练案4 第一章1.2 空间向量基本定理-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

(2):AC+P元=A店+BC+P元 .IAC+P心12=AB12+1BC2+1P心2+2AB.B元+2AB. P元+2Bt.P元=a2+a2+a2+0+2a2cos60°+2a2cos60 =5a2, .1At+P元=5a 11.D设a与b的夹角为0，由a+b+c=0,得a+b=-c,两边 平方，得a2+2a·b+b2=c2,因为1al=2,1b1=3,1cl=4, 所以4+2×2×3cos0+9=16,解得cos0=4,即A,B,C选 项均不符合ms0子 12.7P心2=(Pi+Ad+D心2=Pi12+1Ai+1Ci12+2Pi. Ad+2Ad.D元+2PA.D元=6+4+32+21Ad11DC1cos120 =49,所以P=7. 13.【解析】(1)如图，BD=AD-A店=AA+A心-A应 D B (2)因为AC=AB+AD,AB=AD=1,A41=2, ∠BAD=T,LBAM,=∠DAM,=于 所以BD·A亡=(AA+A-A应)·(A店+A) =AA·AB+AA·A市+AD.AB+A亦-AB-AB.Ad =A4.AB+AA.A面+A-A它 又不·店=11·11cos(国，应》=2×1×o牙=1， 4·Ad=11.14d1cos(M,)=2×1×os号=l, 所以BD.A=1+1+1-1=2. 1BD1=√/(A-A店+AA)2=6, 14.【证明】BD=Bi+DD=AD-AB+A4, 成-丽+n=(+. 所以丽·床=-之（而.店+市.不-破-. +4,话+)=-之×(0+0-1+)=0， 所以BD⊥E市 15.[0,1]依题意，设B成=入BD,其中入∈[0,1]，D元·A AB.(A店+B)=A.(A店+ABD)=AP+入A店.BD=1 +A×1×月×(-9）=1-Ae[01小.因此成.产的取 值范围是[0,1]. 16.【解析】(1)证明：设C⑦=a,C=b,CC=c. B. C a 依题意有lal=Ibl, BD =CD-CB =a-b. 设c⑦，C店，cC两两夹角均为0， 于是CC.B⑦=c·(a-b)=c·a-c·b =Icllalcos 0-Icllblcos 0=0, .CC⊥BD. (2)若AC⊥平面C1BD,则AC⊥DC1,AC⊥BD. 由CA·C,i=(C+A4)·(ci-CC) =(a+b+c)·(a-c) =Ial2-a·c+a·b-b·c+c·a-lcl2 lal2-1c12+Ibllalcos 0-Ibllclcos 0 =lal-Icl)(lal +lcl +lblcos 0)=0, 得当Icl=Ial时，AC⊥DC 同理可证，当Ia=|b1时，A,C⊥BD. 净品-1时4G1平面G0 练案[4] 1.B当非零向量a,b,c不共面时，{a,b,c}可以作为空间的一 个基底，否则不能作为空间的一个基底，当{a,b,c}为空间的 一个基底时，一定有a,b,c为非零向量.因此p共q,9→p,即p 是g的必要不充分条件 2D成-丽+立-+分（团+成）=b-之+e A错误：AC=A店+Ai+CC=a+b+c,B正确；AC=a+b+ c,则1AC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+ 2b·c=6,则1AC1=6,C错误；AB·AC=a·(a+b+c)= Q+a·b+a·c=2,则cos(Aa,AC-C=D 正确. 3.C如图，设A元=a,Ci=b,D店=c,则A店 =a+b+c,所以AB.C⑦=(a+b+c)· b=1,1A1=2,1Ci1=1,所以cos(AB, =高二所以异面直线m所成的角等于60， 4.B因为Bd=xBG+yB晾+成=xB底+yB+BB,点O 在平面B,GF内，所以x+ +子=1，同理可得子+方+：=1， 解得x+y=子=号所以x++:=号 5.A设AB=a,AD=b,AA=c,则a,b,c构成空间的一个正交 基底：=不-成--号4C=a+成-子(a+b+c) 40 +石e1=√a+c+g 2 21 6 6-2店-分A心+子币连接AG并延长交BC于点M,连接 A(图略)，则庄=正-衣=店+子励-子i=店+ 子(-商-子×分（破+心=立破兮花+子d 7行如图，画出对应的正四面体，设应 =a,A亡=b,A⑦=c,则{a,b,c构成空间 的一个基底.设正四面体ABCD的棱长 B 均为1，因为成=D+i=-c+子(a +b)=)(a+b-2c),d=d-A花=2a-b=7(a-2b). 又a:b=a:c=b:c=子设异面直线DM与CN所成的角为0， 则c0s0= 2Di·2Cd-1(a+b-2c)·(a-2b)l 12 DMI2 CNI 5x5 la2-2a…b+a·b-2b2-2a·c+4b·cl- 1-1+2-2-1+2 3 3 8【解析】O-oi+心=2O+子 =2i+子(- =20+子（示-2 =。i+号×分（成+0心 -6oi+号i+}d 00+Op =4i+ai+6诚+d =号oi+60i+60d 9.【解析】因为0心=0+A花=O+子A币 =oi+号(o励-0i)=号a+子ad =}oi+子×2(oi+0d)=}(a+b+c). 又耐-号成-子x分成+d=b+c), 所以i=oi-0心=子(b+c)-子(a+b+c) =- 10.【解析】(1)证明：设C=a,C2=b,CC=c, 根据题意，得lal=Ibl=lcl且a·b=b·c=c·a=0. -24 所以C成=b+2c,i=-c+2b-2a 所以正.市-+2=0， 所以C应⊥A'方，即CE⊥A'D. (2)因为14C1=万1al,1C1=51al, 2 又AC=-a+c, a.2-(-a+e)·(b+2）=2=1a. 所以om(C,,。之a: 0 2.51a 10 2 所以异面直线正与4C所成角的余院位为巴 1B设器-A,因为咏-应+成+d+成-A照-应 +A0+2加=--店+市+2=-店+市+ (分-A)d所以x=-1y=1=号-九因为x+y+ 分-A=子所以A=子 1 12.B在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，连接AC,如图，P= 2E或，P市=F元，则E市=E+BA+A巾+ ㎡=}P店-店+的+？P元=}P -+市+之（花-）=}（店-市）-店+市+ 2+市-动)=-名店+2市+6市 石(-A应+3Ai+a,又AB=AP=6,AD=2,∠BD= ∠BAP=∠DAP=60°，则A店·Ad=Ad.AD=6×2×cs60°=6， 店.=6x6×s6①°=8，因此，=√-+3动+ =石√亦+9亦+产-6硒.而+6.币-2.示 =石/66+9x4+36-6×6+6×6-2x1=2 13.B长方体ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD是边长为2的正 方形，设A4=a,直线B,与BD,所成角的余弦值为？，因为 AB=A店+BB=A+M,BD=BB+BD=AA+B成=AA +A币-店，由题意可得A店.=A店.市=AM·布=0，所 以AB.BD=(AB+AA)·(A+A-AB)=A店·AA+A应 .A市-A在++A.A市-A·A应=A-A市=-4， AB2=AB+AA?+2AB.AA=4+a,BD?=AA+AD+ A它+2AA·Ad-2AA·A店-2Ai.A2=a2+4+4=a2+8, 所以IAB1=√4+a,1BD1=√8+a,所以1cos(AB,BD)1 LAB·BD la2-41 号，整理可得0 5 =成1.丽4+8·V8+云 -13a2+12=0,可得a2=1或a2=12,解得a=1或25.所 以A41=1或A41=2√5.故选B. 14.Bi+M+N⑦√⑩ 在矩形ABCD 2 中，AB=1,BC=5,则可得AM= 2 BM=9,CN=之，ND=5,MN=1.因 为平面ABC与平面ACD垂直，BM⊥AC,平面ABC∩平面ACD =AC,BMC平面ABC,则BM⊥平面ACD,所以BM L ND, 由题可得B成=B立+M+N⑦，所以1B12=(Bi+M+ N⑦)2=B12+1M2+1Wi12+2(B成.M+M.N+ 成.=()++()+2×0+0+0)=多所 以励1= 15.5-1设A店=a,Ad=b,AA=c,则{a,b,c}构成空间的 个基底.设AB=1,因为BD1AW,所以Bi·A=0,因为B Ai-A=b-a,A=AA+A=c+Ab,所以(b-a)·(c+ Ab)=0,所以7+A-号-分=0，所以A=5-1 16.【解析】连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略). 由题意，可令P,PB,P乙}为空间的一个基底， 成=成=子i+ 4 A+5×延 2 =可+4(Pi-pi+(P元-pi) =4+4+4元 :点D,E,F,M共面，.存在实数入4使得Di=入D成+uD 即Pi-Pi=(P龙-P)+u(P成-Pi), :.PM=(1-入-)Pi+入P呢+4P市=(1-A-u)mPA+ n产店+P元，由空间向量基本定理，知子=(1-A-)m, 子=An, +。+=41-A-0)+4纵+拟=4，为定值 ”十 m n 练案[5] 1.A点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数 即得A'的坐标为(-2，-3，-4) 2 2.A由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为 (-1,1,-1). 3.C由题图知，点P在x轴y轴、z轴上的射影分别为P,P2, B,它们在坐标轴上的坐标分别是子，5,4，放点P的坐标是 (354小 4.A0A=8(i+j)+6(G+k)+4(k+i)=12i+14+10k=(12, 14,10) 5.A由B点坐标是(-1,2,1)，得0B=-i+2i+k,故10B12= 1+4+1=6,枚10B1=√6. 6.(0,√2,5)由于垂足在平面0z上，所以纵坐标、竖坐标不 变，横坐标为0. 7(分0，之）m=证+=分+成)+分（厨 +脑)=厨成==(30，） 8.(1,-2,0)设a=0A=(1,-2,3),得A(1,-2,3),所以点 A在坐标平面Oxy上的投影A'(1,-2,0),所以a在坐标平面 0灯y上的投影向量的坐标为(1，-2,0). 由题意知P0=√PA-OA平= PA'- () =√4，点M在x轴、y轴、z轴上的射影 分别为以0，以，它们在坐标轴上的坐标分别为-三，0 ,所以点N的坐标为(-号0，) 10.【解析】DB=DA+D元+DD =2i+2j+2k=(2,2,2), 呢-i+D成+D =2i+2j+2×2k =2i+2j+k=(2,2,1), 亦=2元=3×25j=j=(0,1,0). 11.A因为点A(1,2,3)关于x轴的对称点为B,所以B(1,-2, -3),所以点B到z轴的距离d=2+(-2)2=5.故 选A. 12.ACD根据题意知，点B,的坐标为(4,5,3)，选项A正确：B 的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B 对称的点为(8,5，-3)，选项B错误；在长方体中AD1=BC =√AD2+AA=5=AB,所以四边形ABC,D,为正方形，AC 与BD,垂直且平分，即点A关于直线BD对称的点为C(O, 5,3),选项C正确；点C关于平面ABBA对称的点为(8,5， 0),选项D正确. 13.(1,2,1)因为点P在平面Oxy上的射影为P(1,2,0),在 平面0yz上的射影为P2(0,2,1),所以P(1,2,1) 14.【解析】因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,且AB⊥AD,练案[4] 第一章1.2 空间向量基本定理 A组·基础巩固 6.如图，在四面体ABCD中，G为 1.设p:a,b,c是三个非零向量；q:{a,b,c}为空 △ABC的重心，E是BD上一 间的一个基底，则p是q的 ( 点，BE=3ED,以{AB,AC,AD A.充分不必要条件 为空间的一个基底，则G正= B.必要不充分条件 C.充要条件 7.正四面体ABCD中，M,N分别为棱BC,AB的 D.既不充分也不必要条件 中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值 2.（多选)如图，在平行六面体ABCD-ABC,D1 为 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它8.如图，M,N分别是四面体 们彼此的夹角都是60°，M为AC,与B,D1的 OABC的边OA,BC的中 M 交点，若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列结论正 点，P,Q是MN的三等分 确的是 ( 点.用向量0,0店，0元表 A D 示0P和0Q, A.BM-74- Ib+c B.AC:=a+b+c C.IACI=5 D.cs(A店，AG=￥5 3 3.已知l,m是异面直线，A,B∈1，C,D∈m,AC⊥ m,BD⊥m且AB=2,CD=1,则异面直线l,m 所成的角等于 ( A.30°B.45°C.60°D.90° 4.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，E,9.如图所示，在空间四边形 OABC中，G,H分别是 F,G分别在棱BB1,BC,BA上，且满足B2= △ABC,△OBC的重心，设 B配B亦=8C,C=.0是平面B,Gr、 0A=a,0B=b,0C=c,用 平面ACE与平面B,BDD,的一个公共点，设Bd= 向量a,b,c表示向量G, xBG+yBF+zB2,则x+y+z等于 ( A青 R号 c 8 D. 5 5.如图，正方体ABCD D AB,C,D1的棱长为1，Ai= C点N为BB的中点， 则IMW1等于 6 B.6 C.5 D. 6 131 10.如图，已知在直三棱柱ABC- B13.长方体ABCD-AB,CD1中，底面ABCD是 A'B'C'中，AC=BC=AA') 边长为2的正方形，若直线AB,与BD1所成 ∠ACB=90°，D,E分别为 A AB,BB'的中点， 角的余弦值为曾，则4，的长为 (1)求证：CE⊥A'D: D A.25 B.1或23 (2)求异面直线CE与AC C.12 D.1或12 所成角的余弦值. 14.已知在矩形ABCD中，AB=1,BC=√3，将矩 形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与 平面ACD垂直，过点B,D分别向AC作垂线， 垂足分别为M,N,用BM,MN,ND表示BD,则 BD= ,点B与点D之间的 距离为 C组·拓展提升 15.在如图所示的平行六面体ABCD-AB,C,D, 中，已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1= 60°，∠BA41=30°，N为AD1上一点，且A1N B组·综合运用 =AAD,若BD⊥AN,则入的值为 11.如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D1中，E, D N A F分别在棱BB,和DD,上，且DF=号DD,记 D、 成=x花+y而+：，若x+y+=4则 B 照干 16.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的 重心，点M在PG上，且PM=3MG,过点M任 D 意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点 D.E,F,PD=m PA,PE n PB,PF=t PC, 求证女+女+为定值，并水出淡定流 N方 B.d c号 D 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，且AB=AP=6,AD=2,∠BAD= ∠BAP=∠DAP=60°，E,F分别为PB,PC上 的点，且P元=2E,P=F元，则1E1等于 ( 4.1 B.√2 C.2 D.√6 —132