第03讲 等式与不等式性质（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，涵盖比较数（式）大小、不等式基本性质、求解范围等高考高频内容，以命题透视研判趋势，通过思维建模构建知识框架，知识精讲拆解核心要点与题型技巧，结合课本典例与分层训练，形成系统复习链条。 讲义创新采用题型破译与方法技巧归纳，如通过糖水不等式应用培养学生数学思维与推理能力，设置基础演练与重难创新分层练习，助力学生高效突破考点。既强化数学语言表达现实问题的能力，又为教师提供精准复习节奏把控依据，提升学生应考实战能力。

第03讲 等式与不等式性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式的性质 知识点2 比较两个实数大小 知识点3 不等式的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 不等关系 题型2 比较数（式）大小 题型3 不等式的基本性质 【方法技巧】由已知条件判断所给不等式是否正确 题型4 由不等式关系，求解不等式范围 【方法技巧】由不等式关系，求解不等式范围 题型5 由不等式性质证明不等式 【方法技巧】利用不等式的性质证明不等式的注意事项 题型6 糖水不等式及其应用 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 比较数（式）大小 不等式的基本性质 由不等式关系，求解不等式范围 考情分析 北京卷中等式与不等式的性质常作为载体内容在集合、函数、数列、三角函数等知识点呈现，需熟练掌握相关计算。也会结合基本不等式来判断所给不等式是否正确及进行不等式的大小关系比较，分值4分，难度中等偏下。 复习目标 1.了解等式与不等式的性质. 2.会结合已知条件判断所给不等式是否正确. 3.会进行不等式的大小关系比较. 4.会在集合、函数、数列、三角函数等知识点中进行相关的不等式关系求解. 5.会使用糖水不等式和对数型糖水不等式进行快速求解. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 自主检测下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【解析】如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误，故选B. 知识点2 比较两个实数大小 两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 自主检测2．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 知识点3 不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 自主检测（25-26高三上·北京大兴·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，而，则. 题●型●破●译 题型1 不等关系 【例1】一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】小于且不小于，. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 【变式2】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 【变式3】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【解析】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 题型2 比较数（式）大小 【例2】若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【解析】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 【变式1】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为，所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 【变式2】设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以，，. 因为，所以； 因为，所以； 因为， 则，所以. 综上，，故选C. 【变式3】若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【解析】方法一（作商法）：因为， 所以，所以． 方法二（作差法）：，即． 题型3 不等式的基本性质 【例3】已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项 A，因为函数在上是单调递增函数， 又 ，所以，A正确. 选项 B，令，， 则 ，，此时，B 错误. 选项 C，由 可得 ， 函数 在上单调递增，所以，C 错误. 选项 D，同样取，， 则 ， ，此时，D 错误. 【方法技巧】由已知条件判断所给不等式是否正确 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2)利用特殊值排除法； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【变式1】（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 【变式2】（25-26高二下·北京·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 【变式3】已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 题型4 由不等式关系，求解不等式范围 【例4】若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，解得. ，，相加得. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 【方法技巧】由不等式关系，求解不等式范围 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【变式1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 【变式2】已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，，.故选：C. 【变式3】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，所以， 所以，故选A. 题型5 由不等式性质证明不等式 已知均为正实数，且，求证：． 【证明】，，， 又，，故， ，，， ，即． 【方法技巧】利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【变式1】已知，，，求证：； 【证明】，， 又，， ，又，. 【变式2】已知，证明：． 【证明】因为，所以. 因为，所以， 所以. 【变式3】（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【证明】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 题型6 糖水不等式及其应用 【例6】糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是______.（只需填满足题意的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】由，得，即，解得或， 则当或时，不等式成立， 所以不成立的的值可以是（答案不唯一）. 【变式1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以，故选D 【变式2】若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 因为函数在上单调递减，所以， 可得 , 且 . 所以 , 即 , 故选 A. 方法二：普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 .   可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 故选:A. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，得，，所以． 故选：B． 2．下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】A选项：当时，，A选项错误； B选项：因为，，， 所以， 所以，则，B选项正确； C选项：若，则，C选项错误； D选项：当，时，，D选项错误． 故选：B. 3．用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么 ; (2)如果,,那么 ; (3)如果,那么 ; (4)如果,那么 . 【答案】 > < < < 【解析】解析:(1),.,. (2),.,,. (3),,,,, ,即. (4),所以,.于是,即,即. ,. 4．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 【解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以当时，. （4）因为，所以. 5．已知，且，求证： 【证明】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 2．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 3．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 4．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 5．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 6．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，下面比较与： 作商法比较：，，，故，即 所以故选：C 7．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得，即， ，则， 因此.故选：D. 8．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误；故选C 9．一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为__________. 【答案】 【解析】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过， 所以有：. 10．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】，，又因为， ，即． 11．已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【解析】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 重难·创新演练 1．（24-25高二下·北京怀柔·期末）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，且， 对于A，当时，，此时，所以A不正确； 对于B，当时，，所以B不正确； 对于C，当时，；当时，， 综上可得，若，则所以C不正确； 对于D，因为函数在上为单调递增函数， 因为，所以，所以D正确. 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为，所以， 因此，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 3．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【解析】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 4．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 5．已知，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 可得， 即， 将代入，可得. 6．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 7．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由对数函数的性质，，所以. 又 因为，所以. 再由， 即，，所以. 所以，故选B. 8．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又，， 所以，，所以， 即的取值范围是.故选：A. 9．已知，则代数式的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，， 10．已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解析】由，， 则， 则， 又，则. 故答案为： 11．（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 12．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式的性质 知识点2 比较两个实数大小 知识点3 不等式的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 不等关系 题型2 比较数（式）大小 题型3 不等式的基本性质 【方法技巧】由已知条件判断所给不等式是否正确 题型4 由不等式关系，求解不等式范围 【方法技巧】由不等式关系，求解不等式范围 题型5 由不等式性质证明不等式 【方法技巧】利用不等式的性质证明不等式的注意事项 题型6 糖水不等式及其应用 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 比较数（式）大小 不等式的基本性质 由不等式关系，求解不等式范围 考情分析 北京卷中等式与不等式的性质常作为载体内容在集合、函数、数列、三角函数等知识点呈现，需熟练掌握相关计算。也会结合基本不等式来判断所给不等式是否正确及进行不等式的大小关系比较，分值4分，难度中等偏下。 复习目标 1.了解等式与不等式的性质. 2.会结合已知条件判断所给不等式是否正确. 3.会进行不等式的大小关系比较. 4.会在集合、函数、数列、三角函数等知识点中进行相关的不等式关系求解. 5.会使用糖水不等式和对数型糖水不等式进行快速求解. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 自主检测下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 知识点2 比较两个实数大小 两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 自主检测2．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 自主检测（25-26高三上·北京大兴·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 不等关系 【例1】一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 题型2 比较数（式）大小 【例2】若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【变式1】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 题型3 不等式的基本性质 【例3】已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】由已知条件判断所给不等式是否正确 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2)利用特殊值排除法； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【变式1】（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·北京·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型4 由不等式关系，求解不等式范围 【例4】若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【方法技巧】由不等式关系，求解不等式范围 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【变式1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 由不等式性质证明不等式 已知均为正实数，且，求证：． 【方法技巧】利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【变式1】已知，，，求证：； 【变式2】已知，证明：． 【变式3】（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 题型6 糖水不等式及其应用 【例6】糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是______.（只需填满足题意的一个值即可） 【变式1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 3．用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么 ; (2)如果,,那么 ; (3)如果,那么 ; (4)如果,那么 . 4．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 5．已知，且，求证： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 3．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 9．一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为__________. 10．已知，，则的取值范围是________． 11．已知，则与的大小关系为____________. 重难·创新演练 1．（24-25高二下·北京怀柔·期末）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 4．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 5．已知，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．设，则（   ） A． B． C． D． 8．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则代数式的取值范围为_____________． 10．已知，，，则与的大小关系为_________. 11．（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 12．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $