第二十八章 旋转——利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题讲义2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册

利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题讲义 利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题讲义 考点目录 利用旋转的性质求解 旋转中的规律问题 旋转作图问题 考点一 利用旋转的性质求解 【知识点解析】 一、旋转的基础概念与核心性质 · 旋转三要素：旋转中心（绕哪个点转）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（转动的角度）。 · 三大核心性质： 0. 全等性：旋转前后的图形完全全等，对应边相等、对应角相等，周长、面积均保持不变； 0. 等距性：每一组对应点到旋转中心的距离相等； 0. 等角性：任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角。 二、常见题型与解法 1. 基础计算：求边长、角度 · 题型特征：已知原图形的边长、角度，以及旋转角度，求旋转后的对应边长、夹角大小。 · 解法：直接利用「对应边相等、对应角相等」，结合三角形内角和、外角定理、勾股定理计算。 2. 旋转全等模型（手拉手模型） · 题型特征：共顶点的两条等线段旋转，形成两个有公共顶点的三角形。 · 核心结论：共顶点等线段旋转必出全等三角形，可实现边、角的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中。 · 典型场景：等边三角形旋转、等腰直角三角形旋转、正方形旋转。 3. 面积计算：不规则图形面积转化 · 题型特征：旋转后形成的阴影部分为不规则图形，无法直接用公式计算。 · 解法：利用旋转前后面积不变，将不规则部分的面积，转化为规则图形（扇形、三角形、正方形）的面积和差，最常见的是「三角形面积 + 扇形面积 - 另一个三角形面积」。 三、解题步骤 1. 定三要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角度； 1. 找对应：确定对应点、对应边、对应角； 1. 用性质：利用全等、等距、等角性质，转化已知条件； 1. 算结果：结合三角形、四边形相关定理求解。 【例题分析】 例1．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转性质得到点的坐标，进而确定其纵坐标． 【详解】过点B作轴于点C， 是边长为2的等边三角形， ，， 在中，，， ． 将点B绕点O逆时针旋转，根据坐标旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为， 可得， 因此点的纵坐标为，对应选项为B． 例2．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的特征可得旋转角的度数，在中，由三角形内角和定理求解的度数，最后由角度和差计算求解即可． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ， ． 例3．（25-26九年级上·天津静海·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．勾股定理求出的长，旋转得到，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】9 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、熟练掌握“角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键． 根据旋转的性质易得和，进而得到是等腰三角形，过点作于点，根据“角所对的直角边是斜边的一半”的性质得到的长，观察图形发现图中阴影部分的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：、 是等腰三角形， 过点作于点， ， 绕点逆时针旋转，得到 图中阴影部分的面积为， 即， 因此图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，．将绕点A顺时针旋转至使得点C恰好落在BC上的处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得， 再根据三角形内角和定理得，则此题可解． 【详解】解：根据旋转的性质，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后角度相等是解题的关键． 由旋转可得，进而可得． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ， ， ∴． 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 变式4．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 【答案】 【分析】过D点作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据旋转的性质以及等积法求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：过D点作，垂足为F， 由题意，在中，， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积为. 考点二 旋转中的规律问题 【知识点解析】 一、核心本质 图形按固定规则多次重复旋转，通过分析前几次旋转的结果，找到周期循环或递推规律，归纳出第次旋转后的坐标、长度、面积等结果，本质是「从特殊到一般」的归纳思想。 二、常见题型 1. 坐标旋转规律 · 题型特征：在平面直角坐标系中，图形绕定点（多为原点）按固定角度旋转，求第次旋转后对应点的坐标。 · 典型规律：绕原点每次旋转时，周期为4，每4次旋转回到初始位置；只需计算前4个坐标，用除以4看余数，对应周期内的位置即可。 2. 图形拼接规律 · 题型特征：每次旋转后拼接出新的图形，求第个图形的周长、总面积。 · 解法：依次算出前3个图形的周长/面积，观察差值规律，判断是等差、等比还是其他递推关系，写出通项公式。 3. 周期循环规律 · 题型特征：旋转角度能整除时，图形会呈现周期性循环。 · 解法：先求出一个周期的长度，用总次数除以周期，根据余数对应到周期内的位置，直接得到结果。 三、解题步骤 1. 算前值：依次计算前3~4次旋转后的结果； 1. 找规律：判断是周期循环型，还是等差/等比递推型； 1. 写通项：归纳出第次的通用表达式； 1. 验正误：代入小数值验证规律是否正确。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知点，将点A绕原点O顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点O顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的旋转与规律问题．根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环，得出点与点坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵点绕原点顺时针旋转多次，旋转6次后坐标循环， ，余数为3， ∴点与点坐标相同， 点绕原点O旋转得到点， ∴点与点关于原点对称，则， ∴点的坐标是， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 例3．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则的坐标为_____；点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的探索与规律，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：∵， ∴中，， ∴， ∴的横坐标为：6，且，即， ∴的横坐标为：， ∴点的横坐标为：，点的纵坐标为：2， 即的坐标是， 故答案为，． 例4．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， 同理， 如此下去，得到线段，，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ，解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律、全等三角形的判定与性质及勾股定理，先求出点C的坐标，再依次求出每次旋转后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 过点C作x轴的垂线，垂足为M，过点B作的垂线，垂足为N， ∵， ∴， ∴， 则． ∴， 又∵， ∴， 则， 过点作y轴的垂线，垂足为P， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标为，第3次旋转后点C的坐标为，第4次旋转后点C的坐标为，第5次旋转后点C的坐标为，…， 由此可见，从第1次旋转开始，点C的坐标按，，，循环． 又∵余1， ∴第2025次旋转后点C的坐标为． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是正确求得前几个点的坐标，找出规律．求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：如图所示：    点经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后， 可得：经过4次翻滚后点对应点一循环， ， ∵，矩形的周长为， ∴经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为，即 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将 绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到…，依此规律，得到三角形，则的横坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出，，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为，即； 故答案为：． 考点三 旋转作图问题 【知识点解析】 一、核心本质 根据旋转的性质，找到原图形各个顶点的对应点，顺次连接对应点，即可得到旋转后的图形。作图的核心是保证对应点到旋转中心距离相等、夹角等于旋转角。 二、基本作图：作已知图形旋转后的图形 通用步骤（网格/尺规均适用） 1. 定要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角度； 1. 作对应点：对原图形的每个顶点： · 连接该顶点与旋转中心； · 按指定方向和角度，作出这条线段旋转后的对应线段； · 线段的另一端点就是原顶点的对应点。 1. 连图形：按照原图形的顶点顺序，顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形。 两种场景的作图技巧 · 网格作图：旋转、时，利用网格的垂直、等长特性，直接数格子确定对应点，无需量角； · 尺规作图：以旋转中心为圆心、顶点到中心的距离为半径画弧，用量角器量出旋转角，弧与角的另一边的交点即为对应点。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点坐标分别为，在坐标系中画出绕点逆时针旋转的，并写出点的坐标． 【答案】 如图，即为所求： 由上可得点的坐标为． 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，再依次连接可得到；再写出点的坐标即可． 【详解】略 例2．（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出； (2)将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标． 【答案】(1) 如图所示即为所求作； (2) 如图所示，点． 【分析】（1），根据点C的对应点可知将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，再画出图形即可； （2），将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，再依次连接可得答案 【详解】（1）解：根据题意可得点的对应点为， ∴将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度， （2）略 例3．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，为格点． (1)在图中，作出将线段绕点逆时针旋转后的线段； (2)在图中，点为线段和的交点，作出将绕点逆时针旋转后的点． 【答案】(1)线段如图所示； (2) 点Q如图所示； 【分析】本题考查作图旋转变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用全等三角形的判定和性质即可作出图形； （2）分别作点绕点A逆时针旋转后得到点，连接交于点Q，点Q即为所作． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·四川南充·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， 点的坐标为， (2) 如图所示，即为所求， 点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查平移作图，画旋转图形，三角形的面积； （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可． （3）连接，根据长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接， ∴的面积为 变式2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将绕点O顺时针旋转后得到，画出； (2)求的面积； (3)若点P为y轴上一动点，则的最小值等于______． 【答案】(1) 如图所示， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了图形的旋转、轴对称-最短路径问题以及两点间距离公式，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质和两点间距离公式是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到三角形三个顶点绕原点顺时针旋转后的对应点，再连接这些点得到旋转后的三角形； （2）利用三角形面积公式求解即可 （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接该对称点与，其长度即为的最小值，再通过两点间距离公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：的面积； （3）解：如图，作点关于轴的对称点．连接，，交轴于点，则此时最小， ， 故答案为：． 变式3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【答案】(1) 解：所求图形，如图所示． (2) 解：如图，为所求． 【分析】本题考查中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）连接，，它们的交点即为对称中心O，进而可画出点C的对称点，即可解答； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题讲义 利用旋转的性质求解、旋转中的规律问题、旋转作图问题讲义 考点目录 利用旋转的性质求解 旋转中的规律问题 旋转作图问题 考点一 利用旋转的性质求解 【知识点解析】 一、旋转的基础概念与核心性质 · 旋转三要素：旋转中心（绕哪个点转）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（转动的角度）。 · 三大核心性质： 0. 全等性：旋转前后的图形完全全等，对应边相等、对应角相等，周长、面积均保持不变； 0. 等距性：每一组对应点到旋转中心的距离相等； 0. 等角性：任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角。 二、常见题型与解法 1. 基础计算：求边长、角度 · 题型特征：已知原图形的边长、角度，以及旋转角度，求旋转后的对应边长、夹角大小。 · 解法：直接利用「对应边相等、对应角相等」，结合三角形内角和、外角定理、勾股定理计算。 2. 旋转全等模型（手拉手模型） · 题型特征：共顶点的两条等线段旋转，形成两个有公共顶点的三角形。 · 核心结论：共顶点等线段旋转必出全等三角形，可实现边、角的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中。 · 典型场景：等边三角形旋转、等腰直角三角形旋转、正方形旋转。 3. 面积计算：不规则图形面积转化 · 题型特征：旋转后形成的阴影部分为不规则图形，无法直接用公式计算。 · 解法：利用旋转前后面积不变，将不规则部分的面积，转化为规则图形（扇形、三角形、正方形）的面积和差，最常见的是「三角形面积 + 扇形面积 - 另一个三角形面积」。 三、解题步骤 1. 定三要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角度； 1. 找对应：确定对应点、对应边、对应角； 1. 用性质：利用全等、等距、等角性质，转化已知条件； 1. 算结果：结合三角形、四边形相关定理求解。 【例题分析】 例1．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 例2．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·天津静海·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，则的长为________． 例4．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，．将绕点A顺时针旋转至使得点C恰好落在BC上的处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 变式4．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 考点二 旋转中的规律问题 【知识点解析】 一、核心本质 图形按固定规则多次重复旋转，通过分析前几次旋转的结果，找到周期循环或递推规律，归纳出第次旋转后的坐标、长度、面积等结果，本质是「从特殊到一般」的归纳思想。 二、常见题型 1. 坐标旋转规律 · 题型特征：在平面直角坐标系中，图形绕定点（多为原点）按固定角度旋转，求第次旋转后对应点的坐标。 · 典型规律：绕原点每次旋转时，周期为4，每4次旋转回到初始位置；只需计算前4个坐标，用除以4看余数，对应周期内的位置即可。 2. 图形拼接规律 · 题型特征：每次旋转后拼接出新的图形，求第个图形的周长、总面积。 · 解法：依次算出前3个图形的周长/面积，观察差值规律，判断是等差、等比还是其他递推关系，写出通项公式。 3. 周期循环规律 · 题型特征：旋转角度能整除时，图形会呈现周期性循环。 · 解法：先求出一个周期的长度，用总次数除以周期，根据余数对应到周期内的位置，直接得到结果。 三、解题步骤 1. 算前值：依次计算前3~4次旋转后的结果； 1. 找规律：判断是周期循环型，还是等差/等比递推型； 1. 写通项：归纳出第次的通用表达式； 1. 验正误：代入小数值验证规律是否正确。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知点，将点A绕原点O顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点O顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则的坐标为_____；点的坐标为_____． 例4．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 变式4．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将 绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到…，依此规律，得到三角形，则的横坐标为_____． 考点三 旋转作图问题 【知识点解析】 一、核心本质 根据旋转的性质，找到原图形各个顶点的对应点，顺次连接对应点，即可得到旋转后的图形。作图的核心是保证对应点到旋转中心距离相等、夹角等于旋转角。 二、基本作图：作已知图形旋转后的图形 通用步骤（网格/尺规均适用） 1. 定要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角度； 1. 作对应点：对原图形的每个顶点： · 连接该顶点与旋转中心； · 按指定方向和角度，作出这条线段旋转后的对应线段； · 线段的另一端点就是原顶点的对应点。 1. 连图形：按照原图形的顶点顺序，顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形。 两种场景的作图技巧 · 网格作图：旋转、时，利用网格的垂直、等长特性，直接数格子确定对应点，无需量角； · 尺规作图：以旋转中心为圆心、顶点到中心的距离为半径画弧，用量角器量出旋转角，弧与角的另一边的交点即为对应点。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点坐标分别为，在坐标系中画出绕点逆时针旋转的，并写出点的坐标． 例2．（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出； (2)将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标． 例3．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，为格点． (1)在图中，作出将线段绕点逆时针旋转后的线段； (2)在图中，点为线段和的交点，作出将绕点逆时针旋转后的点． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·四川南充·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 变式2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将绕点O顺时针旋转后得到，画出； (2)求的面积； (3)若点P为y轴上一动点，则的最小值等于______． 变式3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 2 学科网（北京）股份有限公司 $