精品解析：湖南省邵阳市九校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题（创新实验班）

邵阳市九校联盟10月创新实验班联考 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质解出对数不等式得出集合，然后再利用集合并集运算即可. 【详解】因为，所以，即，解得：， 所以，又，所以. 2. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面、面面平行与垂直的性质逐项判断即可. 【详解】若，则可能为平行、相交、异面直线，故A错误； 若，则不一定垂直，故B错误； 若，则由性质定理知，故C正确； 若 ，则或，故D错误. 3. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案. 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线的距离为，所以所求最小值为． 故选：C. 4. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，点D在边上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过余弦定理、面积公式和均值不等式推导出为等边三角形，再利用“垂线段最短”，得到高与边长的比值即为最小值. 【详解】由余弦定理与三角形面积公式得， ，化简得， 由均值不等式，，当且仅当时等号成立， 而，因此两者都等于2， 此时，所以为等边三角形； 当时，，此时. 6. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 7. 定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出（），再利用裂项相消法求出，从而可得，故可求参数的最小值. 【详解】由题设有，故， 当时，， 故当时，有，所以， 而，故，故（） 所以， 故， 故对，总有恒成立，且当时，， 故，故，故. 故实数的最小值为. 8. 已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数，将有且只有3个整数解，转化为有且只有3个整数解.构造函数，利用导数分析其单调性，即可求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 若有且只有3个整数解，则有且只有3个整数解. 因为， 所以有且只有3个整数解. 令，则. 令，则. 令， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为， 所以恒成立，是减函数. 又， 所以，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又， 若有且只有3个整数解，则的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的定义及几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A,，错误； 对于B，在复平面内对应的点为位于第四象限，错误； 对于C，，正确； 对于D，设， 则，故对应的点在单位圆上运动. ，相当于单位圆上的点到点距离， 最小值为，正确. 10. 在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为.已知长方形的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆E的离心率为 B. 椭圆E的“蒙日圆”的方程为 C. 长方形的面积的最大值为 D. 若椭圆的上下顶点分别为，则其蒙日圆上存在两个点满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆方程求离心率；对于B，根据蒙日圆的定义求方程；对于C，根据蒙日圆的定义及对称性，将长方形的面积转化为面积的四倍，再利用三角形的面积公式及的最大值，得到当时面积最大，然后求面积即可；对于D，利用直接法得到点的轨迹为圆，通过比较圆与椭圆的蒙日圆的圆心距和两圆半径的和差关系得到两圆相交， 即可判断. 【详解】对于A：由题可知，，则，则离心率，故A错误； 对于B：由题可知，椭圆E的“蒙日圆”的圆心在原点，且半径，故椭圆E的“蒙日圆”的方程为，故B正确； 对于C：根据“蒙日圆”的定义及对称性可知，长方形的顶点均在该椭圆的蒙日圆上，且点与点，点与点，均关于点成中心对称，设，则， 当时（即时），面积最大，面积为， 此时位于蒙日圆与坐标轴的四个交点上，故C正确； 对于D：由题意得，设，则 ，两边平方得 整理得，即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 圆与蒙日圆的圆心距，因为， 所以点的轨迹与蒙日圆相交，有两个交点，即蒙日圆上存在两个点满足，故D正确. 故选：BCD. 11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程在区间内恰有1013个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意分析函数的对称性，奇偶性及周期性，再逐项判断即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 即，即. 又， 所以，且. 所以是奇函数，且是周期为的周期函数. 所以选项A正确. ，所以选项B正确. ，所以选项C不正确. 作一个周期内的图象，可得与一个周期内的图象有4个交点， 所以与在内的图象有个交点. 即方程在区间内恰有1013个实数解. 所以选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用结合诱导公式和二倍角公式求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，所以 因为，所以. 13. 已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【解析】 【分析】根据计算化简得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式即可求解. 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 【答案】215 【解析】 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为， 所以. 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据全概率公式计算可得； （2）根据概率递推关系，进而构造等比数列求. 【小问1详解】 设事件​为“第天选米饭套餐”，事件为“第天选米饭套餐” ，则事件​为“第天选面食套餐”，. 由题意得： ​，因此； 已知前一天选米饭后一天仍选米饭的概率​，前一天选面食后一天选米饭的概率. 根据全概率公式： . 因此该同学第二天中午选择米饭套餐的概率为 【小问2详解】 第天选米饭套餐的概率为，则第天选面食套餐的概率为​. 根据题意，第天选米饭套餐的情况分为两类： 第天选米饭，第天仍选米饭，概率为； 第天选面食，第天选米饭，概率为 因此得到递推关系：，即 所以， 即，， 所以数列是首项为​，公比为​的等比数列， 因此：，整理得通项：. 16. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由翻折后的位置关系和可得平面，进而得，进而可得； （2）先在平面中找到，进而转化为求余弦的最小值，先利用求其正切的最大值，进而可得. 【小问1详解】 连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以, 当，，所以平面， 又平面，所以， 此时与相似，故， 设，由，解得，所以. 【小问2详解】 过作的平行线交于点，连接， 由，且， 得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为. 17. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 存在，最大值为​ ，  设的内切圆半径为， 由椭圆的定义，​的周长. 根据三角形内切圆面积公式，的面积，即. 由（1）得焦点，设过​的直线方程为， 代入椭圆方程整理得：，设， 由韦达定理得，， 所以. 又因为的面积可表示为， 所以，令， 则，因为对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，函数有最小值，即， 所以，因此，的内切圆面积. 因此当时，的内切圆面积有最大值. 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质计算椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）先由椭圆的定义可得内切圆半径，再设直线方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数关系可得，再由对勾函数的单调性可得最大值. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得， 过左焦点且垂直长轴的直线代入椭圆方程，得，解得， 因此该弦长为​，所以； 结合椭圆恒等式，将代入得​，即， 解得，所以，椭圆方程. 因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3） 证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求导得，代入计算得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）法一：对分和讨论即可；法二：分离参数得得．再设新函数，求导得到右边最小值即可； （3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可. 【小问1详解】 当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． 【小问2详解】 法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令，则． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立，则，解得，结合，得． 综上，a的取值范围为． 法二：．若在上单调递增，则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，即． 当时，，，，所以，即； 当时，，，，所以，即． 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知且，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． （1）判断集合是否是的子集？说明理由； （2）判断是否为集合的变换函数？说明理由； （3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 当函数时， ， 此时函数是集合的变换函数， ∴集合是的子集. （2） 函数在定义域上单调递减， 当时集合，其中， 假设函数为集合的变换函数， 则， 即，即， 由①-②，得， 整理后得， ∵即，∴， 而由①式易得，显然产生矛盾， 即函数不是集合的变换函数. （3） 由， 所以， 当时， 由且， 所以，，， ，，，， 所以，， 取，知符合题意； 当时，由， 而， 所以，，，， 所以，，，， 所以， 此时取知符合题意. 【解析】 【分析】（1）由题中新定义及已知集合构造一个满足定义的函数即可； （2）分析得到函数的单调性，用假设法进行判断.先假设，然后由题中定义可知，建立方程后求得的关系，推理产生矛盾，从而得到结论； （3）构造满足题意得集合和，再验证满足题中定义即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市九校联盟10月创新实验班联考 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 3. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，点D在边上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 8. 已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若复数满足，则的最小值为 10. 在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为.已知长方形的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆E的离心率为 B. 椭圆E的“蒙日圆”的方程为 C. 长方形的面积的最大值为 D. 若椭圆的上下顶点分别为，则其蒙日圆上存在两个点满足 11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程在区间内恰有1013个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 四、解答题本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．求； 16. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值． 17. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 19. 已知且，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． （1）判断集合是否是的子集？说明理由； （2）判断是否为集合的变换函数？说明理由； （3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $