培优第11讲 指数及其复合函数的图像与性质专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第11讲 指数及其复合函数的图像与性质 目 录 题型01 指数函数图像与定点问题 题型02 解指数不等式与定义域 题型03 指数型函数的值域 题型04 指数型函数的单调性与参数问题 题型05 指数型函数的奇偶性与对称性 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 指数函数图像与定点问题 题型点拨 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点(-c,k+b). 【典例1】（25-26·山东济宁）已知函数（，）图象恒过定点，且点在函数（，）图象上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据指数函数的性质可得定点得坐标，利用点在函数上可得，结合基本不等式求解的最值即可. 【详解】当时，函数，则定点，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2. 故答案为：2. 【典例2】函数，且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象平移及函数的对称性和单调性易排除错误选项. 【详解】由题意知，关于对称，当时，对称轴，时函数单调递增， 当时,对称轴，时函数单调递减，排除A,C,D. 故选：B. 题型2 解指数不等式与定义域 题型点拨 简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【典例1】若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解. 【详解】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（25-26·河北张家口）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解即可 【详解】由，得， 因为在上是增函数，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型3 指数型函数的值域 题型点拨 1、对于y=af(x)这类函数: ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围. ②值域问题,应分以下两步求解: a.由定义域求出u=f(x)的值域; b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域. 2、利用指数函数y=ax的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下. ①由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域. ②形如f(x)=k·a2x+m·ax+t(a>0,且a≠1,k,m≠0)型函数的值域,常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 【典例1】（25-26·广东）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 【变式1】（25-26·重庆）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，由题意得出的值域为，结合的值域即可求解． 【详解】令， 函数的值域为， 的值域为， 的值域为， ， 故实数的取值范围为：， 故答案为：． 【变式2】（25-26·上海松江）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型4 指数型函数的单调性与参数问题 题型点拨 1、在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2、比较指数幂的大小 （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 【典例1】（25-26·福建厦门）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式1】（25-26·陕西延安）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，在定义域内求出函数的单调增、减区间，判断函数的单调性，再根据复合函数单调区间的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令，则. 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数在定义域内单调递减， 所以由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A 题型5 指数型函数的奇偶性与对称性 【典例1】（25-26·浙江杭州）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是准确分析出给定函数的单调性和奇偶性. 【变式1】（25-26·山东）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接计算； （2）根据复合函数的单调性可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可解不等式； （3）根据二次函数与函数复合，可得函数单调性与最值情况. 【详解】（1）由已知是定义域为上的偶函数， 则，即， 化简可得恒成立， 又不恒成立， 即； （2）由（1）得， 当时，设，且单调递增， 则，，则函数在上单调递增， 综上所述在上单调递增， 根据偶函数可知在上单调递减； 所以若， 则， 解得或且≠， 即不等式的解集为； （3）由， 设， 由（2）可知，在上单调递增，即当，， ， 当时，函数在处取得最小值为，解得； 当时，函数在处取得最小值为，解得，不成立； 综上所述. 【变式2】（25-26·福建莆田）已知函数（，），. (1)求c的值； (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若存在实数，使得对任意，都存在，使得，求实数n的最大值. 【答案】(1)1 (2)存在， (3)2 【分析】（1）根据得到； （2）假设函数的图像存在对称中心，得到，整理后得到方程组，求出，，得到对称中心； （3）变形得到，因为，所以，根据得到包含关系，得到不等式，求出. 【详解】（1）将代入，得，解得， （2）假设函数的图像存在对称中心， 则对于定义域内任何恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得，， 故函数的对称中心为； （3）因为对任意，都存在及实数m，使得， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，即的最大值为2. 强化训练（共10题） 1．（25-26·江苏常州）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 2．（25-26·宁夏银川）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，再分和两种情况讨论，结合指数函数的值域，求出的值，从而得到. 【详解】因为函数的图象过原点，所以，即， 因为， 当时，则， 此时不可能同时满足过原点且无限接近于直线，但不与该直线相交，故舍去； 当时，则， 因为函数图象无限接近于直线，但不与该直线相交，所以， 则，所以，满足题意； 综上可得， 故选：C. 3．（25-26·福建泉州）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围． 【详解】函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若要满足题意，则，得. 综上，的取值范围是． 故选：C． 4．（25-26·福建莆田）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】，然后结合指数函数的性质和指数运算对选项依次分析即可. 【详解】， 对于A：恒成立，函数的定义域为，故A正确； 对于B：， 所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：当x越大，越大，越大，所以越大，故为增函数，故D错误； 故选：ABC. 5．（1）方程的解为 . （2）设，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1），， 则，解得. （2），不等式， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：（1）；（2）. 6．（24-25·内蒙古赤峰）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 7．已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】求得定点的坐标，进而可得的关系式，利用不等式中1的妙用可求的最小值. 【详解】函数（且）的图像恒过定点， 因为点在直线上，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 8．已知函数（为常数，），且为偶函数。 (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数a的值； （2）求出的表达式，结合单调性得出，则的二次函数值域即可求解. 【详解】（1）∵是偶函数， ∴， 即， 即恒成立， 则，得； （2）因为，且，， 因为单调递增， 所以，， 即 ， 设， 因为在上单调递增，所以， 故实数k的取值范围是． 9．（24-25·云南昭通）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在上递增， 则在上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 10．已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，， (2)增函数，解集为 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 知识小测（共5题） 1．（25-26·安徽）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性判断即可. 【详解】由， 又因为在上单调递增， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以． 故选：A． 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 3．（25-26·四川成都）若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由解析式得的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象. 【详解】令，可得或， 对于，若，则的零点，A满足，B不满足； 对于，若，则的零点，C、D不满足. 故选：A 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 【答案】AC 【分析】利用指数函数的性质可得 【详解】对A：因为的值域为，所以的值域为．故A正确； 对B：．所以不等式的解集为，故B错误； 对C：与的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为，所以的图象与的图象关于y轴对称(（且）与的图象关于y轴对称）．故C正确； 对D：作出函数，的图象如图所示，由图可知，当，时，；当，时，． 故D错误. 故选：AC 5．（25-26·吉林）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求得正确答案. 【详解】不等式可化为， 由于函数在上单调递增， 所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $第11讲指数及其复合函数的图像与性质 目录 题型01指数函数图像与定点问题 题型02解指数不等式与定义域 题型03指数型函数的值域 题型04指数型函数的单调性与参数问题 题型05指数型函数的奇偶性与对称性 强化训练（共10题) 知识小测（共5题) 题型精讲 题型1指数函数图像与定点问题 题型点拨 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y=a*(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y=水a++bk≠0，a>0,且a1)的函数图象过定 点的问题，即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点(-c,k+b). 【典例1】(25-26山东济宁)己知西数”=a1(a>0,口)图象恒过完点人，且点4在函数 11 y=mx+n（m,n>0)图象上，则m+n的最小值为 【典例2】届数()=a“a>0,且a*的图象大致是（) B D 题型2解指数不等式与定义域 题型点拨 简单指数不等式的解法 1、形如a俐>a的不等式，可借助y=a的单调性求解： 2、形如a>b的不等式，可将b化为a为底数的指数幂的形式，再借助y=a的单调性求解； 3、形如a>b的不等式，可借助两函数y=a,y=b的图象求解。 【典例1】若关于的不等式： a3r2-4x-5>a2-3x+ （-2,3) 的解集是 ,则“的取值范围是 3(x-1) r2-2x-3 【变式1】(25-26河北张家口)不等式 的解集为 题型3指数型函数的值域 题型点拨 1、对于y=aw这类函数： ①定义域是指使fx)有意义的x的取值范围， ②值域问题，应分以下两步求解： a.由定义域求出ufx)的值域； b.利用指数函数y=a的单调性求得此函数的值域. 2、利用指数函数y=a*的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下 ①由于指数函数y=a(a>0,且a时1)的定义域是R,所以函数y=a(a>0,且a≠1)与函数fx)的定义域相同，利用 指数函数的单调性求值域， ②形如fx)=ka2+m·a+t(a>0,且a时1，k,m≠0)型函数的值域，常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最 值问题 3+1 【典例1】(25-26广东)函数y=g-3的值域为（） A.(0,+∞) B（∞，-6] c.（,-3-22]U0,+w) D.（-0,0U[3+2V2,+∞ 【变式1】(25.236重庆)若函数)=-4+2的值域为2，+0，则实数0的取值范围为 x2-4x+10,x≤3 【安式2(25-26上海松江)已知函数f(闭口-1x>9,a>0a≠)的值域为6，o,则n的 取值范围是 题型4指数型函数的单调性与参数问题 题型点拨 y=f(g(x)》在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 1=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2、比较指数幂的大小 (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断： (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断： (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比 较. 【典例1】(25-26福建厦门)若函数)=2在区问L.2)上单调递增，则“的取值范用是《) A.（∞，] B.（o,2] C.[2,4 D.[4+) x(2-x) 【变式】(25.2ó陕西延安)函数)=（ 的单调递减区间是() A.（∞，] B.[0,2) c.(0,1 D.[1+) 题型5指数型函数的奇偶性与对称性 4-1 【典例1】(25-26浙江杭州)已知定义在R上的函数()+十，则不等式f2x-)+f<0的 +x3 解集为() A.(1,+o) B.（-0,) 【变式1】(25-26山东)已知函数()=k:2+2 是定义域为R上的偶函数： (1)求k的值： (2②)解不等式f(r+2x)小f(x+2) ③考)=24+2-2m/(冈在+）上的最小值为2，求m的位 【变式2】(2-26程建香)国已知两数f()十e(xeR ccR),f0)-号 (1)求c的值： (2)已知“函数 (x) 的图象关于点 对称”的充要条件是。(a-+f(a+)=2b a,b 对于定义域内任何x 恒成立”，试用此结论判断函数(~)=3十的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标， 若不存在，说明理由； 石台实数四，使样对款同，部车在小引 使得f-m)+f()=l,求实数n的最大 值。 强化训练（共10题) 1.(25-26江苏常州)函数=2 的值域为() A.[2,+oo) B.(-0,2] D.(0,2] x-1 2.(25-26宁夏银川)已知函数'=42 +b 的图象过原点，且无限接近于直线y=4,但不与该直线相 交，则() A.a=8,b=4B.a=-8,b=5C.a=-8,b=4D.a=8,b=5 3.(2526福建泉州已知函数)=。一a>0且a1)在区间2,3)上单调递增，则“的取值范围是 () A.(L,+0) e网 。别 4。(2526福建莆)（多选）已知函数/代)3则下列结论正确的是() A,函数（四）的定义域为R B.函数 的值域为1) c.f()+f(-x)=0 D.函数( 为减函数 5(1)方程81x3= 1)+2 9 的解为 (2)设0<a<1 则关于r的不等式2>1。 的解集为， 6.(24-25内蒙古赤峰)不等式4-3·2+2>0的解集是 7,已知函数少=a: (a>0且a↓)的图像恒过定点，且点在直线” mx+y-1=0(mn>0) 上，则 1.4m mn的最小值为 8.已知函数 )=2+ax2(“为指数，aeR),且/ 为偶函数。 (1)求a的值： ②活方程=f2)3(四在e0上有解，求实数女的取值范围。 在 9.(24-25云南昭通)已知函数f(x)= 2+k,2x k (1)若f(x)为偶函数： ①求实数k的值； ②若函数8倒)=4+子-2m)在区间L+四上的最小值为-1，求实数m的值； 4 (2)若f()为奇函数，不等式f(3)≥mf(2x)在x∈，2]上有解，求实数m的取值范围. 10.已知函数f(x)8( 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且(+8()=23 ①证明：)8()=23”，并求西数/0、8因 的解析式： (②直接说明函数8（四）的单调性，并解关于x不等式，8女+4r+8x-6)>0, ③)设p()=3-2 3+2'h()=f(2x)-2g(x)+2m-3,对于x∈R,3x2∈[0，+∞)，使得p(x)≥h(3),求 实数m的取值范围 知识小测（共5题） -0.4 1.(25-26安徽) a=206,b= 2 ,c=0.64 则() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 的图象大致为() B 一25-26四川成都)若正实数a,b满足a≠b,则函数了四)-。与函数8（代）=r+x的图象可g () -2-1 4,（多选)已知函数f()=5-1 则下列说法正确的有() A.的值蚊为-1) B.fx+>4 (1,+0) 的解集为 .f的图象与- 的图象关于y轴对称 D.若6)=10-1，且@)=8o)(a,b均不为0)，则>6 1)3 ≤2 5.(25-26吉林)不等式2 的解集为