第二十八章 旋转——利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题专项训练 利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题专项训练 考点目录 利用旋转的性质求解 旋转中的规律问题 旋转作图问题 考点一 利用旋转的性质求解 例1．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·甘肃·阶段检测）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为______． 例4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 变式1．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点点恰好落在边上，若，，则的长为________________． 变式4．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 考点二 旋转中的规律问题 例1．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 例4．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 变式1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一段抛物线：记为图象，它与轴交于两点、；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则________． 变式4．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，已知等边的顶点 ，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 考点三 旋转作图问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 例2．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 例3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的（点，，的对应点分别为点，，），使得点的坐标为，并写出点的坐标； (2)将绕着点按顺时针方向旋转得到（点，，的对应点分别为点，，），并写出点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为点，，． (1)请画出绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标为_____； (2)点P为x轴上的一个动点，当有最小值时，求这个最小值． 变式2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 变式3．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的图形； (2)请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； (3)按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题专项训练 利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题专项训练 考点目录 利用旋转的性质求解 旋转中的规律问题 旋转作图问题 考点一 利用旋转的性质求解 例1．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转角求得，再根据计算的度数． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转得到， ． ， ． 例2．（26-27九年级上·甘肃·阶段检测）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转可知，， ∵， ∴． 例3．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为______． 【答案】6 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质求得，再由旋转性质和等腰三角形的判定与性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】由旋转得，，用角相减求出，利用含角的直角三角形边长关系求出，再用勾股定理算出． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， ， ∴在中，． 变式1．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转性质得到，再进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 变式3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点点恰好落在边上，若，，则的长为________________． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质可得，，，容易判断和都是等边三角形，则． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 变式4．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 【答案】/47度 【分析】根据旋转性质得到、、，结合三角形内角和和等腰三角形性质得到度数，再利用外角性质得到度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 考点二 旋转中的规律问题 例1．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 例2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 例3．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 例4．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 变式1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定，再求，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴． 变式2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 变式3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一段抛物线：记为图象，它与轴交于两点、；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得二次函数的图象按照每4个单位长度的图象为一个循环，，，故点在某段抛物线上与上时的函数值相等，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， ，， ， 根据图象绕点旋转得到图象， 故的解析式为， 将图象绕点旋转得到图象，交轴于点； 故的解析式为， 故二次函数的图象按照每4个单位长度的图象为一个循环， ，， 故点在某段抛物线上与上时的函数值相等，且等于， 故． 变式4．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，已知等边的顶点 ，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，，则， ∴， ， ∴点， 每次旋转，则旋转一周要：（次）， ， ∴旋转次相当于旋转周后又旋转了次，即又旋转了， ∴点绕原点顺时针旋转后，横，纵坐标都变为原来的相反数， ∴旋转次后，顶点的坐标为． 考点三 旋转作图问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求； (2) 【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到； （2）结合图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 例2．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)点的坐标为，或 【分析】（1）按照坐标平移规律作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可得到． （2）结合网格的直角特性，分别将点绕点逆时针旋转，得到点、，再顺次连接点、、，即可得到． （3）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，当以为对角线时，作，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，或． 例3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的（点，，的对应点分别为点，，），使得点的坐标为，并写出点的坐标； (2)将绕着点按顺时针方向旋转得到（点，，的对应点分别为点，，），并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示； ； (2)如图所示； ； 【分析】（1）根据点的对应点的坐标为找到平移方式，画出图形，进而得出坐标即可； （2）将三角形三顶点分别绕着点按顺时针方向旋转得到对应点，连接可得，根据所画图形即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵，， ∴，，即，， 图略． （2）略 变式1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为点，，． (1)请画出绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标为_____； (2)点P为x轴上的一个动点，当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1) 如图所示，为所求： 在平面直角坐标系中，点坐标为， (2)5 【分析】本题考查了旋转的性质，对称点坐标特征，勾股定理及两点之间线段最短． （1）根据题意利用旋转的性质分别将A，B，C三点旋转后的点坐标求出，再从网格图中将对应的点坐标标注并依次连接即可； （2）过点作关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的最小值即为的值，；利用轴对称的性质求出的坐标，再由（1）得出的坐标，最后利用勾股定理求出的距离． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把绕点逆时针方向旋转得到； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）的面积为． 变式3．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的图形； (2)请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； (3)按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________． 【答案】(1) 解：如图所示： 即为所求； (2) 解：如图所示： 即为所求； (3)， 【分析】本题考查平面直角坐标系中变换作图，涉及关于原点对称作图、旋转作图及旋转的坐标特征，数形结合是解决问题的关键． （1）分别作出三个顶点关于原点对称的点，连接三个顶点即可得到答案； （2）分别作出三个顶点绕原点按逆时针方向旋转后的点，连接三个顶点即可得到答案； （3）由（2）中图形，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：中顶点坐标为，若为边上一点，则点对应的点的坐标为， 故答案为：，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $