第9讲 函数的概念及其表示期中专项训练（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第9讲 函数的概念及其表示 一、知识讲解 【知识点 函数的概念】 1．函数的概念(function) (1)设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A (2)函数的特征： ①任意性：定义域中的每一个元素都有函数值（x要铺满） ②专一性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（y很专一） 2．函数的三要素 (1)定义域：自变量的取值范围 (2)值域：函数值的取值范围 (3)对应关系f：它是对自变量x实施的【程序】或者【方法】 3.同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等 4.具体函数求定义域 （1）分式的分母不能为零. （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. （3）零次幂的底数不能为零，即中. （4）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 5.抽象函数的定义域 （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围 （2）函数的的作用对象（即括号里整体对象）的取值范围不变【括号内范围不变】 6．函数解析式的求法 (1)配凑法：已知条件f(g(x))，以x替代g(x)，求f(x) (2)待定系数法：已知一次函数、二次函数、反比例模型，求f(x) (3)换元法：已知f(g(x))，可用换元法，要注意换元的取值范围 (4)方程组法：已知f(x)、、f(-x)，再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x) 7．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数 (2)复合函数的概念：函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)的复合函数，其中t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数 8．求值域【重点】 （1）观察法：；； （2）配方法：二次型函数，配方成，由顶点判断最值，结合定义域确定值域 （3）配凑法、分离常数法：适用于一次分式，拆分常数转化为“常数+反比例型”，利用反比例函数范围求值域。分子凑出分母倍数，拆分分离常数：；判断分式永远不能等于0；推出，结合定义域写出值域。 （4）判别式法：适用于分式二次函数，整理成关于的一元二次方程，有实数解则，解出范围。交叉相乘整理为；分类：（一次方程，单独验证有无解）；用； 解不等式得到范围；检验舍去增根。 （5）其他方法：基本不等式法、换元法、平方法、反解法 二、必过题型 【题型1 理解函数概念】 1.（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．  B．  C．   D．   2．（25-26高一上铜陵期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 4.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（   ） A．  B．  C．   D．   5．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 6.（25-26高一上·山东期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·全国）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【题型2 求具体函数的定义域】 1.（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 4.（24-25高三下·内蒙古）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 6.（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 1.（25-26高一上·江西上饶）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2.（25-26高一上·广东深圳）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·安徽期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.（2025高三·全国）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 6.（24-25高一上·河南）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高一上·辽宁）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 8.（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为的定义域为___________． 9．（24-25高一上·贵州）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________. 【题型4 求函数的值域】 1.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 5.（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 6.（2024高三·全国）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 7.（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 10．（25-26高一上·江西上饶）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 11．【数学文化】（多选）（25-26高一上·湖北荆州·期末）高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．函数的值域为 【题型5 求函数值或赋值法求参】 1.（25-26高一上·云南）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.（25-26陕西期中）已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26山东期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 5.（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（25-26高一上·上海普陀）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 7．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8．【数学抽象】（多选）（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的x，y都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 判断两个函数是否相等】 1.（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·安徽合肥·期中）（多选）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·天津武清）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4.（25-26高一上·湖北）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一上·江西）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 6.（多选）（24-25高一上·广东）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型7 函数解析式的求解】 1.（25-26山东枣庄）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·全国）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·福建三明）已知，则（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求下列函数的解析式：已知函数满足，求函数的解析式. 9.（2026高一上·河南安阳）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 10.（25-26高一上·河北沧州）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 12.（25-26高一上·山东）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 13.（25-26高一上·河北沧州）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高三上·江苏扬州）写出满足的函数的解析式_____________． 【题型8 分段函数】 1.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则（   ） A．10 B．2 C．1 D． 2.（25-26高一上·山东临沂）若函数则（   ） A． B． C．0 D．4 3.（25-26高一上·贵州·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 4.（25-26高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 5.（2026·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西宜春）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 函数的概念及其表示 一、知识讲解 【知识点 函数的概念】 1．函数的概念(function) (1)设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A (2)函数的特征： ①任意性：定义域中的每一个元素都有函数值（x要铺满） ②专一性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（y很专一） 2．函数的三要素 (1)定义域：自变量的取值范围 (2)值域：函数值的取值范围 (3)对应关系f：它是对自变量x实施的【程序】或者【方法】 3.同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等 4.具体函数求定义域 （1）分式的分母不能为零. （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. （3）零次幂的底数不能为零，即中. （4）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 5.抽象函数的定义域 （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围 （2）函数的的作用对象（即括号里整体对象）的取值范围不变【括号内范围不变】 6．函数解析式的求法 (1)配凑法：已知条件f(g(x))，以x替代g(x)，求f(x) (2)待定系数法：已知一次函数、二次函数、反比例模型，求f(x) (3)换元法：已知f(g(x))，可用换元法，要注意换元的取值范围 (4)方程组法：已知f(x)、、f(-x)，再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x) 7．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数 (2)复合函数的概念：函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)的复合函数，其中t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数 8．求值域【重点】 （1）观察法：；； （2）配方法：二次型函数，配方成，由顶点判断最值，结合定义域确定值域 （3）配凑法、分离常数法：适用于一次分式，拆分常数转化为“常数+反比例型”，利用反比例函数范围求值域。分子凑出分母倍数，拆分分离常数：；判断分式永远不能等于0；推出，结合定义域写出值域。 （4）判别式法：适用于分式二次函数，整理成关于的一元二次方程，有实数解则，解出范围。交叉相乘整理为；分类：（一次方程，单独验证有无解）；用； 解不等式得到范围；检验舍去增根。 （5）其他方法：基本不等式法、换元法、平方法、反解法 二、必过题型 【题型1 理解函数概念】 1.（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．  B．  C．   D．   【解答过程】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义.故选：B. 2．（25-26高一上铜陵期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，，当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，，当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，，当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意.故选：D. 3.（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确；对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确.故选：C. 4.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（   ） A．  B．  C．   D．   【解答过程】A：由图可知函数值域是集合N的真子集，所以不符合题意； B：显然函数的定义域不是集合，所以不符合题意； C：在内，存在值有两个值与之对应，不符合函数的定义，所以不符合题意； D：由图象可以看到，符合函数的定义、定义域和值域，符合题意，故选：D. 5．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【解答过程】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件;故选：AD. 6.（25-26高一上·山东期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又，所以为从到的函数，故D正确.故选：D. 7.（25-26高一上·全国）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误．故选：B. 【题型2 求具体函数的定义域】 1.（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由得，，解得,由得，，解得, 综合两个条件，函数的定义域为.故选：C. 2.（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意知，，解得且.所以函数的定义域为.故选：D. 3．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【解答过程】要使有意义，只需，即， 解得或，所以函数的定义域为.故选：C. 4.（24-25高三下·内蒙古）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，解得或，∴函数的定义域为.选：C. 5.（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C【详解】由题意知，，又恒成立，所以函数的定义域为. 6.（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】【详解】要使函数有意义，需使，即， 所以，即或.故函数的定义域是. 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 1.（25-26高一上·江西上饶）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【解答过程】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且.故选：B. 2.（25-26高一上·广东深圳）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为的定义域为，所以中，所以， 在中令，解得，所以的定义域为.故选：B. 3.（25-26高一上·安徽期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【解答过程】由函数的定义域为，函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为.故选：D. 4．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是.故选：C 5.（2025高三·全国）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【详解】由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 6.（24-25高一上·河南）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由有意义，可得，解得.要使函数有意义， 则，解得.对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集，所以函数的定义域为.故A错误，D正确. 7.（24-25高一上·辽宁）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【详解】函数的定义域为，函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是.故答案为： 8.（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为的定义域为___________． 【答案】【详解】因为函数的定义域为，令， ，所以的定义域为，，即， 所以函数的定义域为. 9．（24-25高一上·贵州）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是.故选：C 10．（25-26高一上·浙江期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________. 【解答过程】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立，当时，，恒成立； 当时，则有，解得；综上，实数的取值范围为. 【题型4 求函数的值域】 1.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】令，则，可得， 所以，因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为.故选：D. 2.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意得，令，可得，则，即原函数化为，由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确.故选：B. 3.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数的值域为.故选：D. 4.（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 【详解】,由于，故，故值域为， 5.（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 6.（2024高三·全国）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【详解】令，则，∵，∴， ∴，令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，，∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 7.（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【详解】，当时，.则.故选：B. 8．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】，，，， 设，则，可得， 设，则，，，，， ，，，，的值域为.故选：C. 9．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 【答案】【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知：，即值域为. 解法二：（判别式法）将函数化为①时，方程不成立； ②时，由得，解得： 综上：所以函数的值域为. 10．（25-26高一上·江西上饶）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为.故选：A 11．【数学文化】（多选）（25-26高一上·湖北荆州·期末）高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】ACD【详解】，故A正确； ，则，故B错误； ，故C正确； 若，则， 由C选项可知，函数在上的值域为，故D正确.故选：ACD 【题型5 求函数值或赋值法求参】 1.（25-26高一上·云南）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答过程】对于，且，，令，可得，解得， 因为，所以，解得，令，可得，得到， 则，故D正确.故选：D. 2.（25-26陕西期中）已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，，所以令，得， 所以令6，得.故选：D. 3．（25-26山东期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解答过程】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得，所以.D. 4．（25-26天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，所以的值域为. （2）因为的定义域为，所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得，综上所述，实数的取值范围. 5.（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为，所以为方程的两根，所以. 6.（25-26高一上·上海普陀）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意；当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 7．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】令可得，即，解得， 令，可得，则， 令，可得，则， 令，可得，可得 因此，.故选：C. 8．【数学抽象】（多选）（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的x，y都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD【详解】对于任意的x，y都有， 令，得，因为，所以，即，故A正确； 令，得，即，所以，所以，故B错误；，， 所以，故C正确；，，，， 所以故D正确．故选：ACD． 【题型6 判断两个函数是否相等】 1.（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是.故选：BD 2.（25-26高一上·安徽合肥·期中）（多选）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合； 对于B：的定义域为，值域为，故B不符合； 对于C：的定义域与值域均为，故C符合； 对于D：的定义域为， 值域：令，则，原式为， 根据二次函数的性质可知，，故D符合.故选：ACD. 3.（25-26高一上·天津武清）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：B. 4.（25-26高一上·湖北）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为，的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合.故选：B. 5.（24-25高一上·江西）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误.故选：B. 6.（多选）（24-25高一上·广东）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错.故选：BC. 【题型7 函数解析式的求解】 1.（25-26山东枣庄）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】令，则，即为， 所以.故选：C. 2.（25-26高一上·全国）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【解答过程】设，由题设有， 解得，所以．故选：B． 3.（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【解答过程】设（），由，则，由，则，整理可得，则，解得， 所以.故选：B. 4.（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】设，则，因为，可得， 所以函数 ．故选：C． 5.（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【解答过程】令，则，所以，. 所以.故选：B. 6.（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【解答过程】令，则，可得，所以.故选：B. 7.（25-26高一上·福建三明）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意知，即， 令，因为，故，则可得，故，故选：A. 8.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求下列函数的解析式：已知函数满足，求函数的解析式. 因为，故可将变换为得，解得. 9.（2026高一上·河南安阳）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【解答过程】（1）因为，因为，所以； （2）设，则， 所以，解得或，所以或； （3）因为定义在上的函数满足①，所以②， 由①②，得，所以 10.（25-26高一上·河北沧州）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，所以，两式联立可得，故选：D. 11.（25-26高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【解答过程】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得.故选：D. 12.（25-26高一上·山东）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由①，可得②， ①②得：，即.故选：A. 13.（25-26高一上·河北沧州）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由，以替代，可得， 联立，消去，得.故选：A. 14.（25-26高三上·江苏扬州）写出满足的函数的解析式_____________． 【解答过程】中，令，得； 令得，故，则． 【题型8 分段函数】 1.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则（   ） A．10 B．2 C．1 D． 【解答过程】函数，则.B. 2.（25-26高一上·山东临沂）若函数则（   ） A． B． C．0 D．4 【解答过程】由题意可得．故选：C． 3.（25-26高一上·贵州·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【解答过程】当时，，解得或（舍），当时，，解得（舍）.A. 4.（25-26高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【解答过程】当，即时：，解得； 当，即时：，设（），则， ，即，解得. 综上所得，或.故选：A. 5.（2026·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意可知，当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解.综上，.故选：C. 6．（25-26高一上·江西宜春）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答过程】设，则，当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意.综上，可得.故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $