第69讲集合的概念与运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

第69讲 集合：概念与运算 元素与互异性·交并补·解集运算·韦恩图与含参关系 一、元素与互异性 1. 元素三性. 确定性、互异性、无序性——含参集合（如 ）求出参数后必须回代检验互异性，这是本节唯一的扣分点. 2. 描述法读法. 是数集、 是点集、 是函数值域——先问"元素是什么"再运算. 【通法】含参集合求参后回代验互异性. 【通法】描述法先认元素（数/点/值域）. 例1（填空·★★★☆☆） 已知集合，，若，则实数 = ________． 【切入点】 即 ： 的元素要落进 。互异性先卡 （）。分类： 给 （ 验通过）； 给 或 （舍 ）， 时 验通过。综上 或 。 【关键】两条路（ 打 、 打 ）各自解出后都要回代： 使 与 中 重复，舍——互异性检验是最后一步，不是可选项. 【答案】 或 变式1（单选·★★☆☆☆） 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】 给 ，，元素个数 ，选 B。 【关键】 夹在 与 之间（）——不要求出精确值，夹逼定元素即可. 【答案】B 变式2（单选·★★☆☆☆） 若集合内的元素个数为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 时 为空集； 时 给 ， 时整数元素为 ，共 个。，，选 C。 【关键】整数集合 的元素个数是 ；开区间两端取不到， 个减 得奇数个. 【答案】C 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】，， 个元素，选 C。 【关键】并集数个数先并后数公共： 与 公共元素只有 ， 用容斥公式快. 【答案】C 二、交并补运算 1. 补集两问. 全集是谁（ 还是 ）？补完先写出来再运算—— 的元素不超过 . 2. 德摩根公式. ，——"交的补=补的并"在选择题里一步省一次运算. 【通法】先确认全集，再写补集. 【通法】德摩根：交补=补并，并补=补交. 例2（单选·★★☆☆☆） 设集合，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】，，选 B。 【关键】先补后交，两步各自列举； 里没有的 与 恰好都在 里. 【答案】B 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 空集 【切入点】 给 ，，选 A。 【关键】"给补求集"是反向操作： 由 挖去 得到；补集元素一定不在 里，可直接排除. 【答案】A 变式5（单选·★★☆☆☆） 已知全集，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】，选 C。 【关键】德摩根一步：不用知道 各是什么，只算交的补. 【答案】C 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【切入点】，， 个元素，子集个数 ，选 C。 【关键】 由不等式解出再取整数； 元集合子集 个，先把 数对. 【答案】C 三、解集型运算 1. 解集先化简. 分式不等式移项通分（别直接去分母）、二次不等式开口先看、定义域型 取的是使式子有意义的 . 2. 值域型与特殊值集. 、——描述法认准"元素是什么". 【通法】分式移项通分；定义域型取 x 范围. 【通法】值域型按函数值域化简. 例3（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】： 移项不去分母，穿轴得 （ 舍）。：。，补集 ，选 C。 【关键】分式不等式带等号时，分母为零的点 取不到——端点 闭、 开；并集时 的右端 盖住 的空缺. 【答案】C 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】；： 不能两边乘 ，移项 即 ，解得 或 。，选 D。 【关键】 直接乘 会丢 的解——移项通分是分式不等式的铁律. 【答案】D 变式8（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】，，，选 B。 【关键】 里 限制先兑现（ 不在内）； 开区间不含 ，交完剩 . 【答案】B 变式9（多选·★★★☆☆） 若集合，，则（ ） A. B. C. 非空 D. 不是 【切入点】（）；： 即 ，。，A 对、B 错（并集是 ）； 非空，C 对； 缺 ，非 ，D 对。选 ACD。 【关键】两集合是"包含关系"时，四个选项全由 一句话推出；补集运算的缺口画数轴最直观. 【答案】ACD 变式10（单选·★★☆☆☆） 已知全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【切入点】，图中阴影是 ，，故阴影表示 ，选 C。 【关键】韦恩图阴影先认区域（两圆相交的公共部分即 ）； 是" 的整数次幂"集， 不在内. 【答案】C 四、韦恩图与含参关系 1. 德摩根反推. 给 与 ，四区域（只属 、只属 、公共、都在外）逐一对号，元素归属全靠画四个区域. 2. 含参包含. 端点比较： 型先解出 ，再对 与 的左右端点列不等式；空集是任何集合的子集，含参时先问 能否为空集. 【通法】四区域对号入座，德摩根反推. 【通法】含参包含：先解 B，端点比大小，先查空集. 例4（多选·★★★☆☆） 已知全集，集合，，且满足：，，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 集合可能是 D. 【切入点】德摩根：，故 ；又 。四区域：只在 的、只在 的都来自 ， 公共， 在外。 A： 故 ，错。B：，对。C：取 、 满足全部条件，对。D：，对。选 BCD。 【关键】"交与补的交"两个条件把四区域钉死两块——剩余元素 的归属自由（可在 可在 ），这正是 C 选项"可能是"的来源. 【答案】BCD 变式11（多选·★★★☆☆） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】，。A：若 则 ，与 矛盾，错。B：若 则 ，与 矛盾，故 ，对。C：（由 A 的反向），故 ，对。D： 恒真，故 ，错。选 BC。 【关键】""等价于""（双重补集翻转），更顺口的用法：不在 的元素必须落进 ——逐点检验 与 . 【答案】BC 变式12（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】， 要求 ，，选 C。 【关键】开区间包含的开区间：右端点 带等号（ 时 仍成立）. 【答案】C 变式13（单选·★★☆☆☆） 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【切入点】，，选 B。 【关键】有限集补集先列举；并集直接合并， 的元素已全部在内. 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 第69讲 集合：概念与运算 元素与互异性·交并补·解集运算·韦恩图与含参关系 一、元素与互异性 1. 元素三性. 确定性、互异性、无序性——含参集合（如 ）求出参数后必须回代检验互异性，这是本节唯一的扣分点. 2. 描述法读法. 是数集、 是点集、 是函数值域——先问"元素是什么"再运算. 例1（填空·★★★☆☆） 已知集合，，若，则实数 = ________． 变式1（单选·★★☆☆☆） 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 变式2（单选·★★☆☆☆） 若集合内的元素个数为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、交并补运算 1. 补集两问. 全集是谁（ 还是 ）？补完先写出来再运算—— 的元素不超过 . 2. 德摩根公式. ，——"交的补=补的并"在选择题里一步省一次运算. 例2（单选·★★☆☆☆） 设集合，，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 空集 变式5（单选·★★☆☆☆） 已知全集，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 三、解集型运算 1. 解集先化简. 分式不等式移项通分（别直接去分母）、二次不等式开口先看、定义域型 取的是使式子有意义的 . 2. 值域型与特殊值集. 、——描述法认准"元素是什么". 例3（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式9（多选·★★★☆☆） 若集合，，则（ ） A. B. C. 非空 D. 不是 变式10（单选·★★☆☆☆） 已知全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 四、韦恩图与含参关系 1. 德摩根反推. 给 与 ，四区域（只属 、只属 、公共、都在外）逐一对号，元素归属全靠画四个区域. 2. 含参包含. 端点比较： 型先解出 ，再对 与 的左右端点列不等式；空集是任何集合的子集，含参时先问 能否为空集. 例4（多选·★★★☆☆） 已知全集，集合，，且满足：，，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 集合可能是 D. 变式11（多选·★★★☆☆） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 变式12（单选·★★☆☆☆） 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式13（单选·★★☆☆☆） 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $