2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷1（长沙地区适用）

九上期中模拟数学练习 时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 4．下列运算中，正确的是（        ） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的为（     ） A． B． C． D． 6．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． （第7题图） （第9题图） （第10题图） 7．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 8．下列命题是真命题的是（     ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半径相等的半圆是等弧 9．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．这次考试A、B两个班都没有人考满分 B．A班的最低分比B班的最低分低 C．A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D．A班的成绩比B班的成绩更集中 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若点，，则；④若，则，其中正确的结论是（     ） A．④ B．①②③④ C．①③ D．①③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：______． 12．要使代数式有意义，那么x的取值范围是______． 13．如果一个圆锥的母线长为，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 15．如图，是的切线，切点分别为，若，则的长是______． 16．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ （第14题图） （第15题图） （第16题图） 三．解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18． （6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数．的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时， 20．（8分）为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理；依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，_______； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； (4)若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 21．（8分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 22．（9分）如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 23．（9分）某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． (1)求A、B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ (2)快递公司计划购买A、B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍，如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ 24．（10分）我们不妨约定：若一次函数图像上存在点满足反比例函数，则称二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点Р称为“关联点”．例如：一次函数图像上存在点满足反比例函数，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点是“关联点”． (1)判断下列说法是否正确，若正确，在括号内打“√”，若不正确，在括号内打“×”； ①一次函数和反比例函数没有“关联函数”；（     ） ②一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”；（     ） ③一次函数和反比例函数存在“关联函数”；（     ） (2)一次函数与反比例函数存在“关联点”，且其“关联函数”的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4，求a的值； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“关联点”A、B（A在B左侧）满足点B的横坐标为1，其“关联函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧）且经过点，若，记四边形的面积为S，求的取值范围． 25．（10分）如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B C A D D D 1．C 【分析】带根号的数需先化简，再判断是否为无理数． 【详解】解：A、，为有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、，为有理数，不符合题意． 2．A 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 3．D 【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案． 【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 4．D 【详解】解：A、，A错误． B、，B错误． C、，C错误． D、，D正确． 5．B 【分析】解一元一次不等式，根据解集在数轴上的表示方法判断． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 在数轴上表示该解集时，应在 2 处画空心圆圈，并向右画折线 ， 观察选项，B选项符合， 故选B． 6．C 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 7．A 【详解】解：∵， ∴． 8．D 【分析】结合圆相关概念的适用前提，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A、 圆周角需两边都与圆相交，该命题缺少此条件，是假命题． B、 共线的三点无法确定圆，是假命题． C、缺少同圆或等圆的前提，相等圆心角所对的弧不一定相等，是假命题． D、半径相等的半圆能够完全重合，是等弧，是真命题． 9．D 【详解】解：满分分，班班最大值（最上端横线）均小于分，两个班没人考满分，选项不符合题意； 班最小值（最下端横线）对应的位置低于班的最小值对应位置，班的最低分比班低，选项不符合题意； 班成绩的第三分位数（箱体上端横线）是，班成绩的中位数（箱体中间横线）也是，班成绩的第三分位数与班成绩的中位数相同，选项不符合题意； 箱体越窄，数据越集中，班的箱体比班的宽，因此班的成绩比班的成绩更集中，选项符合题意． 10．D 【分析】由二次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下、对称轴为，则当时，抛物线有最大值为， 对于任意时，，即，故①正确； 若，则，即， 由抛物线的对称性可知，故②错误； 抛物线与轴交于，两点，对称轴是直线， ，则， 将恒等变形为， 当时，要是不等式成立，只需， 由抛物线开口向下可知，而，则恒成立，故③正确； 设，其中， 由对称轴是直线，可得， 抛物线解析式可化为， ， ，则， 解得， ，即， ，则 ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 11． 【详解】解：． 12． 且 【分析】代数式同时包含二次根式和分式，需要分别满足二次根式、分式有意义的条件，列出不等式后求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数非负，即， 分式的分母不为0，即， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是且． 13． 【分析】已知圆锥的母线长和底面半径，代入圆锥侧面积公式即可计算出结果． 【详解】解：∵圆锥底面半径为， ∴ 圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面积公式为，其中为底面周长，为母线长，且， ∴代入得． 14． 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 15．1 【分析】由是的切线，可得，进而求得的长度，进而可得答案． 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 17． 【分析】本题考查实数混合运算，包含负整数指数幂、零次幂、绝对值化简、立方根四个基础考点，逐项化简后合并计算即可． 【详解】解：原式 18．， 【详解】解： ； 当时，原式． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【详解】（1）解：根据题意可知， 解析式为． ∵在上， ∴， ∴． 将、代入： ， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 所以，当或时， 20．(1)50，36 (2) (3)28.8 (4)估计该校最喜爱篮球运动的学生有800人 【分析】（1）样本容量喜欢足球的人数喜欢足球的人数占比，喜欢排球的人数占比喜欢排球的人数样本容量； （2）喜欢篮球的人数样本容量喜欢其他所有项目人数； （3）“羽毛球”对应扇形的圆心角喜欢羽毛球的人数样本容量； （4）通过样本估计全校喜欢篮球人数，全校学生人数喜欢篮球的人数占比即可． 【详解】（1）解：样本容量为：， 故； （2）篮球人数为：， 补全条形统计图略； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为：； （4）（人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有800人． 21．(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 22．(1)证明：点F是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据直角三角形的性质和勾股定理求解，然后求解菱形的对角线长，再由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ∴ ， 四边形的面积为． 23．(1)A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元 (2)购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元 【分析】（1）设A型机械手的单价为x万元，B型机械手的单价为万元，根据题意列出分式方程求解； （2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元，先列不等式组求解的取值范围，然后建立w关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A型机械手的单价为x万元，B型机械手的单价为万元， 由题意得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， B型机械手的单价：（万元） 答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； （2）解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元， 由题意得， 解得： 由题意得： ∵， ∴w随m的增大而增大，且m取正整数， ∴当时，w的最小值为 此时B型机械手：（台） 答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元． 24．(1)①√；②√；③× (2)或 (3)的取值范围为 【分析】（1）根据定义，“关联点”就是联立一次函数与反比例函数的公共解，联立消去y得到一元二次方程，用判别式判断有没有实数根，有实根就存在关联点、关联函数，无根则不存在；①联立，整理方程得到，无交点；②联立，方程有两个相等实根，只有1个关联点；③联立，得到的关联函数应该是，不是； （2）先用关联点代入一次函数、反比例函数，求出，，写出关联函数，“抛物线上只有3个点到x轴距离为4”结合开口向上得到顶点纵坐标只能等于（顶点是唯一的一个取到的点，有两个不同交点，一共3个点），代入顶点纵坐标公式列方程求解，得到或； （3）点B横坐标是1（关联点），说明是的根，得到，再利用关联函数过，联立得到，，结合条件解不等式，得到，由韦达定理得到A点横坐标，算出A、B纵坐标，四边形拆成和，同底，面积，把S用a表示，化简，令转化为关于t的二次函数，结合t的范围，根据单调性求出的范围即可． 【详解】（1）解：①令， 两边同时乘得，即， ， 方程无解， 一次函数和反比例函数没有交点， 一次函数和反比例函数没有“关联函数”； ②令， 两边同时乘得，即， ， 当时，， 一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”，为； ③令， 两边同时乘得，即， ， 方程有解， 一次函数和反比例函数存在“关联函数”，故③说法错误； （2）解：一次函数与反比例函数存在“关联点”， ， ，， 一次函数与反比例函数的“关联函数”为， 的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4， 当时，， 整理得， 两边同时乘得， 化简得，即， 因式分解得， 解得或； （3）解：一次函数与反比例函数的“关联点”B的横坐标为1， ，即， 其“关联函数”经过点， ， ，即， ， ， ， ，解得， 设，，则，， ， 由韦达定理得， ， ， ， ， 令，则，， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，， 的取值范围为． 25．(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $