2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷2（长沙地区适用）

2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷2（长沙地区适用） 时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是（） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．3，4，8 5．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知，，三点均在抛物线上，则，，大小关系为（     ） A． B． C． D． （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 7．如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 9．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．科学记数法表示________． 12．点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 14．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为__________． 16．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． （第14题图） （第15题图） （第16题图） 三．解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18． （6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 20．（8分）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： (1)写出扇形图中______________，并补全条形图； (2)在这次抽测中，测试成绩的众数是______________中位数是______________，第一四分位数是______________． (3)该区体育中考选报引体向上的男生共有人，如果体育中考引体向上达个以上（含个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 21．（8分）如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长； (2)求阴影部分的面积． 22．（9分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：，并进一步证明四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 23．（9分）用长的篱笆围成一个矩形花园，花园的一边利用墙（墙长为），另外三边用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，花园的面积为． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)求花园面积S的最大值． 24．（10分）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． (1)下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 25．（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C B A C B B B 1．B 【详解】解：的相反数是． 2．C 【详解】解：A选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 3．C 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，运算错误，不符合题意． 4．C 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，能组成三角形； D．，不能组成三角形． 5．B 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，解得． 6．A 【分析】根据，，三点均在抛物线上求出、、，再比较大小，即可得答案. 【详解】解：当时， ， 当时，， 当时，， .∵ ， ∴ . 7．C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 8．B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 9．B 【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标及与轴交点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由题意知抛物线顶点为，设表达式为． ∵水面跨度为，对称轴为轴， ∴抛物线过点． 将代入得． 解得． ∴表达式为． 10．B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 11． 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中，等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：观察原数，左边第一个不为零的数字是，其前面共有个，且，符合科学记数法对的要求， 因此． 12． 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特点求得，的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 点关于原点对称点的坐标是． 13．且 【分析】根据一元二次方程有实数根可得判别式大于等于0，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且． 14． 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 15．/ 【分析】先求出对角线、，再在中由勾股定理求边长；菱形面积还可以用底乘高，列方程求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，． ， ． ∵， ∴， ． ． 在中， ， ， ， ， 解得． 16．①②③④ 【分析】由开口方向和与y轴的交点位置可判断a、c的符号，根据顶点坐标可得对称轴，据此可得a与b的关系式，进而可判断①和③；由对称性可求出抛物线经过点，可判断③；由对称性可得此抛物线经过点，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由对称性可知，抛物线经过点， ∴，故②正确； 若此抛物线经过点， 则此抛物线经过点， ∴不等式的解集是，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 17． 【分析】分别计算、、、这四项的值，再依次进行加减运算得到最终结果． 【详解】解：原式 18．， 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式化简，然后把，代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，代入求，n，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）根据题意，得，根据三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，两点，， ，， 解得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：不等式即， 观察图象得：此时或． （3）解：根据题意，与y轴的交点为， ，， ． 20．(1) (2)，， (3)估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有人 【分析】（1）根据扇形统计图中其他各项的数据可以求出，由扇形统计图可知测试成绩为个的占总数的，由条形统计图可知测试成绩为个的有人，可以求出抽测的总人数为人，再根据测试成绩为的人数所占的百分比求出测试成绩为的人数，根据求出的数据补全条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义求出结果；根据第一四分位数的定义，可以把抽测的个学生的成绩按照从小到大排列后，取前名，前名成绩的中位数即为第一四分位数；也可以把抽测的个学生的成绩按照从小到大排列后，第名学生和第名学生的成绩的平均数即为第一四分位数； （3）利用样本百分数估计总体百分数，估计出名男生能获得满分的人数． 【详解】（1）解：扇形统计图中， 由扇形统计图可知测试成绩为个的占总数的，由条形统计图可知测试成绩为个的有人， 抽测的总人数为人， 测试成绩为的人数为人， 补全条形统计图如下图所示： （2）解：测试成绩中出现次数最多的是个，占总数的， 这次抽测中，测试成绩的众数是； 由条形统计图可知测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为， 把测试成绩按照从小到大的顺序排列第个和个的成绩均为， 测试成绩的中位数是； 方法一、把测试成绩按照从小到大的顺序排列前名的成绩中，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为， 其中第名的成绩为，第名的成绩为， 前名的成绩的中位数是， 这组数据的第一四分位数是； 方法二、把抽测的名学生的成绩按照从小到大的顺序排列前的学生即第名学生的成绩是，第名学生的成绩为， 这组数据的第一四分位数是； （3）解：抽测的名学生中测试成绩达到个以上（含个）的占， 估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有人． 21．(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算． （2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， ． ， 的半径为4， 的长． （2）如图，过点D作于点H． 在中，，， ∴，则， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 22．(1)证明：在平行四边形中，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）结合平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由矩形的性质得到，由，可得，由勾股定理和平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 23．(1)，自变量的取值范围是； (2)不能，理由如下： 令，则， 整理得， 即， 解得 ∵， 不符合自变量的取值范围， ∴花园的面积不能达到； (3)花园面积的最大值为． 【分析】（1）用含的式子表示平行于墙的边长，结合矩形面积公式列函数关系式，根据墙长与边长为正的限制求自变量取值范围； （2）令列一元二次方程，根据解是否在自变量取值范围内判断面积能否达到； （3）将二次函数解析式配方，结合开口方向、自变量取值范围与函数增减性求最大值． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的一边长为， ∴平行于墙的一边长为 ∴ ∵平行于墙的边长需满足， 解，得， 解，得， ∴自变量的取值范围是； （2）略 （3）解：将函数解析式配方，得 ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小 又∵， ∴当时，取得最大值， 最大值为 ∴花园面积的最大值为． 24．(1)①③ (2)①的坐标为；②个 (3) 【分析】（1）根据“单融创函数”的定义，建立其他函数与函数的方程，解方程即可得到答案； （2）①根据“单融创函数”的定义，联立函数与函数的解析式得到方程，根据有唯一解得到，进而得到点的坐标； ②根据二次函数的平移规律得到函数的解析式，联立函数与函数的解析式得到方程，解得封闭图形内的取值范围为，根据的整数解对应的整数解，取得所有封闭图形内的整点坐标，进而得到答案； （3）根据函数与函数其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点，得到函数的解析式为，进而得到函数与轴和轴的交点坐标，进而列出函数与轴，轴所围成的三角形面积的表达式，根据的取值范围进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：①直线与直线不平行， 当时，解得：，故有唯一点； ②反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，解方程，即， 解得：，，故有两个不重合的公共点， 直线与反比例函数的图象有两个交点； ③二次函数图象开口向上，顶点是原点， 当时，解方程， 解得：， 二次函数与直线有一个交点， 与一次函数互为“单融创函数”的是①③； （2）解：①函数与函数互为“单融创函数”， 有唯一解，即方程有唯一解， ， 解得：， 原方程为， 解得：， 函数为：， ， 的坐标为； ②函数向下平移个单位得， 函数， 当时，即， 解得：， 即交点的横坐标约为， 当时，整数可以取， 当时，，整点可以取到、、，共个， 当时，，整点可以取到、、、，共个， 当时，，整点可以取到、、，共个， 总的整点数为个， 函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有，共个； （3）解：令抛物线中，则， 即该抛物线与轴的交点为，且其中一个公共点在轴上，则， ， 函数的顶点坐标为， 点在上， ，解得：， 函数的解析式为， 令函数中，则， 解得：， 即函数与轴的交点为，与轴的交点为， 函数与轴，轴所围成的三角形面积， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围为． 25．(1)； (2) 存在， (3)， 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）作交延长线于，过作轴于，作于，，，证明，得到，设，求出坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式和抛物线解析式求出点坐标即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，可得， ， 令得代入， 可得， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把分别代入得∶   ， 解得：， ∴直线的解析式为∶； （2）解：存在，； 如图，作交延长线于，过作轴于，作于，可知在一条直线上，且， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：； ， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和， 得：， 解得：(舍去)， 当时，， 即； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，点在轴上， ∴设，， ∵点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得或（舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（舍）， 与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或    (不合题意，舍去)， 代入可得：， 综上所述的坐标为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $