培优第14讲 复合函数的性质与嵌套函数零点问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第14讲 复合函数的性质与嵌套函数零点问题 目 录 题型01 复合函数的单调性与值域 题型02 复合函数的奇偶性与不等式 题型03 嵌套函数零点个数的转化 题型04 嵌套函数零点参数问题 题型05 嵌套函数零点综合问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 复合函数的单调性与值域 题型点拨 1、复合函数的单调性 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2、复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 【典例1】（25-26·湖南）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式1】（25-26·安徽马鞍山）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域； （2）对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a的值． 【详解】（1），， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； （2）由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 题型2 复合函数的奇偶性与不等式 题型点拨 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 【典例1】（25-26·黑龙江哈尔滨）设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 【变式1】（25-26·江西景德镇）已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为定义在上的增函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）任取，由可得结论； （2）验证可知，由此可得结论； （3）根据，将恒成立的不等式化为，解分式不等式可求得结果. 【详解】（1）为定义在上的增函数，证明如下： 由题意知：的定义域为， 任取，则， ，，，， 为定义在上的增函数. （2）， ， 图象关于点中心对称. （3），，又为上的增函数，， ，， ， 要使得恒成立，只需， ，解得：或， 实数的取值范围为. 题型3 嵌套函数零点个数的转化 题型点拨 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为。 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【典例1】（25-26·山西晋城）已知，函数则关于的方程的实根的个数为 ；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数解析式作图，结合图象可得空一的答案；根据图象化简方程，分情况讨论，可得答案. 【详解】的大致图象如图所示： 方程的根为，共3个. 由可得，或，或， 由图象可得，显然有3个根，显然有1个根， 又有7个不同的实根， 所以必有3个根，而， 为使有3个根，只需，解得或（舍）. 故答案为：；. 【变式1】（25-26·甘肃天水）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，根据函数图象讨论方程的根的个数，由题意可得，作出函数的图象，再结合图象，分类讨论，进而可得出答案. 【详解】如图，因为和均为上的减函数，所以函数在上单调递减， 所以作出函数的图象如下：    令，由图知，当时，方程有2个不同的解， 当时，方程有1个解， 因为， 令，即，即， 即， 如图所示，作出函数的图象，    函数恒过定点， 当函数的图象只有一个交点时， 即，即只有一个解， 则，解得（舍去）， 当时，由图知函数的图象有2个交点， 即方程有2个根，且一个在上，一个为1， 所以方程有4个不同的解， 即函数有4个零点， 所以不符合题意； 当时，由图知函数的图象只有一个交点， 即方程有且仅有一个根，且这个根在上， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； 当时，由图知函数的图象有3个交点， 即方程有3个根，且一个在上，另外两个在上， 所以方程有6个不同的解， 即函数有6个零点， 所以不符合题意； 当时，方程没有正数根， 此时令，则， 当时，方程无解， 所以方程无解， 即函数没有零点， 所以不符合题意； 当时，， ①当时，， 即方程的解为， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； ②当时，， 则由，得，则， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； ③当时，， 则由，得，则， 所以方程只有2个解， 即函数有2个零点， 故符合题意； ④当时，， 则由，得， 则， 所以方程有3个不同的解， 即函数有3个零点， 故不符题意， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 题型4 嵌套函数零点参数问题 【典例1】（24-25·福建）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，把复合方程根的问题化为函数与三条直线有5个交点问题，结合图象，列不等式组计算即可. 【详解】作出函数图象如下： 令，则，所以，，， 所以，，， 所以，，， 即，，， 因为关于x的方程有5个不同的实数根， 所以函数与直线，，共有5个交点， 所以，解得，即实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将方程根的个数问题转化成函数图象交点个数问题是解决此类问题的方法，画出函数图象并利用数形结合列式求解即可. 【变式1】设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定的函数解析式，分析新函数的对称性与单调性，可得其图象，结合函数的图象变换，可得答案. 【详解】令，即，解得或，易知，可得， 可得， 当时，设，且， 点关于直线的对称点为， ； 当时，设，且， 点关于直线的对称点为， ； 综上所述，函数的图象关于直线对称. 当时，由单调递增，单调递增， 则函数在上单调递增； 当时，由单调递增，单调递减， 则函数在上单调递减； 当时，由单调递增，单调递增， 则函数在上单调递增. 当时，由，，则； 当时，由，则. 可得下图：    由函数的图象可由函数的图象平移个单位， 则. 故答案为：. 题型5 嵌套函数零点综合问题 【典例1】（25-26·河北石家庄）（多选）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数的零点个数为1 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】对于ACD，由题可画出大致图象，据此可判断选项正误；对于B，由有6个不同根，可得和共有6个根，其中的两根为，然后由数形结合思想结合二次方程根的分布知识可得答案. 【详解】由题可得的图象大致如下. 对于A，由图可得零点有3个，故A错误； 对于B，由题可得和共有6个根， 即图象与直线，共有6个交点. 其中的两根为，则判别式为或. 注意到，结合图象可得，同号，且一个大于1，一个小于1大于0. 设，则，由图可得， 又函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由函数图象可得无最值，故C正确； 对于D，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：BC 【变式1】（25-26·安徽黄山）（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将方程的根的问题转化为图象交点问题，由一元二次方程解得或，要想有个交点，则两条直线与图象各有个交点，根据图象得到的范围，进而得到可能的取值. 【详解】由得或， 根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，， 并在同一坐标系中画出，与图象有个交点， 要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合， 根据图象可知且，解得且，所以ACD符合， 故选：ACD. 【变式2】（25-26·江西宜春）已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】在同一直角坐标系下画出函数与的图象，可知方程有三个实根，故方程有且仅有一个实数根.结合图象即可求解. 【详解】由方程可知或. 在同一直角坐标系下画出函数与的图象如下图： 可知方程有三个实根. ∵关于的方程恰有个不同的实数根， ∴方程有且仅有一个实数根. 所以由函数的图象可知或. 故答案为：或. 强化训练（共10题） 1．（25-26·天津）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题可知函数的定义域为， ∵， ∴是偶函数， ∴由可得，即. 当时，， ∵和在上都是单调递增的， ∴在上单调递增，又因是偶函数， ∴在上单调递减. 又∵，由函数的定义域知有， ∴由可得，解得：； 由可得，解得：. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 2．（25-26·天津滨海新）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】C 【分析】分别根据定义域、值域、单调性的要求，结合二次函数的性质分析各选项，通过韦达定理、判别式等工具验证结论. 【详解】选项A：若定义域为，则对恒成立. 当时，恒成立； 当时，需且，即. 故，选项A错误. 选项B：若值域为，则需取遍所有正实数， 需且，即. 选项B中漏掉，错误. 选项C：若定义域为，则是方程的根. 由韦达定理，根的积为，解得. 验证：的解集为，符合，选项C正确. 选项D：在上递增，需在上递增且恒正. 的对称轴为，故，且， 即，选项D错误. 故选：C 3．（25-26·河北石家庄）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26·浙江温州）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，的定义域是，正确. 函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，，在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 5．（25-26·重庆）（多选）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】A选项，根据函数为奇函数得到，得到；B选项，利用定义法判断函数的单调性；C选项，先得到当时，，结合函数的奇偶性得到函数值域；D选项，由，解不等式即可. 【详解】A选项，由题意得，即，解得， 经检验，当时，为奇函数，所以，故A不正确； B选项，， 因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故B正确； C选项，当时，，∴， 故，， 由为奇函数，故时，， 又，故函数的值域为，故C正确； D选项，由，，解得，故D正确. 故选：BCD. 6．（25-26·四川成都）（多选）已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确，    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 7．（25-26·上海宝山）已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数恰有三个不同的零点，令，可以看成函数恰有三个不同的零点，即函数的图像与直线有三个交点．根据函数的单调性和最值，结合函数的图像即可求解． 【详解】当时，函数是对勾函数， 因为，当且仅当，即时，取最小值． 所以函数最小值为2，且在上为减函数，在上为增函数． 当时，是减函数，且，所以为增函数，且， 所以函数为增函数，且， 故函数图像如图所示． 令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点， 故函数的图像与直线有三个交点． 由图像可知. 故答案为：. 8．（25-26·山东青岛）已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，由题意可得有两不同的实数根，作出函数的图象，根据分及或分别求解即可. 【详解】因为当时，， 可知函数在内单调递减，且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 因为有6个零点，可知有两不同的实数根， 所以，解得或， 令， 结合函数的图象可知： 当，时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为. 故答案为：. 9．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明可得； （2）由中心对称函数的性质结合复合函数的单调性可得. 【详解】（1）， ， 所以函数的对称中心为. （2）由（1）可知， 所以即， 由复合函数的单调性可得函数在上单调递增， 又，所以原不等式能成立等价于在上能成立， 所以，， 由复合函数的单调性可得在时的值域为， 所以. 10．（25-26·河北邢台）已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）最小值为，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）（i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 知识小测（共5题） 1．（25-26·甘肃白银）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 2．已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 3．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值. 【详解】对任意，，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，由于函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数，由，得， 可得出，故A正确. 故选：A. 4．（多选）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 【答案】AC 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断B选项； 由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数，所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C选项，由B知函数的定义域为， 当或时，函数值域为，所以函数的值域是，故C正确； 对于D选项，由可得， 解得或，所以不等式的解集是，故D错误. 故选：AC. 5．若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．则的对称中心为 ，不等式的解集为 . 【答案】 【分析】设函数的对称中心为，再由奇函数的定义代入计算，即可得到其对称中心，可化为即，结合单调性从而求解． 【详解】设函数的对称中心为，则为奇函数， 所以，所以， 即， 整理可得， 所以恒成立，则， 即，所以， 所以函数的对称中心为， 所以，从而可化为，即， 由为上单调递减函数， 所以，即． 故的解集为． 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 复合函数的性质与嵌套函数零点问题 目 录 题型01 复合函数的单调性与值域 题型02 复合函数的奇偶性与不等式 题型03 嵌套函数零点个数的转化 题型04 嵌套函数零点参数问题 题型05 嵌套函数零点综合问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 复合函数的单调性与值域 题型点拨 1、复合函数的单调性 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2、复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 【典例1】（25-26·湖南）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·安徽马鞍山）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 题型2 复合函数的奇偶性与不等式 题型点拨 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 【典例1】（25-26·黑龙江哈尔滨）设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·江西景德镇）已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 题型3 嵌套函数零点个数的转化 题型点拨 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为。 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【典例1】（25-26·山西晋城）已知，函数则关于的方程的实根的个数为 ；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是 . 【变式1】（25-26·甘肃天水）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是 . 题型4 嵌套函数零点参数问题 【典例1】（24-25·福建）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为 . 【变式1】设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 . 题型5 嵌套函数零点综合问题 【典例1】（25-26·河北石家庄）（多选）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数的零点个数为1 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上单调递增 【变式1】（25-26·安徽黄山）（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26·江西宜春）已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 强化训练（共10题） 1．（25-26·天津）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·天津滨海新）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 3．（25-26·河北石家庄）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 4．（25-26·浙江温州）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 5．（25-26·重庆）（多选）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 6．（25-26·四川成都）（多选）已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 7．（25-26·上海宝山）已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 8．（25-26·山东青岛）已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 . 9．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 10．（25-26·河北邢台）已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 知识小测（共5题） 1．（25-26·甘肃白银）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 3．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 5．若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．则的对称中心为 ，不等式的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $