1.2 空间向量基本定理同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A. B.5 C. D. 2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c 3.（2025-2026·湖南株洲高二下期中）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（） A. B. C. D. 4.（2025-2026·湖南岳阳高一上期中）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（） A. B. C. D. 5.已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉＝(　　) A.   B.   C.－   D. 6.如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 7.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　) A.   B.   C.   D. 8.（2025-2026·湖南湘潭高二上期中）在四面体中，，点在上，且为的中点，则（） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.设是空间的一个基底，若x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a．给出下列向量组可以作为空间的基底的是(　　) A. B. C. D. 10.下列结论正确的是(　　) A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 11.（2025-2026·云南玉溪高二上期中）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为                  ． 13.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为                  . 14.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心，若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝                  . 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点. (1)求证：EG⊥AB. (2)求EG的长． (3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 16.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点． (1)求证：EF∥AC； (2)求CE与AG所成角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A. B.5 C. D. 【答案】B 【解析】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是 ， 因此，解得. 故选：B. 2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c 【答案】D 【解析】能与p，q构成基底，则与p，q不共面. ∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q， ∴A，B，C都不合题意.因为{a，b，c}为基底， ∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底. 3.（2025-2026·湖南株洲高二下期中）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由向量减法得； 由向量加法得, 故； 因为为中点, 所以； 由平行六面体性质得, 故； 代入得； 化简得； 又, 所以； 答案为C. 4.（2025-2026·湖南岳阳高一上期中）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得, 由点为的中点得, 由向量加法得, 又, 故, 化简得, 因为, 所以. 答案为B. 5.已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉＝(　　) A.   B.   C.－   D. 【答案】D 【解析】∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，即4＋9＋2a·b＝16，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝. 6.如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 【答案】B 【解析】取空间中一组基底：＝a，＝b，＝c， 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB， 所以a·c＝0， 又AB⊥BC，AB＝BC＝2， 所以∠BAC＝45° ，AC＝2 . 因此a·b＝|a|·|b|cos 45°＝2×2×＝4， 所以·＝(－)·a＝b·a－c·a＝4， 又SA＝2， 所以 SC＝＝4 ， 所以cos〈，〉＝＝＝， 因为两直线夹角范围是， 所以SC与AB所成角的大小为60°. 7.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　) A.   B.   C.   D. 【答案】B 【解析】由点A，B，C，D共面得x＋y＋＝1，① 又由点B，C，D，E共面得2x＋y＋＝1，② 联立①②，解得x＝，y＝， 所以x＋3y＝＋×3＝. 8.（2025-2026·湖南湘潭高二上期中）在四面体中，，点在上，且为的中点，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得, 故； 由为的中点得； 因为, 所以； 对于选项A：,其中应为,符号错误, 故A错误； 对于选项B：,与的推导结果一致, 故B正确； 对于选项C：,其中符号错误且符号错误, 故C错误； 对于选项D：,其中符号错误, 故D错误； 答案为B. 二、多项选择题（共3小题） 9.设是空间的一个基底，若x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a．给出下列向量组可以作为空间的基底的是(　　) A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】如图，在长方体中，设a＝，b＝，c＝， 则x＝a＋b＝＋＝， y＝b＋c＝＋＝， z＝c＋a＝＋＝， a＋b＋c＝＋＋＝． 由图可知，a，b，x三个向量共面，所以不能作为基底； x，y，z三个向量不共面，b，c，z三个向量不共面，x，y，a＋b＋c三个向量不共面， 所以，，可以作为基底．故选B、C、D． 10.下列结论正确的是(　　) A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 【答案】ABD 【解析】由基底的概念可知A、B、D正确．对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误． 11.（2025-2026·云南玉溪高二上期中）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】在正方体中,是侧面的中心, 由中心性质得． 由向量加法得,代入的表达式得． 由正方体棱向量关系得、,故． 由题设,对比系数得,且,即． 故选:AD 三、填空题（共3小题） 12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为                  ． 【答案】 【解析】设AB＝1，则由＝＋＋， 得·＝·(＋＋)＝0＋1＋0＝1， 又易知||＝＝， 故cos〈，〉＝＝＝. 即直线AC1与BC所成角的余弦值为. 13.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为                  . 【答案】a-b+c 【解析】∵=-2, ∴-=-2(-), ∴b-a=-2(-c), ∴=a-b+c. 14.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心，若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝                  . 【答案】－2 【解析】如图，由题意可得， ＝－＝－(＋)＝－－＋＝x＋y＋z， 则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点. (1)求证：EG⊥AB. (2)求EG的长． (3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 【答案】(1)证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝(＋－)＝(b＋c－a)， 所以·＝(a·b＋a·c－a2) ＝＝0. 故⊥，即EG⊥AB. (2)解　由(1)知＝－a＋b＋c， 所以||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝， 则||＝， 即EG的长为. (3)解　由题意知＝(＋)＝b＋c， ＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝＝－， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为. 16.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点． (1)求证：EF∥AC； (2)求CE与AG所成角的余弦值． 【答案】(1)证明　设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底． 所以＝－＝i－j＝(i－j)， ＝－＝i－j. 所以＝. 所以EF∥AC. (2)解　因为＝＋＝－j＋k， ＝＋＝－i＋k， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以CE与AG所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $