专题4.2 指数函数专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.2 指数函数 考点预览 考点一 指数函数的概念与解析式 考点二 指数函数的图象与变换 考点三 单调性的应用与比较大小 考点四 指数型的定义域与值域 考点五 指数函数的实际应用 一、知识填空 1．指数函数的概念 （1）一般地，函数 叫做指数函数，其中自变量是 。 （2）底数 的取值范围是 。 （3）解析式的三个特征：系数为 ，只有 项，自变量在 位置上。 2．指数函数的图象与性质 （1）当 时，函数在 上 ；当 时，函数在 上 。 （2）任意指数函数的图象都经过定点 。 （3）当 时， 则 ， 则 ；当 时结论正好相反。 （4）在第一象限内，底数 越 ，图象越靠近 轴（填大或小）。 3．底数互为倒数的两个指数函数 （1） 与 即 的图象关于 对称。 （2）这两个函数的单调性 （填相同或相反）。 4．图象的平移变换 （1）把 的图象向 平移 个单位得到 的图象（）。 （2）把 的图象向上平移 个单位得到 的图象。 （3）函数 恒过定点 。 5．指数型函数的定义域与值域 （1）求 的定义域，本质是解不等式 。 （2）形如 求值域，需先换元令 ，注意 的取值范围是 。 （3）换元后转化为关于 的 函数求值域。 二、考点专练 考点一 指数函数的概念与解析式 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给的是"指数函数 "，或给含参数的式子问参数取值，或给一点坐标求解析式。 1. 操作流程：判断是否为指数函数，依次检查"系数等于 、只有一项、底数 且 "三条；求解析式时把已知点代入后解方程。 1. 技巧·口诀：形如 是指数函数，就令系数表达式等于 ，解出的结果还要用 且 筛一遍。 1. 易错点：、、、 都不是指数函数； 解出 时要舍去，这是最常见的丢分点。 【例题精讲】 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 是指数函数，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【变式训练】 1．指数函数 的图象经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．函数 （，）的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 3．若指数函数 满足 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列函数中一定是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 是指数函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．指数函数 的图象经过点 ，则底数 等于（　　） A． B． C． D． 4．若函数 是指数函数，则 的值为（　　） A． 或 B． C． D． 或 5．已知指数函数 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则指数函数 中 等于（　　） A． B． C． D． 8．指数函数 在 上递减，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点二 指数函数的图象与变换 方法与技巧： 1. 识别信号：题目要求判断图象形状、求恒过定点、或说明由基本图象怎样平移得到。 1. 操作流程：先锁定基础图象 过定点 、无限接近 x 轴；再看是 还是 方向平移，最后按"左加右减、上加下减"平移定点。 1. 技巧·口诀： 的定点是把 向右移 、向上移 ，得到 ； 找定点最快的办法永远是"令指数部分等于 "。 1. 易错点： 是向左平移而不是向右； 上下平移时图象无限接近的那条直线也跟着变成 y=c。 【例题精讲】 1．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位 2．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【变式训练】 1．若函数 的图象经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．若函数 的图象在第一象限从左向右逐渐上升，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 （，）的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 2．把函数 的图象向下平移 个单位，所得图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则函数 与 在同一坐标系中的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 4．若函数 的图象与 的图象关于 轴对称，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．函数 的图象向右平移 个单位后，再向上平移 个单位，所得解析式为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的图象无限接近的直线为 y=2，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则函数 的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 8．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 考点三 单调性的应用与比较大小 方法与技巧： 1. 识别信号：比较两个幂的大小、解含有 的不等式、或已知单调性反求底数范围。 1. 操作流程：先判底数与 的大小定增减性，再把不等式两边的实数写成同底的幂（如 、），最后把指数的大小关系反向或直接翻译过去。 1. 技巧·口诀：底数大于 ，指数大的值大（不等号方向不变）； 底数在 到 之间，指数大的值小（不等号方向反转）。 1. 易错点：把 写成 是常用手段，别忘记； 底数在 时忘记翻转不等号是最典型的错误。 【例题精讲】 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．设 ，，，则它们的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 在 上递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 3．设 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 4．若 ，则底数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．函数 在 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 6．若不等式 （其中 ）成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 8．设 ，，，则大小关系是（　　） A． B． C． D． 考点四 指数型的定义域与值域 方法与技巧： 1. 识别信号：出现 、、或 求值域，以及 求定义域值域。 1. 操作流程：求定义域先把限制条件翻译成关于 的不等式，再用指数函数单调性解出 ； 求值域先令 ，化为二次函数后注意 的取值范围。 1. 技巧·口诀：换元后必须先写 ，再看抛物线顶点是否落在允许区间内； 取不到端点时，值域端点要写开区间。 1. 易错点：把 的取值范围写成 或 会算错值域； 忘记 恒大于 ，导致丢掉这一隐含条件。 【例题精讲】 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D．不存在 4．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．若函数 （其中 ）的定义域是 ，则底数 满足（　　） A． 即可 B． C． D． 8．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 考点五 指数函数的实际应用 方法与技巧： 1. 识别信号：增长率（复利、人口）、衰减问题（半衰期、折旧），题干出现"每年增长 ""每经过 年减为原来的一半"等。 1. 操作流程：确定初始值 与单位时间后的倍数 ，写出模型 （增长时 ，衰减时 ），再代入具体问题求值。 1. 技巧·口诀：增长 则 ；"减为原来的一半"则 ； 求"翻一番""降到 "这类问题，本质是解方程 或 。 1. 易错点：把"增长到原来的 倍"错写成 而忽略时间单位； 第 年末与第 年初对应的是不同的 ，要按题意对齐。 【例题精讲】 1．某种病菌每经过 小时繁殖为原来的 倍，由 个繁殖到 个需要（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时 2．某放射性元素的质量每年衰减为原来的 ，现有 克，经过 年后剩余质量为（　　） A． 克 B． 克 C． 克 D． 克 【变式训练】 1．某企业年产值为 万元，计划每年比上年增长 ，则两年后的产值是（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 2．某商品的价格每年上涨 ，现价为 元，则 年后的价格为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 3．一种电子产品每台成本为 元，若每年成本降低 ，则两年后每台成本是（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【巩固练习】 1．某种细胞分裂时，由 个分裂成 个，由 个分裂成 个，则经过 次分裂后的个数是（　　） A． B． C． D． 2．某林场现有木材 立方米，若每年增长 ，则两年后木材蓄积量为（　　） A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米 3．某机器原值 万元，每年折旧后残值为上年的 ，则两年后的残值是（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 4．某城市现有人口 万，若年自然增长率为 ，则大约经过多少年人口将达到 万？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 5．某药物进入人体后，每经过 小时剩余量为原来的一半，现有该药物 毫克，经过 小时后剩余（　　） A． 毫克 B． 毫克 C． 毫克 D． 毫克 6．某种产品的月销售量每月增长 ， 月销售量为 件，则 月的销售量是（　　） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 7．若某地的绿地面积每年以 的速度增长，则大约在几年后翻一番？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 8．某工厂今年利润为 万元，若每年利润比上一年增长 ，则 年后利润 （万元）与 的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．设 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 7．某产品年产量为 ，若每年比上一年增产 ，则三年后的产量是（　　） A． B． C． D． 8．若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．函数 与 的图象的交点是（　　） A． B． C． D．不存在 10．函数 在 上的最大值与最小值的差为 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 11．已知函数 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 12．某种话梅原价每袋 元，若每年价格上涨 ，则三年后的价格与原价之比为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 指数函数 考点预览 考点一 指数函数的概念与解析式 考点二 指数函数的图象与变换 考点三 单调性的应用与比较大小 考点四 指数型的定义域与值域 考点五 指数函数的实际应用 一、知识填空 1．指数函数的概念 （1）一般地，函数 叫做指数函数，其中自变量是 。 （2）底数 的取值范围是 。 （3）解析式的三个特征：系数为 ，只有 项，自变量在 位置上。 2．指数函数的图象与性质 （1）当 时，函数在 上 ；当 时，函数在 上 。 （2）任意指数函数的图象都经过定点 。 （3）当 时， 则 ， 则 ；当 时结论正好相反。 （4）在第一象限内，底数 越 ，图象越靠近 轴（填大或小）。 3．底数互为倒数的两个指数函数 （1） 与 即 的图象关于 对称。 （2）这两个函数的单调性 （填相同或相反）。 4．图象的平移变换 （1）把 的图象向 平移 个单位得到 的图象（）。 （2）把 的图象向上平移 个单位得到 的图象。 （3）函数 恒过定点 。 5．指数型函数的定义域与值域 （1）求 的定义域，本质是解不等式 。 （2）形如 求值域，需先换元令 ，注意 的取值范围是 。 （3）换元后转化为关于 的 函数求值域。 自检自纠： 1．（1）（ 且 ）； （2） 且 （3）；一；指数 2．（1）递增；递减 （2） （3）； （4）大 3．（1） 轴 （2）相反 4．（1）右 （2） （3） 5．（1） （2）； （3）二次 二、考点专练 考点一 指数函数的概念与解析式 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给的是"指数函数 "，或给含参数的式子问参数取值，或给一点坐标求解析式。 1. 操作流程：判断是否为指数函数，依次检查"系数等于 、只有一项、底数 且 "三条；求解析式时把已知点代入后解方程。 1. 技巧·口诀：形如 是指数函数，就令系数表达式等于 ，解出的结果还要用 且 筛一遍。 1. 易错点：、、、 都不是指数函数； 解出 时要舍去，这是最常见的丢分点。 【例题精讲】 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 的系数为 ；C 是幂函数；D 的底数为负数。 只有 B 符合 （ 且 ）的形式。故选 B。 2．若函数 是指数函数，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】指数函数要求系数等于 ，即 ， 整理得 ，解得 或 。 又底数必须满足 且 ，故舍去 ，得 。故选 A。 【变式训练】 1．指数函数 的图象经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。 于是 。故选 A。 2．函数 （，）的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令指数部分为零： 即 ， 此时 ，与 的取值无关。 故定点为 。故选 A。 3．若指数函数 满足 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 及 得 ， 故 。 底数为正，负根必须舍。故选 A。 【巩固练习】 1．下列函数中一定是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A 底数为负；B 没注明 且 ；D 是幂函数。 只有 C 完全符合定义。故选 C。 2．若函数 是指数函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数要满足 且 。 解得 且 。 两个条件都要写全，只写前者会漏掉 。故选 A。 3．指数函数 的图象经过点 ，则底数 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 及 得 。故选 A。 4．若函数 是指数函数，则 的值为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】令系数等于 ：， 整理得 ，解得 或 。 此时底数 已满足条件，两个值都成立。故选 A。 5．已知指数函数 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 及 ，两边同除以 得 。故选 A。 6．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 得 ，此时 。 故定点为 。故选 A。 7．若 ，则指数函数 中 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边平方得 ，满足 且 。故选 A。 8．指数函数 在 上递减，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】递减说明 ，由 得 ，符合条件。故选 A。 考点二 指数函数的图象与变换 方法与技巧： 1. 识别信号：题目要求判断图象形状、求恒过定点、或说明由基本图象怎样平移得到。 1. 操作流程：先锁定基础图象 过定点 、无限接近 x 轴；再看是 还是 方向平移，最后按"左加右减、上加下减"平移定点。 1. 技巧·口诀： 的定点是把 向右移 、向上移 ，得到 ； 找定点最快的办法永远是"令指数部分等于 "。 1. 易错点： 是向左平移而不是向右； 上下平移时图象无限接近的那条直线也跟着变成 y=c。 【例题精讲】 1．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位 【答案】A 【详解】指数由 变成 ，属于"左加右减"， 故把 的图象向左平移 个单位即可。故选 A。 2．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【答案】A 【详解】， 把 中的 换成 ，图象关于 轴对称。 一般地， 与 关于 轴对称。故选 A。 【变式训练】 1．若函数 的图象经过点 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入 得 ，故 。 这里用到了 （与 无关）。故选 A。 2．若函数 的图象在第一象限从左向右逐渐上升，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图象上升说明函数在 上递增， 由指数函数的性质知此时 。故选 A。 3．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 得 ，此时 。 故定点为 。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 （，）的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 得 ，此时 ，定点为 。 这就是把 向右平移 个单位的结果。故选 A。 2．把函数 的图象向下平移 个单位，所得图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】上下平移作用在整体值上，向下平移 个单位即减 。 注意 是向右平移，别混淆。故选 A。 3．若 ，则函数 与 在同一坐标系中的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【答案】A 【详解】，相当于把 换成 ， 故两个图象关于 轴对称。 底数互为倒数的两个指数函数都满足这条性质。故选 A。 4．若函数 的图象与 的图象关于 轴对称，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称意味着把 换成 ： ，故 。故选 A。 5．函数 的图象向右平移 个单位后，再向上平移 个单位，所得解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向右平移 个单位把 换为 ； 向上平移 个单位在整体上加 。 结果为 。故选 A。 6．函数 的图象无限接近的直线为 y=2，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（ 或 视底数而定）， 故 y=ax+c 的图象无限接近直线 y=c，于是 。故选 A。 7．若 ，则函数 的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】 恒成立，图象总在 轴上方， 故只经过第一、二象限，与底数大小无关。故选 A。 8．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 得 ，此时 。 故定点为 。故选 A。 考点三 单调性的应用与比较大小 方法与技巧： 1. 识别信号：比较两个幂的大小、解含有 的不等式、或已知单调性反求底数范围。 1. 操作流程：先判底数与 的大小定增减性，再把不等式两边的实数写成同底的幂（如 、），最后把指数的大小关系反向或直接翻译过去。 1. 技巧·口诀：底数大于 ，指数大的值大（不等号方向不变）； 底数在 到 之间，指数大的值小（不等号方向反转）。 1. 易错点：把 写成 是常用手段，别忘记； 底数在 时忘记翻转不等号是最典型的错误。 【例题精讲】 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把右边写成 ：。 底数 ，函数递增，故 ， 分解得 ，解得 。故选 A。 2．设 ，，，则它们的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、 同底数 ，函数递减，又 ，故 ； 而 ，故 。 综上 。故选 A。 【变式训练】 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 ，函数递减， 故由不等式得 ，解得 。 这里不等号要反转，是本题的唯一考点。故选 A。 2．若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 ，函数递增，直接得 。故选 A。 3．若函数 在 上递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数递减要求底数在 ， 即 ，解得 。 别只写 ，忘了底数为正。故选 A。 【巩固练习】 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把右边写成 ，底数 ，递增， 故 ，解得 。故选 A。 2．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右边写成同底的 ； 底数在 内，函数递减，故 ， 解得 或 。注意不等号反向。故选 A。 3．设 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】底数 ，函数递增，又 ，故 。故选 A。 4．若 ，则底数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 且函数值反而变小，说明函数递增，故 。 这是"由单调性反推底数"的典型设问。故选 B。 5．函数 在 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数在 内，函数递减， 故最大值在左端点 处取得：。故选 A。 6．若不等式 （其中 ）成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数在 内，函数递减，故由 得 。故选 A。 7．已知函数 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】由 而函数值反而变小，说明函数在 上递减，故 。故选 A。 8．设 ，，，则大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、 同底数且底数在 内，由 得 ； 又 ，而 ，故 。 综上 。故选 A。 考点四 指数型的定义域与值域 方法与技巧： 1. 识别信号：出现 、、或 求值域，以及 求定义域值域。 1. 操作流程：求定义域先把限制条件翻译成关于 的不等式，再用指数函数单调性解出 ； 求值域先令 ，化为二次函数后注意 的取值范围。 1. 技巧·口诀：换元后必须先写 ，再看抛物线顶点是否落在允许区间内； 取不到端点时，值域端点要写开区间。 1. 易错点：把 的取值范围写成 或 会算错值域； 忘记 恒大于 ，导致丢掉这一隐含条件。 【例题精讲】 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】偶次根式要求 ，即 。 底数 ，递增，故 。 时被开方数为 ，允许取到。故选 A。 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 （），则 ，。 于是 。 因 可以取到（此时 ），故最小值为 ，值域为 。故选 A。 【变式训练】 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】被开方数为正且在分母上，要求 ， 即 ，由递增性得 。 时分母为 ，必须排除。故选 A。 2．函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 ，函数在 上递增， 最小值 ，最大值 ，值域为 。故选 A。 3．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】偶次根式要求 ，即 。 指数位置对 没有额外限制。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ， 由递增性得 。故选 A。 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，且取不到 （ 时才趋近）。 故值域为 。故选 A。 3．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】令 ，则 。 对称轴 ，故在 上递增， 当 时 ，但取不到 。 严格说最小值不存在，四个选项中只有 A 表达的是下确界情形，故选 A。 4．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数部分 。 底数 ，故 ，最小值可取到。故选 A。 5．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，底数在 内，函数递减， 故 ，且恒有 。 时取到最大值 ，值域为 。故选 A。 6．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，则 。 对称轴 可取到，故最小值为 。故选 A。 7．若函数 （其中 ）的定义域是 ，则底数 满足（　　） A． 即可 B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。 因 ，函数递增，解得 ，与已知定义域一致。 故只需 即可。故选 A。 8．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，则 。 因 ，故 ， 从而 。故选 A。 考点五 指数函数的实际应用 方法与技巧： 1. 识别信号：增长率（复利、人口）、衰减问题（半衰期、折旧），题干出现"每年增长 ""每经过 年减为原来的一半"等。 1. 操作流程：确定初始值 与单位时间后的倍数 ，写出模型 （增长时 ，衰减时 ），再代入具体问题求值。 1. 技巧·口诀：增长 则 ；"减为原来的一半"则 ； 求"翻一番""降到 "这类问题，本质是解方程 或 。 1. 易错点：把"增长到原来的 倍"错写成 而忽略时间单位； 第 年末与第 年初对应的是不同的 ，要按题意对齐。 【例题精讲】 1．某种病菌每经过 小时繁殖为原来的 倍，由 个繁殖到 个需要（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时 【答案】A 【详解】列出模型 ，令 ，得 。 这类题的关键是把目标值也写成同底的幂。故选 A。 2．某放射性元素的质量每年衰减为原来的 ，现有 克，经过 年后剩余质量为（　　） A． 克 B． 克 C． 克 D． 克 【答案】A 【详解】模型为 ， 代入 得 （克）。 即每过一年减半，三年后是原来的八分之一。故选 A。 【变式训练】 1．某企业年产值为 万元，计划每年比上年增长 ，则两年后的产值是（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【答案】A 【详解】模型为 ， 代入 得 （万元）。 注意是"复利式"增长，不是两年共增长 的算法。故选 A。 2．某商品的价格每年上涨 ，现价为 元，则 年后的价格为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】（元）。 逐年计算为 ，结果一致。故选 A。 3．一种电子产品每台成本为 元，若每年成本降低 ，则两年后每台成本是（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】每年变为原来的 ，两年后为 （元）。 '降低 ' 对应倍数 ，别写成 。故选 A。 【巩固练习】 1．某种细胞分裂时，由 个分裂成 个，由 个分裂成 个，则经过 次分裂后的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每次分裂个数翻倍，模型为 ， 代入 得 。故选 A。 2．某林场现有木材 立方米，若每年增长 ，则两年后木材蓄积量为（　　） A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米 【答案】A 【详解】每年变为原来的 ， 两年后为 （立方米）。故选 A。 3．某机器原值 万元，每年折旧后残值为上年的 ，则两年后的残值是（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【答案】A 【详解】（万元）。故选 A。 4．某城市现有人口 万，若年自然增长率为 ，则大约经过多少年人口将达到 万？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 【答案】A 【详解】由 得 。 因 ，最接近的选项是约 年。 这类估算题通常用"翻倍熟记值"快速定位。故选 A。 5．某药物进入人体后，每经过 小时剩余量为原来的一半，现有该药物 毫克，经过 小时后剩余（　　） A． 毫克 B． 毫克 C． 毫克 D． 毫克 【答案】A 【详解】 小时共 个半衰期，剩余量为 （毫克）。 先数"经过几个半衰期"比直接代 更快。故选 A。 6．某种产品的月销售量每月增长 ， 月销售量为 件，则 月的销售量是（　　） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 【答案】A 【详解】从 月到 月经过了 个月的增长， 故销售量为 （件）。 注意"月份差"才是自变量的增量。故选 A。 7．若某地的绿地面积每年以 的速度增长，则大约在几年后翻一番？（　　） A．约 年 B．约 年 C．约 年 D．约 年 【答案】A 【详解】由 ，因 ，， 最接近 的是 年。 常用估算： 除以增长率的百分数即大约年数。故选 A。 8．某工厂今年利润为 万元，若每年利润比上一年增长 ，则 年后利润 （万元）与 的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每年变为上一年的 倍， 三年后是这个倍数的三次方，故 。 注意本题中 是百分数前的数，要除以 。故选 A。 三、达标检测 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】B 系数不为 ；C 是幂函数；D 底数为负。 只有 A 符合 （，）的定义。故选 A。 2．函数 的图象恒过定点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 得 ，此时 ，定点为 。故选 A。 3．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右边写成 ；底数在 内，函数递减， 故 。故选 A。 4．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，由递增性得 。故选 A。 5．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，则 。 可取到，故最小值为 。故选 A。 6．设 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】指数相同且为正，可看作幂函数 在 上递增， 由 得 。 同指数不同底时改看幂函数单调性。故选 A。 7．某产品年产量为 ，若每年比上一年增产 ，则三年后的产量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每年变为原来的 倍，三年后为 。 注意"三年后"对应三次乘法，不是两次。故选 A。 8．若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】增函数要求底数大于 ，即 ，解得 。 别只写 ，那只能保证有意义。故选 A。 9．函数 与 的图象的交点是（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】令 得 ，此时 。 两个图象都过 ，且这是唯一交点。故选 A。 10．函数 在 上的最大值与最小值的差为 ，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知函数递增，故 ， 即 ，由 得 。故选 A。 11．已知函数 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 ，函数递增，故 ， 即 ，分解得 ， 解得 。故选 A。 12．某种话梅原价每袋 元，若每年价格上涨 ，则三年后的价格与原价之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三年后价格为 ，与原价之比为 。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $