湖南省长沙市南雅中学2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

数学10月限时训练 时量:120分钟总分:150分 一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设集合集合则A∩B=（ ） A．[0，1） B．（-2，1） C．[0，2） D．（-∞，2） 2．已知复数z=1-i，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面向量且则m=（ ） A．2 B C．-1 D．-2 4．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A． B C D． 5．如图为函数的部分图象，且点在图象上，则f（x）的单调递增区间为（ ） A． B C D． 6．已知则（ ） A．c>a>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 7．已知圆直线l:（1-3m）x+（m+2）y+1+4m=0与C交于A，B两点，则数量积的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．在正三棱锥S-ABC中，侧面与底面所成二面角的平面角为α，侧棱与底面所成的线面角为β，对棱所在异面直线所成的线线角为θ，已知且AB=4，则侧棱BS的长为（ ） A．2 B C．2 D． 二、多选题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若向量的夹角是锐角，则 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．已知函数下列结论正确的是（ ） A．f（x）无最值 B．若f（a）=2，则a=-1 C．若f（a）≥4，则a≤-2或a≥82 11．已知直线l:（x-1）cosθ+ysinθ-2=0与圆C相交于A，B两点，则下列结论正确的有（ ） A．直线l与圆相切 B．点C到l的最大距离为 C．直线l过一定点 D．△ABC的面积最大值为8 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知角α的终边过点则cos2α=_______ 13．已知∠ABC=120°，PA⊥平面ABC，若PA=2，则四面体P-ABC的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 14．过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点（0，-1），且△PAB的面积为3，则点P的坐标为______________ 三、解答题：本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角B的大小； （2）若的面积为求的周长． 16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，为等边三角形，E，F分别是PB，PC的中点． （1）求证: （2）若平面求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 17．已知圆C经过点A（5，0），圆心C在直线上，圆C被直线截得的弦长为 （1）若Q为直线l₂上一动点 i）求|QC|的最小值; ii）求圆C的标准方程； （2）若圆心C在第一象限，且圆C与圆C'关于直线对称，过原点O的直线m交圆C'于M，N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程． 18．已知函数 （1）当a=0时，求f（x）的最小值，并求f（x）取得最小值时x的取值集合； （2）求g（x）在[-1，1]上的值域; （3）若对任意的总存在使得成立，求a的取值范围． 19．对平面向量定义叉积运算： （1）已知计算的值，求的面积，并写出面积与向量叉积的数量关系（不需要证明）； （2）已知点A（1，0），B（0，1），点P为单位圆上的动点，求的最大值； （3）已知圆点Q（3，4）为圆外定点，过Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求的值。 数学10月限时训练参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D D A B C B ABC ACD AD 12． 13． 14． 8．如图，设正三棱锥的底面中心为O， 连接SO、AO并延长AO交BC于点D，连接SD． 因为正三棱锥底面是正三角形，所以O是正的中心， ，又SO上底面，根据三垂线定理可得， 则就是侧面SBC与底面所成二面角的平面角，即． 因为底面，所以就是侧棱SA与底面ABC所成的线面角， 即． 因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以SA与BC所成的线线角， 已知，所以． 解法一：因为，所以． 因为底面正的边长，则， 在正中，，所以， 设， 故，即． 解得：（负值舍去）， 所以． 解法二：设，因为， 在中，由余弦定理解得：， 所以． 11．对于选项A：圆，即，圆心为。半径， 该圆圆心到直线的距离， 所以直线l与圆相切，A说法正确； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆C到直线的距离 ， 所以，即点C到l的最大距离为，B说法错误； 对于选项C：将直线方程变形为， 假设直线l过定点，则对任意恒成立， 当时，得，解得；当时，得， 将代入方程，得，即，此式不恒成立，故假设不成立，直线l不过定点，C说法错误； 当时，直线l为， 当时，直线l为， 因为没有交点，所以直线l不过定点，C说法错误； 对于选项D：因为， 的面积， 令，由C选项可得， 因为函数在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以的面积最大值为8，D说法正确． 14．圆圆心为，半径， 设点P的坐标为，则以OP为直径的圆的方程为， 将该方程和相减得即直线AB的方程为， 由题意知直线AB过点，故：，即即直线AB的方程为， 点到直线AB的距离为， 则， 又点P到直线AB的距离为 由于的面积为，故，即， 设，则可得，即， 即，即， 即得，或， 对于，即该方程无解， 故，即，即，所以点P的坐标为． 15．（1） （2）18 （1）由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以． （2）由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得 化简得，而， 故的周长为． 16．（1）因为E，F分别是PB，PC的中点，所以， 又因为面ABCD，面ABCD，所以面ABCD． （2）取AD中点O，连接PO，则由题意得， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD 所以面ABCD 则以为y轴的正方向，以为z轴的正方向，过点O作平行于AB且以为x轴的正方向， 则由题可得， 故， 设面PCD的法向量为，则， 即，令， 则解得 设直线PB与平面PCD所成角为， 则． 17．（1）i） ii） （2） （1）i）设圆心，圆心C到的最小距离为， ii）由题意易知半径为． 因为圆C经过点， 所以，解得或，即或， 则圆C的标准方程为． （2）因为圆心在第一象限，故圆心．设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点O的直线m交圆于M，N两点，弦MN中点为Q， 当点Q与点O，'都不重合时，，则Q在以为直径的圆上， 显然点O，在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为，则Q轨迹方程为，即． 18．（1）1， （2） （3） （1）当时，，则的最小值为， 此时，解得． 故的最小值为1，且取得最小值时x的取值集合为． （2）由题意可得， 因为在．上单调递增，所以在上单调递增． 因为，所以在．上的值域为． （3）对任意的：，总存在，使得成立， 所以， 设，则， 设． 当，即时，易证在上单调递增， 则，即，得，又，此时无解； 当，即时， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，得； 当，即时，易证在上单调递减， 则，即，得，又，此时无解． 综上，a的取值范围是． 19．（1） ，则 （2）设圆上动点 所以最大值为 （3）法1：圆C的圆心为，半径。 由切线长公式： 设。QC平分，在中： 由叉积几何意义： 下证：， 因为 下证 代入坐标展开： 两式相加： 左边 恒等式得证。 法2：圆C：圆心，半径，， 切点M，N在以CQ为直径的圆上，记为圆 圆C与圆作差得公共弦MN所在直线方程： 圆心C到直线MN的距离为，弦长 点Q到直线MN的距离为 由叉积几何意义： 法3：圆C：圆心，半径，， 切点M，N在以CQ为直径的圆上，记为圆 圆C与圆作差得公共弦MN所在直线方程： 设 则 联立与得，得 所以 学科网（北京）股份有限公司 $