培优第8讲 函数单调性与二次方程根的分布专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第8讲函数单调性与二次方程根的分布 目录 题型01分段函数的单调性及参数问题 题型02二次函数的最值与参数问题 题型03一元二次方程根的零分布 题型04一元二次方程根的k分布 题型05一元二次方程根在区间上的分布 强化训练（共10题) 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1分段函数的单调性及参数问题 题型点拨 分段函数中的单调性 (1)若己知分段函数f()= ，x∈=(6，网（若x=a是分段函数定义域的连接点)在定义域 f(x),x∈I2=(a,c) I=101,(I=R) 上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 O0在上单调递增 ②)在：上单调递拾 在 ③在连接点x=“必有 (a)≤fi(a) (即左端的值小于等于右端的值) (2)若已知分段函数f()= ),x∈I=(6,网（若x=a是分段函数定义域的接点 f3(x),x∈I2=(a,c) 在定义域 I=I 01,(I=R) 上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 0)在上单调递减 ②)在：上单调递减 ③在连接点x=0必有f(@)之方(a) (即左端的值大于等于右端的值) (3)由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：己知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 f(x)= f(x),x∈I→此段为具体函数 ∫(x),x∈12→此段为含有参量的函数的值域为D D 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据己知条件函数的值域为D,由D,UD,=D D. 确定出2的范围 D 最后通过2的范围确定出参量的取值范围 f(x)= (3a-1)x+4a,x<1 x1≠x2, f)-f)<0 【典例1】(24-25·北京)已 -x2+2ax-2a+1,x≥1，在(-0，+0)满足 x1-x2 则a的取值范围是() A.(0,1) B [》 c[) D. 03 x+1,x≥0， 【变武1】24-25河北唐山)已知图数/()= 份)x若)56-o)则安数的取白能国是 () A.（-2,+o) B.（∞，2] c.[-2,+o) D.（-∞，2) -x+a,x≤1 【变武2】设函数)F-红-2旷+1x>1,若a=2则)的单调递增区间是一，若f)的值线 为0，∞ ,则“的取值范围是 题型2二次函数的最值与参数问题 题型点拨 元二次函数y=f(x=ax2+bx+C(a>0)在区间m,上的最值 当2 a<m f(x)w=f(n)f(x)i=f(m) m n x m≤ 当 2名a≤m”fxm=fal.fxa-4ae,2 2aΓ2 m+n 2/ m n x m+n<- b ≤n 当2 2a 时， F(x)=f(m)f(x)-b 2a m m+n 2 bz 2a 时， f(x)max=f(m),f(x)min=f(n) m n b X 2a x2-2x-3,x<-1 -x2+2x+3,-1≤x≤3 【典例1】已知函 f(x)= x-2x-3>3,在[1m]上的最大值为f(m）则m的取值范国是 m A.（1,] B.（1+2]c.+22,+)D.(1小[1+22，+) 【变式】已知函数f()r-m-3,m∈R (当m=2时， 求不等式f(小0 解集； (2)已知函数 在区间22]上的最小值为-4，求m f(x 题型3一元二次方程根的零分布 题型点拨 一、二次函数相关知识 对于形如y=ar+br+c(a≠0)的二次函数，有以下性质： =-b±vb2-4ac 1、判别式：△=b2-4ac:求根公式： 2a b C X1+X2=- X1X2= 2、韦达定理： a a b X=- b 4ac-b2 3、二次函数对称轴2a,顶点坐标(2a,4a一)· 二、一元二次方程的根的基本分布一一零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根，有一负 根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧 △=b2-4ac>0 b x1+x2=-二>0 1方程有两个不等正根，5分5>0 a △=b2-4ac>0 西+= a 2方程有两个不等负根与台5>0 a 3方程有一正根和一负根，设两根为台60 a 【典例1】(25-26广西玉林)当m取什么实数时，方程x2-x+m=0分别有： (1)两个正实数根： (2)一正根和一负根， 2-2(k+4)x+2(k2-2)=0 【变式1】若一元二次方程 的两根都是正数，则实数K的取值范围是()· A. -2≤k<-V2V2<k≤10 -2≤k≤10 或 B. C.-2≤k<-V2 D V2<k≤10 题型4一元二次方程根的k分布 题型点拨 元二次方程根的k分布 两根都小于k即 两根都大于k即 根小于k,一大于k即 分布情况 X1<k,2<k X>k,X>k X1<k<2 k y木 y k 大致图象（心0） △>0 △>0 得出的结论 2a 2a f(k)<0 f(k)>0 f(k)>0 y y 大致图象(K0) △>0 △>0 得出的结论 b∠k bzk 2a 2a f(k)>0 f(k)<0 f(k)<0 △>0 △>0 综合结论 b∠k b >k (不讨论a) 2 2a af(k<0 a.f(k)>0 a.f(k)>0 【典例1】(25-26上海)已知关于x的一元二次方程x2-ax+a2-4=0 (1)实数a为何值时，方程有两个不同的正根： (2)实数a为何值时，方程有一个正根，一个负根； (3)实数a为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2： (4)实数a为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0. 【变式1】(25-26广东广州)关于的方程 2-2(m-1)x+m+11=0 ,当”分别在什么范国取值时，方程 的两个根： (1)都大于1： (2)一个大于1，一个小于1？ 题型5一元二次方程根在区间上的分布 题型点拨 一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图像 限定条件 △<0 m n x V △=0 X1=X2≤m 或X1=x22n [A>0 在区间m,m内 b ,<m 2a 没有实根 f(m)≥0 m n x [A>0 b >n 2a f(n)≥0 「f(m)≤0 m n f(n)≤0 在区间(m,n)内 [f(m)>0 有且只有一个实根 f(n)<0 12 [fm)<0 f(n)>0 A>0 在区间m,m内 b <n 2a 有两个不等实根 f(m)>0 f(n)>0 【典例1】(25-26上海)已知函数 (x)=x2+2x+2m+3左(0,2) 在区间 内有零点，求实数m的取值范围是 【变式1】设为实数，若两数)=X-似+1在区间-川上无零点，求女的取值范围 强化训练（共10题） 1.(2526广正费活)已知西数因=3-众+2在-1,2)上具有单调性，侧大的取值范国为() 在 A.（-00,-12]U[6,+oo) B.(-00,-6]U[12,+0) C.(-0,-3U[6,+o) D.(-0,-6U[3,+0) [(2-3a)x+1,x≤1 f(x)= 2.(25-26浙江嘉兴)若函数 (rx>1 fx)-f(<0 满足对任意的实数x≠x,都有无一五 成立，则实数a的取值范围为() y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3 3.(25-26江苏盐城)已知二次函数 与x轴有两个交点，一个大于1，一 个小于1，则m的取值范围为() 2引 c.(m-2(分+w） D.（-2,+o) 4.(24-25广东江)如果两数f国=-2+2在区间8，+0)上是增函数，则“的取值范国为一 5.(25-26江苏盐城)已知函数”=-a+4在区间，4) 有零点，则“的取值范围是一 x+1,x≤k 。(2425里龙江齐齐哈尔)已知20：两数/付- 2 ，x>k有最大值，则实数k的取值范围是一 13 7.(24-25江苏)已知函数f()=ark-a(aeR)在区间2)上单调递减，则a的取值范围是 8（25-26广东汕头)已知函数f()=-r+2mrx+1-m2 ,其中m∈R ①考)在区同4,6上具有单调性，求心的取值范围， ②当L3时，两数的最大值为8，求实数m的值 x2+2(a-1)x+2a+6=0 9.已知关于x的方程 ,在下列两种情况下分别求实数α的取值范围. (1)有两个大于1的不等实数根： (2)至少有一个正实数根 10.若西数)-4小+r-在0,2)上有零点，则参数“的取值范用是什么如果没有零点，那么a 的取值范围又如何？ 知识小测（共5题) L.函数少=x-2+x+3 的单调递增区间为() A.（0,-2) B.[2,+∞) c.（-0,2] D.R 2.已知弱数)=≥0 x2,x<0,若f(a-1)>f(-a),则实数a的取值范围是() B.a>1 c.a<2 D.a<1 3.(25.26河南南阳D若西数(=-2x+3在区同m川小上的值线为2,1，则”-m的最大值为 () A.2 B.4 C.6 D.8 4(2526陕西西安)若函数(d=-2x+4在区间L]上不具有单调性，则实数”的取值花固是 D.) 5.(25-26江西上饶)关于x的一元二次方程 k2+(k-I)x-1=0 有两个不同的负实数根，则实数k的取值 范围是() A.(0,0) B,（∞，0] c.（-0,-1U(-1,0) D.（∞，-lU(-1,0] 第8讲 函数单调性与二次方程根的分布 目 录 题型01 分段函数的单调性及参数问题 题型02 二次函数的最值与参数问题 题型03 一元二次方程根的零分布 题型04 一元二次方程根的k分布 题型05 一元二次方程根在区间上的分布 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 分段函数的单调性及参数问题 题型点拨 分段函数中的单调性 （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） （3）由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 【典例1】（24-25·北京）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件可得为上的减函数，故可得关于参数的不等式组，据此可求参数的取值范围. 【详解】因为，故为上的减函数， 故，故， 故选：B. 【变式1】（24-25·河北唐山）已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】研究分段函数的单调性，先分别研究各段函数的单调性为递增，在比较端点左边的函数值小于端点右边函数值，得到整个函数在上单调递增，由函数单调性和函数值的不等关系得到自变量的不等关系，从而得出的取值范围. 【详解】化简得到， ∴函数在区间上单调递增， ∵，∴在区间单调递减，∴函数在区间上单调递增， 又因为，∴函数在区间上单调递增， ∵， ∴，∴. 故选：B. 【变式2】设函数，若，则的单调递增区间是 ，若的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将代入解析式，分析各段单调性，即可得出单调区间；先求出上的值域，由的值域为，只需在上的值域包含，分析二次函数的开口方向，对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】由题知当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递增区间是； 由于在上的值域为， 若的值域为， 只需在上的值域包含即可， 故需，即， 此时在上的值域为， 故需，即， 综上：. 故答案为：； 题型2 二次函数的最值与参数问题 题型点拨 一元二次函数在区间[m,n]上的最值 当 ， 当， 当时， 时， 【典例1】已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 【变式1】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【详解】（1）当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 题型3 一元二次方程根的零分布 题型点拨 一、二次函数相关知识 对于形如的二次函数，有以下性质： 1、判别式：；求根公式：； 2、韦达定理：，； 3、二次函数对称轴，顶点坐标（，）． 二、一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 1、方程有两个不等正根 2、方程有两个不等负根 3、方程有一正根和一负根，设两根为 【典例1】（25-26·广西玉林）当取什么实数时，方程分别有： (1)两个正实数根； (2)一正根和一负根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合方程两个正根，结合判别式和韦达定理，列出不等式组，即可求解. （2）根据题意，方程一正一负根，结合判别式和两根之积，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：若方程有两个正实数根，设为， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （2）解：若方程有一正一负根，设为， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【变式1】若一元二次方程的两根都是正数，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，结合函数图象，从对称轴、判别式、特殊点的函数值三个角度列不等式求解即可得. 【详解】设， 根据题意，作出的图象(如图). 则，即， 解得或．    故选：A. 题型4 一元二次方程根的k分布 题型点拨 一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 【典例1】（25-26·上海）已知关于的一元二次方程． (1)实数为何值时，方程有两个不同的正根； (2)实数为何值时，方程有一个正根，一个负根； (3)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2； (4)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】根据根的个数及根的分布列不等式组计算求参. 【详解】（1）由题意知 （2）由题意知． （3）由题意知． （4）由题意知． 【变式1】（25-26·广东广州）关于的方程，当分别在什么范围取值时，方程的两个根： (1)都大于1； (2)一个大于1，一个小于1？ 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围. 【详解】（1）因为的两个实数根均大于1， 所以，解得， 所以的取值范围为． （2）因为的两个实数根，一个大于1，一个小于1， 所以，解得， 所以的取值范围为． 题型5 一元二次方程根在区间上的分布 题型点拨 一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 【典例1】（25-26·上海）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】设k为实数，若函数在区间上无零点，求k的取值范围. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，利用判别式、对称轴及区间端点值的符号列不等式组，求k的取值范围. 【详解】由题设，的开口向上且对称轴为，， 当时，在上无零点，此时； 当时，要使在上无零点，则或，无解； 当时，要使在上无零点，则或，无解； 综上，在上无零点k的取值范围为. 强化训练（共10题） 1．（25-26·广西贵港）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 2．（25-26·浙江嘉兴）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可知： 对任意的实数，都有成立，是上的减函数， ，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26·江苏盐城）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，根据二次函数零点分布求参数的取值范围. 【详解】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是. 故选：B 4．（24-25·广东江门）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 【答案】 【分析】求出对称轴，结合二次函数的性质可得. 【详解】的对称轴为，且开口朝上， 因函数在区间上是增函数，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26·江苏盐城）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合零点定义，参变分离后利用对勾函数的单调性计算即可得. 【详解】由题意可得在上有解， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故当时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25·黑龙江齐齐哈尔）已知，函数有最大值，则实数k的取值范围是 ． 【答案】, 【分析】要使有最大值，只需且，然后求出的取值范围即可． 【详解】当时，无最大值， 当时，要使函数存在最大值，则且， 即，所以， 所以的取值范围为,． 故答案为：,． 7．（24-25·江苏）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论研究函数的单调性，由是函数减区间的子区间可得a的范围. 【详解】由题意得，， 当时，，不符合题意； 当时，，由， 当时，开口向下，对称轴为， 则在单调递增，在单调递减， 由在单调递减得，， 解得； 当时，开口向上，对称轴为， 则在单调递增，不存在单调递减区间； 当时，，由， 由，只需研究在区间的单调性， 当时，开口向下，对称轴为， 则在单调递增，在单调递减， 则在单调递减恒成立. 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26·广东汕头）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在单调递增，在单调递减， 此时，无解，所以不存在 ③当时，在单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 9．已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围. (1)有两个大于1的不等实数根； (2)至少有一个正实数根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根的分布可得答案； （2）先求关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时的范围，再求对立面可得答案. 【详解】（1）关于x的方程有两个大于1的不等实数根， 等价于二次函数的图象与轴有2个大于1的不同实根， 可得，解得； （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 10．若函数在上有零点，则参数的取值范围是什么？如果没有零点，那么的取值范围又如何？ 【答案】若函数在上有零点，参数的取值范围是； 若函数在上没有零点，参数的取值范围是. 【分析】对函数解析式中的绝对值内式子的正负进行分类讨论，再结合函数零点的定义来确定参数的取值范围即可. 【详解】当时，，则， 的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，且， 若函数在上有零点，则，即，解得， ，； 当时，， ①当，即时， 若，此时，， 函数在上没有零点； 若，此时，令，则，， 函数在上也没有零点； ②当，即时， 若，则在上有零点时， 有，即，解得，； 若，则函数在上有零点时， 有，； 综上，若函数在上有零点，则参数的取值范围是； 若函数在上没有零点，则参数的取值范围是. 知识小测（共5题） 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简函数解析式，作出图象，结合图象即可得函数解析式. 【详解】因为图象如图所示： 所以函数的单调递增区间为. 故选：B． 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与性质得到函数在上单调递减，从而得到，即可求解. 【详解】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减， 且， 所以函数在上是减函数， 又， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26·河南南阳）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解． 【详解】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为． 故选：D. 4．（25-26·陕西西安）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 5．（25-26·江西上饶）关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由判别式及韦达定理即可判断. 【详解】由题意可得不等式组 解得：且， 所以实数k的取值范围是. 故选:C 学科网（北京）股份有限公司 $