专题特训11 旋转中常见的几何模型&综合与实践4 利用图形变换设计图案-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十八章旋转 专题特训十一 旋转中常见的几何模型 类型一手拉手模型 1.如图，等边三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP.若∠BP℃=150°，BP=3,AP=5,则CP= (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3,PC=√2，则PB= 3.如图，P是正方形ABCD内一点，且PA=23,PB=√2，PC=4,则正方形ABCD的面积是 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,∠ABC=30°，O为Rt△ABC内一点，连接OA, OB,OC,则OA+OB+OC的最小值为 类型二对角互补模型 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,MN是过点A的直线，CD⊥MN于点D,连接BD. (1)关于线段DC,AD,BD之间的数量关系，小明有一种思路：如图①，过点B作BE⊥BD,交 MN于点E,进而可得DC+AD= BD. (2)将直线MN绕点A按顺时针方向旋转到如图②所示的位置，请用等式表示出此时线段DC, AD,BD之间的数量关系，并证明. M M、E D ② (第5题) 77 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 类型三半角模型 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E是边AB上的两点，若∠DCE=45°，EB= 2AD,则25的值为 A D (第6题) (第7题) 7.如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB的延长线上，BM=2,作∠MAN=45°，交DC的延 长线于点N,则MN的长为 8.如图，在△ABC中，AB=AC=2√3，∠BAC=120°，点D,E都在边BC上，∠DAE=60°，若BD= 2CE,求DE的长. D (第8题) 9.在四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B 点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F,连接EF. (1)当AE=CF时（如图①），AE,CF,EF之间的数量关系用等式表示为 (2)当点E在AD上，点F在DC上，但AE≠CF时（如图②），(1)中结论是否成立？请说明 理由. (3)当点E在AD的延长线上，点F在DC的延长线上时（如图③），(1)中结论是否成立？若不 成立，线段AE,CF,EF之间又有怎样的数量关系？请说明理由， ② ③ (第9题) 78 >“答案与解析”见P46 第二十八章旋转 综合与实践4利用图形变换设计图案 1,如图，由图案①到图案②再到图案③的变化过程中，不可能用到的图形变换是 A.轴对称 B.旋转 C.中心对称 D.平移 (第1题) (第2题) 2.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图②中的图案是由图①所示的基本图案以点O 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度α，依次旋转四次作出的图形，则旋转角α的最小值 是 3.规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合，那 么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.根据以上规 定，回答问题 (1)下列图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的为 A.矩形 B.正五边形 C.菱形 D.正六边形 (2)有下列三个说法：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆 是旋转对称图形.其中，正确的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 (3)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60的为 (填序号). OO M ZN ⊙ ⑤ ⑥ (第3题) (4)如图⑦所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积 为4cm2,∠AOB=120°，则图中涂色部分的面积为 cm2. ⑦ ⑧ (第3题) (5)如图⑧所示的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图 形补充完整 “答案与解析”见P48 79AD的面积为号×4X2+号×4X4=12 (第5题) 6.B如图，连接OA,OD,过点A作AF⊥x轴于点F,过 点D作DE⊥x轴于点E.易证△AFO≌△OED,∴.OE= AF=3,DE=OF=2.∴.D(W3,-2).点B,D关于原 点对称，∴.B(-3,2). 4F3 (第6题) 7.1点P(2x,y2+4)与Q(x2+1,一4y)关于原点对 称，.x2+1+2x=0,y2+4-4y=0..(x+1)2=0, (y-2)2=0,解得x=-1,y=2..x十y=1. 8.(一3，一2)首先发现点P的坐标是（一3,2），第一次跳 到点P关于x轴的对称点P1处是（一3，一2），接着跳到点 P,关于y轴的对称点P2处是(3，一2)，第三次再跳到点 P2关于原点的对称点处是（一3,2），发现3次一循环. ,2026÷3=675…1,.点P22与点P1重合，坐标为 (-3,一2). 9.(1)A(-2,2),A2(-2,一2)，如图.(2)设点P的坐 标为(t,0),OA=√2十2=2√2.当OP=OA时，点P的 坐标为（一22,0）或(2w2,0).当AP=AO时，点P的坐 标为(4,0).当PO=PA时，点P的坐标为(2,0.综上所 述，点P的坐标为（一2√2,0）或(2√2,0)或(4,0)或(2,0). -3 (第9题) 10.(1)点A的坐标为(2,3)，.易得点A关于直线 y=x对称的点B和关于原点对称的点C的坐标分别为 (3,2)和(-2，-3).(2)四边形ABCD是矩形.理由：连 接AB,BC,CD,DA,OA,OB,OC,OD.点B,D关于原 点对称点B,D,0在同一直线上，B0=D0=2BD, 同理，可得点A,C,0在同一直线上，A0=C0=2AC, 1 ∴.四边形ABCD是平行四边形.：点A与点B关于直线 y=x对称，∴.直线y=x垂直平分线段AB..OA=OB. ∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形. 方法归纳 点P(x,y)关于特殊直线对称的点的坐标 1.点P(x,y)关于直线y=x对称的点P'的坐标 为(y,x). 2.点P(x,y)关于直线y=一x对称的点P'的坐 标为（一y,一x) 专题特训十一旋转中常见的几何模型 1.4如图，将△BCP绕点C按顺时针方向旋转60°得到 △ACP'.由旋转的性质，得BP=AP'=3,∠AP'C= ∠BPC=150°，PC=P'C,∠PCP'=60°.∴.△PCP'是等 边三角形..∠PP'C=60°..∠AP'P=∠AP'C- ∠PP'℃=150°-60°=90°.在Rt△APP中，根据勾股定 理，得PP'=√AP2-AP=√5-3=4.：△PCP'是 等边三角形，∴.CP=PP'=4. B (第1题) 2.√9如图，将△ACP绕点C按逆时针方向旋转90得 到△BCP',连接PP',过点P作PD⊥BP',交BP的延长 线于点D.由旋转可知，AP=BP'=3,CP=CP'=√2， ∠PCP'=90°，∠APC=∠BP'C=165°，∴.∠CPP'= ∠CP'P=45°，PP'=2PC=2.∴.∠PP'B=∠CP'B ∠CP'P=165°-45°=120°.∴.∠PP'D=180°-120°= 60°.在Rt△PPD中，∠P'PD=90°-60°=30°，∴.P'D= PP'1.PD-/PPT-PDT-3.:BD-BP'+ P'D=3十1=4.在Rt△BPD中，由勾股定理，得BP= √BD+PD=√19. C.D (第2题) 3.14十43如图，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转 90°，得到△CBP',连接PP',过点A作AH⊥BP,交BP 的延长线于点H,则∠PBP'=90°，∠APB=∠CP'B, P'B=PB=√2，P'C=PA=23.由勾股定理，得Pp2= P'B2+PB2=4.:P'C2=(25)2=12,PC2=4=16, .PC=Pp?+P'C..∠Pp'C=90°.又易得 ∠BP'P=45°，.∠BP'C=135°.∴.∠APB=∠BP'C= 135°.∴∠APH=45°..∠APH=∠PAH=45°.∴.易 得AH=PH=号PA-6.BH=PH+PB=后+区 .AB2=AH+BH=(W6)2+(√6+√2)2=14+45. ∴.正方形ABCD的面积=14+4√5. D D (第3题) 4.27如图，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60至 △AO'B处，连接OO',A'C.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=2,∠ABC=30°，∴.AB=4.∴.BC=23.由旋 转，得A'B=AB=4,OB=OB,OA'=OA.将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转60°，∴.∠A'BC=∠ABC十 60°=90°，∠OB0'=60°.∴.△OBO'为等边三角形.∴.OO= OB.∴.OA+OB+OC=O'A'+OO+OC≤A'C.∴.当C, O,A',O四点共线时，OA'+CO+OC的值最小，即OA+ OB十OC的值最小，为AC的长.：AC=V√BC+BA √(2√3)2+4=2√7.∴.OA十OB+OC的最小值为2√7. 0 0 (第4题) 5.(1)√2.(2)AD-DC=√2BD.过点B作BE⊥BD, 交MN于点E,记AD与BC交于点O,则∠DBE=90° :'∠ABC=∠DBE=90°，∴.∠ABE+∠EBC=∠CBD+ ∠EBC.,∴.∠ABE=∠CBD.CD⊥MN,.∠CDO= 90°=∠ABC.,∴.∠BAE+∠AOB=90°，∠BCD十∠COD= 90°.，∠AOB=∠COD,.∠BAE=∠BCD.又：AB= CB,.△AEB≌△CDB..AE=CD,BE=BD. ∴.△BDE为等腰直角三角形，DE=√BE十BD= √2BD.DE=AD-AE=AD-CD,∴.AD-DC= √2BD. 6.√5将△CAD绕点C按逆时针方向旋转90°得到 △CBF,连接EF.设AD=x,则EB=2AD=2x.:AC= BC,∠ACB=90°，∴.∠A=∠ABC=45°.由旋转知 △CAD≌△CBF,∴.∠CBF=∠A=45°，BF=AD=x, CF=CD..∠FBE=∠CBF+∠ABC=9O°.∴.EF= √EB2+BF=√5x..∠DCF=90°，∠DCE=45°， ∴.∠FCE=45°=∠DCE.:CD=CF,CE=CE, :△cDEe△CFE.DE=-FE=5-5, 7.10把△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°至△ABN', ∴.△ADN≌△ABN'.∴.∠D=∠ABN'=90°.∴.∠ABC+ ∠ABN'=180°.∴.N',B,C三点共线.由△ADN≌ △ABN'得AN=AN',DN=BN',由旋转知∠NAN'= 90°.∠MAN=45°，∴.∠MAN'=45°=∠MAN. ∴.△MAN'≌△MAN.∴.MN'=MN.设MN=MN'= x,则DN=BN'=x+2,∴.CN=x-4.在Rt△MCN中， 由勾股定理，得82+（一4）2=x2,解得x=10,∴.MN=10. 8.如图，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转120°得到 △ACF,取CF的中点G,连接EF,EG,过点A作AN BC于点N.:AB=AC=23,∠BAC=120°，∴.BN= CN,∠B=∠ACB=30°.在Rt△BAN中，∠B=30°， AB-2/3,.AN-AB-/3.BN-AN- 3.∴.BC=6.由旋转的性质，可知∠FAC=∠DAB, ∠ACF=∠B=30°，CF=BD=2CE,.∠ECG=60° G为CF的中点，∴.CF=2CG..CG=CE.∴.△CEG 为等边三角形.∴.EG=CG=FG,∠CEG=60°.∴.∠EFG= ∠FEG=7∠CGE=0.·∠CEF=∠CEG+∠FBG 90°.∴.△CEF为直角三角形.：∠BAC=120°，∠DAE= 60°，.∠BAD+∠CAE=60°..∠FAE=∠FAC+ ∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°=∠DAE.在△ADE和 AD-AF, △AFE中，∠DAE=∠FAE,∴.△ADE≌△AFE. AE=AE, ∴.DE=FE.设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6 3x.在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x,EC=x,EF= √CF-C=√5x,.6-3x=5x.∴.x=3-5. .DE=√3x=33-3. DN (第8题) 9.(1)AE十CF=EF.(2)(1)中结论仍然成立.理由：延 长DC至点K,使得CK=AE.在△ABE和△CBK中， AB=CB, ∠A=∠BCK=90°，∴.△ABE≌△CBK..BE=BK, AE-CK. ∠ABE=∠CBK.·∠ABE+∠CBE=120°，∴.∠CBK+ ∠CBE=120°，即∠KBE=120°..∠EBF=60°， ∴.∠KBF=∠EBF=60°.在△EBF和△KBF中， BE=BK, ∠EBF=∠KBF,△EBF≌△KBF..EF=KF. BF=BF, ∴.EF=CK+CF.∴.AE十CF=EF.(3)(1)中结论不 成立.AE一CF=EF.理由：在DC的延长线上取点K,使 CK=AE,连接BK.在△ABE和△CBK中， AB=CB, ∠A=∠BCK=90°，.△ABE≌△CBK.BE=BK, AE-CK, ∠ABE=∠CBK.∠ABE+∠CBE=120,∴.∠CBK+ ∠CBE=120°，即∠KBE=120°.：∠EBF=60°， ∴.∠KBF=∠EBF=60°.在△EBF和△KBF中， (BE=BK, ∠EBF=∠KBF,∴△EBF≌△KBF..EF=KF. BF=BF, .EF=CK一CF.∴.AE一CF=EF 综合与实践4利用图形变换设计图案 1.D图案②将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能 与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称.图案③中 有4条对称轴，图案包含轴对称变换.故没有用到平移. 2.72°根据题意，这个图形可以由一个基本图形绕中心 依次旋转四次而得到，每次旋转的度数为360°÷5=72°的 倍数，故旋转角α的最小值是72° 3.(1)B. (2)C.中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋 转对称图形.故说法①正确.等腰三角形绕一个定点旋转 一定的角度α(0°<a≤180)后，不一定能与自身重合，只有 等边三角形是旋转对称图形，故说法②不正确.圆具有旋 转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋 转对称图形.故说法③正确.∴.正确的说法有2个. (3)①③⑤.(4)4.(5)图形如图所示 (第3题) 第二十八章拔尖自主测评 1.DA.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.C.既 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.D.既 是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， 2.A点P,(a一1,1)和P2(2,b一1)关于原点对称， ∴.a-1=-2,b-1=-1.∴.a=-1,b=0.∴.(a+b)202s= (-1十0)2026=1. 3.B过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'C⊥y轴 于点C,则∠A'CO=∠ABO=90°.由旋转的性质可知， ∠AOA'=90°，AO=A'O,..∠COA+∠A'OC=90° :∠AOB+∠COA=90°，.∠AOB=∠A'OC.∴.△A'CO2 △ABO..A'C=AB,OC=OB.:点A的坐标为(3,2)， ∴.AB=2,OB=3.∴.A'C=AB=2,OC=OB=3..点 A'的坐标为（一2,3） 4.D设BF与CE相交于点H.由旋转的性质，得∠BCE= ∠ACD=60°.∠B=30°，∴.在△BHC中，∠BHC= 180°-∠BCE-∠B=90°.∴.BF⊥CE.故D选项正确.设 ∠ACH=x,则∠ACB=60°-x°.：∠B=30, ∴.∠EDC=∠BAC=180°-30°-(60°-x)=90°+x° ∴.∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x°.x不- 定等于30°，∴.∠EDC+∠ACD不一定等于180°.∴.AC∥ DE不一定成立.故B选项不正确.：∠ACB=60°-x°， ∠ACD=60°，x不一定等于0°，∴.∠ACB=∠ACD不一 定成立.故A选项不正确.将△ABC绕点C按顺时针方