1.2空间向量基本定理同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理同步练 一、单选题 1．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用空间基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，因，即，，是共面向量，不能构成空间基底，故A错误； 对于B，因，即，是共面向量， 不能构成空间基底，故B错误； 对于C，因，即是共面向量， 不能构成空间基底，故C错误； 对于D，对于，假若， 则可得，该方程显然无解， 即不是共面向量，能构成空间的一个基底，故D正确. 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间基底及空间向量共面性质求解． 【详解】对于A，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，A错误； 对于B，设，则， 得，显然方程组无解， 故向量与向量，不共面，故能构成一个基底，B正确； 对于C，，则向量与向量，共面， 故不能构成一个基底，C错误； 对于D，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，D错误． 3．（26-27高二上·湖南·阶段检测）若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个向量不能构成基底，则三向量共面，利用共面向量定理以及基底向量线性无关，系数对应相等建立方程求解参数. 【详解】空间中三个向量不能构成基底的充要条件是这三个向量共面. 因为是空间的一个基底，所以不共面（线性无关）. 由共面向量定理，若，，共面，则存在实数，使得： 将等式右侧整理，按基底向量拆分： 因为线性无关，等式两边对应向量的系数必须分别相等： 的系数： 的系数： 的系数： 由得，代入得，因此. 4．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知空间向量，，不共面，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将移项整理为：， 由不共面，根据空间向量基本定理，若这三个向量的线性组合为零向量，则各向量的系数均为0， 因此得到方程组： ，解得. 5．（26-27高二上·河北·期中）如图，在四面体中，，，．点M在上，且，N为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， 是的中点，， ，， ． 6．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨设，则， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，A不符合要求； 对于B选项，， 设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，B不符合要求； 对于C选项，， 故、、三点共线，C符合要求； 对于D选项，设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，D不符合要求. 7．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 8．（25-26高二下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（   ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABCD 【分析】直接利用空间向量的基底的定义，向量的共线，共面向量，判断各选项． 【详解】对于①，因为可以作为空间的一个基底，所以不共面， 又与共线，，所以不共面， 则也可作为空间的一个基底，故①正确； 对于②，因为，所以，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故②正确； 对于③，因为，，不能构成空间的一个基底， 所以，，共面，则，，，四点共面，故③正确； 对于④，因为是空间的一个基底，所以不共面， 又，所以不共面， 则也是空间的一个基底，故④正确. 故选：ABCD. 10．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 11．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．两两共面 B．若，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．不一定能构成空间的一个基底 【答案】AC 【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底. 【详解】A选项，由基底的定义可知，不能共面，两两共面，A正确； B选项，，但，不一定垂直，B错误； C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量，总存在有序实数组， 使，C正确； D选项，设，故，无解， 故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（2025高二下·全国·专题练习）已知是空间的一个基底，若，则_________． 【答案】0 【分析】根据基底向量不能共面，得出系数均为0； 【详解】是空间的一个基底， 为不共面向量． 又， ， ． 故答案为：0. 13．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为空间的一个基底，则______. 【答案】 【详解】根据向量减法的三角形法则，. 用基底表示： 由得， 所以， 代入， 整理得：.       用基底表示：因为是的重心，重心分中线的比为， 取的中点，则， 所以. 因此. 14．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知、、、四点共面，则对于空间中不在平面上的一点，若，则的值为____________. 【答案】 【分析】由题意可知存在、，使得，化简得出，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、、四点共面，根据共面向量定理的推论， 对于空间中任意一点，存在实数使得，且满足， 将题设条件与该定理对比，可知系数之和必须为，即， 解得， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在平行六面体中，取，，． (1)用，，表示； (2)若，分别为，的中点，用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形利用空间向量基本定理用基向量表示 即可； （2）利用中点条件将和用基底表示，再由向量加法计算即得． 【详解】（1）连接，因为，，， 所以， 在平行六面体中，， 故． （2）连接，因为的中点，则， 因为的中点，则， 又，则， 故． 16．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在四面体中，，，，，点、分别为、的中点，设，，． (1)将用基底表示，并求其模长； (2)若，，求证：、、、四点共面． 【答案】(1)，. (2)证明：由题意知，， 因为，所以， 所以，， ，     不妨设， 即， 因为、、不共面，由空间向量基本定理可得，解得， 即，     根据共面向量定理，、、共面且有公共点，所以、、、四点共面． 【分析】（1） 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可； （2）利用基底表示出向量，，，再由共面向量定理证明即可. 【详解】（1），     则 ， 所以； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $1.2空间向量基本定理同步练 ▣ ▣互薄 动弱 一、单选题 讲诊 1.(26-27高二上·安徽淮南阶段检测)已知ā，i,是空间的一个基底，则下列 题断 各组向量中，能构成空间基底的一组是() A.a+b,a+b+c,c B.b,b+c,2b-c C.a+b,a-b,a D.a+b,a-b,c 2.(26-27高二上河北廊坊：阶段检测)已知a,五，是空间的一个基底，则可以与向量m=ā-3 n=a+4c构成空间另一个基底的向量是() A.a B.b C. D.2a+c 3.(26-27高二上：湖南阶段检测)若a,6,2构成空间的一个基底，且a+,a-26,6+t不能构成空 间的一个基底，则t= A.-2 D.2 4.(26-27高二上广东深圳阶段检测)已知空间向量a,,c不共面，且2a+yb+4=xa-36+2zc, 则() A.X=2,y=-3,Z=2 B.X=-2,y=3,z=2 C.X=2,y=-3,z=-2 D.X=-2,y=3,z=-2 5.(26-27高二上河北期中)如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=在.点M在OA上， 且OM=2MA,N为BC中点，则MN等于( ) 0 B 1+ 2，1 A. -b+ 试卷第1页（共3页） c.号a+6- 2 2 D. 2a+26-1e 332 6.(26-27高二上山东聊城阶段检测)若e是不共面的向量·OA=E+E,+:A店=E-C, BC=2e,+e,:则一定共线的三个点是() A.O、A、B B.O、B、C C.O、A、C D.A、B、C 7.(25-26高二下·河南许昌·期末)已知M是四面体ABCD的棱BC的中点，点N在线段DM上，且 DN=2M:p为线段AN的中点，若D市=xD方+yDB+zDC:则x+y+Z=（） A.3 B.4 a.g D.1 8.（25-26高二下-广东矿广州期末)在四面体oABC中，点M满足OM=3MA'N在BC上，若 MN=xAB+yOC'则X-y=() M A.0 B. D 35 二、多选题 9.(24-25高二上·全国·课后作业)下列命题中是真命题的是() ①若a,方，可以作为空间的一个基底，a泸共线，a≠0则[a,,a地可作为空间的一个基底：②己知 向量à‖i,则à，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A,B,M,N是空间四点，如果BA, B戒：亦不能构成空间的一个基底，那么A:B:M:N共面：④已知ā，5，c是空间的一个基底，若 试卷第2页（共3页） 六=a+c:则[a,6,而地是空间的一个基底. A.① B.② C.③ D.④ 10.（25-26高二上江苏南通：期末)已知a,6,为空间的一个基底，则下列结论正确的是（） A.a,b,c至多有一个零向量 B.ā+6，ā-6，也是空间的一个基底 C.空间任一向量讠均可用à，方，唯一线性表示 D.若xa+yb+zc=0,其中x,y,z∈R,则x=y=z=0 11.（24-25高二上广东广州阶段检测)已知a,i,是空间的一个基底，则下列说法正确的是（） A.a,b,c两两共面 B.若a1b,b1c,则a1c C.对空间任一向量p,总存在有序实数组x,y,z,使p=xā+yb+zc D.a+6,6+,+a不一定能构成空间的一个基底 三、填空题 12.（2025高二下·全国：专题练习)已知e,,e是空间的一个基底，若已，+μ色，+vE,=0则 2+2+v2= 13.(26-27高二上山东临沂·阶段检测)如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一 点，BE=3ED,以AB,AC,AD为空间的一个基底，则GE= D G -B 14.(25-26高二上·山东潍坊·阶段检测)己知A、B、C、D四点共面，则对于空间中不在平面ABC上 的一点0，若OA=2OB+xOC+yOD,则x+y的值为 四、解答题 试卷第3页（共3页） 15.(25-26高二·全国暑假作业)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，取AB=a,AD=b, AA=c Di C A N D: M C B (1)用a6表示BD (2)若M,N分别为AD,CC1的中点，用a,b,c表示M 16.(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)如图，在四面体OABC中，OA=OB=2,OC=V3, ∠AOB=60°，∠AOC=∠BOC=45°，点E、F分别为OA、BC的中点，设OA=a,OB=b, OC=c】 O B (①)将亦用基底a,6,表示，并求其模长： ②若O花O成，丽-子C,求证：E、下、G、H四点共面 试卷第4页（共3页）