第02讲 常用逻辑用语（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖命题及其关系、充分必要条件、反证法等内容，按考情分析、知识解构、题型破译、真题训练、分层练习的逻辑架构系统梳理，通过考点透视、方法归纳、真题演练等环节，帮助学生构建逻辑推理体系，突破条件判定、参数范围等高频难点。 讲义突出数学思维与逻辑推理素养，创新运用集合法快速判定充分必要条件，规范反证法“反设-归谬-结论”解题步骤，设置基础演练与创新挑战分层训练，结合高考真题溯源和课本典例挖掘，有效提升学生逻辑判断与综合证明能力，为教师把控复习节奏、实现高效备考提供清晰路径。

第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 命题及其关系 知识点2 充分、必要、充要条件 知识点3 反证法 题型破译 (含超链接） 题型1 命题真假判断（选择 5分） 题型2 充分必要条件判定（必考选择 5分） 题型3 充分必要条件求参数范围与充要条件证明（填空压轴/解答小问） 题型4 反证法综合证明（解答压轴高频） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 充分必要条件判定 / / 秋考第15题 充要条件证明 解答第 21 题（3） 春考第21题（2） 春考第21题（3） 考情分析 常用逻辑用语属于上海高考数学 “预备知识” 模块，是逻辑推理的基础工具，秋考、春考均为高频考点，核心考查：命题真假判断；充分 / 必要 / 充要条件（核心重点）；反证法（解答题隐性考查）。 复习目标 1.熟记命题、真命题、假命题、四种命题（原、逆、否、逆否）的定义，掌握四种命题相互转化规则。 2.精准区分充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的文字表述与逻辑关系。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 命题及其关系 1. 命题定义：可以准确判断真假的陈述句，不含不确定变量。能够被严格证明的为真命题，只需举出1个反例即可推翻的为假命题。疑问句、感叹句、祈使句均不属于命题。 2. 四种命题（标准形式：若p，则q） 命题类型 标准形式 真假关联规律 原命题 若p，则q 与逆否命题同真同假 逆命题 若q，则p 与否命题同真同假 否命题 若¬p，则¬q 与逆命题同真同假 逆否命题 若¬q，则¬p 与原命题同真同假 3. 核心结论：互为逆否的两个命题完全等价，真假性一致；互逆、互否的命题真假性无必然联系，不可相互推导。 4.推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 自主检测已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为______． 【答案】存在正数，使 知识点2 充分、必要、充要条件 1. 核心定义 充分不必要条件：p⇒q成立，q⇏p不成立 必要不充分条件：p⇏q不成立，q⇒p成立 充要条件：p⇒q且q⇒p，即p⇔q，二者完全等价 既不充分也不必要条件：p⇏q且q⇏p，无推导关系 2. 集合转化法（上海高考高频秒杀方法） 设命题p对应集合A，命题q对应集合B： A⊂B ⇨ p是q的充分不必要条件（小推大） B⊂A ⇨ p是q的必要不充分条件（大推小） A=B ⇨ p是q的充要条件（等价互推） A⊄B且B⊄A ⇨ 既不充分也不必要条件 3. 定理对应规律：判定定理对应充分条件，性质定理对应必要条件，数学官方定义对应充要条件。 自主检测（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】取，满足，但不成立，充分性不成立； 取，满足，但不成立，必要性不成立. 由题意可知：“”是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 知识点3 反证法 1. 标准解题步骤 第一步：反设，彻底否定原命题结论，提出相反假设 第二步：归谬，根据已知条件、定理公理推导，得出矛盾 第三步：结论，否定假设，证明原命题成立 2. 专属适用场景：题干或结论包含至多、至少、唯一、不存在、不可能、无限多等难以直接证明的表述。 自主检测（25-26高三上·上海闵行·期中）用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 题●型●破●译 题型1 命题真假判断（选择5分） 例1-1（2026·上海杨浦·模拟预测）若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（   ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【详解】为“级导同函数”，即， 若，则，满足， 若，则，，(其中是常数)， 所以（其中为常数），， 所以或. 命题①，充分性：为偶函数， 若，则，既不是奇函数，也不是偶函数， 所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足； 必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足. 所以命题①正确； 命题②，若经过一二象限，则， 由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限； 同时，当时，为单调函数，故不具有周期性，所以命题②正确. 例1-2（2025·上海浦东新·三模）设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（    ） A．①真；②真 B．①真；②假 C．①假；②真 D．①假；②假 【答案】B 【详解】命题①：结合对称性，在双曲线上分别取如下五点： ， 则线段、、、、的中点依次为 ， 结合点的对称性，不妨设双曲线的方程为， 双曲线中心为，， 由点的对称性，只需代入点解方程组， 则有； 解得， 此时，， 故存在双曲线过此五点，故①真； 命题②：结合对称性，在抛物线分别取如下五点：， 其中，则， 则线段、、、、的中点依次为 ， 抛物线，设，， 验证：， 即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； 所以，、可能均为抛物线，故②假； 故选：B． 例1-3（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】第一局：摸一次甲获胜概率为，摸3次甲获胜概率为， 摸5次甲获胜概率为，…, 摸甲获胜概率为， 所以， 所以，①正确； 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，②正确； 故选：A. 例1-4（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 方法技巧 1.直接推导法：利用公式、定理、性质直接推理，适用于简单真命题判定 2.反例否定法：只需举出1个符合条件、违背结论的例子，即可判定命题为假（最高频） 3.等价转化法：原命题难以判断时，转化为逆否命题判定真假 易错分析 【高频易错点1】真假判断主观臆断，忽略特殊情况 典型错误：仅凭常见规律判定命题为真，未主动验证特殊值、边界值，忽略反例。 经典错题案例：命题“若a>b，则a²>b²”，多数学生默认正确，忽略正负混搭反例（a=1，b=-2）。 错因本质：混淆一般性规律与恒成立结论，认为符合多数情况即为真命题。 满分规避技巧：假命题判定无需完整证明，一找反例即可推翻；涉及不等式、实数大小、函数类命题，优先验证0、负数、分数、边界值四类特殊值。 【高频易错点2】无法利用逆否命题等价转化 典型错误：遇到复杂命题直接硬推，不会转化为逆否命题判断真假，导致判断失误。 核心结论遗忘：仅原命题与逆否命题同真同假，逆命题、否命题与原命题无等价关系。 规避技巧：原命题条件复杂、正面推导困难时，优先等价转化逆否命题，简化判断难度。 【高频易错点3】混淆四类条件表述 易混表述：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要，做题时凭感觉勾选。 标准判定流程：先看能否正向推导、再看能否反向推导，双向验证，杜绝主观判断。 【变式训练1-1】（2025·上海金山·一模）记曲线且且为，称其为“超椭圆”．命题：直线与超椭圆有3个不同交点；命题：超椭圆上的点到坐标原点距离的取值范围为．则下列说法正确的是（   ） A．命题为真命题，命题为假命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题均为真命题 D．命题均为假命题 【答案】A 【详解】命题：：，由可得：，同理， 当时，方程可化简为， 联立，解得：； 当时，方程可化简为， 联立，解得：（舍）或； 当时，不过第三象限，所以第三象限无交点； 当时，方程可化简为， 联立，解得：或（舍） 综上：与直线共3个交点，所以命题正确； 命题：：，由图形的对称性，不妨考虑. 即，令，则， 则， 由权方和不等式可得：， 所以，所以命题错误. 故选：A 【变式训练1-2】（2025·上海奉贤·一模）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，存在正整数满足，有两个命题： 命题①：设数列公差，则． 命题②：、均是小于的正整数，则． 以上判断正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①②都是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】D 【详解】等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，， 命题①：， ， ，， 当时，； 当且时，；故命题①错误； 命题②：，、均是小于的正整数， ， ， ，故命题②正确. 故选：D. 【变式训练1-3】（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（   ） A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假 C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真. 【答案】C 【详解】命题：由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，所以， 设且，则，则， 所以， 又因为， 所以的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，，故在有3个不同的实数根，故命题错误； 命题：由，可得，故， 对两边求关于的导数，又随的变化而变化， 则， 故当时，有， 当，，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，命题正确. 故选：C. 【变式训练1-4】（2025·上海黄浦·三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 题型2 充分必要条件判定（必考选择 5分） 例2-1（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 例2-2（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 例2-3（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 方法技巧 1.定义法：依次验证p⇒q、q⇒p是否成立，基础通用方法 2.集合法（上海首选）：将命题转化为集合，根据“小范围推大范围”快速判定 3.等价逆否法：利用原命题与逆否命题等价，规避复杂推导 易错分析 【高频易错点1】推导方向颠倒（最高频丢分点） 典型错误：混淆“p是q的充分条件”与“p是q的必要条件”，搞反p⇒q、q⇒p的推导关系。 经典误区：误将“大范围推小范围”当作充分条件，违背“小推大”核心规则。 满分口诀固化：小充分、大必要，子集充分不必要，超集必要不充分。 【高频易错点2】集合转化遗漏空集、全体实数情况 典型错误：使用集合法判定条件时，忽略空集是任何集合的子集，特殊题型判定出错。 错因：机械套用常规集合关系，未考虑特殊集合定义域。 规避技巧：含参数、不等式解集类题型，先判断集合是否为空集，再判定包含关系。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 【变式训练2-2】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立； 若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立； 综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件. 【变式训练2-3】（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 题型3 充分必要条件求参数范围与充要条件证明（填空压轴/解答小问） 例3-1（2026·上海·二模）设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】由得，得， 因为是的必要条件，所以，得， 故实数m的取值范围是. 例3-2已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 例3-3（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【详解】（1）当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. （3）必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 方法技巧 1.化简命题：分别求解p、q对应的不等式，得到精准集合A、B 2.转化关系：根据充分、必要、充要条件，转化为集合包含或相等关系 3.求解不等式：列出参数不等式，重点验证区间端点是否可取 易错分析 【高频易错点1】集合包含关系端点取舍错误 最高频丢分点：求解参数范围后，直接写开区间或闭区间，不验证端点，导致多取、漏取。 错因：默认子集关系全程成立，忽略端点相等时是否满足“真子集”要求。 满分必做步骤：所有区间端点单独代入验证，符合题意则取等号，不符合则舍去。 【高频易错点2】命题化简不彻底，导致集合出错 典型错误：未完整求解不等式、未化简定义域，直接判定集合关系，基础失误。 规避技巧：先完整化简p、q对应解集，写出精准集合，再判断包含关系，禁止跳步解题。 【高频易错点3】条件翻译错误 典型错误：“p是q的充分条件”误译为q⊆p，集合关系完全颠倒。 固定翻译模板：p充分⇒A⊆B；p必要⇒B⊆A。 【变式训练3-1】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________. 【答案】 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 【变式训练3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】解不等式即解， 因为是减函数，所以即，解得或， 所以或， 解不等式即解， 因为是增函数，所以，解得， 所以. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练3-3】（2025·上海闵行·一模）已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设，则在严格递增，又， 所以，即，故. ， 故：， 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数，故实数m的最小值为, 则正实数的取值范围是 故答案为： 【变式训练3-4】（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【变式训练3-5】（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 【详解】（1）因为，求导得， 所以在上为单调递增函数，因此； （2）因为，所以，而， 因为，表示过点， 斜率为的直线，故是在处的切线， 而存在极值点，又因为，所以， 当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，此时与在上均为单调递增函数， 因此当时，恒成立， 即， 当时，则有，显然成立，当时，则有， 因为，所以； 当时，此时 此时，不符题意舍去； 综上，实数的取值范围为； （3）证明：先证明必要性（）： 若为上的单调递增函数，则任取， 由题意可得， 因为，所以或或或， 因为为上的单调递增函数， 所以或或或， 所以，所以或成立． 同时对为上的单调递减函数，同理可证． 下面证明充分性（）： 当与其中一式成立时，不可能为常值函数， 先任取，总有或 假设存在，使得， 记，则， 因为存在，则或， 不妨设，则，否则当， 此时，矛盾； 进而可得，则，，因此①． 最后证明为上的单调递减函数，任取，且，需考虑如下情况： 情况一：若，同上述可得，， 所以． 情况二：若，则， 否则，，由此矛盾， 因为，同情况一可得矛盾， 所以． 情况三：若，则，否则， 记，否则， 记， 则，， 同理若，所以， 由①可得：． 情况四：若，同上述可得，． 综上，恒成立．（当为上的单调递增函数时，同理可证） 题型4 反证法综合证明（解答压轴高频） 例4-1解答： (1)证明：设都大于0，且，则，中至少有一个小于1； (2)请作一猜想，将上述命题推广到个数； (3)请证明（2）中你得出的结论. 【详解】（1）反证法：假设均大于或等于1，设， 则，即 由，得， 有，所以，这与矛盾，故原命题成立； （2）猜想：，都大于0， 且，则中至少有一个小于1； （3）反证法：假设均大于或等于1，设， 则，即， 又 所以，所以， 因为， 所以，这与矛盾，故原命题成立. 例4-2记项数为10且每一项均为正整数的有穷数列{}所构成的集合为A，若对于任意p、，当时都有，则称集合A为“子列封闭集合”． (1)若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，并说明理由； (2)若数列{}的最大项为，且，证明：集合A不为“子列封闭集合”； (3)若数列{}严格增，且集合A为“子列封闭集合”，求数列{}的通项公式． 【详解】（1）对于任意p，，当时，，故集合A为“子列封闭集合”； （2）假设集合A为“子列封闭集合”，，故存在正整数使得，易知，由于，故，显然，这与为集合A中的最大元素矛盾，故集合A不为“子列封闭集合”． （3）根据（2）中证明可知，集合A为“子列封闭集合”，则， 由于数列严格增，，故或{21，22}， ①，则， 假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾； 故，又由于，故，此时，经检验符合题意； ②，则， 假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾； 假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾； 故，又由于，故，此时，经检验符合题意； 综上所述，或． 方法技巧 1.反设必须彻底：完整否定结论，无遗漏（如“至少1个”反设“0个”，“至多2个”反设“至少3个”） 2.归谬精准定向：推导矛盾优先对接题干已知条件、公理定理、取值范围 3.结论严谨收尾：明确否定假设，重申原命题成立 易错分析 【高频易错点1】反设不彻底、否定不完整 经典错误 “至少1个”反设为“至少0个”（错误），正确反设：0个 “至多2个”反设为“至多3个”（错误），正确反设：至少3个 “唯一”反设为“不唯一”（表述模糊），正确反设：至少两个 核心原则：反设必须是结论的完全对立情况，无遗漏、无重叠。 【高频易错点2】归谬矛盾指向混乱 典型错误：推导矛盾牵强，不对接题干已知、公理、定理、取值范围，证明不严谨。 满分要求：矛盾必须清晰可证，优先与题干条件、基本性质、取值范围冲突。 【高频易错点3】缺少收尾结论 扣分点：推出矛盾后直接结束，未否定假设、未重申原命题成立，步骤残缺扣分。 标准收尾：由矛盾可知假设不成立，故原命题成立。 【变式训练4-1】已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【详解】（1）已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【变式训练4-2】给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． (1)当时，设，，写出，并求； (2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； (3)证明：对给定的数阵，总存在，使得． 【详解】（1）由题设，．                     所以，． （2）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为． 经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为． 所以． 即是的倍数． （3）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为． 由（2）可知，． 设当时，取得最小值，其中． 记每行中的个数为，则必有． 否则，若存在使得，则令，有 ，与为最小值矛盾． 在中，① 若等于的个数不超过， 则．             ②若等于的个数大于，则必存在满足，且． 否则，不妨设，则共有个满足，且， 所以中至多有个等于，矛盾． 故存在满足，且．                      取，因为，所以． 由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为． 故， 这与为最小值矛盾． 综上，对给定的数阵，总存在，使得． 【变式训练4-3】对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列” （1）若求数列的前n项和； （2）证明：数列的“收缩数列”仍是； （3）若，求所有满足该条件的数列． 【详解】（1）由可得为递增数列， 所以， 所以. （2）因为， ，所以 所以， 所以，又因为， 所以， 所以数列的“收缩数列”仍是. （3）由， 可知当时，， 当时，，则，因为，所以， 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得，即与同号，这与相矛盾； 若，则，所以由（*）可得，符合， 猜想，满足的数列为 ，，， 经验证左边， 右边， 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件， 由上述的情况可知，时是成立的， 假设是首次不符合，的项，则， 由题设条件可得， 即（&）， 若，则，所以由（&）式化简可得与矛盾， 若，则，所以由（&）式化简可得，所以与同号，这与矛盾， 若，则，所以由（&）化简可得，这与矛盾， 所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件， 所以所有满足条件的数列的通项公式为，，. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2020·上海·高考真题）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（    ） A．只有 B．只有 C．和 D．和都不是 【答案】C 【详解】：当，，因为函数单调递减， 所以 即，存在， 当满足命题时，具有性质P. ：当时，， 因为函数单调递增， 所以， 即， 存在，当满足命题时，具有性质P. 综上可知命题、都是具有性质P的充分条件． 故选：C 2．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 3．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】B 【详解】对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为， 当时，对称轴，可得， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误， 故选：B 4．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【答案】D 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 故为周期函数且周期为2， 而在必有最大值，故必有最大值，故A错误. 对于B，而的图像关于点对称，故， 故，故，故 故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设， 则，故无最大值， 故选：D 二、解答题 5．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 6．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9； （2）因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， （3）因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 7．（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1）由题意得:； （2）由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. （3）必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 8．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】 记 由是的充分不必要条件，可得，且 故，且等号不同时成立，解得 故答案为： 2．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是___________. 【答案】①③④ 【详解】对于①，因，则，①正确； 对于②，因，则，②不正确； 对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确； 对于④，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有， 若，不妨令，则， 显然，，于是得，，即有整数，属于同一“类”， 所以“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确， 所以正确的结论是①③④. 故答案为：①③④ 3．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】∵表示不超过的最大整数， ∴，，即， 又是的充分不必要条件，， ∴AB，故，即的取值范围是. 故答案为：. 二、解答题 4．已知数列的前项和为，. （1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1； （2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1． 【详解】解：（1）不妨设 假设，则 所以 所以与矛盾，因此, 所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1 （2）不妨设， 先将，，…，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，，…，分为，，…，，，共组，且其中组，，…，，，最后一组 首先必小于等于，否则，与，矛盾 当时，则 所以只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件； 当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾 此时只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件， 所以，，…，必可以被分为m组(1≤m≤k)，使得每组所有数的和小于1． 5．集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，，，若，求的值. (2)已知，记集合或. （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，，求的所有可能取值． 【详解】（1）因为，由， 所以， 所以且， 所以必有，所以，所以，所以. （2）（i）因为，可设，. 先证充分性：因为，所以且， 从而可以设，其中0， 此时中的元素为，故， 再证必要性，设，，其中， 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为，所以中间三个元素可以是， 也可以是，它们是对应相等的， 所以有，， 即，故，得证， （ii）①若，由第(i)小问的分析知， 可以设，，其中， 此时中的元素为， 这与条件矛盾， ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件， 所以可以取2， ③若，设， 其中， 结合知至少存在两个不同的正整数，使得， 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数， 注意到， 这是中的个不同的元素， 根据的定义我们有，即， 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 当时，也有， 因此是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 同理，根据的定义有是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 因为，所以，此时，矛盾， 综上，的取值只能为2， 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海虹口·一模）已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】因为，则，又，则， 命题“若，则”为真命题，即， 命题“若，则”为假命题，即 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 2．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 3．（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 【答案】C 【详解】如图为正方体， ，但，故A错误； 平面平面，平面平面， 但平面平面，故B错误； ，与平面平行的所有平面均与平行，故D错误； 如图， ，由线面平行的性质定理可知，平面内一定存在直线与平行， 由线面垂直的性质定理可知，，则有，故C正确. 故选：C 4．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 5．（2025·上海徐汇·一模）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】若是有理数，不妨取，则，但是无理数， 即“是有理数”不能推出“是有理数”， 若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数， 故“是有理数”“是有理数”， 所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件， 故选：B. 6．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【答案】C【详解】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故D错误； 重难·创新演练 1．（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（    ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【详解】设直四棱柱的底面平行四边形的相邻两边长分别为和，两边的夹角为，侧棱长为， 则底面面积为，两个相邻的侧面面积（因为是直四棱柱，侧面是矩形）为和， 此时，同时根据柱体体积公式可得直四棱柱的体积为， 前者等于后者的充要条件为即，故命题①正确； 斜四棱柱的侧棱不垂直于底面，因此不可能是长方体，则由前面的分析可知斜四棱柱的体积不可能是， 因此这是两个假命题互为充要条件，故命题②正确. 2．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】C 【详解】因为方程等价于：或. 若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆； 若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图： 对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点， 根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足； 若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点， 设，则 所以， 因为，所以，，， 即，而，所以存在点满足； 所以命题①为假命题. 对于②，若点在左半个圆上，； 若点在右半个椭圆上，则，因为， 所以，即. 下面对的位置分四种情况讨论： （i）若都在左半个圆上时，， 所以； （ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iv）若都在右半个椭圆上时，设， 且，因为，所以， 即，. 所以，， 所以 ， 又因为，两边平方得， ，化简整理得， 所以. 综上所述，的取值范围为，故②正确； 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（    ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【详解】根据椭圆和双曲线的定义，可设椭圆的长半轴为，短半轴为，双曲线的实半轴为，虚半轴为，两者的半焦距均为； 有，，，，， 即，即. 对于①，根据定义，在椭圆中，有， 在双曲线中有，分别平方并相减， 可得，即； 记计算为事件， 集合共有个子集，其中能计算的子集包括集合， 全部四个有三个元素的子集，集合和集合，共个， 根据古典概型公式，，可知①错误； 对于②，由，可取，，，，此时，，，计算可得，，满足，，可知②错误. 4．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 5．（2024·上海奉贤·三模）在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（   ）． ①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】由， 因为且，可得， 即，即，所以是以为球心，半径为的球体内部及其表面上点构成的集合， ①若在上的数量投影为，则， 以为原点为轴正方向，则是轴上的单位向量，设点的坐标为， 则满足，且， 将代入可得，解得， 所以线段在运动中所形成的几何体为圆锥，其中底面半径为，高为， 则圆锥的体积为，所以①是真命题； 由集合是以为球心，半径为的球体内部及其表面上点构成的集合， 对于任意的，以及任意的正实数，且， 即，且，且 若， 因为球体中的任意两点的连线段上的点均在球体内， 根据是凸集，结合凸集的性质，可得，即， 所以，所以②正确. 故选：A. 6．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 7．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【详解】（1）因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2），则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． （3）充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 命题及其关系 知识点2 充分、必要、充要条件 知识点3 反证法 题型破译 (含超链接） 题型1 命题真假判断（选择 5分） 题型2 充分必要条件判定（必考选择 5分） 题型3 充分必要条件求参数范围与充要条件证明（填空压轴/解答小问） 题型4 反证法综合证明（解答压轴高频） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 充分必要条件判定 / / 秋考第15题 充要条件证明 解答第 21 题（3） 春考第21题（2） 春考第21题（3） 考情分析 常用逻辑用语属于上海高考数学 “预备知识” 模块，是逻辑推理的基础工具，秋考、春考均为高频考点，核心考查：命题真假判断；充分 / 必要 / 充要条件（核心重点）；反证法（解答题隐性考查）。 复习目标 1.熟记命题、真命题、假命题、四种命题（原、逆、否、逆否）的定义，掌握四种命题相互转化规则。 2.精准区分充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的文字表述与逻辑关系。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 命题及其关系 1. 命题定义：可以准确判断真假的陈述句，不含不确定变量。能够被严格证明的为真命题，只需举出1个反例即可推翻的为假命题。疑问句、感叹句、祈使句均不属于命题。 2. 四种命题（标准形式：若p，则q） 命题类型 标准形式 真假关联规律 原命题 若p，则q 与逆否命题同真同假 逆命题 若q，则p 与否命题同真同假 否命题 若¬p，则¬q 与逆命题同真同假 逆否命题 若¬q，则¬p 与原命题同真同假 3. 核心结论：互为逆否的两个命题完全等价，真假性一致；互逆、互否的命题真假性无必然联系，不可相互推导。 4.推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 自主检测已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为______． 知识点2 充分、必要、充要条件 1. 核心定义 充分不必要条件：p⇒q成立，q⇏p不成立 必要不充分条件：p⇏q不成立，q⇒p成立 充要条件：p⇒q且q⇒p，即p⇔q，二者完全等价 既不充分也不必要条件：p⇏q且q⇏p，无推导关系 2. 集合转化法（上海高考高频秒杀方法） 设命题p对应集合A，命题q对应集合B： A⊂B ⇨ p是q的充分不必要条件（小推大） B⊂A ⇨ p是q的必要不充分条件（大推小） A=B ⇨ p是q的充要条件（等价互推） A⊄B且B⊄A ⇨ 既不充分也不必要条件 3. 定理对应规律：判定定理对应充分条件，性质定理对应必要条件，数学官方定义对应充要条件。 自主检测（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 知识点3 反证法 1. 标准解题步骤 第一步：反设，彻底否定原命题结论，提出相反假设 第二步：归谬，根据已知条件、定理公理推导，得出矛盾 第三步：结论，否定假设，证明原命题成立 2. 专属适用场景：题干或结论包含至多、至少、唯一、不存在、不可能、无限多等难以直接证明的表述。 自主检测（25-26高三上·上海闵行·期中）用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 题●型●破●译 题型1 命题真假判断（选择5分） 例1-1（2026·上海杨浦·模拟预测）若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（   ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 例1-2（2025·上海浦东新·三模）设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（    ） A．①真；②真 B．①真；②假 C．①假；②真 D．①假；②假 例1-3（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 例1-4（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 方法技巧 1.直接推导法：利用公式、定理、性质直接推理，适用于简单真命题判定 2.反例否定法：只需举出1个符合条件、违背结论的例子，即可判定命题为假（最高频） 3.等价转化法：原命题难以判断时，转化为逆否命题判定真假 易错分析 【高频易错点1】真假判断主观臆断，忽略特殊情况 典型错误：仅凭常见规律判定命题为真，未主动验证特殊值、边界值，忽略反例。 经典错题案例：命题“若a>b，则a²>b²”，多数学生默认正确，忽略正负混搭反例（a=1，b=-2）。 错因本质：混淆一般性规律与恒成立结论，认为符合多数情况即为真命题。 满分规避技巧：假命题判定无需完整证明，一找反例即可推翻；涉及不等式、实数大小、函数类命题，优先验证0、负数、分数、边界值四类特殊值。 【高频易错点2】无法利用逆否命题等价转化 典型错误：遇到复杂命题直接硬推，不会转化为逆否命题判断真假，导致判断失误。 核心结论遗忘：仅原命题与逆否命题同真同假，逆命题、否命题与原命题无等价关系。 规避技巧：原命题条件复杂、正面推导困难时，优先等价转化逆否命题，简化判断难度。 【高频易错点3】混淆四类条件表述 易混表述：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要，做题时凭感觉勾选。 标准判定流程：先看能否正向推导、再看能否反向推导，双向验证，杜绝主观判断。 【变式训练1-1】（2025·上海金山·一模）记曲线且且为，称其为“超椭圆”．命题：直线与超椭圆有3个不同交点；命题：超椭圆上的点到坐标原点距离的取值范围为．则下列说法正确的是（   ） A．命题为真命题，命题为假命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题均为真命题 D．命题均为假命题 【变式训练1-2】（2025·上海奉贤·一模）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，存在正整数满足，有两个命题： 命题①：设数列公差，则． 命题②：、均是小于的正整数，则． 以上判断正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①②都是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【变式训练1-3】（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（   ） A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假 C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真. 【变式训练1-4】（2025·上海黄浦·三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 充分必要条件判定（必考选择 5分） 例2-1（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 例2-2（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 例2-3（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 方法技巧 1.定义法：依次验证p⇒q、q⇒p是否成立，基础通用方法 2.集合法（上海首选）：将命题转化为集合，根据“小范围推大范围”快速判定 3.等价逆否法：利用原命题与逆否命题等价，规避复杂推导 易错分析 【高频易错点1】推导方向颠倒（最高频丢分点） 典型错误：混淆“p是q的充分条件”与“p是q的必要条件”，搞反p⇒q、q⇒p的推导关系。 经典误区：误将“大范围推小范围”当作充分条件，违背“小推大”核心规则。 满分口诀固化：小充分、大必要，子集充分不必要，超集必要不充分。 【高频易错点2】集合转化遗漏空集、全体实数情况 典型错误：使用集合法判定条件时，忽略空集是任何集合的子集，特殊题型判定出错。 错因：机械套用常规集合关系，未考虑特殊集合定义域。 规避技巧：含参数、不等式解集类题型，先判断集合是否为空集，再判定包含关系。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2-2】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式训练2-3】（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 题型3 充分必要条件求参数范围与充要条件证明（填空压轴/解答小问） 例3-1（2026·上海·二模）设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 例3-2已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______． 例3-3（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 方法技巧 1.化简命题：分别求解p、q对应的不等式，得到精准集合A、B 2.转化关系：根据充分、必要、充要条件，转化为集合包含或相等关系 3.求解不等式：列出参数不等式，重点验证区间端点是否可取 易错分析 【高频易错点1】集合包含关系端点取舍错误 最高频丢分点：求解参数范围后，直接写开区间或闭区间，不验证端点，导致多取、漏取。 错因：默认子集关系全程成立，忽略端点相等时是否满足“真子集”要求。 满分必做步骤：所有区间端点单独代入验证，符合题意则取等号，不符合则舍去。 【高频易错点2】命题化简不彻底，导致集合出错 典型错误：未完整求解不等式、未化简定义域，直接判定集合关系，基础失误。 规避技巧：先完整化简p、q对应解集，写出精准集合，再判断包含关系，禁止跳步解题。 【高频易错点3】条件翻译错误 典型错误：“p是q的充分条件”误译为q⊆p，集合关系完全颠倒。 固定翻译模板：p充分⇒A⊆B；p必要⇒B⊆A。 【变式训练3-1】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________. 【变式训练3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【变式训练3-3】（2025·上海闵行·一模）已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【变式训练3-4】（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【变式训练3-5】（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 题型4 反证法综合证明（解答压轴高频） 例4-1解答： (1)证明：设都大于0，且，则，中至少有一个小于1； (2)请作一猜想，将上述命题推广到个数； (3)请证明（2）中你得出的结论. 例4-2记项数为10且每一项均为正整数的有穷数列{}所构成的集合为A，若对于任意p、，当时都有，则称集合A为“子列封闭集合”． (1)若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，并说明理由； (2)若数列{}的最大项为，且，证明：集合A不为“子列封闭集合”； (3)若数列{}严格增，且集合A为“子列封闭集合”，求数列{}的通项公式． 方法技巧 1.反设必须彻底：完整否定结论，无遗漏（如“至少1个”反设“0个”，“至多2个”反设“至少3个”） 2.归谬精准定向：推导矛盾优先对接题干已知条件、公理定理、取值范围 3.结论严谨收尾：明确否定假设，重申原命题成立 易错分析 【高频易错点1】反设不彻底、否定不完整 经典错误 “至少1个”反设为“至少0个”（错误），正确反设：0个 “至多2个”反设为“至多3个”（错误），正确反设：至少3个 “唯一”反设为“不唯一”（表述模糊），正确反设：至少两个 核心原则：反设必须是结论的完全对立情况，无遗漏、无重叠。 【高频易错点2】归谬矛盾指向混乱 典型错误：推导矛盾牵强，不对接题干已知、公理、定理、取值范围，证明不严谨。 满分要求：矛盾必须清晰可证，优先与题干条件、基本性质、取值范围冲突。 【高频易错点3】缺少收尾结论 扣分点：推出矛盾后直接结束，未否定假设、未重申原命题成立，步骤残缺扣分。 标准收尾：由矛盾可知假设不成立，故原命题成立。 【变式训练4-1】已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【变式训练4-2】给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． (1)当时，设，，写出，并求； (2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； (3)证明：对给定的数阵，总存在，使得． 【变式训练4-3】对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列” （1）若求数列的前n项和； （2）证明：数列的“收缩数列”仍是； （3）若，求所有满足该条件的数列． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2020·上海·高考真题）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（    ） A．只有 B．只有 C．和 D．和都不是 2．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 4．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 二、解答题 5．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 6．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 7．（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 8．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 2．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是___________. 3．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 二、解答题 4．已知数列的前项和为，. （1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1； （2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1． 5．集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，，，若，求的值. (2)已知，记集合或. （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，，求的所有可能取值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海虹口·一模）已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 2．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 3．（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 4．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·上海徐汇·一模）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 6．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 重难·创新演练 1．（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（    ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（    ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 4．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 5．（2024·上海奉贤·三模）在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（   ）． ①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 6．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 7．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $