期中复习专题一 （ 整式加减及乘除 ） 讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册

期中复习专题一 整式加减及乘除 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式、多项式、整式的概念，掌握系数与次数 · 熟练进行整式的加减运算，掌握合并同类项法则 · 掌握幂的运算法则：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方 · 熟练进行整式乘法运算，掌握平方差公式和完全平方公式 · 能进行整式混合运算并化简求值 📚 知识梳理 ☆ 1.整式的概念 单项式：数与字母的积，系数是数字因数，次数是所有字母指数和 多项式：几个单项式的和，次数是最高次项的次数 整式：单项式和多项式统称整式 同类项：所含字母相同且相同字母指数也相同 概念辨析例题：单项式-3πx2y的系数和次数分别是多少？ 解析：系数是-3π（π是常数），次数是2+1=3 ☆ 2.整式的加减 合并同类项：系数相加减，字母和字母指数不变 去括号法则：括号前是+号不变号，是-号全变号 整式加减步骤：去括号→合并同类项 化简求值：先化简再代入数值计算 概念辨析例题：化简：3(x2-2xy)-2(-3xy+y2)。 解析：去括号：3x2-6xy+6xy-2y2=3x2-2y2 ☆ 3.幂的运算与整式乘法 同底数幂相乘：am·an=am+n 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=an bn 同底数幂相除：am÷an=am-n(a≠0) 单项式乘单项式：系数相乘，同字母幂相乘；多项式乘多项式：逐项相乘再相加 概念辨析例题：计算：(-2a2b)3·(3ab2)。 解析：=-8a6b3·3ab2=-24a7b5 ☆ 4.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：用简便方法计算：102×98。 解析：=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996 📋 知识总结表 运算法则 公式 注意 同底数幂乘法 am·an=am+n 底数不变指数加 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变指数乘 积的乘方 (ab)n=an bn 每个因式分别乘方 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 相同项平方减相反项平方 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式的概念（第1-7题） · 识别单项式多项式 · 系数与次数 · 同类项判断 1．（2026秋•浦东新区校级月考）下列说法错误的是（　　） A．0和π是单项式 B．﹣x2y的系数是﹣1，次数是3 C．a＞0和a+b＝0都是代数式 D．和都是整式 2．（2025•静安区二模）单项式的系数是（　　） A． B．4 C． D．﹣1 3．（2026春•上海校级月考）下列说法正确的是（　　） A．单项式的系数是﹣3 B．单项式的次数是6 C．单项式xy的系数是1，次数是1 D．xy2+x2﹣1是三次三项式 4．（2026秋•浦东新区校级月考）代数式的三次项是____________________ ． 5．（2025秋•金山区校级期末）把整式3x3y+xy2﹣x5﹣6y3按字母x的升幂排列是____________________ ． 6．（2026•上海校级模拟）如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则p的值为_____ ． 7．（2025秋•虹口区期末）某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，评选小组收到一份评选方案，方案考虑了①书籍的数量A，②书籍的总页数B，③书籍的类别数C，共3个指标因素，建立的“阅读之星”得分公式为：10A+0.1B+5C．假设小海共读了6本书，6本书的总页数为750页，所读书籍的类别数为2，那么小海的得分为：10A+0.1B+5C＝10×6+0.1×750+5×2＝145．有人建议将“读书报告评分”也作为评选的指标因素，读书报告评分满分为10分．那么新评选方案需考虑如下4个指标因素：①书籍的数量A，②书籍的总页数B，③书籍的类别数C，④读书报告评分D，建立的“阅读之星”得分公式为pA+qB+rC+sD，其中p、q、r、s为各项指标因素的系数．表1为新评选方案中各指标因素的系数． 表1 指标因素 系数 书籍的数量A 5 书籍的总页数B 0.1 书籍的类别数C 3 读书报告评分D 10 （1）请根据表1，建立新评选方案“阅读之星”的得分公式____________________ （2）已知欢欢和乐乐的各项阅读指标如下： 书籍的数量A 书籍的总页数B 书籍的类别数C 读书报告评分D 欢欢 6 750 3 9 乐乐 4 800 1 6 请根据新评选方案“阅读之星”的得分公式，分别计算欢欢和乐乐的得分． 【考点2】整式的加减（第8-20题） · 合并同类项 · 去括号法则 · 化简求值 8．（2026秋•杨浦区校级月考）若A和B都是关于x的三次多项式，则A+B是（　　） A．三次多项式 B．二次多项式 C．次数不低于三次的多项式 D．次数不高于三次的多项式或零 9．（2024秋•嘉定区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n） 10．（2025秋•浦东新区校级期末）如果整式A与整式B的和为一个数值m，我们称A，B为数m的“伙伴整式”，例如：x﹣4和﹣x+6为数2的“伙伴整式”；2ab+4和﹣2ab+4为数8的“伙伴整式”．若关于x的整式4x2﹣kx+6与﹣4x2﹣3x+k﹣1为数n的“伙伴整式”，则n的值为 _____ ． 11．（2025秋•宝山区校级期中）一个多项式M减去多项式﹣2x2+5x﹣3，小马虎却误解为先加上这个多项式，结果得x2+3x+7，则正确的结果是 ______________ ． 12．（2025秋•宝山区校级月考）定义一种运算：a※b＝3a+2b．则（x+y）※（x﹣y）化简后的结果是_________ ． 13．（2025秋•普陀区校级月考）已知两个完全相同的大长方形，按照如图所示的两种方式分别放入四个完全相同的小长方形，若大长方形的长为x，则图2与图1阴影部分周长之差为_________ ．（用含x的代数式表示） 14．（2025秋•浦东新区校级期末）化简： （1）3（2x﹣5y）﹣4（3x+y）； （2）． 15．（2025秋•普陀区校级期末）求一次式减去一次式的差，并求当x＝2，时该差的值． 16．（2025秋•奉贤区期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3． 【应用】若关于x的二次三项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝________ ； （2）若A＝2k（x2+x）+x2+5，经过处理器得到结果B＝5x+5，求k的值； 【延伸】 （3）已知M＝（m+2）x2﹣（1+2m）x+5，M是关于x的二次三项式，若N是M经过处理器得到的一次式，且关于x的方程N＝4x﹣3的解为正整数，求整数m的值． 17．（2026秋•虹口区月考）定义，如．已知，（n为常数）． （1）若B＝16，求x的值； （2）若A的代数式中不含x的二次项，求n的值，并求当x＝1时，A+B的值． 18．（2025秋•浦东新区校级期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） （1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ （2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） （3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 19．（2025秋•青浦区校级期中）我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们也可以将（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）． 整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： （1）把（p+q）3看成一个整体，求3（p+q）3﹣7（p+q）3+2（p+q）3合并的结果； （2）已知，求12x+2y﹣8的值； （3）已知x﹣3z＝4，z﹣y＝﹣1，2y+w＝9，求x+y﹣2z+w的值． 20．（2024秋•静安区单元）若2m+n＝﹣3，4m2﹣n2＝24，则2m﹣n﹣3＝ ________ ． 【考点3】幂的运算与整式乘法（第21-36题） · 幂的四个运算法则 · 单项式乘除 · 多项式乘多项式 21．（2025秋•闵行区期末）设2m＝3，2n＝4，2p＝12下列m，n，p三者之间的关系式正确的是（　　） A．m+n＝p B．m+p＝2n C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2n 22．（2026•崇明区二模）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2•2a3＝2a6 B．a2+2a3＝3a5 C．（a2）3＝a5 D． 23．（2025秋•普陀区校级期中）如果（﹣am）n＝amn成立，则（　　） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 24．（2024秋•虹口区校级月考）已知25x＝2000，80y＝2000，则x+y﹣xy+2的值为（　　） A．1 B．2 C．2000 D．20002 25．（2026秋•杨浦区校级月考）如果（ax+1by）•（ay﹣3•b5﹣x）＝a2b3，那么xy＝_____ ． 26．（2026秋•黄浦区月考）若A为单项式，且（x+2）（A﹣3y）＝x2y﹣xy﹣6y，则A＝_______ ． 27．（2026秋•杨浦区校级月考）已知（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3项，则2m+3n＝_______ ． 28．（2024秋•上海校级期中）已知2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值是 _____ ． 29．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是__________________ ． 30．（2026春•西夏区期末）若xm＝3，xn＝5，则x2m+n的值为_______ ． 31．（2025秋•浦东新区校级期末）若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为_______ ． 32．（2025春•沈河区期末）先化简，再求值：，其中x＝3，． 33．（2024秋•普陀区校级月考）请阅读材料，并解决问题，如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝_____ ，d（10﹣2）＝_______ ； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），； （2）根据运算性质，填空：_____ ．（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，分别计算d（4），d（5）． 34．（2025秋•浦东新区期中）如图所示，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有a、b的式子表示绿化的面积S； （2）若a＝2，b＝4，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 35．（2025秋•上海期中）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别是a、b；M、N分别是边EF、FG上的点，FM＝m，FN＝n． （1）若b﹣a＝4，请用m、n表示出三角形MCN的面积； （2）若四边形CMFN面积是阴影部分的一半，以FN、FM为边长向外作正方形，面积分别为S1、S2．已知a+b＝10，S1+S2＝64，求三角形MFN面积． 36．（2025秋•闵行区期中）（1）已知2m＝3，2n＝5，求23m+2n值； （2）已知2x﹣5y﹣4＝0，x、y为正整数，求4x÷32y值． 【考点4】乘法公式与化简求值（第37-54题） · 平方差公式 · 完全平方公式 · 公式逆用 · 混合运算 37．（2026秋•杨浦区校级月考）已知a，b，c均为正数，M＝（a+b）（b+c），N＝b（a+b+c），那么（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定大小 38．（2026秋•虹口区月考）下列图形中，不能借助图形面积验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2正确性的是（　　） A． B． C． D． 39．（2026春•青浦区校级期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2+y2） C．（a﹣c）（c+a） D．（﹣x+y）（x﹣y） 40．（2026秋•浦东新区校级月考）若，则A的值是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 41．（2025秋•闵行区校级期中）已知（x﹣2025）2﹣16＝36﹣（2027﹣x）2，则（x﹣2026）2的值是（　　） A．24 B．25 C．26 D．27 42．（2025秋•闵行区校级月考）下列各式中，计算结果不正确的是（　　） A．（﹣3a+2b）（3a+2b）＝4b2﹣9a2 B．（1﹣m）（﹣m﹣1）＝m2﹣1 C．（3x﹣4y2）（﹣4y2﹣3x）＝16y4﹣9x2 D．（5a+2bc）（﹣5a﹣2bc）＝25a2﹣4b2c2 43．（2024秋•静安区单元）已知（m2+m+2）2＝1234321，则（m2+m+1）（m2+m+3）＝____________ ． 44．（2024秋•嘉定区校级月考）a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202，则a、b、c的大小关系为 __________ （用“＜”连接）． 45．（2024秋•普陀区校级月考）比较大小：已知a＝2017×2018﹣1，b＝20172﹣2017×2018+20182，那么a _____ b（在横线上填“＞”或“＜”或“＝”）． 46．（2026秋•杨浦区校级月考）计算： （1）（2x+3）（5x2﹣x+2）﹣（x﹣3）（4x+1）； （2）（2a﹣3b+c）2． 47．（2026秋•浦东新区校级月考）已知x+y＝5，xy＝4，x＞y，求x2+y2和x﹣y的值． 48．（2026秋•浦东新区校级月考）【阅读观察】 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳猜想】 （1）由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝____________________ ； 【问题解决】 请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算22026+22025+22024+…+22+2+1的值； （3）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2027的值； 【迁移拓展】 （4）比较与的大小． 49．（2025秋•黄浦区校级期末）计算：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y）． 50．（2025秋•浦东新区期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小． 解：设6788＝a， 那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a． 因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028，试比较x，y的大小． 51．（2024秋•普陀区期中）阅读理解． 已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值． 解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6． 整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6． 2（a﹣13）2+2＝6 得（a﹣13）2＝2． 请仿照上述方法，完成下列问题： （1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值． （2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值． 52．（2025秋•金山区校级期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则： （1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0． （2）取x＝1时，可得到a4+a3+a2+a1+a0＝6． （3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0． 请类比上例，解决下面的问题． 已知：，求： （1）a0的值； （2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值； （3）a6+a4+a2的值． 53．（2025秋•闵行区校级期中）阅读下列材料：计算：（2+1）×（22+1）×（24+1） 解：原式：＝（2﹣1）×（2+1）×（22+1）×（24+1） ＝[（2﹣1）×（2+1）]×（22+1）×（24+1） ＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1） ＝（24﹣1）×（24+1） ＝28﹣1 ＝255． 运用上述方法计算：． 54．（2025秋•松江区期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如图： （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． （2）小明想用类似方法解释整式乘法（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，那么需用1号卡片x张2号卡片y张，3号卡片z张，那么x+y+z＝_______ ． （3）如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片_____ 张． 复习建议 · 单项式系数要包含前面的符号，π是常数不是字母 · 去括号时括号前是负号，括号内每一项都要变号 · 幂的运算注意区分指数加法和乘法：同底数幂乘是加，幂的乘方是乘 · 乘法公式要记清结构：平方差是两数和乘两数差，完全平方有中间项2ab · 化简求值先化简再代入，代入负数要加括号 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题一 整式加减及乘除 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式、多项式、整式的概念，掌握系数与次数 · 熟练进行整式的加减运算，掌握合并同类项法则 · 掌握幂的运算法则：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方 · 熟练进行整式乘法运算，掌握平方差公式和完全平方公式 · 能进行整式混合运算并化简求值 📚 知识梳理 ☆ 1.整式的概念 单项式：数与字母的积，系数是数字因数，次数是所有字母指数和 多项式：几个单项式的和，次数是最高次项的次数 整式：单项式和多项式统称整式 同类项：所含字母相同且相同字母指数也相同 概念辨析例题：单项式-3πx2y的系数和次数分别是多少？ 解析：系数是-3π（π是常数），次数是2+1=3 ☆ 2.整式的加减 合并同类项：系数相加减，字母和字母指数不变 去括号法则：括号前是+号不变号，是-号全变号 整式加减步骤：去括号→合并同类项 化简求值：先化简再代入数值计算 概念辨析例题：化简：3(x2-2xy)-2(-3xy+y2)。 解析：去括号：3x2-6xy+6xy-2y2=3x2-2y2 ☆ 3.幂的运算与整式乘法 同底数幂相乘：am·an=am+n 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=an bn 同底数幂相除：am÷an=am-n(a≠0) 单项式乘单项式：系数相乘，同字母幂相乘；多项式乘多项式：逐项相乘再相加 概念辨析例题：计算：(-2a2b)3·(3ab2)。 解析：=-8a6b3·3ab2=-24a7b5 ☆ 4.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：用简便方法计算：102×98。 解析：=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996 📋 知识总结表 运算法则 公式 注意 同底数幂乘法 am·an=am+n 底数不变指数加 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变指数乘 积的乘方 (ab)n=an bn 每个因式分别乘方 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 相同项平方减相反项平方 ⚠️ 核心考点 【考点1】整式的概念（第1-7题） · 识别单项式多项式 · 系数与次数 · 同类项判断 1．（2026秋•浦东新区校级月考）下列说法错误的是（　　） A．0和π是单项式 B．﹣x2y的系数是﹣1，次数是3 C．a＞0和a+b＝0都是代数式 D．和都是整式 【考点】多项式；整式；单项式．版权所有 【分析】根据单项式及相关定义、整式的定义等知识点逐个判断得结论． 【解答】解：单独的一个数、字母都是单项式，故选项A正确； ﹣x2y的系数是﹣1，次数是3，故选项B说法正确； a＞0和a+b＝0分别是不等式、等式，都不是代数式，故选项C说法错误； 和都是整式，故选项D说法正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了整式，掌握整式、单项式的定义及单项式的次数、系数等知识点是解决本题的关键． 2．（2025•静安区二模）单项式的系数是（　　） A． B．4 C． D．﹣1 【考点】单项式．版权所有 【分析】根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式系数的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键． 3．（2026春•上海校级月考）下列说法正确的是（　　） A．单项式的系数是﹣3 B．单项式的次数是6 C．单项式xy的系数是1，次数是1 D．xy2+x2﹣1是三次三项式 【考点】多项式；单项式．版权所有 【分析】根据多项式与单项式的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、单项式的系数是，故A不符合题意； B、单项式的次数是4，故B不符合题意； C、单项式xy的系数是1，次数是2，故C不符合题意； D、xy2+x2﹣1是三次三项式，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式与单项式的意义是解题的关键． 4．（2026秋•浦东新区校级月考）代数式的三次项是　　 ． 【考点】多项式．版权所有 【分析】根据三次项的定义可得结论． 【解答】解：原代数式可变形为y4xy3． 其中是三次项． 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的次数和项等知识点是解决本题的关键． 5．（2025秋•金山区校级期末）把整式3x3y+xy2﹣x5﹣6y3按字母x的升幂排列是　﹣6y3+xy2+3x3y﹣x5 ． 【考点】多项式．版权所有 【分析】先分清各项，再根据多项式升幂排列的定义解答． 【解答】解：3x3y+xy2﹣x5﹣6y3按字母x的升幂排列：﹣6y3+xy2+3x3y﹣x5． 故答案为：﹣6y3+xy2+3x3y﹣x5． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 6．（2026•上海校级模拟）如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则p的值为　5　 ． 【考点】单项式．版权所有 【分析】将代数式化为2a3+（5﹣p）b，根据单项式的概念即可得到答案． 【解答】解：2b+2a3﹣（p﹣3）b＝2a3+（2﹣p+3）b＝2a3+（5﹣p）b， 如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则只可能为2a3，即（5﹣p）b＝0， 故p＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查单项式的概念，熟练掌握单项式的概念是解题的关键． 7．（2025秋•虹口区期末）某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，评选小组收到一份评选方案，方案考虑了①书籍的数量A，②书籍的总页数B，③书籍的类别数C，共3个指标因素，建立的“阅读之星”得分公式为：10A+0.1B+5C．假设小海共读了6本书，6本书的总页数为750页，所读书籍的类别数为2，那么小海的得分为：10A+0.1B+5C＝10×6+0.1×750+5×2＝145．有人建议将“读书报告评分”也作为评选的指标因素，读书报告评分满分为10分．那么新评选方案需考虑如下4个指标因素：①书籍的数量A，②书籍的总页数B，③书籍的类别数C，④读书报告评分D，建立的“阅读之星”得分公式为pA+qB+rC+sD，其中p、q、r、s为各项指标因素的系数．表1为新评选方案中各指标因素的系数． 表1 指标因素 系数 书籍的数量A 5 书籍的总页数B 0.1 书籍的类别数C 3 读书报告评分D 10 （1）请根据表1，建立新评选方案“阅读之星”的得分公式　5A+0.1B+3C+10D；　 （2）已知欢欢和乐乐的各项阅读指标如下： 书籍的数量A 书籍的总页数B 书籍的类别数C 读书报告评分D 欢欢 6 750 3 9 乐乐 4 800 1 6 请根据新评选方案“阅读之星”的得分公式，分别计算欢欢和乐乐的得分． 【考点】多项式；有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）根据题目条件，读懂题目信息，把各系数代入整式即可； （2）根据（1）中的公式，分别代入欢欢和乐乐A、B、C、D的值计算即可． 【解答】解：（1）∵建立的“阅读之星”得分公式为pA+qB+rC+sD，p＝5、q＝0.1、r＝3、s＝10， ∴新评选方案“阅读之星”的得分公式为5A+0.1B+3C+10D， 故答案为：5A+0.1B+3C+10D； （2）欢欢的得分为5×6+0.1×750+3×3+10×9＝204， 乐乐的得分为5×4+0.1×800+3×1+10×6＝163． 答：欢欢得分204，乐乐得分163． 【点评】本题考查了整式的相关概念，比如系数及求整式的值，理解题意是解题的关键． 【考点2】整式的加减（第8-20题） · 合并同类项 · 去括号法则 · 化简求值 8．（2026秋•杨浦区校级月考）若A和B都是关于x的三次多项式，则A+B是（　　） A．三次多项式 B．二次多项式 C．次数不低于三次的多项式 D．次数不高于三次的多项式或零 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】根据整式的加减运算法则以及合并同类项法则即可求出答案． 【解答】解：∵A和B都是关于x的三次多项式， ∴A+B合并后，最高次项的次数不超过3次． 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是正确理解合并同类项法则，本题属于基础题型． 9．（2024秋•嘉定区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n） 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】设小长方形卡片的长为a，宽为b，结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）， L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b）， ∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影 ＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b） ＝4m+4n﹣4（a+2b）， 又∵a+2b＝m， ∴4m+4n﹣4（a+2b） ＝4n． 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）如果整式A与整式B的和为一个数值m，我们称A，B为数m的“伙伴整式”，例如：x﹣4和﹣x+6为数2的“伙伴整式”；2ab+4和﹣2ab+4为数8的“伙伴整式”．若关于x的整式4x2﹣kx+6与﹣4x2﹣3x+k﹣1为数n的“伙伴整式”，则n的值为 　2　 ． 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】根据“友好整式”的定义，整式4x2﹣kx+6与﹣4x2﹣3x+k﹣1相加二次项和一次项系数为0，即可算出k的值，即可算出n的值． 【解答】解：根据题意可得， 4x2﹣kx+6﹣4x2﹣3x+k﹣1＝﹣（k+3）x+5+k， 因为k+3＝0， 所以k＝﹣3， 则5+k＝2， 所以n＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查代数式求值，读懂题目的所给的概念是解决本题的关键． 11．（2025秋•宝山区校级期中）一个多项式M减去多项式﹣2x2+5x﹣3，小马虎却误解为先加上这个多项式，结果得x2+3x+7，则正确的结果是 　5x2﹣7x+13　 ． 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】根据题意，求出M＝x2+3x+7﹣（﹣2x2+5x﹣3）＝3x2﹣2x+10，正确的算式是3x2﹣2x+10﹣（﹣2x2+5x﹣3），去括号、移项、合并同类项即可． 【解答】解：M＝x2+3x+7﹣（﹣2x2+5x﹣3） ＝x2+3x+7+2x2﹣5x+3 ＝3x2﹣2x+10， 3x2﹣2x+10﹣（﹣2x2+5x﹣3） ＝3x2﹣2x+10+2x2﹣5x+3 ＝5x2﹣7x+13． 故答案为：5x2﹣7x+13． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出M． 12．（2025秋•宝山区校级月考）定义一种运算：a※b＝3a+2b．则（x+y）※（x﹣y）化简后的结果是　5x+y ． 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】根据新运算a※b＝3a+2b，直接化简（x+y）※（x﹣y）即可． 【解答】解：由题意可得：原式＝3（x+y）+2（x﹣y） ＝3x+3y+2x﹣2y ＝5x+y． 故答案为：5x+y． 【点评】本题考查了新运算及整式的加减运算，理解新运算的定义是解决问题的关键． 13．（2025秋•普陀区校级月考）已知两个完全相同的大长方形，按照如图所示的两种方式分别放入四个完全相同的小长方形，若大长方形的长为x，则图2与图1阴影部分周长之差为　0.5x ．（用含x的代数式表示） 【考点】整式的加减；列代数式．版权所有 【分析】设小长方形的宽为m，则长为2m，则x＝4m，然后根据题意分别表示出图1，图2中的阴影部分的周长，将它们作差并计算即可． 【解答】解：设小长方形的宽为m，则长为（x﹣2m）， 则图1阴影部分周长为2x+2m，图2阴影部分周长为2×3m+2×2m+2m＝12m， 那么12m﹣（2x+2m） ＝12m﹣2x﹣2m ＝10m﹣2x ＝2.5x﹣2x ＝0.5x， 故答案为：0.5x． 【点评】本题考查整式的加减，列代数式，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 14．（2025秋•浦东新区校级期末）化简： （1）3（2x﹣5y）﹣4（3x+y）； （2）． 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】（1）先使用分配律去括号再合并即可； （2）先去括号，再通分计算即可． 【解答】解：（1）原式＝6x﹣15y﹣12x﹣4y ＝（6x﹣12x）+（﹣15y﹣4y） ＝﹣6x﹣19y； （2）原式 ． 【点评】本题考查了整式的加减运算，解决本题的关键是先去括号，再合并同类项并正确计算． 15．（2025秋•普陀区校级期末）求一次式减去一次式的差，并求当x＝2，时该差的值． 【考点】整式的加减．版权所有 【分析】根据题意，表示出两个一次式的差，再代值即可． 【解答】解：（）﹣（） x﹣y x﹣3y， 当x＝2，时， 原式2﹣3×（） ． 【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． 16．（2025秋•奉贤区期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3． 【应用】若关于x的二次三项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝x+5　 ； （2）若A＝2k（x2+x）+x2+5，经过处理器得到结果B＝5x+5，求k的值； 【延伸】 （3）已知M＝（m+2）x2﹣（1+2m）x+5，M是关于x的二次三项式，若N是M经过处理器得到的一次式，且关于x的方程N＝4x﹣3的解为正整数，求整数m的值． 【考点】整式的加减；多项式．版权所有 【分析】（1）根据题意进行计算即可求解； （2）由B＝5x+5，根据运算法则列方程即可求解； （3）根据题意得N＝（1﹣m）x+5，又N＝4x﹣3，得出，进而即可求解． 【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣2x+5， ∴二次三项式A＝3x2﹣2x+5的二次项系数是3，一次项系数是﹣2，常数项是5， ∴一次式的一次项系数＝二次项系数+一次项系数＝3+（﹣2）＝1，常数项为5， ∴B＝x+5； 故答案为：x+5； （2）∵A＝2k（x2+x）+x2+5 ＝2kx2+2kx+x2+5 ＝（2k+1）x2+2kx+5， ∴B＝（2k+1+2k）x+5＝（4k+1）x+5， 又∵B＝5x+5， ∴4k+1＝5， 解得：k＝1； （3）M＝（m+2）x2﹣（1+2m）x+5，M是关于x的二次三项式， ∵M＝（m+2）x2﹣（1+2m）x+5，且N是M经过处理器得到的一次式， ∴N＝（1﹣m）x+5， 又∵N＝4x﹣3， ∴（1﹣m）x+5＝4x﹣3， 整理得（m+3）x＝8， 由题意可得： ∴m+2≠0，即m≠﹣2， 又∵1﹣m≠0， ∴m≠1， 又∵方程（m+3）x＝8的解为， ∵x是正整数，且m是整数， ∴m+3＝1，2，4，8， 解得m＝﹣2，﹣1，1，5， 又∵m≠﹣2，m≠1， ∴m＝﹣1或5． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 17．（2026秋•虹口区月考）定义，如．已知，（n为常数）． （1）若B＝16，求x的值； （2）若A的代数式中不含x的二次项，求n的值，并求当x＝1时，A+B的值． 【考点】合并同类项；多项式；有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）根据定义可得（x+2）2﹣（x﹣2）2＝16，求出x的值即可； （2）先求A＝（6﹣n）x2+9x+2，再由题意可得n＝6；再求A+B的值即可． 【解答】解：（1）∵16， ∴（x+2）2﹣（x﹣2）2＝16， 解得x＝2； （2）∵（3x+1）（2x+2）﹣x（nx﹣1）＝（6﹣n）x2+9x+2， ∴6﹣n＝0， 解得n＝6， ∴A＝9x+2， ∵B＝（x+2）2﹣（x﹣2）2＝8x， ∴A+B＝17x+2， 当x＝1时，A+B＝19． 【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减法运算法则，平方差公式和完全平方公式，弄懂定义是解题的关键． 18．（2025秋•浦东新区校级期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） （1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ （2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） （3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【考点】整式的加减；列代数式；代数式求值．版权所有 【分析】（1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据0＜a≤15或a＞15分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【解答】解：（1）依题意：20×2+20×0.5+（20﹣15）×1＝55（元）， 答：需付车费55元； （2）根据计费规则，当0＜a≤15时，小明应付车费：2a+0.5b（元）； 当a＞15时，小明应付车费：2a+0.5b+（a﹣15）×1＝3a+0.5b﹣15（元）； 综上，当0＜a≤15时，小明付费（2a+0.5b）元；当a＞15时，小明付费（3a+0.5b﹣15）元． （3）设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为（x﹣3）公里；小张付费y元，则小王付费（y+6）元， 分两种情况讨论： 当行车里程15公里以内时： 小张行车时长：（y﹣2x）÷0.5＝2y﹣4x（分钟）， 小王行车时长：[y+6﹣2（x﹣3）]÷0.5＝2y﹣4x+24（分钟）， ∴（2y﹣4x+24）﹣（2y﹣4x）＝24（分钟）， ∴行车时长差为24分钟； 当里程超过15公里时： 小张行车时长：[y﹣2x﹣（x﹣15）]÷0.5＝2x﹣6x+30（分钟）， 小王行车时长：[y+6﹣2（x﹣3）﹣（x﹣3﹣15）]÷0.5＝2y﹣6x+60（分钟）， ∴（2y﹣6x+60）﹣（2y+6x+30）＝30（分钟）， ∴行车时长差为30分钟， 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为24分钟或30分钟． 【点评】本题主要考查了整式的加减，列代数式，代数式求值，理解题意、列出代数式是解题的关键． 19．（2025秋•青浦区校级期中）我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们也可以将（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）． 整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： （1）把（p+q）3看成一个整体，求3（p+q）3﹣7（p+q）3+2（p+q）3合并的结果； （2）已知，求12x+2y﹣8的值； （3）已知x﹣3z＝4，z﹣y＝﹣1，2y+w＝9，求x+y﹣2z+w的值． 【考点】整式的加减；代数式求值；合并同类项．版权所有 【分析】（1）根据合并同类项的法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）根据x+y﹣2z+w＝（x﹣3z）+（2y+w）+（z﹣y），利用整体代入法求解即可． 【解答】解：（1）原式＝（3﹣7+2）（p+q）3 ＝﹣2（p+q）3； （2）∵， ∴； （3）∵x﹣3z＝4，z﹣y＝﹣1，2y+w＝9， ∴x+y﹣2z+w ＝（x﹣3z）+（2y+w）+（z﹣y） ＝4+9+（﹣1） ＝12． 【点评】本题主要考查了代数式求值，整式的加减计算，合并同类项，利用整体法求解是解题的关键． 20．（2024秋•静安区单元）若2m+n＝﹣3，4m2﹣n2＝24，则2m﹣n﹣3＝ 　﹣11　 ． 【考点】整式的加减；平方差公式；代数式求值．版权所有 【分析】利用平方差公式求出2m﹣n＝﹣8，即可解决问题． 【解答】解：∵4m2﹣n2＝24，2m+n＝﹣3， ∴（2m+n）（2m﹣n）＝24， ∴﹣3×（2m﹣n）＝24， ∴2m﹣n＝﹣8， ∴2m﹣n﹣3＝﹣8﹣3＝﹣11， 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查了平方差公式、整式的加减以及代数式求值，求出2m﹣n的值是解题的关键． 【考点3】幂的运算与整式乘法（第21-36题） · 幂的四个运算法则 · 单项式乘除 · 多项式乘多项式 21．（2025秋•闵行区期末）设2m＝3，2n＝4，2p＝12下列m，n，p三者之间的关系式正确的是（　　） A．m+n＝p B．m+p＝2n C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2n 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有 【分析】由2n＝4得n＝2，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得m+n＝p，再进一步分析即可． 【解答】解：∵2n＝4＝22， ∴n＝2， ∵2p＝12＝3×4＝2m×2n＝2m+n， ∴p＝m+n，即m+n＝p，A正确，符合题意， B：m+p＝m+（m+n）＝2m+n，但2m≠2，故m+p≠2n，所以B错误，不符合题意， C：n2﹣mp＝4﹣m（m+n）＝4﹣m2﹣2m，不是常数，且不等于2，故C错误，不符合题意， D：p+n＝（m+n）+n＝m+2n，而2n＝4，所以m+2n≠2n，故D错误，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•崇明区二模）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2•2a3＝2a6 B．a2+2a3＝3a5 C．（a2）3＝a5 D． 【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【分析】利用单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a2•2a3＝2a5，则A不符合题意， a2与2a3不是同类项，无法合并，则B不符合题意， （a2）3＝a6，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 23．（2025秋•普陀区校级期中）如果（﹣am）n＝amn成立，则（　　） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【考点】幂的乘方与积的乘方．版权所有 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：∵（﹣am）n＝amn成立， ∴n为偶数． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 24．（2024秋•虹口区校级月考）已知25x＝2000，80y＝2000，则x+y﹣xy+2的值为（　　） A．1 B．2 C．2000 D．20002 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有 【分析】由已知证明25xy＝25x+y可得xy＝x+y，进而求得代数式的值． 【解答】解：∵25x＝2000，80y＝2000，25×80＝2000， ∴2000y＝（25×80）y＝25y×80y＝25y×2000， ∴（25x）y＝25y×2000， ∴25xy＝25y×2000， ∵25x•25y＝25x+y＝2000×25y， ∴25xy＝25x+y， ∴xy＝x+y， ∴x+y﹣xy+2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25．（2026秋•杨浦区校级月考）如果（ax+1by）•（ay﹣3•b5﹣x）＝a2b3，那么xy＝　3　 ． 【考点】单项式乘单项式．版权所有 【分析】先根据单项式的乘法法则化简等式左边，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等，列出二元一次方程组，求解得到x和y的值后计算乘积． 【解答】解：∵（ax+1by）•（ay﹣3•b5﹣x）＝a2b3， ∴ax+y﹣2b﹣x+y+5＝a2b3， ∴， 解得， ∴xy＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2026秋•黄浦区月考）若A为单项式，且（x+2）（A﹣3y）＝x2y﹣xy﹣6y，则A＝xy ． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列式计算即可． 【解答】解：（x+2）（A﹣3y） ＝Ax﹣3xy+2A﹣6y ＝x2y﹣xy﹣6y 由题意得，Ax＝x2y，﹣3xy+2A＝﹣xy， 则A＝xy， 故答案为：xy． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 27．（2026秋•杨浦区校级月考）已知（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3项，则2m+3n＝　21　 ． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项和x3项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）＝x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n+3）x2+（mn﹣9）x+3m不含x2项和x3项， ∴n﹣3＝0且m﹣3n+3＝0， 解得m＝6，n＝3， ∴2m+3n＝2×6+3×3＝21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 28．（2024秋•上海校级期中）已知2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值是 　8　 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有 【分析】由条件可得2x+5y＝3，把4x•32y化为22x+5y，再代入计算即可． 【解答】解：根据题意可知，2x+5y＝3， ∴原式＝22x•25y ＝22x+5y ＝23 ＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 29．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　　 ． 【考点】单项式乘多项式．版权所有 【分析】先计算单项式乘多项式，再逆用积的乘方将各项化为（ab2）n的形式，进而根据计算即可． 【解答】解：原式＝a3b6﹣a2b4﹣ab2 ＝（ab2）3﹣（ab2）2﹣ab2 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方的逆用．熟练掌握以上知识点是关键． 30．（2026春•西夏区期末）若xm＝3，xn＝5，则x2m+n的值为　45　 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵xm＝3，xn＝5， ∴x2m+n＝（xm）2×xn＝9×5＝45． 故答案为：45． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 31．（2025秋•浦东新区校级期末）若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　﹣3　 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方．版权所有 【分析】将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【解答】解：将等式两边的底数化为相同的数可得： ，4＝22， ∴（2﹣1）m＝（22）n，即2﹣m＝22n， ∴﹣m＝2n，即m＝﹣2n； ∴（33）n＝3m+5，即33n＝3m+5， ∴3n＝m+5； 解，得， 则m﹣n＝﹣2﹣1＝﹣3； 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数． 32．（2025春•沈河区期末）先化简，再求值：，其中x＝3，． 【考点】整式的除法．版权所有 【分析】根据整式的除法的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝4（x﹣y）2﹣4（x2+y2） ＝4（x2﹣2xy+y2）﹣4（x2+y2） ＝﹣8xy， 当x＝3，时， ﹣8xy． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 33．（2024秋•普陀区校级月考）请阅读材料，并解决问题，如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝　1　 ，d（10﹣2）＝　﹣2　 ； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），； （2）根据运算性质，填空：　3　 ．（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，分别计算d（4），d（5）． 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【分析】（1）根据新定义将d（10），d（10﹣2）转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将d（a3）用d（a）表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据d（4）＝d（2×2），代入求解即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知10b＝10， ∴b＝1 ∴d（10）＝1， ∵10b＝10﹣2， ∴b＝﹣2， d（10﹣2）＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； （2）∵d（mn）＝d（m）+d（n）， ∴d（a3）＝d（a）+d（a）+d（a）＝3d（a）， ∴， 故答案为：3； （3）∵d（mn）＝d（m）+d（n），d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝d（2×2）＝0.3010+0.3010＝0.6020， ∵，d（2）＝0.3010， ∴． 【点评】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： 34．（2025秋•浦东新区期中）如图所示，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有a、b的式子表示绿化的面积S； （2）若a＝2，b＝4，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【分析】（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可． 【解答】解：（1）S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）＝（3a2+11ab+6b2）（平方米）， ∴绿化的面积S为（3a2+11ab+6b2）平方米； （2）S＝3×22+11×2×4+6×42＝12+88+96＝196（平方米）， ∴此时绿化的面积为196平方米． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 35．（2025秋•上海期中）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别是a、b；M、N分别是边EF、FG上的点，FM＝m，FN＝n． （1）若b﹣a＝4，请用m、n表示出三角形MCN的面积； （2）若四边形CMFN面积是阴影部分的一半，以FN、FM为边长向外作正方形，面积分别为S1、S2．已知a+b＝10，S1+S2＝64，求三角形MFN面积． 【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；列代数式．版权所有 【分析】（1）由题意可得：GN＝b﹣n，ME＝b﹣m，CD＝BE＝a﹣b，DC＝BC＝a，再由S△MCN＝S正方形AEFG﹣S正方形AEBCD﹣S梯形BCME﹣S梯形DCNG﹣S△FNM列代数式，然后整理即可解答； （2）由题意可得，，再根据四边形CMFN面积是阴影部分的一半可得m+n＝a+b＝10；由S1+S2＝64可得m2+n2＝64，再结合完全平方公式可得mn＝18，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：（1）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别是a、b；M、N分别是边EF、FG上的点，FM＝m，FN＝n． 由题意可得：GN＝b﹣n，ME＝b﹣m，CD＝BE＝a﹣b，DC＝BC＝a ∵S△MCN＝S正方形AEFG﹣S正方形AEBCD﹣S梯形BCME﹣S梯形DCNG﹣S△FNM， ∴ ． （2）， S四边形CMFN＝S正方形AEFG﹣S正方形AEBCD﹣S梯形BCME﹣S梯形DCNG ， 由题意可得： ∴，即， ∴m+n＝a+b＝10， ∵S1+S2＝64， ∴m2+n2＝64， ∴（m+n）2﹣2mn＝64，即100﹣2mn＝64，解得：mn＝18， ∴三角形MFN面积． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式、列代数式、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 36．（2025秋•闵行区期中）（1）已知2m＝3，2n＝5，求23m+2n值； （2）已知2x﹣5y﹣4＝0，x、y为正整数，求4x÷32y值． 【考点】幂的乘方与积的乘方．版权所有 【分析】（1）23m+2n＝（2m）3×（2n）2，再代入求值即可； （2）4x÷32y＝（22）x÷（25）y＝22x÷25y＝22x﹣5y，再代入求值即可． 【解答】解：（1）23m+2n＝（2m）3×（2n）2， ∵2m＝3，2n＝5， ∴（2m）3×（2n）2＝33×52＝675， ∴23m+2n的值为675； （2）4x÷32y ＝（22）x÷（25）y ＝22x÷25y ＝22x﹣5y， ∵2x﹣5y﹣4＝0， ∴2x﹣5y＝4， ∴22x﹣5y＝24＝16， ∴4x÷32y的值为16． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算是解本题的关键． 【考点4】乘法公式与化简求值（第37-54题） · 平方差公式 · 完全平方公式 · 公式逆用 · 混合运算 37．（2026秋•杨浦区校级月考）已知a，b，c均为正数，M＝（a+b）（b+c），N＝b（a+b+c），那么（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定大小 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【分析】采用作差法比较M与N的大小，化简差后结合正数条件判断符号． 【解答】解：∵M＝（a+b）（b+c），N＝b（a+b+c）， M﹣N＝（a+b）（b+c）﹣b（a+b+c） ＝ab+b2+ac+bc﹣ab﹣b2﹣bc ＝ac， ∵a，c均为正数， ∴ac＞0，即M﹣N＞0， ∴M＞N． 故选：A． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式运算，熟知多项式乘以多项式法则是解题关键． 38．（2026秋•虹口区月考）下列图形中，不能借助图形面积验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2正确性的是（　　） A． B． C． D． 【考点】平方差公式．版权所有 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【解答】解：根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，则： A．左图大正方形面积减去小正方形面积为a2﹣b2，右图平行四边形底为a+b，高为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），能验证，不符合题意； B．左图大正方形面积减去小正方形面积为a2﹣b2，右图平行四边形底为a+b，高为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），能验证，不符合题意； C．左图大正方形面积a2减去小正方形面积b2得a2﹣b2，右图长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），能验证，不符合题意； D．左图表示完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，右图表示面积为4ab，不能验证平方差公式，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，正确进行计算是解题关键． 39．（2026春•青浦区校级期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2+y2） C．（a﹣c）（c+a） D．（﹣x+y）（x﹣y） 【考点】平方差公式；完全平方公式．版权所有 【分析】根据平方差公式的结构为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2判断各选项即可． 【解答】解：A、（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x）＝（﹣3y+4x）（﹣3y﹣4x），相同项为﹣3y，相反项为4x与﹣4x，符合题意； B、（2x2﹣y2）（2x2+y2），相同项为2x2，相反项为﹣y2与y2，符合题意； C、（a﹣c）（c+a）＝（a﹣c）（a+c），相同项为a，相反项为﹣c与c，符合题意； D、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是平方差公式，完全平方公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键． 40．（2026秋•浦东新区校级月考）若，则A的值是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【考点】平方差公式．版权所有 【分析】将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1 ＝（1）（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1 ＝（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1 ＝（1）（1）（1）…（1）﹣1 … ＝11 ， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． 41．（2025秋•闵行区校级期中）已知（x﹣2025）2﹣16＝36﹣（2027﹣x）2，则（x﹣2026）2的值是（　　） A．24 B．25 C．26 D．27 【考点】完全平方公式．版权所有 【分析】通过引入中间变量y＝x﹣2026，将原方程转化为关于y的方程，简化后直接求解． 【解答】解：由题意可得： ∴（x﹣2025）2﹣16＝36﹣（x﹣2027）2． 设y＝x﹣2026，则x﹣2025＝y+1，x﹣2027＝y﹣1， 代入得：（y+1）2﹣16＝36﹣（y﹣1）2， 展开：左边y2+2y+1﹣16＝y2+2y﹣15， 右边36﹣（y2﹣2y+1）＝36﹣y2+2y﹣1＝﹣y2+2y+35， ∴y2+2y﹣15＝﹣y2+2y+35， 移项得：y2+2y﹣15+y2﹣2y﹣35＝0， 即2y2﹣50＝0， ∴2y2＝50，y2＝25， ∵y＝x﹣2026， ∴（x﹣2026）2＝25． 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 42．（2025秋•闵行区校级月考）下列各式中，计算结果不正确的是（　　） A．（﹣3a+2b）（3a+2b）＝4b2﹣9a2 B．（1﹣m）（﹣m﹣1）＝m2﹣1 C．（3x﹣4y2）（﹣4y2﹣3x）＝16y4﹣9x2 D．（5a+2bc）（﹣5a﹣2bc）＝25a2﹣4b2c2 【考点】平方差公式；完全平方公式．版权所有 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 【解答】解：A、（﹣3a+2b）（3a+2b）＝（2b﹣3a）（2b+3a）＝4b2﹣9a2，故此选项不符合题意； B、（1﹣m）（﹣m﹣1）＝（﹣m+1）（﹣m﹣1）＝m2﹣1，故此选项不符合题意； C、（3x﹣4y2）（﹣4y2﹣3x）＝（﹣4y2+3x）（﹣4y2﹣3x）＝16y4﹣9x2，故此选项不符合题意； D、（5a+2bc）（﹣5a﹣2bc）＝﹣（5a+2bc）（5a+2bc）＝﹣（5a+2bc）2＝﹣25a2﹣20abc﹣4b2c2，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 43．（2024秋•静安区单元）已知（m2+m+2）2＝1234321，则（m2+m+1）（m2+m+3）＝　1234320　 ． 【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有 【分析】利用平方差公式把原式变形，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：（m2+m+1）（m2+m+3） ＝（m2+m+2﹣1）（m2+m+2+1） ＝（m2+m+2）2﹣1， ∵（m2+m+2）2＝1234321， ∴原式＝1234321﹣1＝1234320， 故答案为：1234320． 【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握平方差公式是解题的关键． 44．（2024秋•嘉定区校级月考）a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202，则a、b、c的大小关系为 a＜c＜b （用“＜”连接）． 【考点】平方差公式；有理数大小比较．版权所有 【分析】用平方差公式分解因式得到b＝918×858，c＝918×478，再由a＝361×918即可得到答案． 【解答】解：∵b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202， ∴b＝（888+30）×（888﹣30），c＝（698+220）（698﹣220）， ∴b＝918×858，c＝918×478， ∵a＝192×918＝361×918，且361＜478＜858， ∴a＜c＜b， 故答案为：a＜c＜b． 【点评】本题主要考查平方差公式，有理数大小比较，关键是平方差公式的熟练应用， 45．（2024秋•普陀区校级月考）比较大小：已知a＝2017×2018﹣1，b＝20172﹣2017×2018+20182，那么a　＜　 b（在横线上填“＞”或“＜”或“＝”）． 【考点】完全平方公式；有理数大小比较．版权所有 【分析】利用作差法比较大小即可． 【解答】解：b﹣a ＝20172﹣2017×2018+20182﹣（2017×2018﹣1） ＝20172﹣2×2017×2018+20182+1 ＝（2017﹣2018）2+1 ＝（﹣1）2+1 ＝1+1 ＝2＞0， 所以b＞a，即a＜b， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了完全平方公式，有理数比较大小，正确计算是解题的关键． 46．（2026秋•杨浦区校级月考）计算： （1）（2x+3）（5x2﹣x+2）﹣（x﹣3）（4x+1）； （2）（2a﹣3b+c）2． 【考点】完全平方公式；多项式乘多项式．版权所有 【分析】（1）多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，注意减去多项式时括号内各项要变号； （2）三项式的平方，把其中两项当作整体，使用完全平方公式展开，再继续化简． 【解答】解：（1）（2x+3）（5x2﹣x+2）﹣（x﹣3）（4x+1）， 第一步：多项式乘多项式展开第一部分（2x+3）（5x2﹣x+2）＝2x•5x2+2x•（﹣x）+2x•2+3•5x2+3•（﹣x）+3×2 ＝10x3+13x2+x+6， 第二步：展开第二部分（x﹣3）（4x+1）＝x•4x+x•1﹣3•4x﹣3×1＝4x2+x﹣12x﹣3＝4x2﹣11x﹣3， 第三步：做减法，注意去括号变号10x3+13x2+x+6﹣（4x2﹣11x﹣3） ＝10x3+13x2+x+6﹣4x2+11x+3 ＝10x3+9x2+12x+9； （2）（2a﹣3b+c）2 ＝[（2a﹣3b）+c]2 ＝（2a﹣3b）2+2c（2a﹣3b）+c2 ＝4a2﹣12ab+9b2+4ac﹣6bc+c2． 【点评】题目考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 47．（2026秋•浦东新区校级月考）已知x+y＝5，xy＝4，x＞y，求x2+y2和x﹣y的值． 【考点】完全平方公式．版权所有 【分析】由完全平方公式进行变形即可求解； 【解答】解：已知x+y＝5，xy＝4，x＞y， ∴（x+y）2＝25，即x2+y2+2xy＝25， ∵xy＝4， ∴x2+y2＝25﹣2xy＝25﹣2×4＝17， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣2×4＝9， ∴x﹣y＝﹣3或3， ∵x＞y， ∴x﹣y＝3． 【点评】本题考查完全平方公式，正确进行计算是解题关键． 48．（2026秋•浦东新区校级月考）【阅读观察】 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳猜想】 （1）由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝　　 ； 【问题解决】 请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算22026+22025+22024+…+22+2+1的值； （3）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2027的值； 【迁移拓展】 （4）比较与的大小． 【考点】平方差公式．版权所有 【分析】（1）归纳猜想 观察等式规律：左边（x﹣1）乘从xn到1的多项式，右边为xn+1﹣1，故结果为xn+1﹣1； （2）计算求和 利用（1）的结论，令x＝2，n＝2026，则原式＝（22027﹣1）÷（2﹣1）＝22027﹣1； （3）求x2027 由（1）得（x﹣1）（x5+x4+…+1）＝x6﹣1，已知和为0，故x6＝1（x≠1）．2027＝6×337+5，则x2027＝x5；又由原式得x5＝﹣（x4+…+1），结合x6＝1，最终x2027＝1； （4）比较大小，利用（1）化简两个分式：第一个分式：，第二个分式：，比较344＝8111与433＝6411，前者更大，故第一个分式更大． 【解答】解：（1）观察已知等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（右边指数为1+1＝2）， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（右边指数为2+1＝3）， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（右边指数为3+1＝4）， 由此归纳：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1； 故答案为：xn+1﹣1； （2）根据（1）的结论，令x＝2，n＝2026，则： （2﹣1）（22026+22025+…+2+1） ＝22026+1﹣1 ＝22027﹣1， 因为2﹣1＝1， 所以原式＝22027﹣1； （3）由（1）的结论，令x≠1，则： （x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1） ＝x5+1﹣1 ＝x6﹣1， 已知x5+x4+x3+x2+x+1＝0， 代入得：x6﹣1＝0， 即x6＝1， x＝±1，（x＝1舍去，因代入原式不成立）． 计算2027÷6＝337……5，即2027＝6×337+5，则：x2027＝x6×337+5＝（x6）337•x5＝1337•x5＝x＝﹣1； （4）， ， ， 则：， 344＝（34）11＝8111， 433＝（43）11＝6411， 因为8111＞6411，所以344﹣1＞433﹣1， 故：． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握其知识点是解题的关键． 49．（2025秋•黄浦区校级期末）计算：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y）． 【考点】平方差公式；完全平方公式．版权所有 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式进行计算，再合并即可． 【解答】解：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y） ＝﹣（x+2y）（x+2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y） ＝﹣（x+2y）2﹣（y+2x）（y﹣2x） ＝﹣（x2+4xy+4y2）﹣（y2﹣4x2） ＝﹣x2﹣4xy﹣4y2﹣y2+4x2 ＝3x2﹣4xy﹣5y2． 【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式、熟练掌握公式是解题的关键． 50．（2025秋•浦东新区期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小． 解：设6788＝a， 那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a． 因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028，试比较x，y的大小． 【考点】平方差公式；多项式乘多项式．版权所有 【分析】设2024＝a，可得x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3），y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4），再计算即可判断． 【解答】解：学会了这种方法，x，y的大小关系为：x＝y． 设2024＝a， 则x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3） ＝a2+4a﹣（a2+3a+a+3） ＝a2+4a﹣a2﹣3a﹣a﹣3 ＝﹣3， y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4） ＝（a2+5a+a+5）﹣（a2+4a+2a+8） ＝a2+5a+a+5﹣a2﹣4a﹣2a﹣8 ＝﹣3， ∴x＝y． 【点评】本题考查的是多项式乘以多项式的应用， 51．（2024秋•普陀区期中）阅读理解． 已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值． 解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6． 整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6． 2（a﹣13）2+2＝6 得（a﹣13）2＝2． 请仿照上述方法，完成下列问题： （1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值． （2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值． 【考点】完全平方公式．版权所有 【分析】（1）将（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10变形为[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣97）2+2＝10，即可求出（a﹣97）2的值； （2）将（a﹣2025）2+（2023﹣a）2变形为[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣2024）2+2，然后将已知条件代入求值即可． 【解答】解：（1）由（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，可得[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10， 整理得（a﹣97）2﹣2（a﹣97）+1+（a﹣97）2+2（a﹣97）+1＝10， 2（a﹣97）2+2＝10， 得（a﹣97）2＝4； （2）（a﹣2025）2+（2023﹣a）2 ＝[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2 ＝（a﹣2024）2﹣2（a﹣2024）+1+（a﹣2024）2+2（a﹣2024）+1 ＝2（a﹣2024）2+2， 当（a﹣2024）2＝8时， 原式＝2×8+2＝18． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 52．（2025秋•金山区校级期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则： （1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0． （2）取x＝1时，可得到a4+a3+a2+a1+a0＝6． （3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0． 请类比上例，解决下面的问题． 已知：，求： （1）a0的值； （2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值； （3）a6+a4+a2的值． 【考点】完全平方公式．版权所有 【分析】（1）令x＝2，根据所给等式即可求出a0的值； （2）令x＝3，根据所给等式即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值； （3）令x＝1，根据所给等式即可求出a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0的值，再结合（1）（2）所求可得答案． 【解答】解：（1）已知：，则： 当x＝2时，x﹣2＝0，2x＝4， 由题意可得：a0＝2x＝4； （2）当x＝3时，则x﹣2＝1，2x＝6， ∵， ∴a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝2x＝6； （3）当x＝1时，则x﹣2＝﹣1，2x＝2， ∵， ∴a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝2①， 又∵a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝6②， ∴①+②得2a6+2a4+2a2+2a0＝8， ∴a6+a4+a2＝4﹣a0＝4﹣4＝0． 【点评】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 53．（2025秋•闵行区校级期中）阅读下列材料：计算：（2+1）×（22+1）×（24+1） 解：原式：＝（2﹣1）×（2+1）×（22+1）×（24+1） ＝[（2﹣1）×（2+1）]×（22+1）×（24+1） ＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1） ＝（24﹣1）×（24+1） ＝28﹣1 ＝255． 运用上述方法计算：． 【考点】平方差公式．版权所有 【分析】依据材料将算式变形为，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 54．（2025秋•松江区期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如图： （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． （2）小明想用类似方法解释整式乘法（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，那么需用1号卡片x张2号卡片y张，3号卡片z张，那么x+y+z＝　12　 ． （3）如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片　8　 张． 【考点】完全平方公式；多项式乘多项式．版权所有 【分析】（1）画出长方形可知长方形的长为（a+2b），宽为（a+b），根据拼成的大长方形面积为a2+3ab+2b2即可求解； （2）根据1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab即可求解； （3）根据（a+4b）2＝a2+8ab+16b2可求解． 【解答】解：（1）如图所示： 由条件可知大长方形的面积＝（a+b）（a+2b）， ∵拼成的大长方形面积为a2+3ab+2b2， ∴大长方形的代数意义为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）， （2）1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab， 故根据（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2的结论可知，x＝2，y＝3，z＝7， 所以，x+y+z＝2+3+7＝12， 故答案为：12； （3）∵（a+4b）2＝a2+8ab+16b2， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 【点评】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． 复习建议 · 单项式系数要包含前面的符号，π是常数不是字母 · 去括号时括号前是负号，括号内每一项都要变号 · 幂的运算注意区分指数加法和乘法：同底数幂乘是加，幂的乘方是乘 · 乘法公式要记清结构：平方差是两数和乘两数差，完全平方有中间项2ab · 化简求值先化简再代入，代入负数要加括号 学科网（北京）股份有限公司 $