第02讲 常用逻辑用语（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题、命题否定等内容，按考情分析、知识梳理、题型突破、真题训练的逻辑架构展开，通过考点拆解、方法归纳、分层练习帮助学生系统构建知识网络，突破条件判断、参数求解等难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计“定义法+集合法”双路径判断条件关系，如通过集合包含关系转化参数范围问题，培养学生推理意识与符号意识。设置基础与创新分层训练，配合真题溯源与课本素材挖掘，确保高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 充分条件、必要条件、充要条件 知识点2 全称量词与存在童词 知识点3 含有一个量词的命题的否定 题型破译 (含超链接） 题型1 充分、必要条件的判断 【方法技巧】充分、必要条件的判断 题型2 根据充分条件、必要条件求参数 【方法技巧】根据充分条件、必要条件求参数 题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假 【方法技巧】命题的真假 题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定 题型5 根据命题的真假求参数 题型6 常用逻辑用语与集合综合 【易错提醒】逻辑用语与集合综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 命题与量词（全称 / 特称命题、命题的否定） —— 充分条件与必要条件的判定 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 逻辑联结词（或、且、非）与命题真假判断 考情分析 高考中常用逻辑用语是天津卷的必考热点内容，整体定位为基础送分题，与集合运算共同构成试卷前两道 “开胃题”。 1.考查形式稳定：近三年均以单选题形式考查，固定在第 2 题，分值 5 分，难度极低，是考生必须拿满的基础分。 2.核心考点聚焦：命题重心集中在充分条件与必要条件的判定，极少单独考查命题的否定、逻辑联结词，且常与基础知识点结合命题（如三角函数、不等式、函数单调性等），不涉及复杂变形。 3.命题趋势温和：从未出现过难题、偏题，考查核心是逻辑概念的理解与基础转化能力，是考生构建高分的 “必争阵地”。 复习目标 1.理解命题的概念，能区分全称量词与存在量词，掌握全称命题与特称命题的否定形式，能准确写出简单命题的否定。 2.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，能结合具体情境（如方程、不等式、函数性质、三角函数等）判定条件间的逻辑关系，掌握 “集合法”“定义法” 两种核心判定方法。 3.了解逻辑联结词 “或”“且”“非” 的含义，能判断含联结词命题的真假，掌握 “或命题一真即真、且命题一假即假、非命题真假相反” 的基本规律。 4.能处理含参数的逻辑问题，如根据充分 / 必要条件求参数的取值范围，掌握 “转化为集合包含关系” 的解题思路，能结合数轴、Venn 图辅助分析参数范围。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 充分条件、必要条件、充要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若且，推不出则是的充分不必要条件； （2）若推不出且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若推不出且推不出，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 必记结论 从集合与集合之间的关系上看 设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且推不出； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 自主检测设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 知识点2 全称量词与存在童词 （1）全称量词与全称量词命题.“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 必记结论 1.若全称命题 “∀x∈M,p(x)” 为真，则等价于：p(x)在集合M上恒成立，常转化为求函数的最值问题。 2.若特称命题 “∃x∈M,p(x)” 为真，则等价于：p(x)在集合M上有解，常转化为求函数的值域问题。 3.命题 “∀x∈M,p(x)→q(x)” 为真，等价于 “p(x)对应的集合是q(x)对应集合的子集”。 4.要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 5.要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 自主检测已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 知识点3 含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 必记结论 1.否定时不能只改结论、不改量词，也不能只改量词、不改结论。 错误：∀x∈R,x2>0 的否定写成 ∀x∈R,x2≤0（量词未变）正确：∃x∈R,x2≤0 2.“全称命题的否定” 和 “否命题” 不是同一个概念，不要混淆。 含有 “至多 / 至少” 的量词否定：“至少有一个” 的否定是 “一个也没有”“至多有一个” 的否定是 “至少有两个” 3.全称命题 “∀x∈M,p(x) 为真” ↔ 对所有x∈M，p(x)恒成立。 4.特称命题 “∃x∈M,p(x) 为真” ↔ 存在x∈M，使p(x)成立（即有解）。 5.若全称命题为假，则其否定（特称命题）一定为真；反之亦然。 自主检测命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 【答案】C 【详解】命题“，，使得”的否定是“，，使得”. 题●型●破●译 题型1 充分、必要条件的判断 例1-1（2026·天津·二模）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 例1-2设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 方法技巧 充分、必要条件的判断 判断充分、必要条件优先用定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，二者互为充要条件。常用集合法辅助：设命题对应集合、，A⊆B时，p是q的充分条件；B⊆A时，p是q的必要条件。复杂题型可采用等价转化法，利用原命题与逆否命题同真假判断。解题时先理清推导方向，区分单向、双向推出关系，结合函数、不等式、几何等知识点灵活运用，避开推导方向颠倒的易错点 【变式训练1-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，解得或， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式训练1-2】设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，无意义，所以推不出， 当时，，所以， 即能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 【变式训练1-3】设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 题型2 根据充分条件、必要条件求参数 例2-1已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得或， 即：或； 由，解得,即：， 是的充分不必要条件，或， 即或． 实数的取值范围是或． 故选：A． 例2-2已知使关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由题意，是不等式成立的一个充分不必要条件， 所以为不等式解集的真子集， 当时，不等式解集为， 因为是的真子集，所以满足题意； 当时，不等式解集为， 因为是的真子集，所以满足题意； 当时，不等式解集为， 要使是的真子集，只需， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 方法技巧 根据充分条件、必要条件求参数 解已知充分、必要条件求参数，核心是转化为集合包含关系求解。先将两个命题对应解集设为集合A、B：若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则B⊆A。再结合不等式、方程求出对应集合，借助数轴分析区间范围，注意端点取值能否取等号。若为充要条件，则两个集合相等。求解后需检验边界值，避免漏解、错解，遇到含参不等式分类讨论时，要保证逻辑关系与集合包含关系一致。 【变式训练2-1】已知集合． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或(2)(3) 【详解】（1）由，得到，所以， 又时，，所以或， 则，或. （2）因为，则，由（1）知， 当，即时，，满足题意， 当，即时，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件，则是的真子集，由（1）知， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 【变式训练2-2·变考法】已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为条件，即为，条件， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式训练2-3】若不等式（其中）成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意有：，所以， 故答案为：. 题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假 例3-1（2026·天津·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C 例3-2下列命题中正确的序号是______. ①是的充分不必要条件；②，； ③若，则；④当时，的最大值为. 【答案】③④ 【详解】对于①命题，当，时，，但是，，此时，所以不能推出. 当，时，，，但，所以也不能推出.所以是的既不充分也不必要条件. 所以①错误. 对于②命题，对于方程，判别式，根据一元二次方程，当时方程无实数解，所以不存在.所以②错误.   对于③命题，因为，两边同时乘以（），得到. 再两边同时乘以（），得到，所以③正确.   对于④命题，令,则，由基本不等式知道，，当且仅当，，即时，取得最大值,所以④正确.   故答案为：③④. 例3-3下列命题中，真命题的编号是______. ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 方法技巧 命题的真假 判断全称、存在量词命题真假，可按规则快速判定。全称命题：只需找到一个反例，即可判定为假；若所有元素都满足结论，才为真。存在量词命题：只需找到一个符合条件的例子，就能判定为真；若全部元素都不满足结论，才为假。解题时可结合函数、不等式、方程等知识分析。遇到恒成立、有解类问题，可转化为求最值、值域辅助判断。注意两类命题真假相互对立，命题与其否定真假相反，以此验证答案，规避判断失误。 【变式训练3-1】以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】B 【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 【变式训练3-2】已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以命题为真命题； 由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题； 所以为真命题，、、为假命题. 故选：A． 题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定 例4-1命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据特称命题的否定是全称命题， 命题“，”的否定是：“，”. 故选：A 例4-2下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是； B．函数与是同一函数； C．若，则； D．已知命题“”，则该命题的否定为“.” 【答案】C 【详解】对于A，根据正弦函数的性质，可得函数的最小正周期是，所以A错误； 对于B，函数，则满足，解得或， 所以函数的定义域为， 函数，则满足，解得，所以的定义域为， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一函数，所以B错误； 对于C，由，可得，则，所以，所以C正确； 对于D，由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”，则命题的否定为“”，所以D错误. 故选：C. 【变式训练4-1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题，的否定是：，， 故选：D. 【变式训练4-2】命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】存在量词命题的否定形式为全称量词命题， 命题的否定为，故D正确． 故选：D． 【变式训练4-3·变载体】下列命题中正确的个数是（    ） ①是第三象限角 ②若，则为第一象限角 ③命题p：的否定是 ④若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以与终边相同，终边在第三象限， 所以是第三象限角，故①正确； 对于②，若，则是第一或第三象限角，故②错误； 对于③，命题的否定为，故③正确； 对于④，设扇形的半径为，则，所以，则扇形的面积为，故④正确. 综上，命题正确的有①③④. 故选：D. 题型5 根据命题的真假求参数 例5-1已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 例5-2若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 【变式训练5-1】若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 【变式训练5-2】已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 【变式训练5-3】已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 题型6 常用逻辑用语与集合综合 例6-1已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，或， 则， 所以. 例6-2已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是的充分不必要条件，故且由题可知， 所以（第2、3个不等式等号不能同时成立），得. 故选：A 方法技巧 逻辑用语与集合综合 解答逻辑用语与集合综合题，核心是实现逻辑关系与集合关系的转化。先把命题对应转化为集合，充分、必要条件直接对应集合包含关系，充要条件对应集合相等。全称命题恒成立等价于子集关系，存在命题有解对应集合存在交集。借助数轴、韦恩图直观分析区间与范围，重点验证区间端点能否取等号。解题时先拆解条件，理清推出方向，再结合集合运算求解参数或范围，最后检验结果，防止因端点取舍、包含关系判断出错丢分。 【变式训练6-1】已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由，可得， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由题意知，， 可得：，得. 所以实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得， ∴实数的取值范围为. （4）由“，使得”是真命题， 可得：, 先求， ， 当时，由（1）知， 当时，则或， 解集为：， 综上可知时，， 所以时，， 即“，使得”是真命题时实数m的取值范围是. 【变式训练6-2】给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】③④ 【详解】①，，故真子集个数为个，故①错误； ②由，可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，故②错误； ③由开口向上且对称轴为， 只需即可保证原方程有一个正根和一个负根， 故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正确； ④当，时，不成立；当时，且， 故“”是“”的必要不充分条件，故④正确. 故答案为：③④. 【变式训练6-3】已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 8．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设p：若，则， q：若，则； 则q表示的集合是p表示的集合真子集， 即是必要不充分条件， 故选：B． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．填空： （1）“一元二次方程有实数根”的充要条件是______； （2）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______； （3）“一元二次方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是______． 【答案】 (答案不唯一) 【详解】（1）一元二次方程有实数根，应满足， 解得或，所以实数的取值范围是． （2）一元二次方程的两个根， ∵方程有一个正实数根和一个负实数根，，， ， 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是(答案不唯一)； （3）一元二次方程有两个不相等的正实数根， 则，或， 又两个根的和，， ， 故一元二次方程有两个不相等的正实数根的充要条件是． 故答案为：（1）；（2）(答案不唯一)；（3）． 2．判断下列说法是否正确： （1）“”是“”的充分条件；( ) （2）“”是“”的充要条件；( ) （3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；( ) （4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．( ) 【答案】 正确 错误 正确 错误 【详解】（1）当时，则，∴“”是“”的充分条件，∴正确； （2）当时，满足，但不成立， ∴“”不是“”的充要条件，∴错误； （3）当两个三角形全等时，则两个三角形相似， ∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件，∴正确； （4）当两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等， ∴“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”不是“两个三角形全等”的充要条件，∴错误． 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误． 3．用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件（如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直）. （2）“”是“”的充分条件，但不是必要条件（如，满足条件，但推不出）﹒ （3）“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件. （4）“是一元二次方程的两个实数根”是“”的充分条件，但不是必要条件（如满足，但不满足的实数，不是一元二次方程的根）. 4．下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)对于反比例函数，，p：，q：y值随x值的增大而减小； (3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数． 【答案】(1)是的充分不必要条件(2)是的充要条件(3)是的必要不充分条件 【详解】（1）若则，充分性成立； 若，满足，但分式无意义，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件； （2）对于反比例函数，若，则随的增大而减小， 反之，若随的增大而减小，则，所以是的充要条件； （3）函数图象关于轴对称，函数可以是，也可以不是，充分性不成立， 函数的图象关于轴对称，必要性成立，所以是的必要不充分条件. 5．已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围． 【答案】 【详解】由题意，命题，， 因为是的充分而不必要条件，即是的充分而不必要条件， 即命题是命题的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 6．判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【答案】(1)假命题(2)假命题(3)真命题(4)假命题 【详解】（1）当，时，，但是，所以不是的必要条件，是的必要条件为假命题. （2）当，时，，但是，所以不是的充分条件，是的充分条件为假命题. （3）两个三角形的两组对应角分别相等可以推出三角形相似， 三角形相似也可以推出两个三角形的两组对应角分别相等， 所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件为真命题. （4），解得或0，所以是的必要不充分条件，故是的充分而不必要条件为假命题. 7．写出下列特称命题的否定： (1)：，； (2)：有的三角形的垂心在其外部； (3)：有一个小于210的正整数至少有4个质因数． 【答案】(1)，；(2)任意三角形的垂心都在其内部或边上；(3)任意小于210的正整数至多有3个质因数． 【详解】（1）是：，； （2）是：任意三角形的垂心都在其内部或边上； （3）是：任意小于210的正整数至多有3个质因数． 8．“”是“”的（    ）. A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 当时，且， 所以“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要条件. 故选：A. 9．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1）_________； （2）a，b都是偶数_____是偶数； （3）_________； （4）n是偶数_________n是4的倍数. 【答案】 【详解】（1）因为，或，所以； （2）因为a，b都是偶数，所以设， ，因为，所以， 所以是偶数，但是当时，是偶数，但是a，b都不是偶数， 所以a，b都是偶数是偶数； （3）因为， 所以； （4）当时，n是偶数，但是n不是4的倍数， 所以n是偶数 n是4的倍数， 故答案为：；；； 10．一元二次不等式的解集为R的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】一元二次不等式的解集为R， 即二次函数的图像在x轴的下方，等价于， 则一元二次不等式的解集为R的充要条件是 选项A：二次函数的图像只有一部分在x轴的下方.判断错误； 选项B：二次函数的图像都在x轴的上方.判断错误； 选项C：二次函数的图像只有一部分在x轴的下方.判断错误； 故选：D 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考及模拟卷中，常用逻辑用语为基础必考题，多设置在单选第 2 题，分值 5 分。考查核心以充分、必要条件判定为主，常结合不等式、集合、函数、几何等知识命题。其次考查全称与存在量词命题，包括真假判断、命题否定，重点考查量词互换、结论取反的规则。题型难度低，以基础演练题为主，常结合集合包含关系求解参数范围，解题侧重概念理解与简单转化，是务必稳拿的分数 1．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 2．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 3．已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据充分不必要条件，得到为的真子集，从而得到不等式组，求出答案； （2）分和两种情况，得到不等关系，求出答案 【详解】（1）， 故等价于，解得， 故， ，是的充分不必要条件，故为的真子集， 故或，解得； （2）为真命题，若，则，解得， 若，需满足或， 解得或， 综上，实数的取值范围是或. 4．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，但推不出，例如：当时，，但，所以充分性不成立； 若，则，因为是增函数，所以，所以必要性成立. 则是的必要不充分条件. 5．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】验证充分性： 因，， 由得，因为，则，故，充分性成立； 验证必要性： 若，则，当且不为0时，，而， 则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，，则，又n⊥，所以； 反之，若，，则，又，所以， 则“”是“”的充要条件. 7．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 8．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 9．若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 10．【新考法】设和的夹角为，则是为锐角的（    ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简得到，结合模的运算公式，求得，由数量积的运算公式，求得，得到，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 则由，可得， 可得， 即， 所以，则，所以， 因为，可得，所以为锐角或零度角， 所以是为锐角的必要不充分条件. 重难·创新演练 设题创新:天津高考常用逻辑用语创新题，多将条件与函数、三角、立体几何、数列综合设问。不再单纯直白判断关系，常结合含参问题、命题否定、真假综合考查，融合集合思想求参数范围，设问更灵活，侧重逻辑转化与分类讨论，区分基础与拔高层次。 1．已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 2．已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值代入分析，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】取，此时，但，故充分性不成立； 取，此时，但，故必要性不成立， 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 3．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 5．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 6．设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 . 因为复数 是纯虚数，所以，解得. 所以“”是“复数 是纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 7．下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，则“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于A，命题＂＂的否定是＂＂，故A不正确； 对于B，由，解得且，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件，故B错误； 对于C ，由，可得或，所以＂是＂＂的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，解得或，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件，故D错误． 故选：C 8．已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为向量， ， 若与夹角为锐角，等价于，解得且， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 9．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 10．设集合，，． (1)若，求. (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），又，得， 若，得 或， 则整数集下， 得. （2）， 或， 若“”是“”的充分条件， 则或， 得或， 故实数a的取值范围为： 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 充分条件、必要条件、充要条件 知识点2 全称量词与存在童词 知识点3 含有一个量词的命题的否定 题型破译 (含超链接） 题型1 充分、必要条件的判断 【方法技巧】充分、必要条件的判断 题型2 根据充分条件、必要条件求参数 【方法技巧】根据充分条件、必要条件求参数 题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假 【方法技巧】命题的真假 题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定 题型5 根据命题的真假求参数 题型6 常用逻辑用语与集合综合 【易错提醒】逻辑用语与集合综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 命题与量词（全称 / 特称命题、命题的否定） —— 充分条件与必要条件的判定 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T2（5 分） 逻辑联结词（或、且、非）与命题真假判断 考情分析 高考中常用逻辑用语是天津卷的必考热点内容，整体定位为基础送分题，与集合运算共同构成试卷前两道 “开胃题”。 1.考查形式稳定：近三年均以单选题形式考查，固定在第 2 题，分值 5 分，难度极低，是考生必须拿满的基础分。 2.核心考点聚焦：命题重心集中在充分条件与必要条件的判定，极少单独考查命题的否定、逻辑联结词，且常与基础知识点结合命题（如三角函数、不等式、函数单调性等），不涉及复杂变形。 3.命题趋势温和：从未出现过难题、偏题，考查核心是逻辑概念的理解与基础转化能力，是考生构建高分的 “必争阵地”。 复习目标 1.理解命题的概念，能区分全称量词与存在量词，掌握全称命题与特称命题的否定形式，能准确写出简单命题的否定。 2.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，能结合具体情境（如方程、不等式、函数性质、三角函数等）判定条件间的逻辑关系，掌握 “集合法”“定义法” 两种核心判定方法。 3.了解逻辑联结词 “或”“且”“非” 的含义，能判断含联结词命题的真假，掌握 “或命题一真即真、且命题一假即假、非命题真假相反” 的基本规律。 4.能处理含参数的逻辑问题，如根据充分 / 必要条件求参数的取值范围，掌握 “转化为集合包含关系” 的解题思路，能结合数轴、Venn 图辅助分析参数范围。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 充分条件、必要条件、充要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若且，推不出则是的____________条件； （2）若推不出且，则是的____________条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若推不出且推不出，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 必记结论 从集合与集合之间的关系上看 设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且推不出； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 自主检测设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点2 全称量词与存在童词 （1）全称量词与全称量词命题.“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号__________表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号_________表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 必记结论 1.若全称命题 “∀x∈M,p(x)” 为真，则等价于：p(x)在集合M上恒成立，常转化为求函数的最值问题。 2.若特称命题 “∃x∈M,p(x)” 为真，则等价于：p(x)在集合M上有解，常转化为求函数的值域问题。 3.命题 “∀x∈M,p(x)→q(x)” 为真，等价于 “p(x)对应的集合是q(x)对应集合的子集”。 4.要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 5.要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 自主检测已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 知识点3 含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的____________为，. （2）存在量词命题的____________为. 常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 必记结论 1.否定时不能只改结论、不改量词，也不能只改量词、不改结论。 错误：∀x∈R,x2>0 的否定写成 ∀x∈R,x2≤0（量词未变）正确：∃x∈R,x2≤0 2.“全称命题的否定” 和 “否命题” 不是同一个概念，不要混淆。 含有 “至多 / 至少” 的量词否定：“至少有一个” 的否定是 “一个也没有”“至多有一个” 的否定是 “至少有两个” 3.全称命题 “∀x∈M,p(x) 为真” ↔ 对所有x∈M，p(x)恒成立。 4.特称命题 “∃x∈M,p(x) 为真” ↔ 存在x∈M，使p(x)成立（即有解）。 5.若全称命题为假，则其否定（特称命题）一定为真；反之亦然。 自主检测命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 题●型●破●译 题型1 充分、必要条件的判断 例1-1（2026·天津·二模）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 充分、必要条件的判断 判断充分、必要条件优先用定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，二者互为充要条件。常用集合法辅助：设命题对应集合、，A⊆B时，p是q的充分条件；B⊆A时，p是q的必要条件。复杂题型可采用等价转化法，利用原命题与逆否命题同真假判断。解题时先理清推导方向，区分单向、双向推出关系，结合函数、不等式、几何等知识点灵活运用，避开推导方向颠倒的易错点 【变式训练1-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-3】设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 根据充分条件、必要条件求参数 例2-1已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 例2-2已知使关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 方法技巧 根据充分条件、必要条件求参数 解已知充分、必要条件求参数，核心是转化为集合包含关系求解。先将两个命题对应解集设为集合A、B：若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则B⊆A。再结合不等式、方程求出对应集合，借助数轴分析区间范围，注意端点取值能否取等号。若为充要条件，则两个集合相等。求解后需检验边界值，避免漏解、错解，遇到含参不等式分类讨论时，要保证逻辑关系与集合包含关系一致。 【变式训练2-1】已知集合． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式训练2-2·变考法】已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】若不等式（其中）成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假 例3-1（2026·天津·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 例3-2下列命题中正确的序号是______. ①是的充分不必要条件；②，； ③若，则；④当时，的最大值为. 例3-3下列命题中，真命题的编号是______. ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 方法技巧 命题的真假 判断全称、存在量词命题真假，可按规则快速判定。全称命题：只需找到一个反例，即可判定为假；若所有元素都满足结论，才为真。存在量词命题：只需找到一个符合条件的例子，就能判定为真；若全部元素都不满足结论，才为假。解题时可结合函数、不等式、方程等知识分析。遇到恒成立、有解类问题，可转化为求最值、值域辅助判断。注意两类命题真假相互对立，命题与其否定真假相反，以此验证答案，规避判断失误。 【变式训练3-1】以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【变式训练3-2】已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定 例4-1命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 例4-2下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是； B．函数与是同一函数； C．若，则； D．已知命题“”，则该命题的否定为“.” 【变式训练4-1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-2】命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】下列命题中正确的个数是（    ） ①是第三象限角 ②若，则为第一象限角 ③命题p：的否定是 ④若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型5 根据命题的真假求参数 例5-1已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5-2若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1】若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6 常用逻辑用语与集合综合 例6-1已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 例6-2已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 方法技巧 逻辑用语与集合综合 解答逻辑用语与集合综合题，核心是实现逻辑关系与集合关系的转化。先把命题对应转化为集合，充分、必要条件直接对应集合包含关系，充要条件对应集合相等。全称命题恒成立等价于子集关系，存在命题有解对应集合存在交集。借助数轴、韦恩图直观分析区间与范围，重点验证区间端点能否取等号。解题时先拆解条件，理清推出方向，再结合集合运算求解参数或范围，最后检验结果，防止因端点取舍、包含关系判断出错丢分。 【变式训练6-1】已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【变式训练6-2】给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 【变式训练6-3】已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．填空： （1）“一元二次方程有实数根”的充要条件是______； （2）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______； （3）“一元二次方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是______． 2．判断下列说法是否正确： （1）“”是“”的充分条件；( ) （2）“”是“”的充要条件；( ) （3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；( ) （4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．( ) 3．用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 4．下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)对于反比例函数，，p：，q：y值随x值的增大而减小； (3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数． 5．已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围． 6．判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 7．写出下列特称命题的否定： (1)：，； (2)：有的三角形的垂心在其外部； (3)：有一个小于210的正整数至少有4个质因数． 8．“”是“”的（    ）. A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1）_________； （2）a，b都是偶数_____是偶数； （3）_________； （4）n是偶数_________n是4的倍数. 10．一元二次不等式的解集为R的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考及模拟卷中，常用逻辑用语为基础必考题，多设置在单选第 2 题，分值 5 分。考查核心以充分、必要条件判定为主，常结合不等式、集合、函数、几何等知识命题。其次考查全称与存在量词命题，包括真假判断、命题否定，重点考查量词互换、结论取反的规则。题型难度低，以基础演练题为主，常结合集合包含关系求解参数范围，解题侧重概念理解与简单转化，是务必稳拿的分数 1．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 2．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 4．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 10．【新考法】设和的夹角为，则是为锐角的（    ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难·创新演练 设题创新:天津高考常用逻辑用语创新题，多将条件与函数、三角、立体几何、数列综合设问。不再单纯直白判断关系，常结合含参问题、命题否定、真假综合考查，融合集合思想求参数范围，设问更灵活，侧重逻辑转化与分类讨论，区分基础与拔高层次。 1．已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，则“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 8．已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 10．设集合，，． (1)若，求. (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $