第01讲 集合及其运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

第01讲 集合及其运算 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 元素与集合的关系 （重） 2 题型02 元素特征 （重） 3 题型03 集合间关系 （重） 3 题型04 （真）子集的个数 （重） 4 题型05 集合基本运算 （重） 5 题型06 Venn 图的应用 （重） 5 题型07 运算确定集合或参数 重难 6 题型08 容斥原理的应用 重难 7 题型09 新定义问题 重难 8 重难·创新演练 9 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考点聚焦：属于与不属于的符号，以及元素与集合的层级 ▶ 题型01 元素与集合的关系 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．某班身高较高的同学 B．所有的无理数 C．接近于 的数 D．著名的数学家 2．（2025·山西太原·二模）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）若集合 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 4．（2025·福建福州·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·山东青岛·模拟预测）下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·湖南岳阳·二模）已知集合 ，若 中恰有一个元素，则 的值可以为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2026·安徽安庆·三模）已知集合 ，若 ，则 ________． 8．（2025·广西南宁·三模）用列举法表示集合 ，则 ________． 四、解答题 9．（2026·云南昆明·模拟预测）已知集合 ． (1) 若 中只有一个元素，求 的值； (2) 若 中至少有一个元素，求 的取值范围． 考点聚焦：确定性、互异性、无序性，互异性最常设坑 ▶ 题型02 元素特征 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）已知集合 中的三个元素互不相同，则 不能等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）已知集合 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·三模）集合 与 分别表示（　　） A． 与 B． 与 C．都是 D．都是 二、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）用列举法表示集合 ________． 5．（2025·江西九江·二模）已知集合 ，若 ，则 ________． 三、解答题 6．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合 ，且 ，求实数 的值． (1) 分两种情形分别求 ； (2) 回代检验集合中元素的互异性． 考点聚焦：子集、真子集的判定与数轴、Venn 图的配合 ▶ 题型03 集合间关系 一、单选题 1．（2026·北京海淀·三模）已知集合 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·二模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·三模）设集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 二、多选题 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合 ，，若 ，则 的可能取值为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2026·湖北黄冈·三模）已知集合 ，，若 ，则 的值组成的集合为________． 6．（2025·陕西西安·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的最小值为________． 考点聚焦：n 个元素有 2ⁿ 个子集，真子集与非空真子集各减一 ▶ 题型04 （真）子集的个数 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）集合 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·二模）满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·安徽安庆·二模）集合 的真子集个数为________． 4．（2025·江西南昌·二模）集合 的非空真子集个数为________． 三、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合 ，若 的真子集个数为 ，求 及 的子集个数． (1) 用真子集个数列方程求 ； (2) 写出子集个数． 考点聚焦：交、并、补的运算顺序与端点取舍 ▶ 题型05 集合基本运算 一、单选题 1．（2026·河南郑州·三模）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2025·全国乙卷·T1 改编）已知全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·二模）设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·三模）已知全集 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合 ，，若 ，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·三模）已知全集 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2026·江西南昌·三模）已知集合 ，，则 ________． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）设全集 ，，，则 ________，________． 考点聚焦：把集合运算翻译成图形的公共部分与外部区域 ▶ 题型06 Venn 图的应用 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）若 ，则用 Venn 图表示集合 、 时，两个圆（　　） A．不相交 B．重合 C．内含 D．相交 2．（2025·河南洛阳·二模）若 ，则用 Venn 图表示时（　　） A． 对应的圆在 对应的圆内 B．两圆相交 C．两圆相离 D．两圆重合 3．（2026·湖北武汉·三模）全集 中两集合 、 的 Venn 图里，两圆外部（不含两圆内部）表示（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·安徽芜湖·二模）设 ，，，则图中“属于 但不属于 ”的部分为________． 三、解答题 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）设 ，，，求 与 ． (1) 求 及其补集； (2) 求 ． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）设 、 为两个非空集合，用 Venn 图说明“”与“”等价． (1) 画出 的 Venn 图并指出公共部分； (2) 说明两个命题互相推出． 考点聚焦：由运算结果反推集合或参数，注意空集 ▶ 题型07 运算确定集合或参数 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 2．（2025·山东济南·三模）已知 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·湖北武汉·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 5．（2026·湖南长沙·三模）已知集合 ，，若 且 ，则满足条件的实数对 的个数为________． 三、解答题 6．（2026·山西太原·模拟预测）已知集合 ，． (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 考点聚焦：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合再加回两两交集、减去三者交集 ▶ 题型08 容斥原理的应用 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）某班有 人，参加数学竞赛的有 人，参加物理竞赛的有 人，两科都参加的有 人，则至少参加一科的有（　　） A． 人 B． 人 C． 人 D． 人 2．（2025·山东泰安·二模）已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·江西赣州·二模）在 人中，会英语的有 人，会日语的有 人，两种都会的有 人，则两种都不会的有________人． 三、解答题 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）某校调查 名学生，喜欢足球的有 人，喜欢篮球的有 人，两项都喜欢的有 人． (1) 求至少喜欢一项的人数； (2) 求两项都不喜欢的人数． 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）某年级调查 名学生，参加 社团的有 人， 社团 人， 社团 人，同时参加 、 的有 人，、 的有 人，、 的有 人，三个社团都参加的有 人，求至少参加一个社团的人数． (1) 写出三集合容斥公式； (2) 代值计算并说明“都不参加”的人数． 考点聚焦：读懂新运算的定义，再按定义逐条验算 ▶ 题型09 新定义问题 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）定义集合运算 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·二模）称集合 具有性质 ：若 ，则 ．下列集合具有性质 的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·河南郑州·三模）称集合 为“加法封闭集”：对任意 ，都有 ．下列集合是加法封闭集的是（　　） A． B．非负整数集 C．偶数集 D．正奇数集 三、填空题 4．（2025·江苏南通·二模）已知 ，定义 ，则 中元素的个数为________． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）定义集合运算 ，已知 ，． (1) 用列举法写出 ； (2) 求 的子集个数． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：综合考察，突出新定义与转化 1．（2026·上海·模拟预测）定义集合运算：．设 ，，则 中所有元素之和为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北·三模）已知集合 ，则下列结论正确的是（　　） A． 中元素个数为 B． 中所有元素之和为 C． 中最大元素为 D． 中所有元素之积为 三、解答题 4．（2026·全国·模拟预测）已知 ，．若 ，求实数 的取值范围． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：集合运算与含参问题的高考真题 1．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．若集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．设集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知全集 ，集合 ，则 ________． 三、解答题 7．已知 ，． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 元素与集合的关系 （重） 2 题型02 元素特征 （重） 4 题型03 集合间关系 （重） 6 题型04 （真）子集的个数 （重） 8 题型05 集合基本运算 （重） 9 题型06 Venn 图的应用 （重） 11 题型07 运算确定集合或参数 重难 13 题型08 容斥原理的应用 重难 14 题型09 新定义问题 重难 16 重难·创新演练 18 真题·实战演练 20 模拟·基础演练 考查重点：集合的概念、关系与运算的基础落实 考点聚焦：属于与不属于的符号，以及元素与集合的层级 ▶ 题型01 元素与集合的关系 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．某班身高较高的同学 B．所有的无理数 C．接近于 的数 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】判断能否构成集合，关键是看对象是否满足“确定性”。 【详解】A 中“较高”没有明确标准，不满足确定性； B 中“无理数”有明确界定，任一实数是否为无理数是确定的，能构成集合； C 中“接近于 ”标准模糊，不满足确定性； D 中“著名”无客观标准，不满足确定性．故选 B． 2．（2025·山西太原·二模）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按列举法写出 ，确定元素个数 ，再用 求子集个数。 【详解】由 且 得 ，故 ，共 个元素。 含 个元素的集合有 个子集，所以 的子集个数为 ，选 B． 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）若集合 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】由 知 ，分 与 讨论，并用互异性检验。 【详解】因为 ，所以 ，即 或 （ 因互异性舍去）。 当 时，，，符合； 当 时，（ 舍去），此时 ，，符合。 综上 或 ，故选 C． 4．（2025·福建福州·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 即方程无实根，判别式小于零。 【详解】 等价于方程 无实数根， 所以 ，解得 ，即 ，选 A． 二、多选题 5．（2026·山东青岛·模拟预测）下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】逐项考察空集、集合相等与元素表示形式。 【详解】A 中空集是任何集合的子集，正确； B 中 含一个元素 ，而 不含元素，两者不相等，错误； C 中方程 的解为 ，由互异性、无序性知两集合相等，正确； D 中左边是点集，右边是数集，元素类型不同，错误．故选 AC． 6．（2025·湖南岳阳·二模）已知集合 ，若 中恰有一个元素，则 的值可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】按二次项系数是否为零分类讨论。 【详解】当 时，方程化为 ，，恰有一个元素，符合； 当 时，需 ，即 ，此时 ，符合； 而 时 ，； 时 ， 有两个元素．故选 AB． 三、填空题 7．（2026·安徽安庆·三模）已知集合 ，若 ，则 ________． 【答案】 【分析】分 与 两种情况求解，并用互异性检验。 【详解】若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 或 ．当 时 ，符合题意。 综上，． 8．（2025·广西南宁·三模）用列举法表示集合 ，则 ________． 【答案】 【分析】 为整数，等价于 是 的约数。 【详解】由 且 知 是 的约数， 即 ，解得 ， 所以 ． 四、解答题 9．（2026·云南昆明·模拟预测）已知集合 ． (1) 若 中只有一个元素，求 的值； (2) 若 中至少有一个元素，求 的取值范围． 【答案】(1) a=0 或 a=1。；(2)(, 1] 【分析】按二次项系数 a是否为零分类，注意 a=0 时退化为一次方程。 【详解】(1) 若 A 只有一个元素，则方程 ax²+2x+1=0 有唯一实根。 ① a=0 时，2x+1=0，x=-1/2，满足； ② a≠0 时，Δ=4-4a=0，得 a=1，满足。 故 a=0 或 a=1。 (2) 若 A 至少有一个元素，则方程有实根。 ① a=0 时，有解，满足； ② a≠0 时，Δ=4-4a≥0，得 a≤1，即 a<0 或 0<a≤1。 取并集得 a≤1。 故 a 的取值范围是 (, 1]。 考点聚焦：确定性、互异性、无序性，互异性最常设坑 ▶ 题型02 元素特征 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）已知集合 中的三个元素互不相同，则 不能等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】互异性要求 、、。 【详解】当 时 ，集合中只剩两个元素，违反互异性， 故 ． 故选 B． 2．（2025·山东济南·二模）已知集合 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分 、、 三种情形，逐一用互异性检验。 【详解】若 ，则 ，与 重复，舍去； 若 ，则 （重复，舍）或 （成立）； 若 ，则 或 ，均重复． 故 ． 故选 C． 3．（2026·河南郑州·三模）集合 与 分别表示（　　） A． 与 B． 与 C．都是 D．都是 【答案】A 【分析】竖线前是“谁的范围”就看谁： 是定义域， 是值域。 【详解】 中竖线前是 ，表示定义域 ； 中竖线前是 ，表示值域 ． 故选 A． 二、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）用列举法表示集合 ________． 【答案】 【分析】枚举能让 为正整数的自然数 。 【详解】 必须是 的正约数，即 ， 得 ， 又 ， 故集合为 ． 5．（2025·江西九江·二模）已知集合 ，若 ，则 ________． 【答案】 【分析】由元素与集合的属于关系直接比对。 【详解】由 且 ， 故 ． 三、解答题 6．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合 ，且 ，求实数 的值． (1) 分两种情形分别求 ； (2) 回代检验集合中元素的互异性． 【答案】 【分析】分两种情形求 ，每种都要回代检验互异性。 【详解】若 ，则 ，此时 ，与 重复，舍去． 若 ，即 ， 解得 （舍）或 ． 当 时，三元素为 ，互不相同，符合题意． 故 ． 【答案】(1) 或 　(2) 【分析】方程类型由二次项系数决定，必须先讨论 与 。 【详解】(1) 当 时，方程化为 ，，符合； 当 时，需 ，即 ，此时 ，符合。 所以 或 ． (2) 当 时， 有一个元素，符合； 当 时，需 ，即 且 ． 综上， 的取值范围是 ． 考点聚焦：子集、真子集的判定与数轴、Venn 图的配合 ▶ 题型03 集合间关系 一、单选题 1．（2026·北京海淀·三模）已知集合 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含 个元素的集合有 个真子集。 【详解】 含 个元素，其子集个数为 ， 除去 本身，真子集个数为 ，选 B． 2．（2025·天津和平·二模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把两个集合都化为区间，由端点位置关系列不等式。 【详解】，． 由 知 ；当 时 ，符合， 故 ，选 A． 3．（2026·江苏苏州·三模）设集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】先因式分解求 ，再把 转化为 。 【详解】由 得 ． 又 ，故 ． 由 得 ，所以 或 ，即 或 ． 当 时 ，当 时 ，均符合．故选 C． 二、多选题 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合 ，，若 ，则 的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求 ，再由两区间无公共点确定 的范围，最后检验各选项。 【详解】由 得 ． 由 得 或 ，即 或 ． 所以 、、 均符合，而 时 ，与 有公共元素，不符合．故选 ACD． 三、填空题 5．（2026·湖北黄冈·三模）已知集合 ，，若 ，则 的值组成的集合为________． 【答案】 【分析】按 与 分类，注意 的情形。 【详解】当 时，方程 无解，，符合； 当 时，，由 得 或 ，即 或 ． 综上， 的值组成的集合为 ． 6．（2025·陕西西安·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的最小值为________． 【答案】 【分析】由 得端点满足的不等式。 【详解】，，则， 的最小值为2． 考点聚焦：n 个元素有 2ⁿ 个子集，真子集与非空真子集各减一 ▶ 题型04 （真）子集的个数 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）集合 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 个元素的子集个数为 。 【详解】 有 个元素， 故子集个数为 ． 故选 C． 2．（2025·山东青岛·二模）满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 必须含 ，其余元素在 中任选。 【详解】，其中 ， 故个数为 ． 故选 C． 二、填空题 3．（2025·安徽安庆·二模）集合 的真子集个数为________． 【答案】 【分析】真子集要去掉自身。 【详解】子集共 个， 真子集为 个． 4．（2025·江西南昌·二模）集合 的非空真子集个数为________． 【答案】 【分析】先解方程定元素个数，再套公式。 【详解】方程的解为 ，集合有 个元素， 子集共 个， 非空真子集为 个． 三、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合 ，若 的真子集个数为 ，求 及 的子集个数． (1) 用真子集个数列方程求 ； (2) 写出子集个数． 【答案】，子集个数为 【分析】真子集个数 ，解方程即可。 【详解】由 得 ， 故 ， 子集个数为 ． 由 得 ，故 的最小值为 ． 考点聚焦：交、并、补的运算顺序与端点取舍 ▶ 题型05 集合基本运算 一、单选题 1．（2026·河南郑州·三模）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两区间求并集，取覆盖的全部范围。 【详解】在数轴上表示 与 ， 两区间有公共部分 ，合并得 ，选 A． 2．（2025·全国乙卷·T1 改编）已知全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求 ，再在 中取补集。 【详解】， 所以 ，选 B． 3．（2026·浙江杭州·二模）设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式化简 ，再与 求交集。 【详解】由 得 ，故 ． 又 ，所以 ，选 A． 4．（2025·四川成都·三模）已知全集 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】补集是“全集中去掉 ”，端点处的等号要翻转。 【详解】 中不含 与 之间的数，且 、 本身都在 中， 所以 ，选 A． 二、多选题 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合 ，，若 ，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求 ，由两区间无公共点确定 的范围。 【详解】由 得 ． 由 得 ， 所以 、 符合，、 时两集合有公共元素．故选 CD． 6．（2025·江苏南京·三模）已知全集 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项计算交、并、补，与选项比对。 【详解】，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，而 D 中写成 ，错误．故选 ABC． 三、填空题 7．（2026·江西南昌·三模）已知集合 ，，则 ________． 【答案】 【分析】先解不等式化简 ，再取公共元素。 【详解】由 得 ，即 ． 逐一检验 中元素：，， 所以 ． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）设全集 ，，，则 ________，________． 【答案】； 【分析】两区间无公共部分，交集为空集，其补集为全集。 【详解】，，两区间无公共部分， 考点聚焦：把集合运算翻译成图形的公共部分与外部区域 ▶ 题型06 Venn 图的应用 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）若 ，则用 Venn 图表示集合 、 时，两个圆（　　） A．不相交 B．重合 C．内含 D．相交 【答案】A 【分析】交集为空意味着没有公共元素。 【详解】 表示两集合无公共元素， 故两圆不相交． 故选 A． 2．（2025·河南洛阳·二模）若 ，则用 Venn 图表示时（　　） A． 对应的圆在 对应的圆内 B．两圆相交 C．两圆相离 D．两圆重合 【答案】A 【分析】子集关系在图上表现为“包含”。 【详解】 表示 的元素都在 中， 故 的圆完全落在 的圆内． 故选 A． 3．（2026·湖北武汉·三模）全集 中两集合 、 的 Venn 图里，两圆外部（不含两圆内部）表示（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“既不在 也不在 ”就是并集的补集。 【详解】两圆外部表示既不属于 也不属于 ， 即 ． 故选 A． 二、填空题 4．（2025·安徽芜湖·二模）设 ，，，则图中“属于 但不属于 ”的部分为________． 【答案】 【分析】即求 。 【详解】． 三、解答题 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）设 ，，，求 与 ． (1) 求 及其补集； (2) 求 ． 【答案】， 【分析】先求并集再取补；第二问用“ 中不在 里的元素”。 【详解】，， 故 ． 又 ， 故 ． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）设 、 为两个非空集合，用 Venn 图说明“”与“”等价． (1) 画出 的 Venn 图并指出公共部分； (2) 说明两个命题互相推出． 【答案】 表示 的圆完全落在 内，即 【分析】从“公共部分恰好是 本身”入手。 【详解】在 Venn 图中， 是两圆的公共部分， 若 ，说明 的圆完全落在 的圆内，即 ； 反之若 ，则两圆的公共部分就是 ，即 ． 故两者等价． 所以 ，． 于是 ． 考点聚焦：由运算结果反推集合或参数，注意空集 ▶ 题型07 运算确定集合或参数 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】 即 ，再用互异性排除 。 【详解】由 得 ，所以 ． 又集合 中已有元素 ，由互异性知 ，故 ，选 B． 2．（2025·山东济南·三模）已知 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【分析】由两开区间无公共点确定端点关系，注意取等。 【详解】，． 若 ，则 或 ，即 或 ． 当 时 ，与 无公共元素；当 时 ，同样符合．故选 A． 3．（2026·福建泉州·二模）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 恒非空，直接由端点列不等式组。 【详解】由 得 ． 长度为 ，恒非空，由 得 且 ， 解得 ，选 A． 二、填空题 4．（2025·湖北武汉·三模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先化简 ，再比较端点。 【详解】由 得 ，故 ，． 由 得 ． 5．（2026·湖南长沙·三模）已知集合 ，，若 且 ，则满足条件的实数对 的个数为________． 【答案】 【分析】 是 的非空子集，每个子集对应唯一的一对 。 【详解】 且 ，即 是 的非空子集。 的非空子集共 个； 每个子集由其元素确定唯一的二次方程，从而确定唯一的一对 ， 所以满足条件的实数对共 个． 三、解答题 6．（2026·山西太原·模拟预测）已知集合 ，． (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (0,3)；(2) a≤−2 或 a=1 【分析】先化简 A，再按 A=∅ 与 A≠∅ 分类讨论包含关系。 【详解】(1) 当 a=1 时，A=(0,3)，又 B=(0,3)，故 A∪B=(0,3)． (2) 若 A=∅，则 a−1≥2a+1$，得 a≤−2$，此时 A⊆B 成立；若 A≠∅，则 a>−2，由 A⊆B 得 a−1≥0 且 2a+1≤3，即 1≤a≤1，故 a=1．综上，a≤−2 或 a=1． 考点聚焦：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合再加回两两交集、减去三者交集 ▶ 题型08 容斥原理的应用 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）某班有 人，参加数学竞赛的有 人，参加物理竞赛的有 人，两科都参加的有 人，则至少参加一科的有（　　） A． 人 B． 人 C． 人 D． 人 【答案】A 【分析】用 。 【详解】（人）． 故选 A． 2．（2025·山东泰安·二模）已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由并集公式反解交集。 【详解】由 得 ， 故 ． 故选 A． 二、填空题 3．（2025·江西赣州·二模）在 人中，会英语的有 人，会日语的有 人，两种都会的有 人，则两种都不会的有________人． 【答案】 【分析】先求至少会一种的人数。 【详解】至少会一种的有 （人）， 故都不会的有 （人）． 三、解答题 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）某校调查 名学生，喜欢足球的有 人，喜欢篮球的有 人，两项都喜欢的有 人． (1) 求至少喜欢一项的人数； (2) 求两项都不喜欢的人数． 【答案】至少喜欢一项 人，都不喜欢 人 【分析】两集合容斥，再用总数扣除。 【详解】(1) 至少喜欢一项的有 （人）． (2) 都不喜欢的有 （人）． 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）某年级调查 名学生，参加 社团的有 人， 社团 人， 社团 人，同时参加 、 的有 人，、 的有 人，、 的有 人，三个社团都参加的有 人，求至少参加一个社团的人数． (1) 写出三集合容斥公式； (2) 代值计算并说明“都不参加”的人数． 【答案】 人 【分析】三集合容斥：两两相加后减两两交集，再加回三者交集。 【详解】（人）， 即至少参加一个社团的有 人． 考点聚焦：读懂新运算的定义，再按定义逐条验算 ▶ 题型09 新定义问题 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）定义集合运算 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】新运算表示“只在其中一个集合中出现”的元素，逐个核对即可。 【详解】，， 故 ． 故选 A． 2．（2025·山东潍坊·二模）称集合 具有性质 ：若 ，则 ．下列集合具有性质 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个元素检验其倒数是否仍在集合中，注意 没有倒数。 【详解】A 中 ，不合； C 中 无倒数，不合； D 中 ，不合； B 中 的倒数分别为 ，都在集合内． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·河南郑州·三模）称集合 为“加法封闭集”：对任意 ，都有 ．下列集合是加法封闭集的是（　　） A． B．非负整数集 C．偶数集 D．正奇数集 【答案】ABC 【分析】按定义检验“任取两个元素，和是否仍属于该集合”。 【详解】A：，符合； B：两个非负整数之和仍是非负整数，符合； C：两个偶数之和仍是偶数，符合； D： 不是正奇数，不符合． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江苏南通·二模）已知 ，定义 ，则 中元素的个数为________． 【答案】 【分析】把 个和全部列出后去重。 【详解】所有可能的和为 ， 故 ，共 个元素． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）定义集合运算 ，已知 ，． (1) 用列举法写出 ； (2) 求 的子集个数． 【答案】(1) ；(2) 【分析】先按定义枚举所有差，去重后再数子集。 【详解】(1) 逐个作差得 ，，，，，， 故 ． (2) 该集合有 个元素， 故其子集个数为 ． 【答案】(1) 　(2) 或 【分析】 是含参开区间，必须先讨论 的情形。 【详解】(1) 当 时，，所以 ． (2) 当 时，，即 ，此时 成立； 当 时，，由 得 且 ， 即 且 ，故 ． 综上， 的取值范围是 或 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：综合考察，突出新定义与转化 1．（2026·上海·模拟预测）定义集合运算：．设 ，，则 中所有元素之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按新定义逐对相乘，再由互异性去重。 【详解】由定义， 可取 ，，，， 由互异性得 ， 所以所有元素之和为 ，选 D． 2．（2025·北京·模拟预测）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举 中不同元素的两两之和，再由互异性去重。 【详解】由 得 可取 ，，（交换次序结果相同）， 所以 ，共 个元素，选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北·三模）已知集合 ，则下列结论正确的是（　　） A． 中元素个数为 B． 中所有元素之和为 C． 中最大元素为 D． 中所有元素之积为 【答案】ABD 【分析】把“分式为整数”转化为“分母是分子的约数”，列举后再逐项验证。 【详解】由 知 ， 解得 ，即 ，共 个元素，A 正确； 各元素之和为 ，B 正确； 最大元素为 而非 ，C 错误； 中含元素 ，故所有元素之积为 ，D 正确．故选 ABD． 三、解答题 4．（2026·全国·模拟预测）已知 ，．若 ，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】先因式分解化简两个集合，再把 转化为 。 【详解】由 得 ； 由 得 ． 由 得 ，于是 且 ， 解得 ，即 的取值范围为 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：集合运算与含参问题的高考真题 1．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求并集，再在 中取补集。 【详解】， 又 ，所以 ，选 A． 2．若集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别解根式不等式与一次不等式，再求交集。 【详解】由 且 得 ，即 ； 由 得 ，即 ． 所以 ，选 D． 3．设集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求并集，再与 求交集。 【详解】， 又 ，所以 ，选 B． 4．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式化简 ，再逐一检验 中元素。 【详解】由 得 ，即 ． 检验 中元素：，，，， 所以 ，选 D． 5．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个集合的包含关系： 中元素都是奇数，故 。 【详解】 为奇数，故 中每个元素都属于 ，即 ． 而 ，但 不能写成 （）的形式，故 ， 所以 ，从而 ，选 C． 二、填空题 6．已知全集 ，集合 ，则 ________． 【答案】 【分析】在全集范围内剔除 的部分，注意端点归属。 【详解】，， 在 中去掉 ，得 ， 即 ． 三、解答题 7．已知 ，． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 　(2) 【分析】先因式分解化简 ，再把 转化为 。 【详解】由 得 ，故 ． 由 得 ． (1) 当 时，，所以 ． (2) 由 得 ，于是 且 ， 即 且 ，故 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $