第02讲 常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考常用逻辑用语的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 逻辑用语知识结构图、三组易混辨析与转化思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 7 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 命题及其真假判断 全国一卷 T3（5 分） 新课标Ⅱ卷 T2（5 分） 北京卷 T3（5 分） 充分条件与必要条件 新课标Ⅰ卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 新课标Ⅱ卷 T2（5 分） 充要条件的判定与证明 全国甲卷 T3（5 分） 全国一卷 T4（5 分） 上海卷 T2（5 分） 全称量词与存在量词 北京卷 T4（5 分） 浙江卷 T3（5 分） 全国乙卷 T3（5 分） 逻辑联结词与推理 上海卷 T3（5 分） —— 天津卷 T4（5 分） 这一讲很少单独成题，多数时候寄生在函数、数列、立体几何的题干里，末尾问一句“判断充分必要”。 四类命题的等价链条是骨架：原命题与逆否同真假，逆命题与否命题同真假。记住这条链，真假判断就只剩一次翻译。 量词否定是送分题里的失分点：“任意”改“存在”必须连结论一起否定，只改量词是最常见的错法。 近两年有从背口诀转向算出来再比的趋势，含参的充要条件尤其明显——先把两个集合解出来，再谈谁包含谁。 备考建议：判断条件关系先化简再画图；含量词命题先定真假再否定；求参数范围时，把“充分不必要”“必要不充分”翻译成真子集关系，并逐个检验端点。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 常用逻辑用语可以浓缩为“一个对象、两组关系、三类量词、四种联结”。先看整体脉络： 图 1　常用逻辑用语知识结构图 学习时要抓住两条转化：把自然语言转化为符号语言（），把符号语言转化为集合语言（）。三组易混概念务必辨析： 易混对象 正确认识 否命题与命题的否定 否命题同时否定条件与结论（“若 则 ”）；命题的否定只否定结论（“若 则 ”） 充分条件与必要条件 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件；小范围推大范围 与 的否定 的否定是 ；的否定是 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　命题及其四种形式 一、命题的含义 1．命题：可以判断真假的陈述句。判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题。 2．不是命题的情形：疑问句（“ 吗？”）、祈使句（“请解方程”）、开语句（“”，含未定字母，无法定真假）。 二、四种命题及其关系 1．设原命题为“若 ，则 ”，则： 逆命题：“若 ，则 ”；否命题：“若 ，则 ”；逆否命题：“若 ，则 ”。 2．等价关系：原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。 注意： 1．否命题同时否定条件与结论；命题的否定只否定结论，两者不可混用。 2．“”的否定是“”；“”的否定是“”，注意不等号方向。 3．判断命题真假时，优先判断其逆否命题，往往更简单。 【自主检测】命题“若 ，则 ”的逆否命题是________，该逆否命题是________命题（填“真”或“假”）． ▶ 知识点2　充分条件与必要条件 一、定义 1．若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 2．若 且 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件。 3．若 且 ，则 与 互为充要条件。 二、集合视角 设 对应集合 ， 对应集合 ，则： 1． 是 的充分条件（“小范围推出大范围”）； 2． 是 的充分不必要条件； 3． 与 互为充要条件。 注意： 1．判断前必须先化简：解不等式、定范围，再比较集合的包含关系。 2．“ 是 的充分条件”与“ 的充分条件是 ”方向相反，读题时圈出主语。 3．否定性结论（如“”）可先看其补集，再用逆否命题转化。 【自主检测】“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． ▶ 知识点3　充要条件的判定与证明 一、判定的三种方法 1．定义法：分别验证 与 是否成立。 2．集合法：把 、 化为集合，比较 与 的包含关系。 3．等价法：利用逆否命题，把“”转化为“”。 二、证明充要条件的格式 1．充分性：由 出发推出 ； 2．必要性：由 出发推出 。两步缺一不可，且都要写明依据。 注意： 1．“ 的充要条件是 ”中， 是条件、 是结论，方向不要弄反。 2．求参数时把条件转化为 或 ，注意端点能否取等要单独验证。 3．若条件中含“”的可能，必须单独讨论空集。 【自主检测】“”成立的充要条件是________． ▶ 知识点4　全称量词与存在量词 一、两类量词 1．全称量词“”，表示“任意、所有”，命题形式：。 2．存在量词“”，表示“存在、至少有一个”，命题形式：。 二、命题的否定 1． 是 ； 2． 是 。 规律：改量词、否结论，两处一起改，缺一处即为错误。 三、真假与恒成立 1．全称命题为真需对所有元素成立，举一个反例即可否定； 2．“”恒成立 （或按不等号方向取对应最值）； 3．“”成立 。 注意： 1．否定时不要漏改量词，也不要把“”的否定写成“”（应为“”）。 2．含量词命题的真假判断，先明确范围 ，再在范围内找反例或特例。 3．恒成立问题优先分离参数，转化为求最值。 【自主检测】命题“，”的否定是________． ▶ 知识点5　逻辑联结词与推理应用 一、三种联结词 1．且：，两个都真才真； 2．或：，有一个真即真； 3．非：，与 真假相反。 二、真假推断 1．由复合命题的真假反推 、 的真假，是高考常见设问； 2．“ 为假”只能推出“、 中至少一个为假”，不能断定具体哪个。 三、真假话问题的处理 1．找矛盾：互为否定的两句话必一真一假，先锁定矛盾对； 2．假设法：假设某人说真话，推出与题设矛盾，则假设不成立； 3．列表法：人少、事少时逐项打勾排除，最稳妥。 注意： 1．“ 或 为真”包含“ 真 假”“ 假 真”“、 都真”三种情形。 2．真假话问题不要凭语感，务必写出“假设—推理—矛盾”的完整链条。 3．新定义型逻辑题，先把定义翻译成“若…则…”的形式再判断。 【自主检测】已知命题 为真，命题 为假，则下列命题为真的是（　　） A． B．　 C．　 D． ▶　题型破译　◀ 下面按“命题—条件—参数—量词—推理”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 命题真假的判断 例1-1（2025·湖南长沙·一模）下列命题中为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）下列命题为假命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式训练1-2】（2026·山东济南·一模）已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 ．下列说法正确的是（　　） A． 真 真 B． 真 假 C． 假 真 D． 假 假 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·三模）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 或 ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 且 ▶ 题型2 充分、必要条件的判断 例2-1（2023·天津卷·T2 改编）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·三模）设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-3】（2025·福建厦门·一模）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▶ 题型3 由充分、必要条件求参数 例3-1（2024·新课标Ⅱ卷·T2 改编）已知 ：，：（）．若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·湖北武汉·二模）已知 ：，：．若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________． 【变式训练3-2】（2026·安徽合肥·一模）若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2025·四川成都·三模）已知条件 ：，条件 ：（）．若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是________． ▶ 题型4 含量词命题的否定与真假 例4-1（2023·全国乙卷·T3 改编）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-1】（2026·辽宁大连·二模）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-2】（2026·湖南长沙·三模）若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是________． 【变式训练4-3】（2025·江苏苏州·一模）若命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▶ 题型5 逻辑推理与创新应用 例5-1（2025·上海·模拟预测）甲、乙、丙三人中只有一人做了好事．甲说：“不是我．”乙说：“是丙．”丙说：“乙在说谎．”已知三人中只有一人说真话，则做好事的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）甲、乙、丙三人中只有一人获奖．甲说：“乙获奖．”乙说：“我没获奖．”丙说：“甲没获奖．”已知三人中只有一人说真话，则获奖的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）已知命题 ：；命题 ：．若“”为真，“”为假，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）定义：若命题“，”与“，”中有且只有一个为真，则称 在 上“半真”．已知 ：，，若 在 上“半真”，则 的取值范围是________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．设 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题 ：，；命题 ：，．则下列命题为真的是（　　） A． B． C． D． 4．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 5．若命题“，”为假命题，则 的取值范围是________． 6．已知 ：，：，则 是 的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 三、解答题 7．已知 ：，：． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P30 练习 改编）下列语句是命题的是（　　） A．请把门关上 B． C．三角形内角和是 D． 是偶数吗 2．（人教A版必修第一册 P22 习题 1.4 改编）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P31 习题 1.5 改编）已知 ：实数 满足 （），：实数 满足 ．若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考常用逻辑用语的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 逻辑用语知识结构图、三组易混辨析与转化思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 7 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 命题及其真假判断 全国一卷 T3（5 分） 新课标Ⅱ卷 T2（5 分） 北京卷 T3（5 分） 充分条件与必要条件 新课标Ⅰ卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 新课标Ⅱ卷 T2（5 分） 充要条件的判定与证明 全国甲卷 T3（5 分） 全国一卷 T4（5 分） 上海卷 T2（5 分） 全称量词与存在量词 北京卷 T4（5 分） 浙江卷 T3（5 分） 全国乙卷 T3（5 分） 逻辑联结词与推理 上海卷 T3（5 分） —— 天津卷 T4（5 分） 这一讲很少单独成题，多数时候寄生在函数、数列、立体几何的题干里，末尾问一句“判断充分必要”。 四类命题的等价链条是骨架：原命题与逆否同真假，逆命题与否命题同真假。记住这条链，真假判断就只剩一次翻译。 量词否定是送分题里的失分点：“任意”改“存在”必须连结论一起否定，只改量词是最常见的错法。 近两年有从背口诀转向算出来再比的趋势，含参的充要条件尤其明显——先把两个集合解出来，再谈谁包含谁。 备考建议：判断条件关系先化简再画图；含量词命题先定真假再否定；求参数范围时，把“充分不必要”“必要不充分”翻译成真子集关系，并逐个检验端点。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 常用逻辑用语可以浓缩为“一个对象、两组关系、三类量词、四种联结”。先看整体脉络： 图 1　常用逻辑用语知识结构图 学习时要抓住两条转化：把自然语言转化为符号语言（），把符号语言转化为集合语言（）。三组易混概念务必辨析： 易混对象 正确认识 否命题与命题的否定 否命题同时否定条件与结论（“若 则 ”）；命题的否定只否定结论（“若 则 ”） 充分条件与必要条件 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件；小范围推大范围 与 的否定 的否定是 ；的否定是 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　命题及其四种形式 一、命题的含义 1．命题：可以判断真假的陈述句。判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题。 2．不是命题的情形：疑问句（“ 吗？”）、祈使句（“请解方程”）、开语句（“”，含未定字母，无法定真假）。 二、四种命题及其关系 1．设原命题为“若 ，则 ”，则： 逆命题：“若 ，则 ”；否命题：“若 ，则 ”；逆否命题：“若 ，则 ”。 2．等价关系：原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。 注意： 1．否命题同时否定条件与结论；命题的否定只否定结论，两者不可混用。 2．“”的否定是“”；“”的否定是“”，注意不等号方向。 3．判断命题真假时，优先判断其逆否命题，往往更简单。 【自主检测】命题“若 ，则 ”的逆否命题是________，该逆否命题是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】若 ，则 ；真 【分析】逆否命题把条件与结论互换并同时否定。 【详解】原命题的条件是 ，结论是 ， 　　　所以逆否命题为“若 ，则 ”． 　　　原命题显然为真，故其逆否命题也为真． ▶ 知识点2　充分条件与必要条件 一、定义 1．若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 2．若 且 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件。 3．若 且 ，则 与 互为充要条件。 二、集合视角 设 对应集合 ， 对应集合 ，则： 1． 是 的充分条件（“小范围推出大范围”）； 2． 是 的充分不必要条件； 3． 与 互为充要条件。 注意： 1．判断前必须先化简：解不等式、定范围，再比较集合的包含关系。 2．“ 是 的充分条件”与“ 的充分条件是 ”方向相反，读题时圈出主语。 3．否定性结论（如“”）可先看其补集，再用逆否命题转化。 【自主检测】“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 【答案】充分不必要 【分析】比较两个不等式对应的集合 与 的包含关系。 【详解】设 ，，则 ． 　　　所以“”能推出“”，反之不成立， 　　　故“”是“”的充分不必要条件． ▶ 知识点3　充要条件的判定与证明 一、判定的三种方法 1．定义法：分别验证 与 是否成立。 2．集合法：把 、 化为集合，比较 与 的包含关系。 3．等价法：利用逆否命题，把“”转化为“”。 二、证明充要条件的格式 1．充分性：由 出发推出 ； 2．必要性：由 出发推出 。两步缺一不可，且都要写明依据。 注意： 1．“ 的充要条件是 ”中， 是条件、 是结论，方向不要弄反。 2．求参数时把条件转化为 或 ，注意端点能否取等要单独验证。 3．若条件中含“”的可能，必须单独讨论空集。 【自主检测】“”成立的充要条件是________． 【答案】 【分析】直接解一元二次不等式即可。 【详解】由 得 ， 　　　解得 ． 　　　所以“”的充要条件是 ． ▶ 知识点4　全称量词与存在量词 一、两类量词 1．全称量词“”，表示“任意、所有”，命题形式：。 2．存在量词“”，表示“存在、至少有一个”，命题形式：。 二、命题的否定 1． 是 ； 2． 是 。 规律：改量词、否结论，两处一起改，缺一处即为错误。 三、真假与恒成立 1．全称命题为真需对所有元素成立，举一个反例即可否定； 2．“”恒成立 （或按不等号方向取对应最值）； 3．“”成立 。 注意： 1．否定时不要漏改量词，也不要把“”的否定写成“”（应为“”）。 2．含量词命题的真假判断，先明确范围 ，再在范围内找反例或特例。 3．恒成立问题优先分离参数，转化为求最值。 【自主检测】命题“，”的否定是________． 【答案】， 【分析】全称量词改为存在量词，结论取反。 【详解】原命题是全称命题，量词“”改为“”， 　　　结论“”改为“”， 　　　故否定为“，”． ▶ 知识点5　逻辑联结词与推理应用 一、三种联结词 1．且：，两个都真才真； 2．或：，有一个真即真； 3．非：，与 真假相反。 二、真假推断 1．由复合命题的真假反推 、 的真假，是高考常见设问； 2．“ 为假”只能推出“、 中至少一个为假”，不能断定具体哪个。 三、真假话问题的处理 1．找矛盾：互为否定的两句话必一真一假，先锁定矛盾对； 2．假设法：假设某人说真话，推出与题设矛盾，则假设不成立； 3．列表法：人少、事少时逐项打勾排除，最稳妥。 注意： 1．“ 或 为真”包含“ 真 假”“ 假 真”“、 都真”三种情形。 2．真假话问题不要凭语感，务必写出“假设—推理—矛盾”的完整链条。 3．新定义型逻辑题，先把定义翻译成“若…则…”的形式再判断。 【自主检测】已知命题 为真，命题 为假，则下列命题为真的是（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】B 【分析】按联结词的真值规则逐个判断。 【详解】 真 假，则 假，A 错； 　　　 真，B 对； 假，C 错； 　　　 真，故 假，D 错．故选 B． ▶　题型破译　◀ 下面按“命题—条件—参数—量词—推理”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 命题真假的判断 例1-1（2025·湖南长沙·一模）下列命题中为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【分析】举反例否定错误选项，用不等式性质证明正确选项。 【详解】A 中取 ，，则 ，错误； 　　　B 中取 ，，则 ，错误； 　　　D 中 在 上单调递增， 时必有 ，错误； 　　　C 中 时 ，正确．故选 C． 【方法技巧】 1．判断命题真假，先看能否举出反例，反例只需一个即可否定全称性结论。 2．涉及不等式性质时，注意“乘负数变号”“平方要看符号”两个陷阱。 3．结构复杂的命题，可先写出其逆否命题，往往更易判断。 【易错分析】 1．把“”直接平方，忽略 、 可能异号或为负。 2．取反例时没有验证反例本身满足题设条件。 3．把“若 则 ”为假，误判为“ 假 假”。 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）下列命题为假命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】逐项验证，重点检查“由结论推条件”的方向。 【详解】A、C、D 均由 直接推出，正确； 　　　B 中取 ，，则 但 ，错误．故选 B． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·一模）已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 ．下列说法正确的是（　　） A． 真 真 B． 真 假 C． 假 真 D． 假 假 【答案】B 【分析】分别判断两个命题的真假， 可用反例否定。 【详解】 时必有 ，故 为真； 　　　 中取 ，则 但 ，故 为假． 　　　所以 真 假，选 B． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·三模）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 或 ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 且 【答案】B 【分析】“”的否定是“ 或 ”，注意“且”变“或”。 【详解】原命题条件为 ，结论为 ， 　　　其逆否命题为“若 或 ，则 ”， 　　　故选 B． ▶ 题型2 充分、必要条件的判断 例2-1（2023·天津卷·T2 改编）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解 ，再比较两个集合的包含关系。 【详解】由 得 或 ，记 ， 　　　而 对应 ，显然 ． 　　　所以“”是“”的充分不必要条件，选 A． 【方法技巧】 1．判定口诀：“小范围推大范围”——条件对应集合小，则为充分条件。 2．含绝对值、分式、根式的条件，先化简成区间再比较。 3．否定形式的条件，可用逆否命题转化为肯定形式判断。 【易错分析】 1．把“ 是 的充分条件”与“ 是 的充分条件”弄反。 2．解不等式漏解，导致集合关系判断错误。 3．只用特值验证就下结论，忽略了“对所有 成立”的要求。 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由 得 或 ，再比较包含关系。 【详解】 对应 ， 对应 ， 　　　前者是后者的真子集， 　　　故“”是“”的充分不必要条件，选 A． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·三模）设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 等价于 ，再比较范围。 【详解】，对应 ， 　　　而 对应 ，是其真子集， 　　　故为充分不必要条件，选 A． 【变式训练2-3】（2025·福建厦门·一模）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】方程的根为 和 ，“”只是其中之一。 【详解】由 得 或 ，对应集合 ， 　　　， 　　　所以“”是“”的充分不必要条件，选 A． ▶ 题型3 由充分、必要条件求参数 例3-1（2024·新课标Ⅱ卷·T2 改编）已知 ：，：（）．若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“ 是 的必要不充分条件”即 且 ，转化为集合的真包含关系。 【详解】记 ，，由题意 ． 　　　于是 且 ，解得 ； 　　　又 ，且 恒成立， 　　　所以 ，选 A． 【方法技巧】 1．把条件关系翻译成集合关系：充分 ，必要 ，充要 。 2．列不等式组时，两个端点方向都要写，缺一不可。 3．求出范围后必须检验端点，尤其是“不必要”中的“不相等”是否自动满足。 【易错分析】 1．把“必要不充分”翻译成 ，方向搞反。 2．只列一侧端点，得到错误范围。 3．忘记 这类隐含条件，导致范围扩大。 【变式训练3-1】（2026·湖北武汉·二模）已知 ：，：．若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先化简 ，再按真包含关系列不等式。 【详解】由 得 ，记 ，． 　　　由 是 的必要不充分条件得 ， 　　　所以 ． 【变式训练3-2】（2026·安徽合肥·一模）若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充分不必要意味着 ，注意端点能否取到。 【详解】由 得 ， 　　　需 ，即 ； 　　　当 时仍为真包含，故 ，选 B． 【变式训练3-3】（2025·四川成都·三模）已知条件 ：，条件 ：（）．若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】把 化为 ，再按真包含列式。 【详解】由 得 ，记 ； 　　　由 得 ，记 ． 　　　由 是 的充分不必要条件得 ， 　　　所以 且 ，即 ． ▶ 题型4 含量词命题的否定与真假 例4-1（2023·全国乙卷·T3 改编）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】“改量词、否结论”两步同时完成。 【详解】全称量词“”改为存在量词“”， 　　　结论“”改为“”， 　　　故否定为“，”，选 B． 【方法技巧】 1．否定只动两处：量词与结论，其余部分原样保留。 2．判断含量词命题为假，只需一个反例；为真则需给出理由或证明。 3．“恒成立”问题优先分离参数，转化为最值比较。 【易错分析】 1．只改结论不改量词，或只改量词不改结论。 2．把“”的否定写成“”，正确写法是“”。 3．判断全称命题为真时，只用几个特例验证就下结论。 【变式训练4-1】（2026·辽宁大连·二模）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】存在量词改为全称量词，结论取反，范围不变。 【详解】“”改为“”，“”改为“”，范围 不变， 　　　故否定为“，”，选 B． 【变式训练4-2】（2026·湖南长沙·三模）若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】分离参数得 恒成立，再求右侧最小值。 【详解】由 得 对 恒成立． 　　　由基本不等式 ，当且仅当 时取等， 　　　所以 ． 【变式训练4-3】（2025·江苏苏州·一模）若命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】存在性命题为假，等价于其否定（全称命题）为真。 【详解】命题为假，则“，”为真， 　　　所以 ，解得 ，选 A． ▶ 题型5 逻辑推理与创新应用 例5-1（2025·上海·模拟预测）甲、乙、丙三人中只有一人做了好事．甲说：“不是我．”乙说：“是丙．”丙说：“乙在说谎．”已知三人中只有一人说真话，则做好事的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】乙与丙的话互为否定，必一真一假，故甲必说假话。 【详解】乙说“是丙”，丙说“乙说谎”，两句话互为否定，必有一真一假； 　　　又三人只有一人说真话，所以甲说的必是假话， 　　　即“不是我”为假，好事是甲做的．故选 A． 【方法技巧】 1．真假话问题先找“矛盾对”：互为否定的两句话必一真一假。 2．矛盾对确定后，其余人说话的真假即可确定，再逐一验证。 3．若没有明显矛盾对，用假设法：假设某人真，推出矛盾即否定。 【易错分析】 1．把“只有一人说真话”误读成“只有一人说假话”。 2．找到矛盾对后不再回代验证，结论可能不唯一。 3．假设时只讨论“甲真”一种情形，遗漏其他可能。 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）甲、乙、丙三人中只有一人获奖．甲说：“乙获奖．”乙说：“我没获奖．”丙说：“甲没获奖．”已知三人中只有一人说真话，则获奖的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】甲、乙的话互为否定，必一真一假，故丙说的是假话。 【详解】甲说“乙获奖”，乙说“我没获奖”，两句话互为否定，必有一真一假； 　　　又三人中只有一人说真话，所以丙说的必是假话； 　　　丙说“甲没获奖”为假，故甲获奖． 　　　此时乙“我没获奖”为真、甲“乙获奖”为假、丙为假，恰一人说真话，符合题意． 　　　故选 A． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）已知命题 ：；命题 ：．若“”为真，“”为假，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“或真且假”即两个命题恰有一个为真。 【详解】“”真要求 ；“”假要求 ． 　　　两条件同时成立得 ，故选 B． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）定义：若命题“，”与“，”中有且只有一个为真，则称 在 上“半真”．已知 ：，，若 在 上“半真”，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】“半真”即“存在成立但并非恒成立”，转化为最值条件。 【详解】“，”为真 ； 　　　“，”为假 ． 　　　 在 上最小值为 ，最大值为 ， 　　　所以 且 ，即 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．设 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】比较 与 的包含关系。 【详解】 时必有 ； 　　　反之取 ，则 但 ， 　　　所以 是 的充分不必要条件，选 A． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称命题的否定是存在命题，结论取反。 【详解】量词“”改为“”，结论“”改为“”， 　　　故否定为“，”，选 B． 3．已知命题 ：，；命题 ：，．则下列命题为真的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判 、 真假： 假（判别式小于 0）， 真（基本不等式）。 【详解】因为 ，所以 为假； 　　　由基本不等式， 时 ，所以 为真． 　　　于是 真、 真， 为真，选 B． 4．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 等价于 ，再比较范围。 【详解】，而 是 的真子集， 　　　故“”是“”的充分不必要条件，选 A． 二、填空题 5．若命题“，”为假命题，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】特称命题为假，等价于全称命题“ 恒成立”为真。 【详解】由题意，对任意 都有 ， 　　　所以 ，解得 ． 6．已知 ：，：，则 是 的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 【答案】必要不充分 【分析】分别解出两个集合，再比较包含关系。 【详解】由 得 ；由 得 ． 　　　，即 但 ， 　　　所以 是 的必要不充分条件． 三、解答题 7．已知 ：，：． 【答案】见详解 【分析】第 (1) 问先化简两个集合；第 (2) 问把“ 是 的充分不必要条件”转化为真包含关系。 【详解】(1) 由 得 ； 　　　由 得 ． 　　　(2) 是 的充分不必要条件，即 ， 　　　所以 且 ，解得 ． 　　　故 的取值范围是 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P30 练习 改编）下列语句是命题的是（　　） A．请把门关上 B． C．三角形内角和是 D． 是偶数吗 【答案】C 【分析】命题必须是能判断真假的陈述句。 【详解】A 是祈使句，B 是开语句，D 是疑问句，都不能判断真假； 　　　C 是陈述句且为真，是命题．故选 C． 2．（人教A版必修第一册 P22 习题 1.4 改编）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】注意方向：问的是“”能推出什么。 【详解】 时必有 ；但 时 或 ，不一定有 ． 　　　所以“”是“”的必要不充分条件，选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P31 习题 1.5 改编）已知 ：实数 满足 （），：实数 满足 ．若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围． 【答案】 【分析】先化简两个不等式，再按真包含列不等式组。 【详解】由 且 得 ； 　　　由 得 ． 　　　由 是 的充分不必要条件得 ， 　　　所以 且 ，即 ． 　　　当 时 ，当 时 ， 　　　均满足真包含，故 的取值范围是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $