专题6 二次函数与一元二次方程综合计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题6 二次函数与一元二次方程综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01由二次函数图象确定相应方程根的情况 题型02由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值 题型03确定x轴与抛物线的截线长 题型04抛物线与x轴交点上的四点问题 题型05根据二次函数图像确定一元二次方程的根 题型06图像法确定一元二次方程的近似根 题型07图像法解一元二次不等式 题型08根据交点确定不等式的解集 题型09二次函数与一次函数的综合运用 题型10由抛物线与线段的交点个数确定字母的取值范围 题型11由几何变换后得到交点个数确定字母的取值范围 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ； 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 【针对训练】 1．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的根的判别式等于，据此列方程求解的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个公共点， ∴根的判别式满足， 解得． 2．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 3．抛物线与轴交于、两点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系求出和，再利用完全平方公式求出，最后计算的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴和是方程的两个根， 由根与系数的关系，得，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 知识点2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【针对训练】 1．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，抛物线与x轴有两个交点等价于一元二次方程的判别式大于零，据此求解k的范围并对比选项，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 则， 解得 ， 结合四个选项，唯有A选项，即A选项符合题意； 故选：A． 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）令，求出点和点的坐标即可解决问题． （3）根据函数图像即可直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题知，将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）令得， ， 解得，． 则． 所以的长为． （3）由图像可知：当时，或， 知识点3、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【针对训练】 1．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次不等式的关系，能根据图象正确得到信息是解题的关键． 由图象可得抛物线位于x轴下方时，所对应的自变量的取值范围即为的解集． 【详解】解：二次函数图象位于x轴下方时，所对应的x的取值范围为． 故选：D． 2．如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，， ∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为； 又∵抛物线开口向上， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 3．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 典例精析 题型01由二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例】已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向，与轴交点的判定方法是解题的关键． 根据抛物线在轴的下方，则开口向下，抛物线与无交点，即，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线在轴的下方， ∴抛物线的开口向下，且与无交点， ∴， 故选：A ． 题型02由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值 【典例】已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）． （1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值； （2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点； （3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围． 【答案】（1）b＝1；（2）见解析；（3）b＜﹣2． 【分析】（1）把点（1，2b）代入抛物线解析式即可得解； （2）计算判别式的值得到△=b2+8，利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （3）将平行于x轴的直线y=m与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关b的不等式，即可求解． 【详解】解：（1）把点P（1，2b）代入抛物线y＝2x2+bx﹣1中，得 2+b﹣1＝2b， 解得：b＝1． （2）证明：∵△＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8， ∵无论b取何值，b2≥0， ∴b2+8＞0， ∴二次函数y＝2x2+b x﹣1图象与x轴必有两个交点． （3）设平行于x轴的直线为y＝m， ∵直线y＝m与该二次函数的图象交于点A，B， ∴， 整理得，2x2+bx﹣1﹣m＝0， 若x1，x2是方程2x2+bx﹣1﹣m＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标， ∴， 由题意得，，解得，b＜﹣2． ∴b的取值范围是b＜﹣2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题． 【变式】已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明：当时，， 二次函数的图象不经过原点． 【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可； （2）由题意得到函数的最小值小于，函数的最小值为，即，即可得到答案； （3）当时，，二次函数的图象恒在轴上方，故不经过原点． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有交点， ， ， 又， ， 解得； （2）解：二次函数中，， 二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与直线有两个交点， 函数的最小值小于， 函数的最小值为， 即， 解得； （3）解：略． 题型03确定x轴与抛物线的截线长 【典例】已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，抛物线与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）当时，求出的两个根，相减后取绝对值即可． 【详解】（1）证明：当时，， ， 无论取任何实数，，即， 关于的一元二次方程一定有实数根， 无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； （2）解：当时，抛物线为，当时，， 解得， ． 【变式】如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 题型04抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例】已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 【变式】1．“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的关系；利用函数图像，将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过抛物线的开口方向和与轴的交点位置，判断根的分布范围． 【详解】解：如图 设，， ，是与轴的交点，且抛物线开口向上， 当或时，；当时，． 方程即求与抛物线的交点， ， 交点位于和． 又、为方程两根，且， ． 故选：C． 题型05根据二次函数图像确定一元二次方程的根 【典例】小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：； （2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解． ①把方程的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标； ②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【答案】（1）过程见解析，=，=；（2）；（3）①，；②见解析 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）因为表示的是函数与轴交点时的情境，即函数的值为0时，所以把方程的解看成是二次函数的图象与轴交点的横坐标，可以得到答案． （3）①由变形为，因为都是变量的函数，所以，当两个函数的函数值相等，即此时的函数值为两个函数的交点的纵坐标，从而观察图像可以得到交点的横坐标得到答案． ②利用一次函数与二次函数的作图方法在同一直角坐标系中作出图像即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴．∴． ∴原方程的解是=,=. （2）因为求二次函数.与轴交点时，把交点的纵坐标代入函数解析式得到的解是交点的横坐标，所以求方程的解时就可以画出的图像，观察交点的横坐标就是方程的解． 故答案为． （3）因为， 所以，因为都是变量的函数， 建立 考查的两个函数分别是，两个函数的交点的横坐标就是方程的解． 故答案为：与．. 每画出正确函数图象如下： 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解决问题是关键． 【变式】已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 题型06图像法确定一元二次方程的近似根 【典例】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【变式】如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 题型07图像法解一元二次不等式 【典例】数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； （2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴对任意的实数恒成立． 令，则有，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 【变式】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 题型08根据交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 【变式】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、抛物线与轴的交点．依据题意，由抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，利用对称性可得另一个交点的坐标为，结合抛物线的开口向下，进而可得不等式的解集． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 另一个交点的横坐标为， 即另一个交点的坐标为， 抛物线的开口向下， 不等式的解集是， 故答案为：． 题型09二次函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论当为腰时点D坐标即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵  ，   ∴， ∴， ∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合）， 当时， ， 或； 当时， ， ， ； 综上所述，，或； （3）解：∵在中，， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 【变式】如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求四边形的面积； (3)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线表达式中，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得到抛物线对应的函数表达式；令，利用因式分解法解一元二次方程，即可求得，两点的坐标； （2）连接，，，先求出，的长，然后根据，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积； （3）利用待定系数法，由，两点的坐标先求出直线的表达式，然后利用各点坐标求得，过点作轴于点，交于点，在中，根据勾股定理可得，即，设点，则点，，通过求二次函数的最值，即可求出的最大值． 【详解】（1）解：将点代入抛物线表达式中，得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：， 令， 解得：，， 即点，的坐标分别为：，， ，； （2）解：如图，连接，，， 点，，，的坐标分别为：，，，， ， ， ， 四边形的面积为； （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， ，， ， ， ， ， 由题意可知：， ， 如图，过点作轴于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 设点，则点， ， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，等边对等角，三角形的内角和定理，垂线的性质，同位角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，等式的性质，将二次函数化为顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型10由抛物线与线段的交点个数确定字母的取值范围 【典例】在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分，两种情况讨论，确定临界点，进而可求的取值范围． 【详解】解：抛物线与线段有两个不同的交点， 令，则， ， ． ①当时， 解得， 故 ②当时， 解得， ． 综上所述：或． 故选：C． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线______； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为______． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想； （1）把解析式配方即可求解； （2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴拋物线的对称轴为直线； 故答案为：1； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴， 即； 当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为， ∵点Q的纵坐标也为m， ∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴； ①当分时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 故答案为：1； ②当时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 综上，满足条件的m取值范围为：或． 故答案为：或． 题型11由几何变换后得到交点个数确定字母的取值范围 【典例】将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 先根据平移的规律写出抛物线向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与轴有公共点可得，由此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：将抛物线向下平移m个单位长度得， ∵与轴有公共点， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式】已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查函数图像与直线的交点问题，先根据顶点式求出抛物线的顶点，在求出翻折后的对称点的坐标，最后借助于图像确定b的取值范围即可，掌握数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 根据翻折变换，关于轴的对称点为， 当直线与图象②恰有3个公共点时，如图所示：此时，    当直线与轴重合时，与图象②有2个公共点，此时， 当直线处于直线与直线之间时，与图象②有4个公共点，此时， 当直线位于直线上方时，与图象②有2个公共点，此时， 由图可知：当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为， 故答案为：． 1．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 3．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 4．下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 6．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 7．若关于x的方程的解为，，则抛物线＋c与x轴的交点的横坐标为______． 【答案】 0和4 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，理解两者的关系是解题关键． 将看作一个整体，通过整体换元，由方程的解确定换元后的抛物线与x轴的交点，再代换求解即可． 【详解】解：令， 则抛物线 ， ∵关于x的方程 的解为 ，， ∴方程的解为，， ∴，或， 解得或， 故抛物线 与x轴的交点的横坐标为0和4， 故答案为：0和4． 8．已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征．将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并根据条件确定的值． 【详解】解：点在二次函数（）的图象上， 代入得： 整理得， 由于， 解得：或 又， 故． 故答案为：． 9．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 10．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【知识点】图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 11．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，x的取值范围是______； ②当时，y的取值范围是______． ③ 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】(1) 如图所示. (2)①；②；③ 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据列表，描点，连线可得图象； 对于（2），①观察图象在x轴下方的部分符合题意；②观察图象可知函数的最小值在取值范围内，最大值小于3，可得答案；③一元二次方程有实数根，即为二次函数与直线有交点符合题意. 【详解】（1）解： 列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 （2）解：①当时，； ②当时，； ③一元二次方程有实数根，则m的取值范围是. 故答案为：；；. 12．函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 【详解】如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 在一元二次方程中，，，，可得 ． 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以函数与轴的交点为个． 故选：C 13．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（   ） 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 利用和所对应的函数值可判断抛物线与x轴的一个交点在和之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】解：∵时，，即； 时，，即， ∴抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：D． 14．如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】利用数形结合的思想判断选择即可． 本题考查了抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的交点，数形结合思想，熟练掌握抛物线与一元二次方程的交点，最值是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点的纵坐标为3， ∴二次函数的图象与直线只有1个交点， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A． 15．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 16．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 17．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 18．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与二次不等式，运用数形结合思想是解题关键． 将不等式转化为二次函数与一次函数之间的大小比较，并结合函数的图象确定解集． 【详解】解：不等式的解集可以看作一次函数的图象不低于二次函数的图象的时对应的自变量的取值， 结合图象可知，点以及点的左侧，点以及点的右侧，符合题意， ∴关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 19．二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 20．对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围． 【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点， 令，则，即， ∵二次函数有两个不相等的不动点， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 令，该抛物线开口向上，对称轴为， ∵方程的两个根都小于， ∴当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是． 21．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 【答案】C 【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D． 【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线， 故选项A错误，不符合题意； B、当或时，函数值随值的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴由图可知，当时，，当或时，， ∴当时，， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意； D、∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∴， 综上，若，则（m为任意实数）， 故选项D错误，不符合题意． 22．抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据与轴交点坐标及得出对称轴为直线，，，抛物线开口向下，即可判断，，可得出①②正确；利用平方差公式化简得出，可得③错误；根据对称轴得出有最大值，可判断④正确；把变形为，可得、是与的交点的横坐标，根据二次函数及一次函数的性质可得，得出⑤正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点， ∴对称轴为直线，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的开口向下，， ∵对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确； ∵， ∴， ∴、是与的交点的横坐标， ∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②④⑤． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为． (1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值． 【答案】(1)对称轴为直线，与坐标轴的交点坐标为； (2)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，分别令，，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）①求出对称轴，根据增减性，判断对称轴的位置，列出不等式组进行求解即可；②易得，根据二次函数的性质，分3种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当时，解得， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为； （2）解：①∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∴，解得； ②∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵当时，的最大值为， ∴当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得（舍去）或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 二次函数与一元二次方程综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01由二次函数图象确定相应方程根的情况 题型02由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值 题型03确定x轴与抛物线的截线长 题型04抛物线与x轴交点上的四点问题 题型05根据二次函数图像确定一元二次方程的根 题型06图像法确定一元二次方程的近似根 题型07图像法解一元二次不等式 题型08根据交点确定不等式的解集 题型09二次函数与一次函数的综合运用 题型10由抛物线与线段的交点个数确定字母的取值范围 题型11由几何变换后得到交点个数确定字母的取值范围 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ； 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 【针对训练】 1．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．抛物线与轴交于、两点，则______． 知识点2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【针对训练】 1．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 知识点3、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【针对训练】 1．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 2．如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 3．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 典例精析 题型01由二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例】已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不相等的实数根 【变式】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型02由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值 【典例】已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）． （1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值； （2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点； （3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围． 【变式】已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 题型03确定x轴与抛物线的截线长 【典例】已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【变式】如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 题型04抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例】已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式】“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的 数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 题型05根据二次函数图像确定一元二次方程的根 【典例】小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：； （2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解． ①把方程的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标； ②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【变式】已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 题型06图像法确定一元二次方程的近似根 【典例】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【变式】如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 题型07图像法解一元二次不等式 【典例】数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【变式】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 题型08根据交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【变式】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 题型09二次函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【变式】如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求四边形的面积； (3)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． 题型10由抛物线与线段的交点个数确定字母的取值范围 【典例】在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线______； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为______． 题型11由几何变换后得到交点个数确定字母的取值范围 【典例】将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是___________． 【变式】已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为__ ． 1．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 3．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 4．下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 6．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程的解为，，则抛物线＋c与x轴的交点的横坐标为______． 8．已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 9．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 10．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 11．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，x的取值范围是______； ②当时，y的取值范围是______． ③ 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 12．函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（   ） 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 14．如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 15．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 16．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 17．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 18．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 19．二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 20．对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 22．抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为． (1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $