解即可. （2） 利用正弦定理得到，结合角为钝角求解即可. 【详解】（1） 由余弦定理得，原式可化为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以，所以，即. 又，所以. 由余弦定理得， 即，解得. 所以的面积. （2） 在中，，所以. 因为角为钝角，所以， 所以，所以. 由正弦定理得，所以， 则的取值范围为． 【变式训练3-5·变载体】（2026·陕西宝鸡中学·冲刺一）已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”． (1)已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由； (2)已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”； (3)已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数的单调性，结合给定的定义列式，再利用不等式性质判断即可. （2）利用给定定义，借助换元法及不等式性质推理得证. （3）由已知及给定定义，结合不等式性质及取等号的条件可得或，再利用定义，结合不等式性质求出. 【详解】（1）函数在上单调递增，，则， ， 因此没有最大值，曲线不是“上界斜率曲线”. （2）令，， 由函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”， 得，恒成立， 且存在，使得，函数定义域内任意两个不同值， 使得，而，则， 函数在两点连线的斜率， 则 恒成立，且存在，使得， 所以曲线是“上界斜率曲线”. （3）由函数的定义域与值域均为，得存在，使得， 而曲线为“上界斜率曲线”，且，则， 因此，又，则，，必有或， 当时，且，即且， 因此且，则； 当时，且，即且， 因此且，则， 所以. 题型4 不等式的基础证明 例4-1（25-26高三上·浙江金丽衢十二校·第一次联考）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 例4-2（2026·云南保山·二模）（多选题）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 方法技巧 不等式证明的基础方法 1. 综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ； 2. 分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ； 3. 作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。 易错分析 逻辑不严谨 1. 证明过程中使用未证明的结论 ； 2. 忽略不等式性质的前提条件 ； 3. 循环论证 。 【变式训练4-1】（多选题）下列说法正确的有（    ） A．对任意实数都有 B．若，则 C．当时，的最小值是2 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据绝对值的概念可判断A的真假；利用不等式的基本性质可判断B的真假；利用基本不等式可判断C的真假；根据特称量词命题否定是全称量词命题可判断D的真假. 【详解】对于A：绝对值大于等于0恒成立，故A正确； 对于B：由，由同向不等式可加性有，即，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以C错误； 对于D：由特称量词命题的否定是全称量词命题，所以得，故D错误. 故选：AB 【变式训练4-2·变考法】（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 【答案】(1)数列是“数列” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“数列”定义，判断已知数列； （2）根据 “数列”定义，构造数列，利用数列的单调性，结合已知条件证明结论； （3）根据 “数列”定义，利用反证法证明，利用放缩法证明． 【详解】（1）已知，则 ， 当时，，即，满足定义， 数列是“数列”． （2）已知数列为“数列”，则， 变形可得，令，则单调递增， 已知任意不相等的正整数满足， 不妨设， 则， ， 单调递增，则， ，即， ，命题得证． （3）由定义得，数列递增， 若存在使得，则持续递增， ，时，与矛盾， ，即； 设，则单调递减， 对任意有，， ， ， 结合可得， ， ， ， 解得，故， 综上可得，． 【变式训练4-3·变载体】（2026·广东江门·适应性考试）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设出圆心坐标，代入抛物线方程求出圆半径即可. （2）联立圆与抛物线方程，借助不等式的性质求出的范围即可. （3）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义列出目标式的函数关系求出最小值. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心， 由抛物线经过圆心， 得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由，得， 即，则， 而，因此， 所以两点到轴的距离均不小于. （3）抛物线的焦点为，设， 由抛物线定义得， 则， 同理， 因此 ， 设直线的方程为， 由，得， ，则，， 因此， 所以当时，取得最小值. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2024·上海·春季高考），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 2．（2018·全国卷III·高考）设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ,即 又 即 故选：B. 3．（2017·山东·高考）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 4．（2016·全国卷I·高考）若，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， 因为 选项C正确，故选C． 【考点】指数函数与对数函数的性质 二、填空题 5．（2017·北京·高考）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 【答案】 【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．（高一上·人教A版·单元测试）用不等号“>”或“<”填空： （1）若，且，则ab_____________0； （2）若，则_________； （3）若，则__________. 【答案】 < > > 【解析】（1）直接化简和得解；（2）利用作差法比较和的大小；（3）利用作差法比较和的大小. 【详解】解：（1）. . （2）. . （3）. , . 2．（高一上·人教A版·2.1等式性质与不等式性质）用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 【答案】 > < < < 【解析】根据不等式的性质依次填写即可 【详解】解析:(1),.,. (2),.,,. (3),,,,, ,即. (4),所以,.于是,即,即. ,. 故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)< 二、解答题 3．（高一上·人教A版·单元测试）证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因. 【答案】见解析 【解析】设圆的周长与正方形的周长均为x，由圆的面积以及正方形的面积公式求出圆和正方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆和正方形的截面，圆的截面面积大. 【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x，则圆的面积， 正方形的面积，，. ∴相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快. 4．（高一上·人教A版·单元测试）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 【答案】（1）.（2）.（3）.（4）. 【解析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以当时，. （4）因为，所以. 5．（高一上·人教A版·单元测试）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？ 【答案】详见解析 【解析】求出两种方案购物的平均价格，再利用作差比较法比较它们的大小即得解. 【详解】解：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购，第二次购物时的价格为元/kg，仍购，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为. 比较两次购的平均价格：. 所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济. 6．（高一上·人教A版·单元测试）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 【答案】（1）20平方米  （2）变好了 【解析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则. 因为，所以.又因为，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 7．（高一上·人教A版·2.1等式性质与不等式性质）已知，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法结合，的大小关系，证得不等式成立. 【详解】， 因为，，所以，， 故，即证：. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式的性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的基本性质 知识点3 比较大小的常用方法 知识点4 不等式常用推论 题型破译 (含超链接） 题型1 不等式性质的正误判断 【方法技巧】不等式性质的快速判断 【易错分析】忽略前提条件 题型2 比较大小 【方法技巧】比较大小的解题策略 【易错分析】方法选择不当 题型3 求代数式的取值范围 【方法技巧】求代数式范围的规范步骤 【易错分析】范围扩大问题 题型4 不等式的基础证明 【方法技巧】不等式证明的基础方法 【易错分析】逻辑不严谨 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不等式的基本性质 —— —— —— 比较大小 —— 全国一卷T8（5 分） —— 利用不等式性质求范围 全国一卷T10（4 分） 全国二卷T10（4 分） 全国一卷T10（4 分） 全国甲卷（文理） T3（5 分） 全国Ⅰ卷T8（5 分） 全国Ⅰ卷T18（4 分） 不等式的推论与应用 全国一卷T14（5 分） 全国一卷T17（8 分） 全国一卷T19（10 分） 全国二卷T19（13 分） 全国一卷T19（10 分） 全国二卷T19（6 分） 全国甲卷（理） T21（6 分） 全国甲卷（文理） T23（12 分） 全国Ⅰ卷T19（4分） 考情分析 等式与不等式的性质是高中数学的基础工具，新教材强化了其与函数、数列、导数的融合考查，删除了繁琐的不等式证明技巧，侧重性质的直接应用与逻辑推理。题型以选择题第 2-4 题为主，分值固定5分，整体难度中等偏下，属于必得分板块。 考查方向： 1. 不等式基本性质的正误判断（核心高频）； 2. 作差法、作商法、中间量法比较大小； 3. 利用不等式性质求代数式的取值范围； 4. 结合函数单调性、指数对数运算考查不等式应用； 常结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性，以及数列、立体几何中的不等关系考查，侧重数学运算与逻辑推理核心素养，强调变形的等价性。 复习目标 1. 掌握等式的基本性质，理解其作为代数变形的基础地位。 2. 熟练掌握不等式的8条基本性质，能准确判断不等式变形的等价性。 3. 掌握作差法、作商法、中间量法三种比较大小的核心方法。 4. 能利用不等式性质求代数式的取值范围，掌握 “同向不等式相加” 的边界控制技巧。 5. 理解不等式的常用推论，能结合函数单调性解决综合不等问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式的基本性质 1. 对称性：若a=b，则b=a ； 2. 传递性：若a=b且b=c，则a=c； 3. 可加性：若a=b，则a+c=b+c ； 4. 可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 。 自主检测（2026·陕西西安中学·模拟）已知，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 不等式的基本性质 性质名称 具体内容 注意事项 对称性 a>b⇔b<a 双向等价 传递性 a>b,b>c⇒a>c 单向推导 可加性 a>b⇔a+c>b+c 双向等价，移项的依据 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 单向，可推广到 n个同向不等式 可乘性 a>b,c>0⇒ ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc 乘负数不等号方向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 必须同时满足 "同向"和"正数" 乘方性 a>b>0⇒> (n∈N,n≥2) 仅对 成立 开方性 a>b>0⇒ ​(n∈N,n≥2) 仅对 成立 自主检测（多选题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 比较大小的常用方法 1. 作差法（通用）： 2. 作商法（适用于同号两数）：若a,b>0，则;;。 3. 中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。 自主检测设，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点4 不等式的常用结论 1. 倒数法则：a＞b,ab＞0⇒ ； 2. 分数性质：若a>b>0,m>0，则 （真分数性质） ； 3. 绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。 自主检测（2026·山东济宁·模拟）（多选题）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 题●型●破●译 题型1 不等式性质的正误判断 例1-1（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 例1-2（2026·四川绵阳南山中学实验学校·高考冲刺）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 不等式性质的快速判断 1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项； 2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性； 3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。 易错分析 忽略前提条件 1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响； 2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提； 3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。 【变式训练1-1】（25-26高三下·江苏G4·4月联考）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】（多选题）（2026·芜湖安师大附中·适应性检测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式训练1-4】（多选题）（2026·黔西南顶兴中学·二模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（多选题）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 【变式训练1-6·变载体】（多选题）（2026·河北雄安新区·预测）已知4个正数，，，成等比数列（公比），则（   ） A． B． C． D．若，，则的最小值为5 【变式训练1-7·变考法】（多选题）已知实数，且成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2 比较大小 例2-1（2026·辽宁名校联盟·模拟）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 例2-2【新考法】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 方法技巧 比较大小的解题策略 1. 指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ； 2. 同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ； 3. 同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ； 4. 复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。 易错分析 方法选择不当 1. 作商法比较大小时忽略分母符号 ； 2. 构造函数时定义域判断错误 ； 3. 指数函数与对数函数单调性混淆。 【变式训练2-1·变载体】（2026·长沙铁一中·模拟）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【变式训练2-2·】（2026·河北部分高中·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【变式训练2-3】已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】（2026·西宁大通二中·仿真模拟）（多选题）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2-5】（2026·江西重点中学协作体·第二次联考）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【变式训练2-7·变考法】（2026·武汉武昌·五月供题）（多选题）已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 题型3 求代数式的取值范围 例3-1（25-26高三下·安徽滁州来安中学·考前预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D．1 例3-2（2026·四川广安友谊中学·模拟）（多选题）已知，两点的坐标分别为，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．， C．若，则曲线与圆：有交点 D．若，直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 1. 设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ； 2. 利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ； 3. 合并得到最终范围，注意边界值的验证。 易错分析 范围扩大问题 1. 多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ； 2. 忽略变量之间的相互制约关系 ； 3. 端点值无法同时取到，错误包含端点。 【变式训练3-1】（多选题）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【变式训练3-2·变考法】（25-26高三下·安徽A10联盟·阶段检测）已知函数，在点处作曲线的切线，其纵截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 【变式训练3-3·变载体】（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 【变式训练3-4】的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【变式训练3-5·变载体】（2026·陕西宝鸡中学·冲刺一）已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”． (1)已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由； (2)已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”； (3)已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值． 题型4 不等式的基础证明 例4-1（25-26高三上·浙江金丽衢十二校·第一次联考）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4-2（2026·云南保山·二模）（多选题）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 方法技巧 不等式证明的基础方法 1. 综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ； 2. 分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ； 3. 作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。 易错分析 逻辑不严谨 1. 证明过程中使用未证明的结论 ； 2. 忽略不等式性质的前提条件 ； 3. 循环论证 。 【变式训练4-1】（多选题）下列说法正确的有（    ） A．对任意实数都有 B．若，则 C．当时，的最小值是2 D．若，则 【变式训练4-2·变考法】（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 【变式训练4-3·变载体】（2026·广东江门·适应性考试）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2024·上海·春季高考），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2018·全国卷III·高考）设，，则 A． B． C． D． 3．（2017·山东·高考）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 4．（2016·全国卷I·高考）若，，则 A． B． C． D． 二、填空题 5．（2017·北京·高考）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．（高一上·人教A版·单元测试）用不等号“>”或“<”填空： （1）若，且，则ab_____________0； （2）若，则_________； （3）若，则__________. 2．（高一上·人教A版·2.1等式性质与不等式性质）用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 二、解答题 3．（高一上·人教A版·单元测试）证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因. 4．（高一上·人教A版·单元测试）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 5．（高一上·人教A版·单元测试）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？ 6．（高一上·人教A版·单元测试）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 7．（高一上·人教A版·2.1等式性质与不等式性质）已知，，求证：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $