黑龙江省黑河市北安市九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册27.3反比例函数）

反比例函数综合作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 反比例函数综合作业设计 学段学科 初中数学 适用年级 九年级 教材版本 人教版 对应内容 第二十六章 反比例函数 26.3 反比例函数综合应用 作业类型 课后作业（单元复习） 完成时长 总时长 45 分钟 设计者 李春明 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是运算能力、几何直观、推理能力与模型观念，需达成「能根据已知条件确定反比例函数解析式、能画出反比例函数图象并探索其性质、能用反比例函数解决简单实际问题」学业质量标准。 · 教材地位：本课时是人教版九年级下册第二十六章的综合复习课，反比例函数是初中阶段三类基本初等函数之一，承载着「函数概念—图象性质—实际应用」的完整认知链条，是中考重点考查内容，也是后续高中函数学习的重要基础。 · 教学重难点：重点是反比例函数的图象与性质、用待定系数法求解析式、反比例函数与一次函数的综合；难点是数形结合思想的灵活运用、反比例函数与几何图形的综合探究，以及实际问题中自变量取值范围的确定。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握反比例函数的概念、图象与基本性质，会用待定系数法求解析式，能结合一次函数图象解决交点问题，具备初步的数形结合意识。 现有困惑 学生对 k 的几何意义理解不深，在反比例函数与几何图形综合时容易忽略自变量取值范围；分类讨论思想不严密，探究动点问题时易漏解。 差异分析 班级约三分之一学生能独立完成综合探究题，半数学生能完成基础与中档题但在压轴题上存在困难，另有少数学生对图象性质仍混淆，需要分层指导。 3. 设计意图（一段话讲清即可） 本作业以「反比例函数综合应用」为主线，按照基础题—拓展题—探究题三层递进设计：基础题落实反比例函数图象性质与待定系数法；拓展题引导学生经历「问题情境—建立模型—图象探究—结论运用」的完整过程，感悟数形结合与分类讨论思想；探究题综合反比例函数、一次函数、轴对称最值与直角三角形存在性问题，发展学生推理能力与创新意识。作业兼顾物理跨学科情境，体现数学的应用价值，满足不同层次学生的学习需求。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能说出反比例函数的图象特征与性质，会用待定系数法求解析式，理解 k 的几何意义。 符号意识、几何直观 基础题正确率、概念表述 能力运用 B 能运用反比例函数图象与性质解决跨学科实际问题（如物理电流—电阻关系），能画出函数图象并分析取值范围。 模型观念、运算能力 过程记录、图象绘制、方法选用 思维发展 C 能在反比例函数与几何图形综合问题中进行分类讨论、数形结合推理，探究面积定值矩形周长范围及直角三角形存在性。 推理能力、创新意识 论证思路、分类完整性、创意思维 情感态度 D 在跨学科情境与数学探究中体会数学的应用价值，养成主动反思、严谨表达的学习习惯。 科学态度、理性精神 反思语、参与度、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 反比例函数y=k/x(k<0)图象上三点A、B、C，到直线l距离比为3:1:1，求满足条件的直线l条数 A 考查反比例函数图象上点的分布与数形结合，培养直观想象 A（4条） 2 填空题 已知OA=6，∠AOB=30°，求过点A的反比例函数解析式 A 结合直角三角形求点坐标，再用待定系数法求解析式，落实基础 y=9√3/x 3 填空题 等腰直角三角形序列，直角顶点在y=4/x(x>0)上，求P₂₀₁₁的横坐标 C 通过归纳递推感受规律探究，发展代数推理能力 2(√2012−1) 4 解答题 物理情境：电流I与电阻R成反比例，R=3Ω时I=8A，求解析式、列表画图、控制阻值范围 B、D 跨学科应用反比例函数模型，体会数学服务物理实验 I=24/R；R≥2.4Ω 5 解答题 探究面积为定值的矩形周长范围：建立模型、画图象、平移直线探究交点个数并结论运用 B、C 经历完整探究过程，感悟数形结合、转化与分类讨论思想 面积4时m≥8；面积9时m≥12 6 解答题 直线y=2x与双曲线交于A、B，C在第一象限分支且BC=3CD，求k、B坐标；y轴上G使△GBC周长最小；y轴上P使△ABP为直角三角形 C 综合反比例函数、一次函数、轴对称最值与分类讨论，提升推理能力 k=2，B(1,2)；最小周长√17+√65；P共4个 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 一．选择题（共1小题） 基础题：1．如图，A、B、C是反比例函数y（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym．若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（　　） A． y＝60x B． C． D．y＝50x 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而减小 C．图象经过点（1，﹣3） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 基础题：1．如图，已知OA＝6，∠AOB＝30°，则经过点A的反比例函数的解析式为____________________ ． 2．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值为_______ ． 3．如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为_______ ． 4．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点P（4，m），且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________ ． 拓展题：5．如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数y（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2011的横坐标为____________________ ． 三．解答题（共3小题） 基础题：6．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当R＝3Ω时，I＝8A． （1）写出I关于R的函数解析式； （2）完成如表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； R/Ω … 3 4 5 6 8 9 10 12 … I/A … … （3）当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 拓展题：7．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则xy＝4，2（x+y）＝m，即，，那么满足要求的（x，y）应该是函数与的图象在第 _____ 象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一平面直角坐标系中直接画出y＝﹣x的图象，则的图象可以看成是y＝﹣x的图象向上平移 __________________ 个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线y＝﹣x，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 __________ ，周长m的值为 _____ ； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为9的矩形的周长m的取值范围为 _________ ． 探究题：6．如图，直线y＝2x与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣2），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝3CD． （1）求k的值并求出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求△GBC周长的最小值； （3）点P是y轴上的点，是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7、 答案与解析 一．选择题（共1小题） 1．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条， 故选：A． 2.【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出x与y的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【解答】解：由题意得：底面矩形的一边长y（单位：cm）与其邻边长x（单位：cm）之间的关系为： xy＝20， ∴． ∵x＞0， ∴该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 故选：C． 3.【解答】解：∵反比例函数中，k＝3＞0， ∴图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， A、∵k＝3＞0， ∴图象分布在第一、三象限，原说法错误，不符合题意； B、∵k＝3＞0， ∴图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＞0时，图象在第一象限，y随x的增大而减小，正确，符合题意； C、将x＝1代入，得y＝3≠﹣3，因此图象不经过点（1，﹣3），原说法错误，不符合题意； D、若x1＜0＜x2，则y1＜0＜y2，此时y1＜y2，所以y1＞y2不一定成立，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 4.【解答】解：由二次函数的图象开口向下可知a＜0， 对称轴在y轴左侧，由左同右异得b＜0， 函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， ∴c＞0， 则反比例函数的图象位于一、三象限， 一次函数y＝ax+b的图象位于二、三、四象限， 所以选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意； 故选：D． 二．填空题（共2小题） 1．【解答】解：过A作AC⊥x轴， ∵∠AOB＝30°， ∴， ∵OA＝6， ∴AC＝3， 在Rt△ACO中， OC2＝AO2﹣AC2， ∴， ∴A点坐标是：（3，3）， 设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为． 2.解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△OAB的两个锐角对应的外角平分线相交于点P， ∴PE＝PC，PD＝PC， ∴PE＝PC＝PD， 设P（t，t），则PC＝t， ∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD， ∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t， 解得t＝6， ∴P（6，6）， 把P（6，6）代入y＝得：k＝6×6＝36． 故答案为：36． 3.【解答】解：如图， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 又∵S△AOB＝5， ∴S△BOC＝5﹣1＝4， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴，而k＜0， ∴k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 4.【解答】解：∵在每一个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴反比例函数经过第二、四象限， ∵反比例函数的图象经过点P（4，m）， ∴P在第四象限， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 5．【解答】解：分别过P1、P2、P3作x轴的垂线，垂足为H1、H2、H3， 则△OP1H1，△A1P2H2，△A2P3H3为等腰直角三角形， 设OH1＝P1H1＝a，则a2＝4， 解得a＝2（舍去负值）， 即P1的横坐标为2， 设A1H2＝P2H2＝b，则（4+b）b＝4， 解得b＝2（﹣1）（舍去负值）， 即P2的横坐标为4+b＝2（1）， 设A2H3＝P3H3＝c，则（2a+2b+c）c＝4， 即（4c）c＝4， 解得c＝2（）（舍去负值）， 即P3的横坐标为2a+2b+c＝2（）， …P2011的横坐标为2（）． 故答案为：2（）． 三．解答题（共3小题） 6．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I， ∵R＝3Ω时，I＝8A ∴8， 解得k＝3×8＝24， ∴I（R＞0）； （2）列表如下： R/Ω … 3 4 5 6 8 9 10 12 … I/A … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … （3）∵I≤10，I， ∴I≤10， ∴R≥2.4， 即用电器可变电阻应控制在不低于2.4欧的范围内． 7．【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点（x，y）在第一象限， 故答案为：一； （2）如图， 的图象可以看成是由y＝﹣x的图象向上平移个单位长度得到． 故答案为：； （3）①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，如图， 从图象可以看出，公共点的坐标为（2，2）， 把点（2，2）代入y＝﹣x得： ， 解得：m＝8， 故答案为：（2，2），8； ②由①并结合图象知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8； （4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有 ，， ∴，即2x2﹣mx+18＝0， 两个函数有交点时，Δ＝m2﹣4×2×18≥0， 解得，m≥12或m≤﹣12（不符合题意，舍去）， ∴m≥12， 故答案为：m≥12． 6．【解答】解：（1）∵直线y＝2x经过点A（m，﹣2）， ∴﹣2＝2m， 解得：m＝﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， 把点A（﹣1，﹣2）代入y得：k＝2， ∴y， 联立得， 解得：，， ∴B（1，2）； （2）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于G， 则BE∥CF，BE＝2， ∴△DCF∽△DBE， ∴， ∵BC＝3CD， ∴BD＝4CD， 设C（c，），则CF， ∴， 解得：c＝4， ∴C（4，）， ∴BC， ∵B′，B关于y轴对称， ∴B′（﹣1，2），且BG＝B′G， ∴B′C， ∵△GBC周长＝BG+GC+BC＝B′G+GC+BC≥B′C+BC， ∴△GBC周长的最小值为； （3）设P（0，t），又A（﹣1，﹣2），B（1，2）， ∴AP2＝（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+5， BP2＝（1﹣0）2+（2﹣t）2＝t2﹣4t+5， AB2＝（﹣1﹣1）2+（﹣2﹣2）2＝20， 当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2， ∴20+t2﹣4t+5＝t2+4t+5， 解得：t， ∴P（0，）； 当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2， ∴20+t2+4t+5＝t2﹣4t+5， 解得：t， ∴P（0，）； 当∠APB＝90°时，AP2+BP2＝AB2， ∴t2+4t+5+t2﹣4t+5＝20， 解得：t＝±， ∴P（0，）或（0，）； 综上所述，y轴上存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形是直角三角形，符合条件的点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，）或（0，）．声明：试题解析著作权属菁 学科网（北京）股份有限公司 $