2026～2027学年湘教版数学九年级上册期中模拟卷(第1、2章)

2026~2027年度湘教版数学九年级上期中模拟卷(第1、2章) 一．选择题(共10小题,每小题3分，计30分) 1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D． 2．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，则d是(　　) A．1cm B．5cm C．9cm D．12cm 3．如图，已知AB∥CD∥EF且AC：CE＝3：4，BD＝9，则BF的长为(　　) A．12 B．13 C．18 D．21 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(　　) A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝ (3) (4) 5．若2cosα＝1，则锐角α的度数是(　　) A．30° B．45° C．60° D．70° 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanB＝2，则BC的长为(　　) A．2 B．3 C．6 D．12 7．已知公式sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为(　　) A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件一定能使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是(　　) A．∠ADE＝∠ABC B．AE•AC＝AD•AB C． ＝ D．DE∥BC 9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．下列结论不正确的是( ) A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC C．△ADE的周长＝△ABC的周长的一半 D．S＝S (8) (9) (10) 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP，过点C作CO⊥BP于点O，分别交BD，AD于点M，N，则MN的长为(　　) A． B． C． D．3 二、填空题(共6小题,每小题3分，计18分) 11．若，则的值为________． 12．计算：cos260°+sin260°＝________． 13．如图，四边形ABCD∽四边形GEFH，则x＝________ ． 14．如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是关于坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE＝3，则D′E′的长为____________． (12) (14) (15) 15．如图，在□ABCD中，AB＝5，BC＝8，sinD＝，则S□ABCD＝____________． 16．若规定：锐角α，β满足α＋β＝30°，则称锐角α，β互为六分平角．在△ABC中，∠A，∠B互为六分平角，且AC＝BC，如图，则sinA＝____________． (16) 三、解答题(共8小题，计72分) 17．(6′)计算：＋2sin60°． 18．(6′) 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c＝27，，求△ABC各边的长． 19．(8′) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝2，解这个直角三角形． 20．(8′) 【学科整合】在物理学中，根据光的反射现象可知，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律，如图①．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【实际操作】如图②，为测量信号塔AB的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为1.65米，其眼睛到地面的距离CD为1.50米，同时测得小明到镜子的水平距离DM＝0.3米，信号塔到镜子的水平距离BM＝4米． 【问题解决】请根据以上数据，求信号塔AB的高度． 21．(10′) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，2)，B(－4，0)，C(－4，－4)，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1∶2． (1)请画出△A′B′C′； (2)直接写出：△A′B′C′与△ABC的周长之比为　 　 ； (3)若△ABC的边上有一点M (a，b)，则点M的对应点M′的坐标是　　 ． 22．(10′) 在△ABC中，∠A＝36°，BC＜AB，以点C为圆心，线段CB的长为半径画弧，交线段AB于点D；以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A，如图． ⑴求∠BCD的度数； ⑵求证：△ABC∽△CBD． 23．(12′)如图，斜坡AB的坡度为1∶，AB长为8米，某钓鱼爱好者的钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为7米，若钓竿AC与钓线CD的夹角是65°． (1)求点A到水平面BD的距离； (2)求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．(结果保留整数，参考数据：，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1) 24．(12′) 已知点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，点E为AB边上一动点，连接OE，作OF⊥OE于点O，交BC于点F，连接EF，＝k(其中常数k≠0)． 【初步感知】：(1)如图①，若k＝1，猜想 _____ ． 【类比探究】：(2)如图②，k≠1，探究线段OE，OF之间的数量关系，并说明理由． 【拓展运用】：(3)在(2)的条件下，若FO＝FC，k，OD＝2，求EF的长． ① ② 参考答案 一、选择题 1．A． 2．C． 3．D． 4．C． 5．C． 6．B． 7．D． 8．B 9．D 10．B． 二、填空题 11． 12．1 13．20 14． 15．24 16． 三、解答题(共8小题，计72分) 17．解：原式=1+4-(-1)+2× =1+4-+1+ ＝6； 18．解：设=k(k≠0)，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝27， ∴2k+3k+4k＝27，即9k＝27， 解得k＝3， ∴a＝2×3＝6，b＝3×3＝9，c＝4×3＝12， 故a，b，c为△ABC的三边长分别为6、9、12． 19．【解】：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°， ∵sinB=， ∴b＝2•sin30°＝2×=， ∵sinA=， ∴a＝2⋅sin60°＝2×=3． 20．解：∵∠ABM＝∠CDM＝90°，∠AMB＝∠CMD， ∴△ABM∽△CDM， ∴， 即， ∴AB＝20(米)． 答：信号塔AB的高度为20米． 21．【解】：(1)与△ABC位似，且位似比是1：2的△A′B′C′，如图即为所求； (2)∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2． ∴△A′B′C′与△ABC的周长之比为1：2， 答案：1：2； (3)∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2． 又∵点M的坐标为(a，b)， ∴点M的对应点M′的坐标为． 22．解：⑴由作法得，CD＝CB，DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A＝36°， ∴∠CDB＝36°+36°＝72°， ∵CD＝CB， ∴∠B＝∠CDB＝72°， ∴∠BCD＝180°－72°－72°＝36°， ⑵证明：由⑴得：∠BCD＝36°， ∴∠BCD＝∠A， 而∠CBD＝∠ABC， ∴△ABC∽△CBD． 23．【解】：(1)斜坡AB的坡度为，AB长为8米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为7米，则： 如图所示，过点A作AE⊥BD于点E， ∵斜坡AB的坡度为， ∴设AE＝x，则， 根据勾股定理得， 解得x＝4， ∴点A到水平面BD的距离为4米． (2)如图所示，设过点A的水平线交CD于点F，过点F作FG⊥BD于点G， ∴AF∥BD，∠FGB＝∠FGD＝∠AEG＝90°， ∴四边形AEGF为矩形，∠GDF＝∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠C＝65°， ∴∠C＝∠AFC＝65°，FG＝AE＝4， ∴AF＝AC＝7， ∴EG＝AF＝7， ∴， ∴BD＝EG+GD﹣BE＝7+1.9﹣1.7×4＝2.1≈2， ∴浮漂D与斜坡下端B之间的距离为2米． 24．解：(1)结论：OE＝OF． 理由：如图1中，当k＝1时，由BC＝k•AB， ∴BC＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OC，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABO＝45°， ∵∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠EOB＝∠FOC， ∴△EOB≌△FOC(ASA)， ∴OE＝OF， ∴1． 答案：1． (2)结论：当k≠1时，OE＝k•OF． 理由：如图2中，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∴∠OME＝∠ONF＝∠ONB＝90°， ∵∠MBN＝90°， ∴四边形BMON是矩形， ∴∠MON＝∠EOF＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∴△OME∽△ONF， ∴， ∵AO＝OC，OM∥BC， ∴AM＝MB， ∴OMBC，同法可证ONAB， ∴k， ∴OE＝k•OF； (3)如图3中，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∵k，BC＝k•ABAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝2， ∴AB2+2AB2＝96， ∴AB＝4， ∴BC＝8， ∵CF＝OF，OB＝OC， ∴∠FOC＝∠FCO＝∠OBC， ∵∠OCF＝∠BCO， ∴△COF∽△CBO， ∴， ∴， ∴CF＝3， ∴OF＝CF＝3， ∵OEOF， ∴OE＝3， ∴EF3． 学科网（北京）股份有限公司 $